一元二次方程應(yīng)用題經(jīng)典題型匯總含答案

第頁(yè)z一元二次方程應(yīng)用題經(jīng)典題型匯總一,增長(zhǎng)率問(wèn)題例1恒利商廈九月份的銷售額為200萬(wàn)元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營(yíng)，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達(dá)到了193.6萬(wàn)元，求這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率.解設(shè)這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是x.，則依據(jù)題意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解這個(gè)方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.答這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是10%.說(shuō)明這是一道正增長(zhǎng)率問(wèn)題，對(duì)于正的增長(zhǎng)率問(wèn)題，在弄清晰增長(zhǎng)的次數(shù)和問(wèn)題中每一個(gè)數(shù)據(jù)的意義，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.對(duì)于負(fù)的增長(zhǎng)率問(wèn)題，若經(jīng)過(guò)兩次相等下降后，則有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.二,商品定價(jià)例2益群精品店以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價(jià)，若每件商品售價(jià)a元，則可賣出（350－10a）件，但物價(jià)局限定每件商品的利潤(rùn)不得超過(guò)20%，商店安排要盈利400元，須要進(jìn)貨多少件？每件商品應(yīng)定價(jià)多少？解依據(jù)題意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解這個(gè)方程，得a1＝25，a2＝31.因?yàn)?1×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合題意，舍去.所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.答須要進(jìn)貨100件，每件商品應(yīng)定價(jià)25元.說(shuō)明商品的定價(jià)問(wèn)題是商品交易中的重要問(wèn)題，也是各種考試的熱點(diǎn).三,儲(chǔ)蓄問(wèn)題例3王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“盼望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時(shí)的年利率.（假設(shè)不計(jì)利息稅）解設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x.則依據(jù)題意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.解這個(gè)方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能為負(fù)數(shù)，所以將x2≈－1.63舍去.答第一次存款的年利率約是2.04%.說(shuō)明這里是按教化儲(chǔ)蓄求解的，應(yīng)留意不計(jì)利息稅.四,趣味問(wèn)題例4一個(gè)醉漢拿著一根竹竿進(jìn)城，橫著怎么也拿不進(jìn)去，量竹竿長(zhǎng)比城門寬4米，旁邊一個(gè)醉漢訕笑他，你沒(méi)看城門高嗎，豎著拿就可以進(jìn)去啦，結(jié)果豎著比城門高2米，二人沒(méi)方法，只好請(qǐng)教聰慧人，聰慧人教他們二人沿著門的對(duì)角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進(jìn)城，你知道竹竿有多長(zhǎng)嗎？解設(shè)渠道的深度為xm，那么渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4)m.則依據(jù)題意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.解這個(gè)方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.答渠道的上口寬2.5m，渠深1m.說(shuō)明求解本題開(kāi)始時(shí)好象無(wú)從下筆，但只要能細(xì)致地閱讀和口味，就能從中找到等量關(guān)系，列出方程求解.五,古詩(shī)問(wèn)題例5讀詩(shī)詞解題：（通過(guò)列方程式，算出周瑜去世時(shí)的年齡）.大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方及壽符；哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？解設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x－3.則依據(jù)題意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解這個(gè)方程，得x＝5或x＝6.當(dāng)x＝5時(shí)，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；當(dāng)x＝6時(shí)，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.答周瑜去世的年齡為36歲.六,象棋競(jìng)賽例6象棋競(jìng)賽中，每個(gè)選手都及其他選手恰好競(jìng)賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分.假如平局，兩個(gè)選手各記1分，領(lǐng)司有四個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了中全部選手的得分總數(shù)，分別是1979，1980，1984，1985.經(jīng)核實(shí)，有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無(wú)誤.試計(jì)算這次競(jìng)賽共有多少個(gè)選手參與.解設(shè)共有n個(gè)選手參與競(jìng)賽，每個(gè)選手都要及(n－1)個(gè)選手競(jìng)賽一局，共計(jì)n(n－1)局，但兩個(gè)選手的對(duì)局從每個(gè)選手的角度各自統(tǒng)計(jì)了一次，因此實(shí)際競(jìng)賽總局?jǐn)?shù)應(yīng)為n(n－1)局.由于每局共計(jì)2分，所以全部選手得分總共為n(n－1)分.明顯(n－1)及n為相鄰的自然數(shù)，簡(jiǎn)單驗(yàn)證，相鄰兩自然數(shù)乘積的末位數(shù)字只能是0，2，6，故總分不可能是1979，1984，1985，因此總分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.答參與競(jìng)賽的選手共有45人.說(shuō)明類似于本題中的象棋競(jìng)賽的其它體育競(jìng)賽或互贈(zèng)賀年片等問(wèn)題，都可以仿照些方法求解.七,情景對(duì)話例7春秋旅行社為吸引市民組團(tuán)去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如圖1對(duì)話中收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費(fèi)用27000元.請(qǐng)問(wèn)該單位這次共有多少員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游？解設(shè)該單位這次共有x名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游.因?yàn)?000×25＝25000＜27000，所以員工人數(shù)肯定超過(guò)25人.則依據(jù)題意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x+1350＝0，解這個(gè)方程，得x1＝45，x2＝30.當(dāng)x＝45時(shí)，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；當(dāng)x2＝30時(shí)，1000－20(x－25)＝900＞700，符合題意.答：該單位這次共有30名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游.說(shuō)明求解本題要時(shí)刻留意對(duì)話框中的數(shù)量關(guān)系，求得的解還要留意分類探討，從中找出符合題意的結(jié)論.八,等積變形例8將一塊長(zhǎng)18米，寬15米的矩形荒地修建成一個(gè)花園（陰影部分）所占的面積為原來(lái)荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）（1）設(shè)計(jì)方案1（如圖2）花園中修兩條相互垂直且寬度相等的小路.（2）設(shè)計(jì)方案2（如圖3）花園中每個(gè)角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件若能，請(qǐng)計(jì)算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請(qǐng)說(shuō)明理由.解都能.（1）設(shè)小路寬為x，則18x+16x－x2＝×18×15，即x2－34x+180＝0，解這個(gè)方程，得x＝，即x≈6.6.（2）設(shè)扇形半徑為r，則3.14r2＝×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.說(shuō)明等積變形一般都是涉及的是常見(jiàn)圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也變，但重量不變，等等.九,動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題例9如圖4所示，在△ABC中，∠C＝90/SPAN>，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A動(dòng)身沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)動(dòng)身沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng).（1）假如P,Q同時(shí)動(dòng)身，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8平方厘米？（2）點(diǎn)P,Q在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半.若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說(shuō)明理由.解因?yàn)椤螩＝90/SPAN>，所以AB＝＝＝10（cm）.（1）設(shè)xs后，可使△PCQ的面積為8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.則依據(jù)題意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解這個(gè)方程，得x1＝2，x2＝4.所以P,Q同時(shí)動(dòng)身，2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2.（2）設(shè)點(diǎn)P動(dòng)身x秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的一半.則依據(jù)題意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.由于此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以不存在使△PCQ的面積等于ABC面積一半的時(shí)刻.說(shuō)明本題雖然是一道動(dòng)態(tài)型應(yīng)用題，但它又要運(yùn)用到行程的知識(shí)，求解時(shí)必需依據(jù)路程＝速度×?xí)r間.十,梯子問(wèn)題例10一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.（1）若梯子的頂端下滑1m，求梯子的底端水平滑動(dòng)多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑動(dòng)1m，梯子的頂端滑動(dòng)多少米？（3）假如梯子頂端向下滑動(dòng)的距離等于底端向外滑動(dòng)的距離，那么滑動(dòng)的距離是多少米？解依題意，梯子的頂端距墻角＝8（m）.（1）若梯子頂端下滑1m，則頂端距地面7m.設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm.則依據(jù)勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，解這個(gè)方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），所以梯子頂端下滑1m，底端水平滑動(dòng)約1.14m.（2）當(dāng)梯子底端水平向外滑動(dòng)1m時(shí)，設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm.則依據(jù)勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.解這個(gè)方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑動(dòng)1m，則頂端下滑約0.86m.（3）設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm時(shí)，底端向外也滑動(dòng)xm.則依據(jù)勾股定理，列方程(8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，解這個(gè)方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.所以梯子頂端向下滑動(dòng)2m時(shí)，底端向外也滑動(dòng)2m.說(shuō)明求解時(shí)應(yīng)留意無(wú)論梯子沿墻如何上下滑動(dòng)，梯子始終及墻上,地面構(gòu)成直角三角形.十一,航海問(wèn)題例11如圖5所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C，小島D恰好位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭；小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A動(dòng)身，經(jīng)B到C勻速巡航．一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D動(dòng)身，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦.（1）小島D和小島F相距多少海里？（2）已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中及補(bǔ)給船相遇于E處，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里？（精確到0.1海里）解（1）F位于D的正南方向，則DF⊥BC.因?yàn)锳B⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，所以DF＝AB＝100海里，所以，小島D及小島F相距100海里.（2）設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.在Rt△DEF中，依據(jù)勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.解這個(gè)方程，得x1＝200－≈118.4，x2＝200+（不合題意，舍去）.所以，相遇時(shí)補(bǔ)給船大約航行了118.4海里.說(shuō)明求解本題時(shí)，肯定要細(xì)致地分析題意，及時(shí)發(fā)覺(jué)題目中的等量關(guān)系，并能從圖形中找尋直角三角形，以便正確運(yùn)用勾股定理布列一元二次方程.十二,圖表信息例12如圖6所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，劃分成12×12個(gè)小正方形格，將邊長(zhǎng)為n（n為整數(shù)，且2≤n≤11）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑白相間地?cái)[放，第一張n×n的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的n×n個(gè)小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為(n－1)×(n－1)個(gè)小正方形.如此擺放下去，直到紙片蓋住正方形ABCD的右下角為止.請(qǐng)你細(xì)致視察思索后回答下列問(wèn)題：（1）由于正方形紙片邊長(zhǎng)n的取值不同，完成擺放時(shí)所運(yùn)用正方形紙片的張數(shù)也不同，請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚杭埰倪呴L(zhǎng)n23456運(yùn)用的紙片張數(shù)（2）設(shè)正方形ABCD被紙片蓋住的面積（重合部分只計(jì)一次）為S1，未被蓋住的面積為S2.①當(dāng)n＝2時(shí)，求S1∶S2的值；②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，懇求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解（1）依題意可依次填表為：11,10,9,8,7.（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.①當(dāng)n＝2時(shí)，S1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.②若S1＝S2，則有－n2+25n－12＝×122，即n2－25n+84＝0，解這個(gè)方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.所以當(dāng)n＝4時(shí)，S1＝S2.所以這樣的n值是存在的.說(shuō)明求解本題時(shí)要通過(guò)閱讀題設(shè)條件及供應(yīng)的圖表，及時(shí)挖掘其中的隱含條件，對(duì)于求解第（3）小題，可以先假定問(wèn)題的存在，進(jìn)而構(gòu)造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根來(lái)加以推斷.十三,探究在在問(wèn)題例13將一條長(zhǎng)為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)做成一個(gè)正方形.（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是多少（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解（1）設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20－x）cm.則依據(jù)題意，得+＝17，解得x1＝16，x2＝4，當(dāng)x＝16時(shí)，20－x＝4，當(dāng)x＝4時(shí)，20－x＝16，答這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨設(shè)剪成兩段后其中一段為ycm，則另一段為（20－y）cm.則由題意得+＝12，整理，得y2－20y+104＝0，移項(xiàng)并配方，得(y－10)2＝－4＜0，所以此方程無(wú)解，即不能剪成兩段使得面積和為12cm2.說(shuō)明本題的第（2）小問(wèn)也可以運(yùn)用求根公式中的b2－4ac來(lái)判定.若b2－4ac≥0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若b2－4ac＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，本題中的b2－4ac＝－16＜0即無(wú)解.十四,平分幾何圖形的周長(zhǎng)及面積問(wèn)題例14如圖7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.點(diǎn)E在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)，設(shè)BE長(zhǎng)為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1∶2的兩部分？若存在，求此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解（1）由已知條件得，梯形周長(zhǎng)為12，高4，面積為28.過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥BC于K.則可得，F(xiàn)G＝×4，所以S△BEF＝BE·FG＝－x2+x（7≤x≤10）.（2）存在.由（1）得－x2+x＝14，解這個(gè)方程，得x1＝7，x2＝5（不合題意，舍去），所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)及面積同時(shí)平分，此時(shí)BE＝7.（3）不存在.假設(shè)存在，明顯有S△BEF∶S多邊形AFECD＝1∶2，即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.則有－x2+x＝，整理，得3x2－24x+70＝0，此時(shí)的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，所以不存在這樣的實(shí)數(shù)x.即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1∶2的兩部分.說(shuō)明求解本題時(shí)應(yīng)留意：一是要能正確確定x的取值范圍；二是在求得x2＝5時(shí)，并不屬于7≤x≤10，應(yīng)及時(shí)地舍去；三是處理第（3）個(gè)問(wèn)題時(shí)的實(shí)質(zhì)是利用一元二次方程來(lái)探究問(wèn)題的存在性.十五,利用圖形探究規(guī)律例15在如圖8中，每個(gè)正方形有邊長(zhǎng)為1的小正方形組成：圖8（1）視察圖形，請(qǐng)?zhí)顚懴铝斜砀瘢赫叫芜呴L(zhǎng)1357…n（奇數(shù)）黑