專題4.1 同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換【八大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

第第頁(yè)專題4.1同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1正、余弦齊次式的計(jì)算】 2【題型2“和”“積”轉(zhuǎn)換】 3【題型3誘導(dǎo)公式的應(yīng)用——化簡(jiǎn)、求值】 5【題型4同角關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】 6【題型5三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題】 7【題型6三角恒等變換——給值求值型問(wèn)題】 9【題型7三角恒等變換——給值求角型問(wèn)題】 11【題型8三角恒等變換的綜合應(yīng)用】 141、同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換是三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值的基礎(chǔ)，是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，主要考察“弦切互化”、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值等內(nèi)容，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試題難度中等或偏下；但在有關(guān)三角函數(shù)的解答題中有時(shí)也會(huì)涉及到三角恒等變換、合并化簡(jiǎn)，此時(shí)試題難度中等.【知識(shí)點(diǎn)1同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用結(jié)論】1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形2.同角三角函數(shù)關(guān)系式的注意事項(xiàng)在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào).【知識(shí)點(diǎn)2誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用】1.誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.2.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用

(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.(2)化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.3.含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算.4.同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、求值的解題策略利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡(jiǎn)化解題過(guò)程；同時(shí)要注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響.【知識(shí)點(diǎn)3三角恒等變換幾類問(wèn)題的解題策略】1.給值求值問(wèn)題的解題思路給值求值問(wèn)題一般是將待求式子化簡(jiǎn)整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.2.給角求值問(wèn)題的解題思路給角求值問(wèn)題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角三角函數(shù)而得解.3.給值求角問(wèn)題的解題思路給值求角問(wèn)題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.4.三角恒等變換的綜合應(yīng)用的解題策略三角恒等變換的綜合應(yīng)用的求解策略主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過(guò)變換把函數(shù)化為f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問(wèn)題.【題型1正、余弦齊次式的計(jì)算】【例1】（2023上·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）已知1?2sinαcosαcos2α?sin2α=13，則tanα=A．13 B．12 C．13或1 【解題思路】利用弦化切可得出關(guān)于tanα的等式，即可求得tan【解題思路】因?yàn)??2=cosα?sin故選：B.【變式1-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知α∈0,π，且sinα?3cosA．?3 B．?33 C．3【解題思路】將已知條件兩邊平方，結(jié)合“1”的代換化為齊次式，再由弦化切求值即可.【解題思路】由題設(shè)(sin所以sin2α?23故tan2α?23所以tanα=?故選：B.【變式1-2】（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）已知tanθ=2，則cosθ?2sinA．0 B．?53 C．-1 【解題思路】分子分母同時(shí)除以cosθ【解題思路】由題知，tanθ=2則cos=1?2×2故選：C.【變式1-3】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知角α的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P?2,5，則sin2αA．?752 B．?4513【解題思路】根據(jù)切弦互化和齊次化以及同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.【解題思路】由題意知tanα=?則原式=2故選：B.【題型2“和”“積”轉(zhuǎn)換】【例2】（2023下·貴州遵義·高二?？茧A段練習(xí)）已知sinα?cosα=13A．?89 B．23 C．4【解題思路】把sinα?【解題思路】∵sinα?cos故選：C.【變式2-1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知sinαcosα=?16A．233 B．?233 【解題思路】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，利用平方的方法求得正確結(jié)論.【解題思路】由于sinαcosα=?16所以sinα?故選：A.【變式2-2】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知sinα?cosα=15A．?125 B．125 C．?【解題思路】根據(jù)同角三角關(guān)系分析運(yùn)算，注意三角函數(shù)值的符號(hào)的判斷.【解題思路】由題意可得：sinα?cosα且α∈?π2即sinα>0,cosα>0因?yàn)閟inα+cosα所以sinα故選：D.【變式2-3】（2023·上海寶山·統(tǒng)考一模）設(shè)sinα+cosα=x，且sin3α+A．－1 B．12 C．1 D．【解題思路】根據(jù)題意，求出sinαsin3α+cos【解題思路】sinα+cosα=x得1+2sinαcossin=x(3?所以，3x2得a0=0，a1=3則a故選：C.【題型3誘導(dǎo)公式的應(yīng)用——化簡(jiǎn)、求值】【例3】（2023上·河北石家莊·高三石家莊市第二十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知α∈π2,π，若cosπA．24 B．?24 C．?【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合題設(shè)，即可求得答案.【解題思路】由題意得cosα+故選：A.【變式3-1】（2023上·全國(guó)·高一期末）已知sinπ6+α=13，且A．?223 B．?13 【解題思路】以π6【解題思路】由題意可得：cosπ故選：D.【變式3-2】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）已知sin(π?α)=13A．223 C．13 D．【解題思路】根據(jù)題意得到sinα=【解題思路】由sin(π?α)=則sin(α?2021故選：D.【變式3-3】（2023上·江蘇常州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若cos(π6+α)=1A．0 B．23 C．1+223【解題思路】利用整體代換法與誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【解題思路】依題，令π6+α=t，則5π所以cos=cos=?cos故選：A.【題型4同角關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】【例4】（2023上·天津·高一?？茧A段練習(xí)）若tan(7π+α)=a，則sinA．a(chǎn)?1a+1 B．a(chǎn)+1a?1 C．-1【解題思路】由誘導(dǎo)公式以及商數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算即可.【解題思路】由題意得tan(7π+α)=故選：B.【變式4-1】（2023上·江蘇無(wú)錫·高一?？茧A段練習(xí)）已知cos?x+sinπ?xA．1625 B．?1625 C．8【解題思路】由誘導(dǎo)公式有sinx?sinπ2+x【解題思路】由cos?x+sin兩邊平方得：1+2sinxcos∴sin故選：D.【變式4-2】（2023上·江蘇無(wú)錫·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知sinα+cosα=?12A．?34 B．34 C．?【解題思路】對(duì)sinα+cosα=?12【解題思路】因?yàn)閟inα+cosα=?所以sinα所以cosπ故選：A.【變式4-3】（2023上·甘肅白銀·高一?？计谀┮阎?cos3π2+θsinπA．?1?2 B．1+2 C．2?1【解題思路】先用誘導(dǎo)公式，將已知和要求的因式都轉(zhuǎn)化成單角形式，即只含有sinθ,【解題思路】因?yàn)?cos3π且tan2因?yàn)棣葹榈诙笙藿?，所以tanθ=?則cosπ故選：D.【題型5三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題】【例5】（2023上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）已知cosx+sinx=23A．?716 B．?726 【解題思路】由倍角公式和差角公式、平方關(guān)系求解即可.【解題思路】sin2x故選：D.【變式5-1】（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)0<θ<π2，若sinθ+cosθA．32 B．12 C．22【解題思路】利用二倍角公式以及輔助角公式可推出sin(2θ+π3【解題思路】由題意sinθ+則1+2sinθcos故2sin(2θ+π3由于0<θ<π2，所以則2θ+π3=故sin2θ=故選：B.【變式5-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：sin2α?2A．2cosα B．22cosα 【解題思路】利用二倍角的正弦公式、兩角差的正弦公式可化簡(jiǎn)所求代數(shù)式.【解題思路】原式=2故選：B.【變式5-3】（2023下·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知α,β∈0,π且滿足sinα+A．tanα+β=3C．cosα+β=3【解題思路】運(yùn)用配湊角α=α+β2+α?β2，β=α+β2?α?β【解題思路】因?yàn)閟inα+cosα+sinα+所以2sin又因?yàn)棣?，β?0,π所以?π2<所以cosα?β所以sinα+β所以tanα+β又因?yàn)?<α+β所以α+β2所以α+β=所以tan(α+β)=所以cos(α+β)=故選：B.【題型6三角恒等變換——給值求值型問(wèn)題】【例6】（2023上·天津武清·高三?？茧A段練習(xí)）已知α、β∈0,π4，且sinα=13，A．2327 B．13 C．2527【解題思路】由α、β∈0,π4，可計(jì)算出sin2α、cos2α【解題思路】由sinα=13，α∈則sin2α=2sinα由cos(2α+β)=13又α、β∈0,π4故sin(2α+β)=cos=1故選：A.【變式6-1】（2023·安徽·池州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知tanα+π6=12，A．?913 B．?211 C．【解題思路】利用二倍角正切公式求得tanπ【解題思路】由tanπ12+β而tanα+故tan=1故選：B.【變式6-2】（2023下·湖北省直轄縣級(jí)單位·高一?？计谥校┮阎痢?π4,3π2A．1665 B．?1665 C．56【解題思路】先利用誘導(dǎo)公式得sin(α+β)=cos(α+β?【解題思路】sin(α+β)=因?yàn)棣痢?π4,3π2因?yàn)閏os(α?π4)=?3又y=cosx在x∈π所以當(dāng)α?π4在第三象限時(shí)，α?π所以α?π因?yàn)閏os(α?π4因?yàn)棣隆师?3π2，所以β?因?yàn)閟in(β?π4所以cos(α?即sin(α+β)=故選：A．【變式6-3】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知π2<α<3π2，?A．cos(α?β)=?1 B．sinC．cos(α+β)=?12【解題思路】根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)角的范圍找到和差角的關(guān)系判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【解題思路】∵sin∴2sinα?π且π2<α<3π2，?當(dāng)α?π3=當(dāng)α?π3+sinα?β故選:D.【題型7三角恒等變換——給值求角型問(wèn)題】【例7】（2023下·安徽亳州·高一亳州二中?？计谀┤魋in2α=55，sinβ?α=1010，且α∈A．7π4 B．9π4 C．4【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)值確定角的范圍，再根據(jù)角的變換有∴cosα+β=【解題思路】∵sin2α=2sin又α∈π4,π，由sin2α=55又β∈π,3π2所以β?α∈π2,∴=2由α∈π4,π2，β∈故選：A．【變式7-1】（2023上·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若α∈?π2,0，β∈0,π2，且tanA．?3π4 B．?π4 C．【解題思路】求出2α?β的正切值及2α?β的取值范圍，即可得出2α?β的值.【解題思路】因?yàn)棣痢?π2,0，又因?yàn)閠anα?β=?1由二倍角正切公式可得tan2所以，tan2α?β因?yàn)?π4<α?β<0，0<β<π2因此，2α?β=?π故選：B.【變式7-2】（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考期末）已知0<α<β<π2,A．α+β=π6 C．β?α=π6 【解題思路】直接利用三角函數(shù)恒等變換進(jìn)行湊角化簡(jiǎn)，再根據(jù)α，β的范圍即可求出結(jié)果.【解題思路】由已知可將2α=(α+β)+(α?β)，2β=(α+β)?(α?β)，則cos[(α+β)+(α?β)]+2cos[cos(α+β)?1][2cos(α?β)?1]=0，即又0<α<β<π2，所以所以cos(α+β)≠1即cos(α?β)=12，則α?β=?故選：D.【變式7-3】（2023·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考三模）已知tanβ=cosα1?sinα，tanα+βA．π12 B．π6 C．π4【解題思路】利用已知條件和兩角和的正切公式，先求出角α，再利用已知條件即可求解.【解題思路】因?yàn)閠anα又因?yàn)閠anβ=cosα所以tanα=所以tan因?yàn)閟in2α+cos所以α=kπ,所以當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，cosα=?1，sin當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，cosα=1，sin因?yàn)閠anβ=cosα因?yàn)棣隆?,π2故選：C.【題型8三角恒等變換的綜合應(yīng)用】【例8】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)當(dāng)x∈0,π2【解題思路】（1）利用三角恒等變換整理得fx（2）以2x+π【解題思路】（1）由題意可得：f==cos所以fx的最小正周期T=（2）因?yàn)閤∈0,π2當(dāng)2x+π3=π，即x=π當(dāng)2x+π3=π3，即x=0所以fx的最大值與最小值的和為?1【變式8-1】（2023上·吉林·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)fx(1)求fx在0,(2)若tanα=2，求f(3)若fβ=?1【解題思路】（1）利用三角恒等變換先化簡(jiǎn)，再利用整體法求最大值；（2）利用齊次式化簡(jiǎn)求值；（3）利用配湊角結(jié)合兩角差的余弦公式計(jì)算.【解題思路】（1）f=1?=1?cos∵x∈0,則1?2sin2x+π6∈?1,2，故（2）fα（3）由（1）當(dāng)fβ=?1∵β∈π故cos2β=【變式8-2】（2023上·浙江嘉興·高一嘉興一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=cosxsin(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；(2)求f(x)在閉區(qū)間?π【解題思路】（1）利用兩角和差的正弦公式及降冪公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)已知條件求出2x?π【解題思路】（1）函數(shù)f(x)==1∴f(x)的最小正周期T=2令2kπ+π2≤2x?π3所以f(x)的減區(qū)間為[512π（2）由（1）知，fx∵x∈?∴2x?π當(dāng)2x?π3=π6，即x=當(dāng)2x?π3=?π2，即x=?【變式8-3】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若α∈3π4,π【解題思路】（1）首先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的的性質(zhì)，代入公式，即可求解；（2）由（1）的結(jié)果可得fα?π6【解題思路】（1）由題意知fx==3故函數(shù)fx的最小正周期T=令?π2+2k所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?（2）因?yàn)閒α?又α∈3π4,所以cos2α?所以sin2α?1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)x∈R，則“sinx=1”是“cosx=0”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【解題思路】因?yàn)閟in2當(dāng)sinx=1時(shí)，cos當(dāng)cosx=0時(shí)，sin所以當(dāng)x∈R，sinx=1是cos故選：A.2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知α為銳角，cosα=1+54，則A．3?58 B．?1+58 C．【解題思路】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【解題思路】因?yàn)閏osα=1?2sin2解得：sinα2=故選：D．3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)甲：sin2α+sin2β=1A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解題思路】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.【解題思路】當(dāng)sin2α+sin2β=1即sin2α+sin當(dāng)sinα+cosβ=0即sinα+cosβ=0綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B.4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知sinα?β=13,A．79 B．19 C．?1【解題思路】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+β)【解題思路】因?yàn)閟in(α?β)=sinαcosβ?則sin(α+β)=所以cos(2α+2β)=故選：B.5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若sin(α+β)+cos(α+β)=2A．tan(α?β)=1 B．C．tan(α?β)=?1 D．【解題思路】由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【解題思路】[方法一]：直接法由已知得：sinα即：sinα即：sin所以tan故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取α=再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β=π[方法三]：三角恒等變換sin(α+β)+所以2sin（α+π∴sin（α?β+故選：C.6．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若tanθ=?2，則sinθ1+A．?65 B．?25 C．【解題思路】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn)，然后增添分母(1=sin2θ+【解題思路】將式子進(jìn)行齊次化處理得：sin=sin故選：C．7．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若θ∈0,π2,tanθ=【解題思路】根據(jù)同角三角關(guān)系求sinθ【解題思路】因?yàn)棣取?,π2又因?yàn)閠anθ=sinθ且cos2θ+sin2θ=4所以sinθ?故答案為：?58．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若fx=(x?1)2+ax+sin【解題思路】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到f?π2【解題思路】因?yàn)閥=fx=x?1所以f?π2則πa=π2此時(shí)