專題4.1 同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換【八大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

第第頁專題4.1同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1正、余弦齊次式的計算】 2【題型2“和”“積”轉(zhuǎn)換】 3【題型3誘導(dǎo)公式的應(yīng)用——化簡、求值】 5【題型4同角關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】 6【題型5三角恒等變換的化簡問題】 7【題型6三角恒等變換——給值求值型問題】 9【題型7三角恒等變換——給值求角型問題】 11【題型8三角恒等變換的綜合應(yīng)用】 141、同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換是三角函數(shù)化簡求值的基礎(chǔ)，是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，主要考察“弦切互化”、三角函數(shù)的化簡求值等內(nèi)容，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試題難度中等或偏下；但在有關(guān)三角函數(shù)的解答題中有時也會涉及到三角恒等變換、合并化簡，此時試題難度中等.【知識點1同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用結(jié)論】1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形2.同角三角函數(shù)關(guān)系式的注意事項在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號.【知識點2誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用】1.誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.2.誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用

(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.3.含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運算.4.同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式化簡、求值的解題策略利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡化解題過程；同時要注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.【知識點3三角恒等變換幾類問題的解題策略】1.給值求值問題的解題思路給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.2.給角求值問題的解題思路給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角三角函數(shù)而得解.3.給值求角問題的解題思路給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.4.三角恒等變換的綜合應(yīng)用的解題策略三角恒等變換的綜合應(yīng)用的求解策略主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題.【題型1正、余弦齊次式的計算】【例1】（2023上·江蘇蘇州·高一校考階段練習(xí)）已知1?2sinαcosαcos2α?sin2α=13，則tanα=A．13 B．12 C．13或1 【解題思路】利用弦化切可得出關(guān)于tanα的等式，即可求得tan【解題思路】因為1?2=cosα?sin故選：B.【變式1-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知α∈0,π，且sinα?3cosA．?3 B．?33 C．3【解題思路】將已知條件兩邊平方，結(jié)合“1”的代換化為齊次式，再由弦化切求值即可.【解題思路】由題設(shè)(sin所以sin2α?23故tan2α?23所以tanα=?故選：B.【變式1-2】（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）已知tanθ=2，則cosθ?2sinA．0 B．?53 C．-1 【解題思路】分子分母同時除以cosθ【解題思路】由題知，tanθ=2則cos=1?2×2故選：C.【變式1-3】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知角α的頂點為原點，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若其終邊經(jīng)過點P?2,5，則sin2αA．?752 B．?4513【解題思路】根據(jù)切弦互化和齊次化以及同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.【解題思路】由題意知tanα=?則原式=2故選：B.【題型2“和”“積”轉(zhuǎn)換】【例2】（2023下·貴州遵義·高二?？茧A段練習(xí)）已知sinα?cosα=13A．?89 B．23 C．4【解題思路】把sinα?【解題思路】∵sinα?cos故選：C.【變式2-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知sinαcosα=?16A．233 B．?233 【解題思路】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，利用平方的方法求得正確結(jié)論.【解題思路】由于sinαcosα=?16所以sinα?故選：A.【變式2-2】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知sinα?cosα=15A．?125 B．125 C．?【解題思路】根據(jù)同角三角關(guān)系分析運算，注意三角函數(shù)值的符號的判斷.【解題思路】由題意可得：sinα?cosα且α∈?π2即sinα>0,cosα>0因為sinα+cosα所以sinα故選：D.【變式2-3】（2023·上海寶山·統(tǒng)考一模）設(shè)sinα+cosα=x，且sin3α+A．－1 B．12 C．1 D．【解題思路】根據(jù)題意，求出sinαsin3α+cos【解題思路】sinα+cosα=x得1+2sinαcossin=x(3?所以，3x2得a0=0，a1=3則a故選：C.【題型3誘導(dǎo)公式的應(yīng)用——化簡、求值】【例3】（2023上·河北石家莊·高三石家莊市第二十七中學(xué)校考階段練習(xí)）已知α∈π2,π，若cosπA．24 B．?24 C．?【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合題設(shè)，即可求得答案.【解題思路】由題意得cosα+故選：A.【變式3-1】（2023上·全國·高一期末）已知sinπ6+α=13，且A．?223 B．?13 【解題思路】以π6【解題思路】由題意可得：cosπ故選：D.【變式3-2】（2023上·高一課時練習(xí)）已知sin(π?α)=13A．223 C．13 D．【解題思路】根據(jù)題意得到sinα=【解題思路】由sin(π?α)=則sin(α?2021故選：D.【變式3-3】（2023上·江蘇常州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若cos(π6+α)=1A．0 B．23 C．1+223【解題思路】利用整體代換法與誘導(dǎo)公式化簡求值即可.【解題思路】依題，令π6+α=t，則5π所以cos=cos=?cos故選：A.【題型4同角關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】【例4】（2023上·天津·高一校考階段練習(xí)）若tan(7π+α)=a，則sinA．a(chǎn)?1a+1 B．a(chǎn)+1a?1 C．-1【解題思路】由誘導(dǎo)公式以及商數(shù)公式進(jìn)行化簡運算即可.【解題思路】由題意得tan(7π+α)=故選：B.【變式4-1】（2023上·江蘇無錫·高一?？茧A段練習(xí)）已知cos?x+sinπ?xA．1625 B．?1625 C．8【解題思路】由誘導(dǎo)公式有sinx?sinπ2+x【解題思路】由cos?x+sin兩邊平方得：1+2sinxcos∴sin故選：D.【變式4-2】（2023上·江蘇無錫·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知sinα+cosα=?12A．?34 B．34 C．?【解題思路】對sinα+cosα=?12【解題思路】因為sinα+cosα=?所以sinα所以cosπ故選：A.【變式4-3】（2023上·甘肅白銀·高一?？计谀┮阎?cos3π2+θsinπA．?1?2 B．1+2 C．2?1【解題思路】先用誘導(dǎo)公式，將已知和要求的因式都轉(zhuǎn)化成單角形式，即只含有sinθ,【解題思路】因為3cos3π且tan2因為θ為第二象限角，所以tanθ=?則cosπ故選：D.【題型5三角恒等變換的化簡問題】【例5】（2023上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）已知cosx+sinx=23A．?716 B．?726 【解題思路】由倍角公式和差角公式、平方關(guān)系求解即可.【解題思路】sin2x故選：D.【變式5-1】（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)0<θ<π2，若sinθ+cosθA．32 B．12 C．22【解題思路】利用二倍角公式以及輔助角公式可推出sin(2θ+π3【解題思路】由題意sinθ+則1+2sinθcos故2sin(2θ+π3由于0<θ<π2，所以則2θ+π3=故sin2θ=故選：B.【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡：sin2α?2A．2cosα B．22cosα 【解題思路】利用二倍角的正弦公式、兩角差的正弦公式可化簡所求代數(shù)式.【解題思路】原式=2故選：B.【變式5-3】（2023下·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知α,β∈0,π且滿足sinα+A．tanα+β=3C．cosα+β=3【解題思路】運用配湊角α=α+β2+α?β2，β=α+β2?α?β【解題思路】因為sinα+cosα+sinα+所以2sin又因為α，β∈(0,π所以?π2<所以cosα?β所以sinα+β所以tanα+β又因為0<α+β所以α+β2所以α+β=所以tan(α+β)=所以cos(α+β)=故選：B.【題型6三角恒等變換——給值求值型問題】【例6】（2023上·天津武清·高三?？茧A段練習(xí)）已知α、β∈0,π4，且sinα=13，A．2327 B．13 C．2527【解題思路】由α、β∈0,π4，可計算出sin2α、cos2α【解題思路】由sinα=13，α∈則sin2α=2sinα由cos(2α+β)=13又α、β∈0,π4故sin(2α+β)=cos=1故選：A.【變式6-1】（2023·安徽·池州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知tanα+π6=12，A．?913 B．?211 C．【解題思路】利用二倍角正切公式求得tanπ【解題思路】由tanπ12+β而tanα+故tan=1故選：B.【變式6-2】（2023下·湖北省直轄縣級單位·高一?？计谥校┮阎痢?π4,3π2A．1665 B．?1665 C．56【解題思路】先利用誘導(dǎo)公式得sin(α+β)=cos(α+β?【解題思路】sin(α+β)=因為α∈3π4,3π2因為cos(α?π4)=?3又y=cosx在x∈π所以當(dāng)α?π4在第三象限時，α?π所以α?π因為cos(α?π4因為β∈π,3π2，所以β?因為sin(β?π4所以cos(α?即sin(α+β)=故選：A．【變式6-3】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知π2<α<3π2，?A．cos(α?β)=?1 B．sinC．cos(α+β)=?12【解題思路】根據(jù)輔助角公式化簡，再根據(jù)角的范圍找到和差角的關(guān)系判斷各個選項即可.【解題思路】∵sin∴2sinα?π且π2<α<3π2，?當(dāng)α?π3=當(dāng)α?π3+sinα?β故選:D.【題型7三角恒等變換——給值求角型問題】【例7】（2023下·安徽亳州·高一亳州二中?？计谀┤魋in2α=55，sinβ?α=1010，且α∈A．7π4 B．9π4 C．4【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)值確定角的范圍，再根據(jù)角的變換有∴cosα+β=【解題思路】∵sin2α=2sin又α∈π4,π，由sin2α=55又β∈π,3π2所以β?α∈π2,∴=2由α∈π4,π2，β∈故選：A．【變式7-1】（2023上·全國·高一專題練習(xí)）若α∈?π2,0，β∈0,π2，且tanA．?3π4 B．?π4 C．【解題思路】求出2α?β的正切值及2α?β的取值范圍，即可得出2α?β的值.【解題思路】因為α∈?π2,0，又因為tanα?β=?1由二倍角正切公式可得tan2所以，tan2α?β因為?π4<α?β<0，0<β<π2因此，2α?β=?π故選：B.【變式7-2】（2023·全國·高三校聯(lián)考期末）已知0<α<β<π2,A．α+β=π6 C．β?α=π6 【解題思路】直接利用三角函數(shù)恒等變換進(jìn)行湊角化簡，再根據(jù)α，β的范圍即可求出結(jié)果.【解題思路】由已知可將2α=(α+β)+(α?β)，2β=(α+β)?(α?β)，則cos[(α+β)+(α?β)]+2cos[cos(α+β)?1][2cos(α?β)?1]=0，即又0<α<β<π2，所以所以cos(α+β)≠1即cos(α?β)=12，則α?β=?故選：D.【變式7-3】（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知tanβ=cosα1?sinα，tanα+βA．π12 B．π6 C．π4【解題思路】利用已知條件和兩角和的正切公式，先求出角α，再利用已知條件即可求解.【解題思路】因為tanα又因為tanβ=cosα所以tanα=所以tan因為sin2α+cos所以α=kπ,所以當(dāng)k為奇數(shù)時，cosα=?1，sin當(dāng)k為偶數(shù)時，cosα=1，sin因為tanβ=cosα因為β∈0,π2故選：C.【題型8三角恒等變換的綜合應(yīng)用】【例8】（2023上·湖南長沙·高一長郡中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)當(dāng)x∈0,π2【解題思路】（1）利用三角恒等變換整理得fx（2）以2x+π【解題思路】（1）由題意可得：f==cos所以fx的最小正周期T=（2）因為x∈0,π2當(dāng)2x+π3=π，即x=π當(dāng)2x+π3=π3，即x=0所以fx的最大值與最小值的和為?1【變式8-1】（2023上·吉林·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)fx(1)求fx在0,(2)若tanα=2，求f(3)若fβ=?1【解題思路】（1）利用三角恒等變換先化簡，再利用整體法求最大值；（2）利用齊次式化簡求值；（3）利用配湊角結(jié)合兩角差的余弦公式計算.【解題思路】（1）f=1?=1?cos∵x∈0,則1?2sin2x+π6∈?1,2，故（2）fα（3）由（1）當(dāng)fβ=?1∵β∈π故cos2β=【變式8-2】（2023上·浙江嘉興·高一嘉興一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=cosxsin(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；(2)求f(x)在閉區(qū)間?π【解題思路】（1）利用兩角和差的正弦公式及降冪公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)已知條件求出2x?π【解題思路】（1）函數(shù)f(x)==1∴f(x)的最小正周期T=2令2kπ+π2≤2x?π3所以f(x)的減區(qū)間為[512π（2）由（1）知，fx∵x∈?∴2x?π當(dāng)2x?π3=π6，即x=當(dāng)2x?π3=?π2，即x=?【變式8-3】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若α∈3π4,π【解題思路】（1）首先化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的的性質(zhì)，代入公式，即可求解；（2）由（1）的結(jié)果可得fα?π6【解題思路】（1）由題意知fx==3故函數(shù)fx的最小正周期T=令?π2+2k所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?（2）因為fα?又α∈3π4,所以cos2α?所以sin2α?1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)x∈R，則“sinx=1”是“cosx=0”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【解題思路】因為sin2當(dāng)sinx=1時，cos當(dāng)cosx=0時，sin所以當(dāng)x∈R，sinx=1是cos故選：A.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知α為銳角，cosα=1+54，則A．3?58 B．?1+58 C．【解題思路】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【解題思路】因為cosα=1?2sin2解得：sinα2=故選：D．3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)甲：sin2α+sin2β=1A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解題思路】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.【解題思路】當(dāng)sin2α+sin2β=1即sin2α+sin當(dāng)sinα+cosβ=0即sinα+cosβ=0綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B.4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知sinα?β=13,A．79 B．19 C．?1【解題思路】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+β)【解題思路】因為sin(α?β)=sinαcosβ?則sin(α+β)=所以cos(2α+2β)=故選：B.5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若sin(α+β)+cos(α+β)=2A．tan(α?β)=1 B．C．tan(α?β)=?1 D．【解題思路】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【解題思路】[方法一]：直接法由已知得：sinα即：sinα即：sin所以tan故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取α=再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β=π[方法三]：三角恒等變換sin(α+β)+所以2sin（α+π∴sin（α?β+故選：C.6．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若tanθ=?2，則sinθ1+A．?65 B．?25 C．【解題思路】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母(1=sin2θ+【解題思路】將式子進(jìn)行齊次化處理得：sin=sin故選：C．7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若θ∈0,π2,tanθ=【解題思路】根據(jù)同角三角關(guān)系求sinθ【解題思路】因為θ∈0,π2又因為tanθ=sinθ且cos2θ+sin2θ=4所以sinθ?故答案為：?58．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若fx=(x?1)2+ax+sin【解題思路】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到f?π2【解題思路】因為y=fx=x?1所以f?π2則πa=π2此時