第07講 離散型隨機變量及其分布列和數(shù)字特征 高頻考點精講（解析版）備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學一輪復習精講精練（藝考生基礎版）

第第頁第07講離散型隨機變量及其分布列和數(shù)字特征(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析題型一：離散型隨機變量分布列的性質(zhì)題型二：求離散型隨機變量的分布列題型三：離散型隨機變量的均值與方差角度1：期望、方差的計算角度2：決策問題第一部分：知第一部分：知識點精準記憶知識點一：離散型隨機變量一般地，對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點都有唯一的實數(shù)與之對應，我們稱為隨機變量．表示：用大寫英文字母表示隨機變量，如，，；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，如，，．知識點二：離散型隨機變量的分布列一般地，設離散型隨機變量的可能取值為，，…，，我們稱取每一個值的概率，為的概率分布列，簡稱分布列．…………知識點三：離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)①，②注意：①.列出隨機變量的所有可能取值；②.求出隨機變量的每一個值發(fā)生的概率.知識點四：離散型隨機變量的均值與方差（1）離散型隨機變量的均值的概念一般地，若離散型隨機變量的概率分布為：…………則稱為隨機變量的均值(mean)或數(shù)學期望(mathematicalexpectation),數(shù)學期望簡稱期望.（2）離散型隨機變量的方差的概念一般地，若離散型隨機變量的概率分布列為：…………則稱為隨機變量的方差，有時也記為.稱為隨機變量的標準差.知識點五：均值與方差的性質(zhì)（1）（2）第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：離散型隨機變量分布列的性質(zhì)典型例題例題1．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學校高二階段練習）隨機變量的分布列如下表，則等于（

）01A． B． C． D．【答案】C【詳解】由分布列可知，故，故選：C例題2．（2022·江蘇·常州市第一中學高二期中）下表是離散型隨機變量的概率分布，則常數(shù)的值是（

）3456A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，解得.故選：C.例題3．（2022·全國·高二課時練習）設X是一個離散隨機變量，其分布列為：－101則實數(shù)的值為______.【答案】##【詳解】由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，知，故，因為，解得.故答案為：例題4．（2022·陜西·延安市第一中學高二階段練習（理））設隨機變量的分布列為，（，2，3），則的值為___________.【答案】##【詳解】依題意，，解得，所以a的值為.故答案為：例題5．（2022·江蘇常州·模擬預測）設隨機變量的分布列如下：12345678910且數(shù)列滿足，則______________．【答案】5.5##【詳解】解：令，2，3，，，則，即，，2，3，，，又，所以，所以故答案為：同類題型歸類練1．（2022·山東濟寧·高二期末）已知隨機變量X的概率分布為：，其中是常數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，即，解得：，所以，．故選：A．2．（2022·山東濟南·高二期末）已知離散型隨機變量X的分布列為，其中a為常數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，所以；故故選：B3．（2022·全國·高三專題練習）設離散型隨機變量的分布列為：則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意，有，且，，解得，故選：B.4．（2022·全國·高二課時練習）設隨機變量的分布列為，則___________.【答案】##【詳解】由題意，，所以，得，所以.故答案為：5．（2022·天津市求真高級中學高二期末）已知隨機變量的概率分布列為：2345已知的數(shù)學期望為，則____________.【答案】##0.75【詳解】，又，解得：，則故答案為：題型二：求離散型隨機變量的分布列典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習）某人進行一項實驗，若實驗成功，則停止實驗，若實驗失敗，再重新實驗一次，若實驗3次均失敗，則放棄實驗，若此人每次實驗成功的概率為，則此人實驗次數(shù)的期望是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，每次實驗成功的概率為，則失敗的概率為，，，則實驗次數(shù)的分布列如下：

所以此人實驗次數(shù)的期望是.故選：B例題2．（2022·四川·成都七中三模（理））一個袋中有個紅球，個白球，個黑球（，），從中任取1個球（每球取到的機會均等），設表示取出的紅球個數(shù)，表示取出的白球個數(shù)，則A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意可知：隨機變量的分布列如下圖所示：01P所以有,，隨機變量的分布列如下圖所示：01P，，因為，所以，因此有，故本題選D.例題3．（2022·全國·高二單元測試）甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量、，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10，9，8、7環(huán)的概率分別為0.5，，，0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2．(1)求、的分布；(2)比較甲、乙的射擊技術．【答案】(1)答案見解析；(2)甲比乙的射擊技術好．（1）由題意得：，解得．因為乙射中10、9、8環(huán)的概率分別為0.3、0.3、0.2，所以乙射中7環(huán)的概率為，所以的分布為109870.50.30.10.1的分布為109870.30.30.20.2（2）由（1）得：；；；．由于，，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的期望比乙高，且成績比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術好．同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習）小林從A地出發(fā)去往B地，1小時內(nèi)到達的概率為0.4，1小時10分到達的概率為0.3，1小時20分到達的概率為0.3.現(xiàn)規(guī)定1小時內(nèi)到達的獎勵為200元，若超過1小時到達，則每超過1分鐘獎勵少2元.設小林最后獲得的獎勵為X元，則（

）A．176 B．182 C．184 D．186【答案】B【詳解】依題意可得X的可能值為200，180，160.，，，X的分布列為2001801600.40.30.3所以.故選：B.2．（2022·遼寧遼陽·高二期末）甲、乙兩名籃球運動員每次投籃的命中率分別為0.8，0.7，他們各自投籃1次，設兩人命中總次數(shù)為X，則X的分布列為（

）X012P0.080.140.78X012P0.060.240.56X012P0.060.560.38X012P0.060.380.56ABCDA．A B．B C．C D．D【答案】D【詳解】X的取值范圍為，，故X的分布列為X012P0.060.380.56故選：D3．（2022·全國·高二課時練習）已知兩臺相互獨立工作的電腦產(chǎn)生故障的概率分別為，，則產(chǎn)生故障的電腦臺數(shù)的數(shù)學期望為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設產(chǎn)生故障的電腦臺數(shù)為，則的可能取值為，，，，所以分布列為012所以.故選：B.題型三：離散型隨機變量的均值與方差角度1：期望、方差的計算典型例題例題1．（2022·浙江金華第一中學高二階段練習）已知隨機變量滿足，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】，得，，得，故選：B例題2．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學高三階段練習（理））已知隨機變量的分布列為：則隨機變量的方差的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意可得，，則，當，有最大值為．故選：A．例題3．（2022·全國·高三專題練習）甲、乙兩種零件某次性能測評的分值，的分布如下，則性能更穩(wěn)定的零件是______．89100.30.20.589100.20.40.4【答案】乙【詳解】由題意知：，，所以，，因為，所以乙更穩(wěn)定．故答案為:乙．例題4．（2022·全國·高二課時練習）某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%．(1)求從中抽取1件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差；(2)若從中有放回地隨機抽取10件產(chǎn)品，計算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的標準差．（保留兩位小數(shù)）【答案】(1)0.0196(2)0.44（1）用Y表示抽得的正品數(shù)，則．Y服從兩點分布，且，，所以．（2）用X表示抽得的正品數(shù)，則X服從二項分布，所以正品數(shù)的方差，標準差為．例題5．（2022·全國·高二課時練習）某網(wǎng)約車司機統(tǒng)計了自己一天中出車一次的總路程（單位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它們出現(xiàn)的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，，．(1)求的分布列，并求的均值和方差；(2)若網(wǎng)約車計費細則如下：起步價為5元，行駛路程不超過3km時，收費5元，行駛路程超過3km時，則按每超出1km（不足1km也按1km計程）收費3元計費．試計算此人一天中出車一次收入的均值和方差．【答案】(1)分布列見解析，，；(2)均值為71元，方差為.（1）由題意，得．∴．∴X的分布列為X202224262830P0.10.20.30.10.10.2∴，．（2）設此人一天中出車一次的收入為Y元，則，∴，．故此人一天中出車一次收入的均值為71元，方差為95.4．同類題型歸類練1．（2022·廣西河池·高二期末（理））隨機變量的概率分別為，，其中是常數(shù)，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【詳解】，，，解得，，.故選：C.2．（多選）（2022·江蘇蘇州·高二期末）若隨機變量服從兩點分布，其中分別為隨機變量的均值和方差，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】對于選項A：隨機變量X服從兩點分布，因為故，故選項A正確；對于選項B：，故選項B錯誤；對于選項C：，故選項C正確；對于選項D：，故D正確.故選：ACD3．（2022·全國·高三階段練習（理））已知某小學生參加了暑期進行的游泳培訓，分別學習自由泳和蛙泳，經(jīng)過一周訓練后，她每次自由泳訓練及格的概率為，蛙泳及格的概率為．考核采用積分制，每次自由泳、蛙泳及格分別得1分、2分，不及格均得0分，每次游泳的結(jié)果相互獨立．若該小學生每天進行3次考核訓練，其中自由泳2次，蛙泳1次．(1)求“該小學生蛙泳不及格且恰好有1次自由泳及格”的概率；(2)若該小學生的總得分為X，求X的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【詳解】（1）記“該小學生蛙泳不及格且恰好有1次自由泳及格”為事件A，則（2）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，則，，，，，所以X的分布列為：X01234P所以X的數(shù)學期望．4．（2022·全國·高三專題練習）甲?乙兩名同學與同一臺智能機器人進行象棋比賽，計分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得分；如果甲和乙同時贏或同時輸，則甲得0分.設甲贏機器人的概率為0.6，乙贏機器人的概率為0.5.求：(1)在一輪比賽中，甲的得分的分布列；(2)在兩輪比賽中，甲的得分的分布列及期望.【答案】(1)分布列見解析(2)分布列見解析，（1）解：依題意可得的可能取值為，，，所以，，，所以的分布列為01（2）解：依題意可得的可能取值為，，，，，所以，，，，，所以的分布列為0120.040.20.370.30.09所以．5．（2022·陜西西安·高二期末（理））如圖，小明家住H小區(qū)，他每天早上騎自行車去學校C上學，從家到學校有，兩條路線，路線上有，，三個路口，每個路口遇到紅燈的概率均為；路線上有，兩個路口，且，路口遇到紅燈的概率分別為，.(1)若走路線，求遇到3次紅燈的概率；(2)若走路線，變量X表示遇到紅燈次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望：（1）設“走路線遇到3次紅燈”為事件A，則.（2）依題意，X的可能取值為.則,；.隨機變量X的分布列為：X012P.角度2：決策問題典型例題例題1．（2022·陜西西安·高二期末（理））某理財公司有兩種理財產(chǎn)品和，這兩種理財產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨立）產(chǎn)品投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%概率產(chǎn)品（表中，）投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率甲要將家中閑置的10萬元人民幣進行投資，方案1：購買理財產(chǎn)品；方案2：購買理財產(chǎn)品．(1)如果按方案1進行投資，求一年后投資的平均收益；(2)如果按方案2進行投資，用表示一年后投資收益的期望值；(3)若以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù)，你認為選哪種方案較為理想？【答案】(1)1（萬元）(2)（萬元）(3)具體見解析(1)用表示一年后投資的收益（單位：萬元），所以隨機變量的分布列為：40-2則（萬元）(2)用表示一年后投資的收益（單位：萬元），所以隨機變量的分布列為：20-1則（萬元）又因為，所以所以（萬元）(3)以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù)若即時，選擇方案1若即時，選擇方案1、方案2中任意一個若即時，選擇方案2例題2．（2022·河南許昌·高二期末（理））已知某工廠的一種機器有兩個相同的易損配件，當兩個配件都正常工作時（兩個配件損壞與否互不影響），該機器才能正常運轉(zhuǎn).該工廠計劃購買一批易損配件，現(xiàn)有甲、乙兩個品牌的配件供選擇，甲、乙兩個品牌的配件可以搭配使用，甲品牌配件的價格為400元/個，乙品牌配件的價格為800元/個.現(xiàn)需決策如何購買易損配件，為此收集并整理了以往購買的甲、乙兩個品牌配件各100個的使用時間的數(shù)據(jù)，得到如下柱狀圖.分別以甲、乙兩種配件使用時間的頻率作為概率.(1)若從2個甲品牌配件和2個乙品牌配件中任選2個裝入機器，求該機器正常運轉(zhuǎn)時間不少于2個月的概率.(2)現(xiàn)有兩種購置方案：方案一，購置2個甲品牌配件；方案二，購置2個乙品牌配件.試從性價比（機器正常運轉(zhuǎn)的時間的數(shù)學期望與成本的比值）的角度考慮，哪一種方案更實惠?【答案】(1)(2)方案二更實惠（1）解：若裝入2個甲品牌的配件，則該機器正常運轉(zhuǎn)時間不少于2個月的概率為，若裝入2個乙品牌的配件，則該機器正常運轉(zhuǎn)時間不少于2個月的概率為，若裝入1個甲品牌和1個乙品牌的配件，則該機器正常運轉(zhuǎn)時間不少于2個月的概率為，故該機器正常運轉(zhuǎn)時間不少于2個月的概率為.（2）若采用方案一，設機器可正常運轉(zhuǎn)的時間為（單位：月），則的可能取值為1，2，且，所以的分布列為12，它與購置配件的成本之比為若采用方案二，設機器可正常運轉(zhuǎn)的時間為（單位：月），則的可能取值為3，4，且，所以的分布列為34，它與購置配件的成本之比為，因為，所以從性價比的角度考慮，方案二更實惠.同類題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習）某蔬菜種植基地將采摘的有機蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝，以每份10元的價格銷售到生鮮超市，超市以每份15元的價格賣給顧客，如果當天前8小時賣不完，則超市通過促銷以每份5元的價格賣給顧客（根據(jù)經(jīng)驗，當天能夠把剩余的有機蔬菜都低價處理完畢，且處理完畢后，當天不再進貨）．該生鮮超市統(tǒng)計了100天有機蔬菜在每天的前8小時內(nèi)的銷售量（單位：份），制成如下表格