2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

2．3拋物線2.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

圓錐曲線與方程

1．關(guān)于拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對(duì)照，很容易把握；但由于拋物線的離心率等于1，所以拋物線的焦點(diǎn)弦具有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛，例如：已知過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質(zhì)：2．直線與拋物線的位置關(guān)系直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得到一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0.當(dāng)a≠0時(shí)兩者位置關(guān)系的判定與橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可；但如果a＝0，則直線是拋物線的對(duì)稱軸或是和對(duì)稱軸平行的直線，此時(shí)，直線與拋物線相交，但只有一個(gè)公共點(diǎn)．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦，稱為拋物線的通徑．求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且通徑長(zhǎng)為8的拋物線的方程，并指出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．解析：由于焦點(diǎn)位置不確定，因而要分四種情況討論．①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上時(shí)，設(shè)方程為y2＝2px(p＞0)，由題意得2p＝8.∴y2＝8x，焦點(diǎn)為(2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－2.②當(dāng)焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)方程為y2＝－2px(p＞0)，由題意得2p＝8.∴y2＝－8x，焦點(diǎn)為(－2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝2.③當(dāng)焦點(diǎn)在y軸的正半軸上時(shí)，設(shè)方程為x2＝2py(p＞0)，由題意得2p＝8.∴x2＝8y，焦點(diǎn)為(0,2)，準(zhǔn)線方程為y＝－2.④當(dāng)焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)方程為x2＝－2py(p＞0)，由題意得2p＝8.∴x2＝－8y，焦點(diǎn)為(0，－2)，準(zhǔn)線方程為y＝2.變式遷移1．拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以y軸為對(duì)稱軸，過(guò)焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為16，則拋物線方程為______________．解析：∵過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸y軸垂直的弦長(zhǎng)等于p的2倍．∴所求拋物線方程為x2＝±16y.答案：x2＝±16y拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離是6，則拋物線方程為_____．解析：∵對(duì)稱軸是x軸，不妨設(shè)其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(x,0)，則∴x2＋10x＋9＝0，x1＝－1，x2＝－9.求出相應(yīng)的p1＝2，p2＝18，則相應(yīng)的拋物線方程為y2＝－4x和y2＝－36x.答案：y2＝－4x和y2＝－36x變式遷移2．拋物線y2＝2px(p>0)上，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則此拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為________．設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是(

)解析：拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線方程為x＝－2，點(diǎn)Q(－2,0)，設(shè)直線l的斜率為k，方程為y＝k(x＋2)，聯(lián)立,消去y得，k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0?Δ＝(4k2－8)2－16k4≥0?－64k2＋64≥0?－1≤k≤1.答案：C變式遷移3．如果過(guò)兩點(diǎn)A(a,0)和B(0，a)的直線與拋物線y＝x2－2x－3沒有交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．已知拋物線y2＝x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y＝k(x－1)＋1對(duì)稱，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．分析：利用盡可能少的字母，表示重要的點(diǎn)的坐標(biāo)，使關(guān)系簡(jiǎn)捷明了．解析：設(shè)拋物線上的點(diǎn)A(y，y1)，B(y，y2)關(guān)于直線l對(duì)稱．則點(diǎn)評(píng)：本題是拋物線中點(diǎn)的軸對(duì)稱問(wèn)題，其解決辦法與橢圓、雙曲線中的相應(yīng)問(wèn)題的解決辦法相同．變式遷移4．過(guò)點(diǎn)(－1，－6)的直線l與拋物線y2＝4x相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不重合)求直線l的斜率k的取值范圍．一輛卡車高3m，寬1.6m，要通過(guò)橫斷面為拋物線型的隧道，已知拱底AB寬恰好是拱高CD的4倍，若拱寬為am，求能使卡車通過(guò)的a的最小整數(shù)值．5．已知拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距水面2m，測(cè)得水面寬度為8m．當(dāng)水面上升1m后，水面寬度為______m.變式遷移基礎(chǔ)訓(xùn)練1．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使＋取