高考數(shù)學人教B版一輪復習訓練4-5正弦型函數(shù)y=Asin（ωxφ）及三角函數(shù)模型的簡單應用

核心考點·精準研析考點一函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及圖象變換

1.若函數(shù)f(x)=cosQUOTE,為了得到函數(shù)g(x)=sin2x的圖象,則只需將f(x)的圖象 ()A.向右平移QUOTE個單位長度B.向右平移QUOTE個單位長度C.向左平移QUOTE個單位長度D.向左平移QUOTE個單位長度2.若將函數(shù)y=2cosx(sinx+cosx)1的圖象向左平移φ個單位,得到的函數(shù)是偶函數(shù),則φ的最小正值是 導學號()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE3.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(x)的圖象向左平移QUOTE個單位所得的圖象與f(x)的圖象向右平移QUOTE個單位所得的圖象重合,則ω的最小值為________.

4.已知函數(shù)f(x)=4cosx·sinQUOTE+a的最大值為2. 導學號(1)求a的值及f(x)的最小正周期.(2)畫出f(x)在[0,π]上的圖象.【解析】1.選A.f(x)=cosQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE=sin2QUOTE,為了得到g(x)=sin2x的圖象,則只需將f(x)的圖象向右平移QUOTE個單位長度即可.2.選A.化簡函數(shù):y=2cosx(sinx+cosx)1=2sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=QUOTEsinQUOTE,向左平移φ個單位可得y=QUOTEsinQUOTE,因為y=QUOTEsinQUOTE是偶函數(shù),所以2φ+QUOTE=QUOTE+kπ,k∈Z,φ=QUOTE+QUOTE,k∈Z,由k=0可得φ的最小正值是QUOTE.3.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),把f(x)的圖象向左平移QUOTE個單位所得的圖象為y=sinQUOTE=sinQUOTE,把f(x)的圖象向右平移QUOTE個單位所得的圖象為y=sinQUOTE=sinQUOTE,根據題意可得y=sinQUOTE和y=sinQUOTE的圖象重合,故QUOTE+φ=2kπQUOTE+φ,k∈Z,求得ω=4k,k∈Z,故ω的最小值為4.答案:44.(1)f(x)=4cosxsinQUOTE+a=4cosx·QUOTE+a=QUOTEsin2x+2cos2x+a=QUOTEsin2x+cos2x+1+a=2sinQUOTE+1+a的最大值為2,所以a=1,最小正周期T=QUOTE=π.(2)由(1)知f(x)=2sinQUOTE,列表:x0π2x+QUOTEπ2πf(x)=2sinQUOTE120201畫圖如圖所示:1.由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象有兩條途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.2.y=Asin(ωx+φ)的圖象可用“五點法”作簡圖得到,可通過變量代換z=ωx+φ計算五點坐標.【秒殺絕招】排除法解T1,變形f(x)=sinQUOTE,觀察發(fā)現(xiàn)ω=2,所以不能平移QUOTE,排除B,D;代入A,C檢驗,可知選A.T4,可用伸縮法畫f(x)的圖象.考點二由圖象求解析式

【典例】1.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)QUOTE的部分圖象如圖所示,已知AQUOTE,BQUOTE,則f(x)圖象的對稱中心為 ()A.QUOTE(k∈Z) B.QUOTE(k∈Z)C.QUOTE(k∈Z) D.QUOTE(k∈Z)2.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為______. 導學號

【解題導思】序號聯(lián)想解題1看到A,B兩點的橫坐標,想到了求周期,從而求ω.由A,B兩點的位置想到了特殊點,從而求φ.2由圖象的最高點及最低點,想到了求A以及周期,從而確定ω,由特殊點的坐標想到了求φ.【解析】1.選C.T=2QUOTE=π=QUOTE,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).由五點作圖法知AQUOTE是第二個點,得2×QUOTE+φ=QUOTE+2kπ(k∈Z),所以φ=QUOTE+2kπ(k∈Z),又|φ|<QUOTE,所以φ=QUOTE,f(x)=sinQUOTE.由2xQUOTE=kπ(k∈Z),得x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).所以f(x)圖象的對稱中心為QUOTE(k∈Z).【一題多解】選C.由題圖知,A,B中點為QUOTE是一個對稱中心,QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE,所以全部對稱中心為QUOTE(k∈Z),等價于QUOTE(k∈Z).2.由題圖知A=QUOTE,QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE,所以T=π,ω=2,所以f(x)=QUOTEsin(2x+φ),又QUOTE對應五點法作圖中的第三個點,所以2×QUOTE+φ=π+2kπ(k∈Z),φ=QUOTE+2kπ(k∈Z),又|φ|<π,所以φ=QUOTE,所以f(x)=QUOTEsinQUOTE.答案:f(x)=QUOTEsinQUOTE【一題多解】由題圖知A=QUOTE,QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE,以QUOTE為第二個零點,QUOTE為最小值點,列方程組QUOTE解得QUOTE所以f(x)=QUOTEsinQUOTE.答案:f(x)=QUOTEsinQUOTE確定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步驟(1)求A,B,確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則A=QUOTE,B=QUOTE.(2)求ω,確定函數(shù)的周期T,則ω=QUOTE.(3)求φ,常用方法有:①代入法:把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入.②五點法:確定φ值時,往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口.具體如下:“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx+φ=0;“第二點”(即圖象的“峰點”)為ωx+φ=QUOTE;“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為ωx+φ=π;“第四點”(即圖象的“谷點”)為ωx+φ=QUOTE;“第五點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx+φ=2π.1.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)QUOTE的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是 ()A.f(x)=sinQUOTE B.f(x)=sinQUOTEC.f(x)=sinQUOTE D.f(x)=sinQUOTE【解析】選D.由圖象可知QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE,所以T=π,所以ω=QUOTE=2,所以排除A、C;把x=QUOTE代入檢驗知,選項D符合題意.2.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)QUOTE的圖象的一部分如圖所示,則f(x)圖象的對稱軸方程是________.

【解析】由圖象知A=2,又1=2sin(ω×0+φ),即sinφ=QUOTE,又|φ|<QUOTE,所以φ=QUOTE.又QUOTE×ω+QUOTE=2π,所以ω=2,所以f(x)=2sinQUOTE,令2x+QUOTE=QUOTE+kπ(k∈Z),得x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).所以f(x)=2sinQUOTE的對稱軸方程為x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).答案:x=QUOTE+QUOTE(k∈Z)考點三函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象與性質的綜合應用

命題精解讀考什么:(1)三角函數(shù)模型的應用,方程根(函數(shù)零點)問題,圖象與性質的綜合應用等;(2)考查直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng),以及數(shù)形結合的思想.怎么考:與三角函數(shù)圖象與性質,方程根,零點問題,實際問題結合考查求解析式,性質,參數(shù)等.新趨勢:以考查三角函數(shù)模型的應用為主.學霸好方法三角函數(shù)模型的應用策略(1)三角函數(shù)模型的應用體現(xiàn)在兩方面:一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題;二是把實際問題抽象轉化成數(shù)學問題,建立數(shù)學模型再利用三角函數(shù)的有關知識解決問題.(2)研究y=Asin(ωx+φ)的性質時可將ωx+φ視為一個整體,利用換元法和數(shù)形結合思想進行解題.三角函數(shù)模型的應用【典例】如圖,某大風車的半徑為2米,每12秒旋轉一周,它的最低點O離地面1米,點O在地面上的射影為A.風車圓周上一點M從最低點O開始,逆時針方向旋轉40秒后到達P點,則點P到地面的距離是________米. 導學號

【解析】以圓心O1為原點,以水平方向為x軸方向,以豎直方向為y軸方向建立平面直角坐標系,因為大風車的半徑為2米,圓上最低點O離地面1米,12秒旋轉一周,設∠OO1P=θ,運動t秒后與地面的距離為f(t),又周期T=12,所以θ=QUOTE·2π=QUOTEt,f(t)=3+2sinQUOTE=32cosQUOTEt(t≥0),當t=40時,f(t)=32cosQUOTE=4(米).答案:4方程根(函數(shù)零點)問題【典例】已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosωx+2QUOTEsin2ωxQUOTE(ω>0)的最小正周期為π. 導學號(1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間.(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移QUOTE個單位,再向上平移1個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10個零點,求b的最小值.【解析】(1)f(x)=2sinωxcosωx+QUOTE(2sin2ωx1)=sin2ωxQUOTEcos2ωx=2sinQUOTE.由最小正周期為π,得ω=1,所以f(x)=2sinQUOTE,由2kπQUOTE≤2xQUOTE≤2kπ+QUOTE(k∈Z),整理得kπQUOTE≤x≤kπ+QUOTE(k∈Z),所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是QUOTE(k∈Z).(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移QUOTE個單位,再向上平移1個單位,得到y(tǒng)=2sin2x+1的圖象;所以g(x)=2sin2x+1.令g(x)=0,得x=kπ+QUOTE或x=kπ+QUOTE(k∈Z),所以在[0,π]上恰好有兩個零點,若y=g(x)在[0,b]上有10個零點,則b不小于第10個零點的橫坐標即可.所以b的最小值為4π+QUOTE=QUOTE.方程的根與函數(shù)圖象的交點有何關系?提示:方程根的個數(shù)可轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).綜合應用問題【典例】(2019·全國卷Ⅲ)設函數(shù)f(x)=sinQUOTE(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且僅有5個零點,下述四個結論:導學號①f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點②f(x)在(0,2π)有且僅有2個極小值點③f(x)在QUOTE上單調遞增④ω的取值范圍是QUOTE.其中所有正確結論的編號是 ()A.①④B.②③C.①②③D.①③④【解析】選D.①若f(x)在[0,2π]上有5個零點,可畫出大致圖象,由圖1可知,f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點,所以①正確.②由圖1、圖2可知,f(x)在(0,2π)有且僅有2個或3個極小值點,故②錯誤.③函數(shù)f(x)=sinQUOTE的增區(qū)間為QUOTE+2kπ<ωx+QUOTE<QUOTE+2kπ(k∈Z),QUOTE<x<QUOTE.取k=0,當ω=QUOTE時,單調遞增區(qū)間為QUOTEπ<x<QUOTEπ;當ω=QUOTE時,單調遞增區(qū)間為QUOTEπ<x<QUOTEπ,綜上可得f(x)在QUOTE上單調遞增.故③正確.④當f(x)=sinQUOTE=0時,ωx+QUOTE=kπ(k∈Z),所以x=QUOTE,因為f(x)在[0,2π]上有5個零點.所以當k=5時,x=QUOTE≤2π,當k=6時,x=QUOTE>2π,解得QUOTE≤ω<QUOTE,故④正確.所以結論正確的編號有①③④.本題考查哪些知識?提示:三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質,制圖用圖能力,數(shù)形結合思想,數(shù)學運算的核心素養(yǎng).1.某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關系可近似地用函數(shù)y=a+AcosQUOTE(x=1,2,3,…,12)來表示,已知6月份的月平均氣溫最高為28℃,12月份的月平均氣溫最低為18℃,則10月份的平均氣溫為________℃.【解析】因為當x=6時,y=a+A=28;當x=12時,y=aA=18,所以a=23,A=5,所以y=f(x)=23+5cosQUOTE,所以當x=10時,f(10)=23+5cosQUOTE=235×QUOTE=20.5.答案:20.52.(2020·臨沂模擬)函數(shù)f(x)=sinQUOTE的圖象上相鄰的兩個最高點之間的距離為________.

【解析】由題意知,函數(shù)f(x)的圖象上相鄰的兩個最高點之間的距離為函數(shù)f(x)的一個最小正周期,函數(shù)f(x)的最小正周期為QUOTE=π.答案:π3.已知關于x的方程2sin2xQUOTEsin2x+m1=0在QUOTE上有兩個不同的實數(shù)根,則m的取值范圍是________.

【解析】方程2sin2xQUOTEsin2x+m1=0可轉化為m=12sin2x+QUOTEsin2x=cos2x+QUOTEsin2x=2sinQUOTE,x∈QUOTE.設2x+QUOTE=t,則t∈QUOTE,所以題目條件可轉化為QUOTE=sint,t∈QUOTE有兩個不同的實數(shù)根.所以y1=QUOTE和y2=sint,t∈QUOTE的圖象有兩個不同交點,如圖:由圖象知,QUOTE的取值范圍是QUOTE,所以m的取值范圍是(2,1).答案:(2,1)1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象如圖所示,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)的值等于()A.QUOTE B.2+2QUOTEC.QUOTE+2 D.QUOTE2【解析】選A.由圖象知A=2,φ=0,T=8,所以QUOTE=8,即