2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國版文） 第6章 數(shù)列求和的幾種常用方法

【考試要求)1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前〃項和公式2掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和

的幾種常見方法.

佚口識梳理】

數(shù)列求和的幾種常用方法

1.公式法

直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前〃項和公式求和.

(1)等差數(shù)列的前〃項和公式：

?"(ai+斯),?(/?~1),

Sn—2一1十d.

(2)等比數(shù)列的前〃項和公式：

nci\,q=1,

Sn-yai-Onq4|(]一g")一

"；，qWL

[\—q1-qr

2.分組求和法與并項求和法

⑴若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成則求和時可用分組求和

法，分別求和后相加減.

(2)形如斯=(-1產(chǎn)式〃)類型，常采用兩項合并求解.

3.錯位相減法

如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列

的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的.

4.裂項相消法

(1)把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.

(2)常見的裂項技巧

C1_1?

1"(〃+l)n；?+r

②M+2)

③(2n-1；(2"+1)=欠2"_\~2n+\

④石心

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)若數(shù)列｛〃“｝為等比數(shù)列，且公比不等于1,則其前〃項和S,尸以苦2(V)

⑵當(dāng)心2時，號丁虻［-備)(V)

(3)求S“=a+2/+343+…+〃"，時，只要把上式等號兩邊同時乘a即可根據(jù)錯位相減法求

得.(X)

(4)求數(shù)列伍+2〃+3)的前〃項和可用分組轉(zhuǎn)化法求和.(V)

【教材改編題】

1.數(shù)列｛斯｝的通項公式是斯=(一1)"(2〃-1),則該數(shù)列的前100項之和為()

A.-200B.-100

C.200D.100

答案D

解析5ioo=(-l+3)+(-5+7)+-+(-197+199)=2X50=100.

2.等差數(shù)列｛%｝中，已知公差且ai+a3H----^“99=50,則s+a4H---Haioo等于()

A.50B.75

C.100D.125

答案B

解析“2+44+…+。100

=(。]+60+(。3+4+…+(。99+①

=(〃]+的+…+〃99)+50d

=50+25=75.

12022

3.在數(shù)列｛?。?，M=(上…若｛④｝的前〃項和為77而，則項數(shù)〃=.

*71/7I1)乙

答案2022

解析a=~~?\=~-11,

nn((n+1)n〃+1

:?Sn=1—z+z-----1＞一]

223nn+1

_n_2022

=干=2023,

工〃=2022.

題型一分組求和與并項求和

例1(2022?西安質(zhì)檢)已知各項都不相等的等差數(shù)列｛&｝,疑=6,又卬，〃2,〃4成等比數(shù)歹U.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

⑵設(shè)bn=2許+(—1)〃?！?，求數(shù)列｛乩｝的前2n項和T?〃.

解(1)??"斯｝為各項都不相等的等差數(shù)列，

%=6,且0,。2,〃4成等比數(shù)列.

〃6=。1+5d=6,

(ai+J)2=〃i(m+3d),

-0,

解得0=1,d=l,

，數(shù)列｛”“｝的通項公式an=l+(n-1)Xl=n.

(2)由(1)知，仇=2"+(—1)，，記數(shù)列｛兒｝的前2〃項和為一“，

則72?=(2'+22H---F22n)+(-1+2-3+4---42〃).

記A=21+22+…+22",

8=-1+2—3+4---+2n,

2(1—22")

則4==22"+I_2,

1I—20.，

B=(-l+2)+(-3+4)+-+[-(2n-l)+2n]=n.

故數(shù)列｛兒｝的前2〃項和

4“=A+B=22"+I+〃-2.

延伸探究在本例⑵中，如何求數(shù)列｛d｝的前"項和7；,?

解由本例(2)知為=2"+(—1)"〃.

當(dāng)〃為偶數(shù)時，

7],=(2'+22H---卜2")+[—1+2—3+4-----(n-l)+n]

2—2仆1,n

-1-2+2

=2n+l+^-2；

當(dāng)〃為奇數(shù)時，

7:,=(2'+22H---F2n)+[-l+2-3+4-----("-2)+(〃-1)一〃]

2"」尹2,〃為偶數(shù),

所以T"=<

[2"”為奇數(shù)?

（教師備選3

（2020?新高考全國I）已知公比大于1的等比數(shù)列｛〃“｝滿足。2+。4=20,4/3=8.

（1）求｛斯｝的通項公式；

⑵記仇，為｛斯｝在區(qū)間（0,MWWN*）中的項的個數(shù),求數(shù)列｛狐｝的前100項和Sioo.

解（1）由于數(shù)列｛"”｝是公比大于1的等比數(shù)列，設(shè)首項為的，公比為°,

a\q+atqi=20,

依題意有

a\q2=S,

=32,

解得1（舍）或

所以｛斯｝的通項公式為%=2",〃GN*.

(2)由于個=2,22=4,23=8,24=16,25=32,

26=64,27=128,

所以也對應(yīng)的區(qū)間為（0,1],則加=0;

b2,也對應(yīng)的區(qū)間分別為（0,2）,（0,3],

則b2—b3—l,即有2個1；

&4,b”be,小對應(yīng)的區(qū)間分別為

(0,4J,(0,5J,(0,6J,(0,7J,

則b4—bi—bh—bj—Z,即有22個2；

bi,仇，…，加對應(yīng)的區(qū)間分別為（0,8],（0,9],…，（0,15],則加=仇=…=m=3,

即有23個3；

加6,如,…，加1對應(yīng)的區(qū)間分別為（0,16],（0,17],（0,31],

則加6=加7=，“=加1=4,即有24個4；

仇2,加3,…,原對應(yīng)的區(qū)間分別為（0,32],（0,33],…,（0,63],

則加2=%3=*"=瓦3=5,即有2$個5；

bM,665,…，"oo對應(yīng)的區(qū)間分別為（0,64],（0,65],…，（0,100],

則bM=b（＞5—---bm=6,即有37個6.

所以SIOO=1X2+2X22+3X23+4X24+5X25+6X37=48O.

思維升華（1）若數(shù)列｛金｝的通項公式為cn=an+b?,且｛斯｝,｛兒｝為等差或等比數(shù)列，可采用

分組求和法求數(shù)列｛c”｝的前〃項和.

\an,〃為奇數(shù)，

（2）若數(shù)列｛&｝的通項公式為c“=,上,皿口其中數(shù)列｛兒｝是等比數(shù)列或等差數(shù)列,

[bn,"為偶數(shù)，

可采用分組求和法求｛c“｝的前n項和.

跟蹤訓(xùn)練1（2022?重慶質(zhì)檢）已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”的=9,N=25.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項公式及S”；

⑵設(shè)瓦=（一1）科,求數(shù)列｛兒｝的前n項和Tn.

解（1）設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d,

由S5=5G=25得〃3=ai+2d=5,

又45=9=0+4”,

所以d=2,0=1,

“(1+2〃-1)_7

所以a”=2〃-1,S———療.

n2

⑵結(jié)合⑴知兒=（一1）”層,

當(dāng)〃為偶數(shù)時,

￡=(bi+岳)+(仇+兒)+(岳+瓦)T---卜Si+BQ

=(-l2+22)+(-32+42)+(-52+62)H---l-[-(n-l)2+n2]

=(2—1)(2+1)+(4—3)(4+3)+(6-5)(6+5)T---F[n—(n—l)][n+(n—1)]

n(n+1)

=1+2+3+,,,+n=—2—?

當(dāng)〃為奇數(shù)時，〃一1為偶數(shù),

〃=7；i+(T)〃療

(/?-1>_2

-2n

〃(72+1)

=―_2_*

綜上可知，Tn=--------2---------

題型二錯位相減法求和

例2(12分)(2021?全國乙卷)設(shè)｛斯｝是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列｛兒｝滿足等.已知

。1,3。2,9的成等差數(shù)列.

(1)求｛斯｝和｛為｝的通項公式；[切入點(diǎn)：設(shè)基本量q]

(2)記S”和7；分別為｛〃“｝和⑹的前〃項和.證明：7；居[關(guān)鍵點(diǎn)：打

工教師備選，

(2020?全國1)設(shè)｛%｝是公比不為1的等比數(shù)列，S為政，43的等差中項.

⑴求｛“"｝的公比；

(2)若〃1=1,求數(shù)列｛〃m｝的前〃項和.

解(1)設(shè)｛斯｝的公比為三

為。2,〃3的等差中項，

??2〃]=。2+〃3=。19+〃1夕2,4]W0,

^2+^—2=0,

:?q=-2.

(2)設(shè)｛/?“〃｝的前n項和為S〃,

“1=1,a”=(—2)n1,

S?=lXl+2X(-2)+3X(-2)2H----(一2)"-i,①

-2S.=lX(-2)+2X(—2)2+3X(-2)3+…+(〃-|).(-2)E+”(—2)",②

1—(—2)"

①一②得，3S?=l+(-2)+(-2)2+-+(-2),,-l-n(-2)H=-rZ7-7T-?(-2)n

I一(1+3”)(一2)"

=3，

1-(1+3〃)(-2)"

??Sn9,.

思維升華(1)如果數(shù)列｛?！埃堑炔顢?shù)列，｛仇｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛斯也,｝的前"項和時，常

采用錯位相減法.

(2)錯位相減法求和時，應(yīng)注意：

①在寫出“S,”與“qSj的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地

寫出的表達(dá)式.

②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1,如果q=l,應(yīng)用公式

9

跟蹤訓(xùn)練2(2021■浙江)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”，4=一丁且4s“+i=3S“一9("GN").

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛兒｝滿足3兒+(”-4)a“=0(”eN*),記｛九｝的前n項和為T”.若7；W勸“，對任意“6N*

恒成立，求實(shí)數(shù)7的取值范圍.

解⑴因為4S"+i=3S「9,

所以當(dāng)時，4s,=3S,T—9,

兩式相減可得4??+1=3??,即等=*

當(dāng)〃=1時，4s2=4(—日+〃2)=一平一9,

解得。2=一磊，

所以.所以數(shù)列｛斯｝是首項為一點(diǎn)公比為總的等比數(shù)列，

93“+

所以斯=一^義

(2)因為3"+(〃-4)如=0,

所以b”=(〃-4)X

3(I)2-1x(D3+0X@)4+-+(n-4)x

所以〃=-3義1一2義3、①

3

-5+…+(〃-5)XG>+(〃-4)X

4②

①一②得1〃=—3X^+O+g>+…+g>_(〃_4)X?

(n-4)X

=~?X(4/1'

所以7],=-4nxg｝+1.

因為T?^bn對任意〃WN*恒成立，

所以一4"*0計1?久(“一4)x0"]恒成立，即一3"W2("-4)恒成立,

一3〃12

當(dāng)〃<4時，丸式一^7=—3——;，此時2W1；

〃一4〃一4

當(dāng)〃=4時，-12W0恒成立，

—3/112

當(dāng)〃>4時，％>一;=一3——7，此時2?一3.

?—4?—4

所以一3W4W1.

題型三裂項相消法求和

例3（2022?晉中模擬）設(shè)｛斯｝是各項都為正數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列，已知0=4,且如滿足關(guān)系式:

〃〃+1+?！?4+2y/a“+ia〃,〃eN二

（1）求數(shù)列｛??｝的通項公式；

⑵若仇=」27，求數(shù)列｛仇｝的前n項和S?.

Cln1

解（1）因為?！?+〃￡N*,

所以斯+1+斯—24%+1〃〃=4,

即（用研1—的產(chǎn)=4,

又｛為｝是各項為正數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列，

所以、斯+1—4^=2,

又=2,

所以｛礪｝是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,

所以，^j=2+2（〃-1）=2〃，所以a〃=4〃2.

（2洶=%-1=4/-1=（2〃-1）（2九+1）

寸-2〃+J=肅!.

（教師備選1

設(shè)數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾“,且2*=3%一1.

⑴求｛%｝的通項公式；

3"33

⑵若d=（”“+］）（“,小+］）,求伯"｝的前〃項和北，證明：［W7；q.

(1)解因為2S”=3a”-1,

所以2S]=2〃]=3。]—1,

即0=1.

當(dāng)〃22時，2sl=3為7—1,

則2Sn—2S〃T=2斯=3?！ㄒ?斯一i,

整理得巫=3,

an-i

則數(shù)列｛斯｝是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列,故斯=1X3〃—1=3"?

3〃

(2)證明由(1)得Q=0〃-1+])(3〃+])

3

-X

2夕+

所以折=|義_(3°+[-31+1)+(31+]—32+1)+

G2+l-33+l)+…+Q"-+-3〃+1)]，

3

即r即下3褥<1―3〃1+1尸、L3FT2T

3

所以Tn<-,

又因為7；為遞增數(shù)列，

333

-=-

48-8

-33

所以

思維升華利用裂項相消法求和的注意事項

(1)》氐消后不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項.

(2)將通項裂項后，有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，如：若｛”“｝是等差數(shù)列，則」一

。，以〃+1

跟蹤訓(xùn)練3(2022?河北衡水中學(xué)模擬)已知數(shù)列｛斯｝滿足0=4,且當(dāng)幾22時，(〃-1)斯=〃(斯―]

+2〃-2).

(1)求證：數(shù)列榭是等差數(shù)列；

]1

(2)記b,產(chǎn)-求數(shù)列｛久｝的前n項和S,,.

(1)證明當(dāng)〃22時，

(n—l)an=n(an-i+2n—2),

將上式兩邊都除以〃(〃一I),

,a斯-|+2〃-2

/rBX.---n---------------------------

日口&4“一]C

即"一〃-1一2，

所以數(shù)列｛"是以早=4為首項，2為公差的等差數(shù)列.

⑵解由⑴得才=4+2("-1)=2〃+2,

即〃"=2〃(〃+1),

6frP；,2n+lll-￡1

所以b一a2=好2(〃+］丹

所以一封+售一/)-!----F

一1層+2〃

4(H+1)2J=4(H+1)2,

課時精練

1.已知在等差數(shù)列｛斯｝中，S“為其前”項和，且。3=5,57=49.

(1)求數(shù)列｛?。耐椆?；

⑵若乩=2%+國,數(shù)列｛兒｝的前"項和為北,且北》1000,求〃的取值范圍.

解(1)由等差數(shù)列性質(zhì)知，$7=744=49,

則“4=7,

故公差d="4—a3=7—5=2,

故斯=“3+(〃—3)J=2n—1.

⑵由⑴知b,.=22^'+2n-\,

7],=2'+1+23+3H----F22”r+2〃-1

=21+23H---I-22,,~I+(1+3H----l-2n-l)

2'-22,|+|,n(l+2n~l)

1-4+2

22"+',,2

=丁+『-

易知7；單調(diào)遞增，

且丹=707<1000,7^=2766>1000,

故乙》1000,解得〃》6,"GN".

2.(2020?全國1H改編)設(shè)數(shù)列｛斯｝滿足“1=3,%+|=3斯一4".

(1)計算“2,a-s，猜想｛斯｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛2"斯｝的前n項和S?.

解(1)由題意可得“2=30—4=9—4=5,

。3=3。2—8=15—8=7,

由數(shù)列｛斯｝的前三項可猜想數(shù)列｛%｝是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，即斯=2〃+1.

(2)由⑴可知,a?-2n=(2n+l)-2n,

5?=3X2+5X22+7X23+-+(2n-l)-2,,-|+(2n+l)-2n,①

2S?=3X22+5X23+7X24H-----l-(2n-l)-2n+(2n+l)-2n+1,②

由①一②得，一*=6+2X(22+23+…+2")—(2〃+1)2田

,22X(l-2n-'),

=6+2X-----777T_L-⑵?+1>2"'?

=(l-2n)-2n+1-2,

即5?=(2n-l)-2,,+1+2.

3.(2022?合肥模擬)已知數(shù)列｛〃”｝滿足：0=2,a?u=a,,+2n.

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)若b,=log2a,"T“=夫+康+…+合’求T”.

解(1)由已知得斯+]—小=2",

當(dāng)時，斯=〃]+(〃2—。1)+(。3—〃2)+…+(〃〃一〃“-1)

=2+2+2?+…+2〃)

,2(1—2。

=2+-2=*?

又。1=2,也滿足上式，故斯=2".

(2)由(1)可知，兒=log2〃,,=〃，

11』1

bnbn+1n(n+1)n〃+l'

故7=一一

n+1n+T玖inn+V

4.(2022?濟(jì)寧模擬)已知數(shù)列｛a”｝是正項等比數(shù)列，滿足“3是2a1,3.2的等差中項，3=16.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

⑵若b=(一l)"log2a2/1，求數(shù)列｛兒｝的前n項和T,,.

解(1)設(shè)等比數(shù)列他”｝的公比為“，

因為“3是26,3a2的等差中項，

所以2a3=2a1+3a2,即2〃iq~=2ai+3aq,

因為ai#0,所以2/-3q—2=0,

解得4=2或q=-2>

因為數(shù)列｛〃”｝是正項等比數(shù)列，所以q=2.

所以a”=a#/'4=2".

(2)方法一(分奇偶、并項求和)

由(1)可知，”2"+1=22"+1,

所以瓦=(—l)"Jog2a2"+1

,2,,+1

=(-l)'-log22=(-l)"-(2n+1),

①若〃為偶數(shù)，

7],=-3+5-7+9-----(2n-l)+(2n+l)

=(-3+5)+(—7+9)H----l-[-(2n-l)+(2n+l)]=2X^=n；

②若"為奇數(shù)，當(dāng)〃，3時，

Tn=Tn-i+hn=n—1—(2n+1)=—n—2,

當(dāng)n=\時，力=一3適合上式，

\n,〃為偶數(shù)，

綜上得7]產(chǎn)

[一〃一2,〃為奇數(shù)

(或〃=5+l)(—1)〃一1,〃VN*).

方法二(錯位相減法)

由(1)可知，472n+l=2',,+1,

所以6"=(一l)%10g2a2"+1

B2n+1

=(-l)log22

=(一1產(chǎn)(2〃+1),

7；=(-l)'X3+(-l)2X5+(-l)3X7H---F(-l)"-(2n+1),

所以一7；=(-l)2X3+(-l)3X5+(-l)4X7H---F(-iyE(2〃+l),

23nn+,

所以2Tn=-3+2[(-1)+(-1)H---F(-l)