2024屆廣州市高三年級數(shù)學(xué)調(diào)研測試試題【含答案】

秘密★啟用前試卷類型：B

2024屆廣州市高三年級調(diào)研測試

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。

用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂考生號。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的

答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能

答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答

案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z+彳=2,z-z=-4i,則|z|=

A.1B.2C.75D.275

2.已知集合/={x|y=ln(l-2x)},N={“y=e*},則=

A-[°，]B.C.D.0

3.已知向量a=(—2,4),〃=若。與8共線，則向量a+〃在向量j=(0,D上的投影

向量為

A.jB.—jC.2jD.-2j

4.已知函數(shù)/(x)=a+—-—(abwO)是奇函數(shù)，則

3X-1

A.2a+b=0B.2a-b=0C.a+b=0D.a-b=0

5.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》

中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球,

第三層有6個球，…….記各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列{4},且{。用一《}為

等差數(shù)列，則數(shù)列＜■的前100項和為

9910099200

A.-----B.----C.—D.

10010150而

數(shù)學(xué)試卷第1頁(共5頁)

6,直線/:y=區(qū)—2與圓6%一7=0交于48兩點，貝!1|/8]的取值范圍為

A.[4,4]B.[277,8]C.[6,4]D.12百同

兀13

7.已知0</?<a<5，cos(cr+/?)=—,sin(a-/?)=,,則tanatan，的值為

135c

A.—B.—C.—D.2

253

1a

8.若函數(shù)/(x)=§x3—℃92+x+l在區(qū)間(0,2)上存在極小值點，則。的取值范圍為

A.園B.1,"C.?口.(1,+⑹

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.某市實行居民階梯電價收費政策后有效促進了節(jié)能減排.現(xiàn)從某小區(qū)隨機調(diào)查了200戶

家庭十月份的用電量（單位：kW-h）,將數(shù)據(jù)進行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），

畫出如圖所示的頻率分布直方圖，則

A.圖中a的值為0.015

B.樣本的第25百分位數(shù)約為217

C.樣本平均數(shù)約為198.4

D.在被調(diào)查的用戶中，用電量落在

[170,230）內(nèi)的戶數(shù)為108

10.已知雙曲線￡：=—匕=15>0）的左、右焦點分別為片，用，過點用的直線/與雙曲

a2

線￡的右支相交于尸，。兩點，則

A.若E的兩條漸近線相互垂直，則a=J5

B.若E的離心率為百，則E的實軸長為1

C.若/耳隼=90。，則|尸大用尸鳥|=4

D.當(dāng)a變化時，△片尸。周長的最小值為8血

數(shù)學(xué)試卷第2頁（共5頁）

11.已知點是函數(shù)/（x）=sin[m+：）+b（0〉0）的圖象的一個對稱中心，則

B.(O---1—k,kGN

33

C.若/（x）在區(qū)間上有且僅有2條對稱軸，則。2

D.若/（x）在區(qū)間[w，-上單調(diào)遞減，則。=2或。=§

12.如圖，在棱長為2的正方體48CQ-4用。12中，已知MN,尸分別是棱G2,幺4,

8c的中點，。為平面PW上的動點，且直線?；嘏c直線QB1的夾角為30°,則

A.D5I_L平面尸AW

B.平面尸AW截正方體所得的截面面積為38

C.點0的軌跡長度為兀

D.能放入由平面尸4W分割該正方體所成的兩個空間幾何

體內(nèi)部（厚度忽略不計）的球的半徑的最大值為三3

2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知拋物線。：「=2?武夕〉0）的焦點為/，點加在。上，軸，若

（。為坐標(biāo)原點）的面積為2,則夕=.

14.（2x?+x—＞）5的展開式中//的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

15.已知三棱錐尸—4BC的四個頂點均在同一球面上，尸C_L平面4BC,PC=BC=4h,

AB=2屈,且PZ與平面ABC所成角的正弦值為如，則該球的表面積為___________.

6

16.已知函數(shù)/（%）=/*—2a（x—2）e“—//（a〉。）恰有兩個零點，則。=.

數(shù)學(xué)試卷第3頁（共5頁）

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且S”=2%-1.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

log,%,〃為奇數(shù)，,.

（2）若數(shù)列也｝滿足“=<J〃為偶數(shù)，求數(shù)列也｝的前方項和利

18.(12分)

如圖，在四棱錐尸一N8CD中，CD//AB,ZABC=90°,AB=2BC=2CD=4,

三棱錐B-PAD的體積為生2.

3

（1）求點P到平面48CD的距離;

⑵若P4=PD,平面產(chǎn)/。,平面/BCD,點N在線段4P上，AN=2NP,

求平面NCD與平面ABCD夾角的余弦值.

19.(12分)

記△4SC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a/,c,

兀

已知力sin5+csinC—asin/=26sin5sinC且Cw-.

2

7T

(1)求證：B=4+—；

2

(2)求cos/+sinB+sinC的取值范圍.

數(shù)學(xué)試卷第4頁（共5頁）

20.(12分)

已知函數(shù)/(x)=(x+2)ln(x+l)-ax.

(1)當(dāng)4=0時，求曲線y=/(x)在點(0,7(0))處的切線方程；

(2)當(dāng)-l<x<0時，/(%)<0,求a的取值范圍.

21.(12分)

杭州亞運會的三個吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京

杭大運河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅強剛毅的拼搏精神，海納百川的時代精神和精致

和諧的人文精神.甲同學(xué)可采用如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個

盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個，只有打開

才會知道買到吉祥物的款式，買到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個

30元.

(1)甲若以方式一購買吉祥物，每次購買一個盲盒并打開.當(dāng)甲買到的吉祥物首次出現(xiàn)相

同款式時，用X表示甲購買的次數(shù)，求X的分布列；

(2)為了集齊三款吉祥物，甲計劃先一次性購買盲盒，且數(shù)量不超過3個，若未集齊再直

接購買吉祥物，以所需費用的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)一次性購買多少個盲盒？

22.(12分)

在平面直角坐標(biāo)系X0中，點少(_若,0),點尸(x/)是平面內(nèi)的動點.若以F戶為直徑的

圓與圓=4內(nèi)切，記點尸的軌跡為曲線E.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)點N(jO)(l#2),直線分別與曲線E交于點

(8,7異于/),AHLST,垂足為X,求|?！▅的最小值.

數(shù)學(xué)試卷第5頁(共5頁)

2024屆廣州市高三年級調(diào)研測試

數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準

評分說明：

1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主

要考查內(nèi)容比照評分參考制訂相應(yīng)的評分細則.

2.對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容

和難度,可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半;

如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.

3.解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù).

4.只給整數(shù)分數(shù).選擇題不給中間分.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

題號12345678

答案CACBDDBA

二、選擇題：本題共4小題，病一小題5分，三生20分.

題號9101112

答案ACACDBCABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

題號13141516

e2

答案2^/212036兀

~2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算驟.

17.解：⑴因為S“=2a〃—1,①

當(dāng)〃=1時，百=2%-1=%,則q=1..........................1分

當(dāng)時，S“_]=2a,i—1,②..........................2分

①一②得an=2an-2an_j,即a,=2j(〃22),..............3分

所以｛《｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列....................4分

所以a“=2"L..................................................5分

,f/7-l〃為奇數(shù)

(2)因為Iog2%=log22"-="-1,所以"='”—〃為偶數(shù)]............7分

所以&=4+仿+仇+…+打〃

=(4+4+…+^2H-1)+(4+4+…+4")

=(4+4+…+仇"-1)+32+2+…+/”)

=[0+2+---+(2?-2)]+(21+23+---+22"-1)

........................7分

(0+2〃-2)“?2(1-4')9分

21-4

o"+^2.........................................I。分

3

數(shù)學(xué)試卷第1頁（共8頁）

18.解：⑴設(shè)點P到平面的距離為五，

則七"40=/TBO.................................1分

由題可知SAABD=^AB-BC=4,.................................2分

所以九二3/TBO=晅=6，.................................3分

S^ABD4

故尸到平面N3C。的距離為J5..................................................4分

（2）取40的中點/,連接產(chǎn)初，因為P/=P￡>,所以PM，40,

又平面「40,平面48CD,平面P4C>n平面48CD=4D,Wu平面「40,

PMLAD,所以平面48CD.....................................5分

由（1）知尸w=VL.......................................................................................6分

由題意可得BD=141，AD=7（4-2）2+322=272，^

所以=/B2,故ZZ）J_8Z）.

法一（坐標(biāo)法）：以。點為坐標(biāo)原點，￡%為X軸，QB為>軸，過。點作W的平行線

為Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則/（272,0,0）,P（V2,0,V2）,C（-V2,V2,0）....................................7分

--1—I——.I-/——■2—■(2"\/22^/2

依題意QC=(—^P=(-V2,0,V2),AN=-AP=---,0,—

—?—.—.(4A/2242}

所以Z)N=Z)/+/N=-2―,0,—,

、33,

設(shè)平面NCD的法向量為〃]=(X],%,zJ,

\ni.DC=0,'—小戶岳產(chǎn)0，

則1n即J逝2^/2八

%-DN=0.------%.H--------z,=0.

I313'

令玉=1,得〃]=(1,1,-2).....................10分

又平面48CD的法向量為〃2=（0,0,1）

設(shè)平面NCD與平面ABCD的夾角為6,則

COS0=|cos<〃1，〃2>1=“1"2

同,網(wǎng)

即平面NCD與平面4BCD的夾角的余弦值為逅............................12分

3

法二（幾何法）：在線段AM上取點H，使得AH=2HM,連接NH,過點H作HK_LCD,

垂足為K,連接NK.................................7分

因為AN=2NP,所以NH〃PM,NH/PM=3^，................................8分

33

21272

AH=-AM=-AD=—^.

333

因為PM,平面48CD,所以N",平面48CD,

所以NHLCD,

又HKLCD,且.HKCNH=H,

數(shù)學(xué)試卷第2頁（共8頁）

所以平面................9分

所以CDLNK,

所以/NKH是二面角N-CD-A的平面角.................10分

在Rt△HDK中,易知勺但，ZKDH=45°,

3

4

所以K〃=O"-sin45°=-

3

4

HKV6

日內(nèi)、jcos/NKH----

所以NK-T,

3

故平面NC￡（與平面4BCD的夾角的余弦值為如.

................12分

3

19(1)證明：因為bsinB+csinC—asinZ=2bsinBsinC,

由正弦定理得〃+02一/=2Asin8，....................1分

又因為cosZJ+c——..........2分

2bc

所以2bccosA=2bcsinB,即cos/二sin5...........3分

又cosA=sin］'一4j'所以一4］=sin5.

又4Be(0,7i),

所以z=8或幺)+8=兀...............4分

JT7T

又所以5='+4.....................5分

22

jr(7TI71

(2)解：由(1)知5=—+Z,C=H-A-B=TI-A-\-+A\=--2A......6分

2<2J2

由4,B,CG(0,71),解得/后［。,：).........................7分

所以cos/+sin5+sinC=cosA+sin^+/1+sin^-241

=cosA+cosA+cos2A....................8分

=2cos4+2cos2A-l......................9分

13

27

=2(COS^+2)-2，

又/￡(0,；］,所以COS/￡g,l，......................10分

I4)I2J

所以cos4+sinB+sinC的取值范圍為(血,3)........................12分

(別解：因為cos/+sin5+sinC=2cosA+cos2A在［o,上單調(diào)遞減，

所以后<2cos/+cos24<3，所以cos4+sin5+sinC的取值范圍為(、歷,3).)

數(shù)學(xué)試卷第3頁（共8頁）

20.解(1)當(dāng)。=0時,/(x)=(x+2)ln(x+l),/(0)=0,................................1分

r(x)=ln(x+l)+1i1,/(0)=2,.................................3分

所以曲線V=/(x)在(0,/(0))處的切線方程為y=2x..................................4分

⑵法一：r(x)=ln(x+l)+|^|-a,尸(0)=2一%

]]X

記°(x)=/'(x),則夕..........5分

11X

(備注：從邏輯推理的角度寫成：/"(X)=二1一正7了=正可<0不扣分)

所以廣(X)在區(qū)間(-1,0)單調(diào)遞減............6分

(i)當(dāng)aW2時，f'(x)>/,(0)=2-a>0,xe(-l,O),

所以/(x)在(TO)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xe(-l,O)時，/(x)</(0)=0,符合題意;

.....................8分

(ii)當(dāng)a>2時，/,(0)=2-a<0,尸(一1+-。)=-a+1+e"-a>0,

所以存在x°e(-l+e-",O),使得/(%)=0.........................10分

從而在(-l,x0)上單調(diào)遞增，在(xo,O)上單調(diào)遞減，

故當(dāng)xe(x0,O),/(x)>/(0)=0,矛盾，舍去..............11分

綜上，。的取值范圍為(-叱2].......................12分

法二：當(dāng)一l<x<0時，/(x)<0,即ln(x+l)-2<0對Vxe(—1,0)恒成立.

2a

設(shè)g(x)=ln(x+l)-二^ln(x+l)+XG(-1,O).

x+2

12a=(x+2)2—2a(x+l)=x2+(4—2a)(x+i)相㈠⑼

x+1(X+2)2(X+1)(X+2)2(X+1)(X+2)2

.........................................6分

記q(x)=x2+(4-2a)(x+1)，

當(dāng)aW2時，q{x}>0,xe(-l,O),......................7分

所以g'(x)>0,所以g(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以g(x)<g(O)=O,xe(-1,0),符合題意；...........8分

當(dāng)a>2時，q(x)開口向上，對稱軸x=—2+a〉0,q(—l)〉0,q(0)<0,

所以存在唯一x()e(-l,O),使得q(x())=O,......................9分

當(dāng)xe(-l,x0)時，q(x)>0,g'(x)〉0；當(dāng)xe(xo,O)時，q(x)<0,從而g'(x)<0

從而g(x)在區(qū)間(-1,%)遞增，在區(qū)間(x0,0)遞減，

故當(dāng)xe6,。)，g(x)>g(O)=O,矛盾，舍去...........11分

綜上，。的取值范圍為(-叫2].......................12分

21.解：(1)由題意可知X所有可能取值為2,3,4,................................................1分

31不「14J3?

P(X=2)=-=-,尸(x=3)=竽、,尸(X=4)=奈=；.

................................................4分

11124

(其他解法：尸(X=2)=GX(§)2=§,尸(X=3)=C：C；X(§)2X§=§,

數(shù)學(xué)試卷第4頁(共8頁)

p(X=4)=l-P(X=2)-P(X=3)=|.)

(2)設(shè)甲一次性購買x個吉祥物盲盒，集齊三款吉祥物需要的總費用為Z.

依題意，x可取0,1,2,3.

方案1：不購買盲盒時，則需要直接購買三款吉祥物，總費用Z]=3x30=90元.

方案2：購買1個盲盒時，則需要直接購買另外兩款吉祥物，

總費用Z2=19+2x30=79元.....................6分

方案3：購買2個盲盒時，

當(dāng)2個盲盒打開后款式不同，則只需要直接購買剩下一款吉祥物，

J22

總費用Z3=2x19+30=68,p(Z3=68)=|l-=j；

172

(或尸億3=68)=。；><§*5=§)

當(dāng)2個盲盒打開后款式相同，則需要直接購買另外兩款吉祥物，

總費用Z3=2x19+2x30=98,P(Z3=98)=C]x|x|=1.

所以E(Z3)=68xg+98xg=78(元).....................8分

(別解：￡(Z3)=30x|+2x30x1+38=78(7n))

方案4：購買3個盲盒時，

當(dāng)3個盲盒打開后款式各不相同，則總費用=3x19=57,

3

P(Z4=57)=4(1)=|；

當(dāng)3個盲盒打開后恰有2款相同，則需要直接購買剩下一款吉祥物，

xx

總費用Zd=3x19+30=87,P(Z4=87)=4|1=p

當(dāng)3個吉祥物盲盒打開后款式全部相同，則需要直接購買另外兩款吉祥物，

11a1

總費用Z4=3x19+60=117,尸(Z4=117)=C；x(—戶

221251

所以E(ZD=57x—+87x—+117x—=一(元)..............11分

21251

(別解：￡(24)=30X5+2*30義§+3*19=亍(元))

顯然￡(Z3)<E(Z1)<E(ZJ<4.

綜上，應(yīng)該一次性購買2個吉祥物盲盒.................12分

22.解：(1)法一：設(shè)抄的中點為G,依題意以F戶為直徑的圓內(nèi)切于圓。:/+/=4,

IPFI

所以|G0=2—Bp|PF|=4-2|GO|,..........1分

數(shù)學(xué)試卷第5頁(共8頁)

設(shè)g(G,0),又21OG|=|PgI，所以|PF|+|P%=4>2G=|%I，......2分

所以點尸的軌跡是以尸，鳥為焦點，4為長軸長的橢圓，

22________

設(shè)￡的方程為--+=l（4z>b>0）則c=J§\a=2,b-a2—c2=1,

ab

2

所以尸的軌跡方程E:—+y2=l....................4分

4

法二：設(shè)？（xj）,則尸尸的中點為G（污8,］）,...........1分

依題意得\OG\=2-^\PF\,即J（三回了+（1）2=2一沁+廚4...........2分

整理得7（x-V3）2+y2=4-7（x+V3）2+y2，...........3分

V2

化簡得點尸的軌跡方程￡:土+必=1.........................4分

4

（2）設(shè)8（國,乃）,7（馬,y2），先證明直線ST恒過定點，理由如下：

法一：由對稱性可知直線ST的斜率不為0,所以設(shè)直線ST的方程為：x=my+n.

x=my+n,

聯(lián)立直線ST與￡的方程《2(m2+4)y2+2mny+zz2-4=0,

x,消去工得:

—1~y=1，

14/

所以A>0,即4+加2-〃2>0，①

_—2mnn2-4

%+為................5分

m2+42門

M/1、八f

所以直線4S的方程為：％二=■；（?—l）,令y=0,解得點四橫坐標(biāo)，=一

乂T必一1

同理可得點N橫坐標(biāo)47=」、，

y2T

工+二=

................6分

X-1y2-i

將再=myx+n,x2=my2+n代入上式整理得：

（2加+4）為>2+（〃—加一4）（為+>2）+4一2〃=0.（3）................7分

將②代入③并整理得加2+2/77〃+〃2-2%-2〃=0，...........8分

即加，〃滿足方程（根+〃）（根+〃-2）=0.

若加+"=0,即〃=一加，則直線ST方程為》=根（歹一1）,過點幺（0,1）,不合題意;

所以加+〃一2=0,此時〃=2—掰，直線ST的方程為x=%（y-l）+2,

所以直線ST過定點。（2,1）............10分

因為直線ST過定點2（2,1）,且與軌跡E始終有兩個交點，

又4（0,1）,AHLST,垂足為笈，

故點X的軌跡是以為直徑的半圓（不含點4Q，在直線4。下方）......11分

設(shè)4。中點為C，則圓心C（l,l）,半徑為1.

所以10H以。C|—1=0-1，當(dāng)且僅當(dāng)點笈在線段。。上時，

故|。*|的最小值為近—1..................12分

數(shù)學(xué)試卷第6頁（共8頁）

法二：①當(dāng)直線ST斜率存在，設(shè)直線ST的方程為歹二"+加.

y=kx+m,

聯(lián)立直線ST與橢圓E的方程《一

—y=1，

14'

消去x得：（l+4k2）x2+Skmx+4m2-4=0,

所以A〉0,即4左2+1—加2>o，①

-8km4m2-4

%+%2②...............................5分

1+4左2'―1+4左2?

所以直線/S的方程為：x1（y-l）=（y1-l）x,

,y,-1

（備注：若直線NS方程寫成^-1=二一x,需另外考慮西=0的情形,可參考方

再

法四①.）

令y=0,解得點河橫坐標(biāo)/=

%T

一X?

同理可得點N橫坐標(biāo)4-7=

y2T

玉!X2_4

...............................6分

T>2-1

即X](%T)+/(乂T)=一4(乂一1)(^2—1)，

將弘=kX[+m,y2=履2+掰代入上式，得

（4左2+2左）西七+（1+4左）（加一1）（須+々）+4（加一I）?=0,.........................7分

將②代入上式，得（4左2+2k）縱加一?+（1+4后）（加—1）二^+4（m-l）2=0.

1+4左義1+4H

整理得2加一2左+加2_2m+1=（加一1）（2左+加一1）=0,.........................8分

所以加=1—20（其中加=1時，直線ST:y=^+l過點/,不符合題意，舍去.）

直線ST的方程為：歹=Ax+（1—2左）恒過定點Q（2,1）.

②當(dāng)直線ST斜率不存在，此時S（XQI）,T（XI，-%），

同理可得$7+上;=一牝即±=1—療,

Ji-1-Ji-12

2

又1+弁=1，解得石=0或%=2.

若石=0,則S,T中必有一點與/重合，不符合題意;

若石=2,則重合，也不符合題意......................9分

綜上，所以直線ST過定點。（2,1）.....................................10分

后略，同法一.

法三：①若直線/s,NT的斜率均存在，即不。0,工2。0,

7Vl—117%~11

則eS=------==，kAT-=—；

石-tx2t-4

工+^^=一4...............................5分

數(shù)學(xué)試卷第7頁（共8頁）