2022-2023學年黑龍江省哈爾濱重點中學高二（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年黑龍江省哈爾濱重點中學高二(下)期中數(shù)學試

卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知f(x)=xlnx,則曲線y=f(x)在點(l,f(l))處的切線方程為()

A.X—y—1=0B.X—y—2—0C.x+y-1=0D.x+y-2=0

2.對于定義在R上的可導函數(shù)f(x),f'(x)為其導函數(shù)，下列說法正確的是()

A.使/'(X)=0的x一定是函數(shù)的極值點

B.f(x)在R上單調遞增是r(X)>0在R上恒成立的充要條件

C.若函數(shù)/(%)既有極小值又有極大值，則其極小值一定不會比它的極大值大

D.若/^(x)在R上存在極值，則它在R一定不單調

3.設1(X)是函數(shù)/(x)的導函數(shù)，y=∕'(x)的圖象如圖所示，則y=/(x)的圖象最有可能的

是()

4.函數(shù)/(x)=gχ3+}αM+χ一1存在兩個極值點，則實數(shù)ɑ的取值范圍是()

A.(-∞,-2)U(2,+∞)B.(-∞,-2]U[2,+∞)

C.(-2,2)D.[-2,2]

5.設點P在曲線y=mX-；+1上，點Q在直線y=2x上，則PQ的最小值為()

A.2B.1C.?D.*

6.定義在R上的可導函數(shù)/(x)的導函數(shù)為/'(x),滿足尸(X)>∕(x),/(0)=1，則不等式

/0)<蜻的解集為()

A.(-8,6)B.(6,+8)C.(0Λ+∞)D.(-∞,0)

7.已知&=嗜/=苧,。=2，則a，b,C的大小為()

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

8.已知函數(shù)/(X)=［蔽-2一e?>°,則對于方程產(chǎn)⑺—好(X)+4=0.下列說法錯誤的

l2χ-l,x≤0

是()

A.若Q∈(一4,4),則該方程無解

B.若Q=-4,則該方程有一個實數(shù)根

C.若α∈(―2—e——4)U{4},則該方程有兩個實數(shù)根

D.若αe(-8,-2-6-言］,則該方程有四個實數(shù)根

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.下列求導計算中，錯誤的有()

A.若y=?∣sin2x,則y'=cos2xB.若y=cos;則y，=-；sin；

C.若y=∕+e2,則y，=2x+e2D.若丫=》刀-妥，則丫'=；+或

10.己知函數(shù)/(%)=XeB久GR下列結論錯誤的是()

A.函數(shù)f(x)不存在最大值，也不存在最小值

B.函數(shù)/(X)存在極大值和極小值

C.函數(shù)/(x)有且只有1個零點

D.函數(shù)f(x)的極小值就是f(x)的最小值

11.若將一邊長為ɑ的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為X的小正方形，然后做成一個方盒,

則下列說法正確的是()

A.當X=料，方盒的容積最大B.當X=熱，方盒的容積最小

C.方盒容積的最大值為駕D.方盒容積的最小值為需

12.英國數(shù)學家布魯克泰勒(Brook7αy∕or,1685.8?1731.11)以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級數(shù)而

聞名于世.根據(jù)泰勒公式，我們可知：如果函數(shù)/(?在包含與的某個開區(qū)間(α?b)上具有S+1)

階導數(shù)，那么對于?x∈(α;b),有/(%)=隼4+-X0)+乙祟(X-XO)2+…+

牛…尸+…,若取”0,則f(χ)=*+華χ+華/+..?+曄”+…，

v

n?υyyvy0!1!2!n?

此時稱該式為函數(shù)/(x)在X=0處的n階泰勒公式.如靖=l+x+^+1+t+…+5+

LΛ???I?"?

v31γ?5γl-v2τι^^^?

???smx=x--+---+???+(-ir÷^r?+-

由此可以判斷下列各式正確的是()

A.eix=Cosx+isin久(i是虛數(shù)單位)B.eix=—i(i是虛數(shù)單位)

C.2x≥l+x'n2+^"(x≥0)D.cosx≤l-y+^(x∈(0,1))

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.函數(shù)f(%)=5InX的單調遞增區(qū)間為.

14.已知f(x)=(X-。)2姬在(一LI)上單調遞減，則實數(shù)α的值為.

15.若函數(shù)f(X)=x3-3x在(α,10+2a?)上有最小值，則實數(shù)α的取值范圍是.

16.定義：若直線I與函數(shù)y=∕(x),y=g。)的圖象都相切，則稱直線I為函數(shù)y=/Q)和

y-g(x)的公切線.若函數(shù)/^(x)=alnx(a>0)和g(x)=/有且僅有一條公切線,則實數(shù)ɑ的值

為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

設函數(shù)/(x)=xsinx+cosx+x2+1.

(1)求/(x)的單調區(qū)間；

(2)當Xe[-，捫時，求f(χ)的最值.

18.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=αx—(2α+l)1nx—彳a&R.

(I)若函數(shù)〃x)在X=I處取得極值，求ɑ的值.

(2)討論函數(shù)/(x)的單調區(qū)間.

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/^(x)=X3-X2-∣∕,(-l)χ-其中f'(x)是/(x)的導函數(shù).

⑴求「(-1)；

(2)求過原點與曲線y=/(x)相切的切線方程.

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=X2+axlnx[a∈/?).

(1)若/Q)在區(qū)間(1,+8)上單調遞增，求Q的取值范圍；

(2)若Q=1,證明：/(x)≥X-e~x.

21.(本小題12.0分)

已知Q∈R,函數(shù)/(%)=?+伍%,g(%)=ax-Inx-2.

(I)當/(%)與g(%)都存在極小值，且極小值之和為0時，求實數(shù)a的值;

(2)當Q=1時，若f(%ι)=/(%2)=b(xl≠X2)?求證：X1+x2>2

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(%)=klnx+?(/e∈/?).

(1)若函數(shù)y=f(%)在(2,3)上不單調，求Zc的取值范圍；

(2)已知0<x1<x2?

(i)證明：?-?>-ln^>1-?

(ii)若苗=影=鼠證明：∣‰)-‰)∣<1?

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：由/(x)=xlnx,得/'(X)=Inx+1,

???f'(l)=∕nl+1=1,又/"(1)=0,

二曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程為y=x-l,即X-y-1=0.

故選：A.

求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在X=I處的導數(shù)值，再由直線方程的點斜式得答案.

本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，熟記基本初等函數(shù)的導函數(shù)是關鍵，是基礎

題.

2.【答案】D

【解析】解：對于A：/'(X)=0的X不一定是函數(shù)的極值點，

比如：/(x)=x3,∕,(X)=3X2,f'(0)=0,f(x)在R上單調遞增，

但X=0不是f(X)=/的極值點，故A錯誤；

對于B：/(x)在R上單調遞增，可能會在某點導函數(shù)等于0,

比如f(X)=/為單調遞增函數(shù)，f(χ)=/在X=0處導函數(shù)值為0,

故/Q)在R上單調遞增不是f'(x)>0在R上恒成立的充要條件，故B錯誤；

對于C：若函數(shù)/(x)既有極小值又有極大值，則其極小值可能會比它的極大值大，

比如/(x)=x+3在久=-1處取得極大值-2,在X=I處取得極小值2,極小值大于極大值，故

C錯誤；

對于D：根據(jù)極值點和極值的定義可以判斷，若f(x)在R上存在極值，則它在R上一定不單調，故

。正確.

故選：D.

ABC均可以舉出反例，D可以通過極值點和極值的定義判斷，即可得出答案.

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值，考查轉化思想，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的圖象的關系，判斷函數(shù)的單調性以及函數(shù)的極值點是解題的關鍵，

屬于基礎題.

利用導函數(shù)的圖象，判斷導函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調性以及函數(shù)的極值點，然后判斷選項即

可.

【解答】

解：由題意可知：當X<0,或%>2時，∕,(x)>0,

則函數(shù)在(一8,0),(2,+8)上是增函數(shù)；

%∈(0,2)時,f'(x)<0,所以函數(shù)在(0,2)是減函數(shù)，

所以X=0是函數(shù)的極大值點，%=2是函數(shù)的極小值點，

所以函數(shù)的圖象只能是C.

故選C.

4.【答案】A

【解析】解：由題意得尸(X)=X2+ax+1,

???函數(shù)/(X)存在兩個極值點，即其導函數(shù)/'(X)有兩個變號零點，

.?.4=α2-4>0,解得a>2或a<-2,

實數(shù)a的取值范圍是(一％-2)U(2,+∞).

故選：A.

根據(jù)/(x)存在兩個極值點，可得其導函數(shù)廣(約有兩個變號零點，結合二次函數(shù)的性質，可得4=

a2-4>0,即可得出答案.

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬

于中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：函數(shù)y=)X-工+1的導數(shù)為y=[+3

由;+玄=2,得X=I或X=-X舍).

把X=1代入y=Inx—?+1,得y=0,

即當P的坐標為(Lo)時，IPQl最小,

此時為P到直線2x-y=O的距離d=g=經(jīng).

故選：D.

求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切點坐標，利用平移切線法及點到直線的距離公式即可

得到結論.

本題主要考查兩點之間的距離的求解，根據(jù)切線的幾何意義求出對應的切點是解決本題的關鍵，

是中檔題.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性和導數(shù)之間的關系是解決本

題的關鍵，屬于中檔題.

構造函數(shù)g(x)=33,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，即可得到結論.

【解答】

解：構造函數(shù)g(x)=腎，

貝婕)=穌警="絲

V∕,(x)>/(x),Λ√(x)>0,

即g(x)在R上單調遞增，

??"(0)=l,???g(0)=竿=1,

則不等式/O)<e*,等價為g(x)=腎<1，

即g(x)<9(0)，

則X<0,

即不等式的解集為(一叫0),

故選：D.

7.【答案】。

【解析】解：令/(X)=要，∕,(x)=?≡.

令/'(X)>0,可得0<xVe,令/'(X)V0,可得%>e,

所以f(X)在(O,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減，

因為α=亨=苧=警=/(4)，b=噂=/(3),c=∕=f(e),

由e<3<4,所以<(e)>f(3)>/(4),

即C>b>Q.

故選：D.

令f(x)=*利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，從而可比較α,b,C的大小?

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，對數(shù)值大小的比較，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

作出函數(shù)/■(%)的圖象如圖.

設t=/(尤)，

則方程等價為產(chǎn)一at+4=0,

當a6(—2—e——4)時，方程a=t+；,有兩個實根t?,t2，設t?<￡2,

4

則一2—e<t<—2,—2<t<.X?

12一(4十

則f(x)=tι,沒有實根，/(x)=t2＞有2個或3個實根，故C錯誤.

。.當αe(--8,2—e—Ag,方程α=t+/,有兩個實根t3,Q,設t3<t4,

4

則t3≤-2一e,-l<Ξ^j≤t4<O,

則/(x)=t3,有一個實根，/(x)=t4>有3個實根，故D正確.

故選：C.

當》>O時,求函數(shù)的導數(shù),研究函數(shù)的單調性和極值,作出函數(shù)/'(X)的圖象,利用換元法設t=f(x),

則方程專業(yè)為關于t的一元二次方程t2-at+4=0,根據(jù)條件判斷方程根的范圍，分別進行判斷

即可.

本題主要考查函數(shù)與方程的應用，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調性和極值，作出函數(shù)圖象，利

用換元法轉化為一元二次方程，利用一元二次方程根的分布進行求解是解決本題的關鍵，是中檔

題.

9.【答案】BCD

【解析】解：A.y,=??2cos2x=cos2x,A正確；

B.y'=—?"(―sin?)=?^sin?,B錯誤；

C.y'=2x,C錯誤；

D?y'W一手4+5。錯誤?

故選：BCD.

根據(jù)基本初等函數(shù)、商的導數(shù)和復合函數(shù)的求導公式求導即可.

本題考查了基本初等函數(shù)、商的導數(shù)和復合函數(shù)的求導公式，考查了計算能力，屬于基礎題.

10.【答案】AB

【解析】解：∕,(x)=ex+xex=(x+l)ex,

易知當X6(-8,—1)時，∕,(%)<0,∕^(x)單調遞減，

當κ∈(-1,+8)時，f'(x)>0,f(x)單調遞增，

且當X<0時，/(x)<0,x>0時，/(x)>0,

作出函數(shù)圖象如下圖所示，

由圖象可知，f(x)存在最小值/(-1)=-e-ι,不存在最大值，選項A錯誤；

“X)存在極小值，不存在極大值，選項8錯誤；

f(x)有且僅有一個零點，即X=0,選項C正確；

函數(shù)/(%)的極小值就是/Q)的最小值，選項。正確.

故選：AB.

利用導數(shù)研究函數(shù)/(乃的單調性，作出圖象，然后根據(jù)極值，最值，零點的定義逐項判斷即可.

本題考查了函數(shù)的單調性，極值，最值問題，考查導數(shù)的應用以及數(shù)形結合思想，是基礎題.

11.【答案】AC

【解析】解：方盒的容積為U(X)=(α-2x)2x(0<X<今，

V,(x)=—4(Q—2x)x+(α-2x)2=(Q-2x)(a—6x)=(2x—α)(6x—a),

令片(X)=0,得％=*或X=

當0<x<利，,(%)>0,函數(shù)單調遞增，當,<x<1時,K,(x)<0,函數(shù)單調遞減,

???V(X)max=U(∣)=符，故AC正確,BD錯誤.

故選：AC.

根據(jù)題意表示出方盒的體積U(X)并求出X范圍，利用導數(shù)研究KX)的單調性，根據(jù)單調性即可得

出正確選項.

本題考查函數(shù)模型的應用，導數(shù)的應用，屬于中檔題.

12.【答案】AC

.23

【解析】解：對于4由e*,cosx,sin%的泰勒展開知e漢=1+比+寫-+寫-+…=1+以一

2

Xiχ3χ4ιχ5

2!3!4!5!

=1-?j-+?j--------Fix?+----------1一會+為----1-i(x—+-----)=Cosx+isinx^A正

確；

對于B,eiπ=cosπ=—1,8錯誤；

2

對于C,Q2xy=2xln2,所以其泰勒展開為>=l+χ,∏2+喈-+…，

當X≥O,2X≥1+X∕n2+^L,當且僅當久=0,等號成立，C正確；

I.、t,γ246824682

對于。，當一上+土r一土γ+≡r-----γyγr上r+

OV%V1,COSX=12!4!6!8!=l-±2!+±4!+(l--6!+≡-8-!------))V1-2!

當且僅當％=0,等號成立，由于0<x<l,所以等號取不到，C錯誤.

4!

故選：AC.

根據(jù)泰勒公式對各選項進行展開分析計算即可.

本題主要考查函數(shù)的泰勒公式展開，屬中檔題.

13.【答案】(0急

,=6x

【解析】解：∕(x)—~2~~yf(X>0),

令(⑶>0得:0<x<∣,

所以F(X)單調遞增區(qū)間為(Ot).

故答案為：(0,|).

由導數(shù)與單調性的關系求解.

本題考查函數(shù)的單調性，解題關鍵是求導分析符號，屬于中檔題.

14.【答案】1

【解析】解：已知/(x)=(X-α)2eL函數(shù)定義域為R,

可得/'(X)=2(X—a)ex+(x—a)2ex=(X-α)(x—ɑ+2)ex,

因為f。)在(一1,1)上單調遞減，

所以1(X)<0在(-1,1)上恒成立，

因為靖>O在區(qū)間(一1,1)上恒成立，

所以(x-Q)(%—Q+2)≤0,

解得Q-2≤X≤Q,

因為｛C1，

lα-2≤—1

解得a=1,

故答案為：1.

由題意，對函數(shù)/(x)進行求導，將函數(shù)單調遞減轉化成/?'(x)≤0在(-1,1)上恒成立，列出等式即

可求出實數(shù)a的值.

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了邏輯推理、轉化思想和運算能力.

15.【答案】［一2,1)

【解析】解：/(x)=X3-3x,∕,(x)=3/-3,取((X)=3/-3=O得到X=±1,

當XC(-8,-1)時，f(%)>0,函數(shù)單調遞增；

當X∈(一1,1)時，∕,(%)<0,函數(shù)單調遞減；

當X∈(l,+8)時，f(X)>0,函數(shù)單調遞增；

f(l)=-2,?∕(x)=X3-3x=-2,則X=-2或X=1,

函數(shù)f(x)=/—3%在(a,10+2a2)上有最小值，則<?<10+2a?

解得—2≤aV1,即aE［-2,1).

故答案為：［—2,1).

求導得到導函數(shù)，確定函數(shù)的單調區(qū)間，計算∕?(l)=-2,得到卜<1：1°+2。2,解得答案.

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查運算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】2e

【解析】解：設直線，與y=/(x)切于(m,a/nni),與y=g(x)切于(n,n?),

???f'(χ)=Pg'(χ)=2χ,

xalnm2

???/(%)與g(%)切線方程分別為y=-+-a9y=2nx-n,

由題意得［m—2葭,則Q=4m2—4m2Inm.

Valnm—a=-n2

令/i(n?)=4m2—4m2lnm,m>O,

則九'(m)=8m—Bm?Inm-4m=4m(l—2∕nm),

當m∈(0,√^^)時,hf(m)>O,九(Tn)單調遞增，

當?n∈(√"?,+8)時，∕ι,(m)<O,∕ιOn)單調遞減.

???h(m)max=∕ι(√^e)=2e.

又當mτO時，h(m)→0,當?n->+8時，∕ι(m)→—∞,且已知α>0,

???若函數(shù)f(x)=alnx(a>0)和g(x)=/有且僅有一條公切線，則實數(shù)0的值為2e?

故答案為：2e.

設直線E與y=/(%)切于On,α"m),與y=g(x)切于(幾,幾2),利用導數(shù)求出過切點的切線方程，再

2222

由斜率相等及切線在y軸上的截距相等列式，可得Q=4m-4mInmf令∕ιOn)=4m-4mInm,

m>0,再由導數(shù)求最值，即可求得實數(shù)Q的值.

本題考查導數(shù)的應用，考查化歸與轉化思想，考查運算求解能力，是中檔題.

17.【答案】解：(1),?,f(%)=xsinx+Cosx+x2+1,

???1(X)=sinx+xcosx—sinx÷2x=x(2+CoSX),

??./'(%)只有唯一零點0，

???當%>O時，∕,(x)>0,當XVO時，/'(%)<0,

???/(%)的遞減區(qū)間是(一8,0),遞增區(qū)間是(0,+8).

(2)由(1)得/(%)在［一?0)遞減，在(0,捫遞增，

???/Wmin=/(O)=2,

fMmax=max(/(-2,/(ττ)}=max(≡+?+1，π2}=π2.

【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最值即可.

本題考查了函數(shù)的單調性，最值問題，考查導數(shù)的應用以及三角函數(shù)問題，是中檔題.

18.【答案】解：⑴函數(shù)f(%)的定義域為(0,+8),

Qf、2cz÷l2ax2-(2a+l)x+2(ax-l)(x-2)

f(x)=a--1+返=------------=-√-'

因為/(x)在X=1處取得極值，

所以((1)=0,

解得Q=1,

當α=1時，∕,(x)=(X-?尸)，

令/(X)=O得X=1或2,

所以在(0,1)上，∕,(x)>0,f(x)單調遞增，

在(1,2)上，f'(x)<0,f(x)單調遞減，

在(2,+8)上,f'(x)>0,f(x)單調遞增,

所以f(x)在X=1處取得極大值，符合題意.

(2)函數(shù)/(x)的定義域為(0,+8),

a，、2α+l2αxz-(2α+l)x+2

f(x)=a-—+1厘=----—，

當α=0時，∕,(x)=

令/'(X)=得X=2,

所以在(0,2)上((乃>0,/(%)單調遞增，

在(2,+8)上(。)vθ,f(%)單調遞減，

當α≠0時，令/'(%)=0,得％=2或%=?,

若”O(jiān)則在(0,2)上/(%)V0,f(%)單調遞減,

在(2,+8)上/(X)>0,/0)單調遞增，

若0VLV2,即Q>［時，

a2

在(0,》上，∕,(x)>0,f(x)單調遞增，

在&,2)上，f'(x)<O,f(x)單調遞減，

在(2,+8)上，∕,(χ)>0,/(%)單調遞增，

若;>2,即OVQVg時，

在(0,2)上，f,(x)>0,/(%)單調遞增,

在(2,》上，∕,(x)<0,f(x)單調遞減，

在(；,+8)上，∕,(χ)>0,/(X)單調遞增，

若;=2,即α=￡時，

在(0,+8)上，f,(x)≥0,f(x)單調遞增，

綜上所述，當a=0時，〃>)在(0,2)上單調遞增，在(2,+8)上單調遞減,

當α<0時，/(x)在(0,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，

當ɑ>±時，f(x)在(0,》，(2,+8)上單調遞增，在弓,2)上單調遞減，

當O<α<M寸，/(x)在(0,2),+8)上單調遞增，在(2,；)上單調遞減，

當a=2時，f(x)在(0,+8)上單調遞增.

【解析】(1)求導得/'(X)=3-30-2)，由/(%)在％=1處取得極值得/'(I)=0,解得a，再檢驗

此時，/(x)是否在X=1處取得極值，即可得出答案.

(2)求導得/⑶=a∕-(2aJI)X+2,分四種情況：當。=。0寸，當a<0時，當a>；時，當0<a<;

時，當a=*j,分析八X)的符號，的單調性，即可得出答案.

本題考查導數(shù)的綜合應用，解題中注意分類討論思想的應用，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)?；函數(shù)/(X)=χ3-χ2-∣∕,jDχ,其中「(X)是/(X)的導函數(shù)，

∕,(x)=3x2-2x-∣∕,(-l),

.?.f(-l)=3-2×(-l)-∣∏-l),

解得f'(T)=3；

(2)由⑴得:/(x)=X3—X2—2x,∕,(x)=3X2—2x—2,

設切點為：(XOJ(XO))，則切線的斜率，=/'(&)=3就一2&-2,

二切線方程為：y-/(x0)=/'(XO)(X-a)，

(0,0)代入上式可得f(&)=f(x0)??-

BPXQ-XQ-2X0=(3XQ-2X0-2)?X0,

整理得：xθ(2x0-1)=0,可得Xo=O或XO=

??..(&)=_2或/(%0)=_3，

故切線方程為：、=一2%或)7=-3％.

【解析】(1)求出導函數(shù)，再令X=-I即可求解結論；

(2)設切點為：(XoJQo)),求出切線的斜率，表示出切線方程，把(0,0)代入切線方程，求出沏，

進而求解結論.

本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，是中檔題.

20.【答案】解：(1)若/(x)在區(qū)間(1,+8)上單調遞增，則((X)=2x+αhιx+α≥0在(1,+8)上

恒成立，

即α≥-蓋WE(I,+8)上恒成立，令∕ι(χ)=∈(l,+∞),

?IJLILllΛ

所以∕l'(X)=_2(1+—)-產(chǎn)=一2ln^≤0在(1,+8)上恒成立，

(l+∕nx)(1+Znx)

所以九(%)在(1,+8)上單調遞減，

所以∕ι(x)<A(I)=—2,所以ɑ≥—2?即a的取值范圍為［—2,+8).

2

(2)證明：當Q=I時，/(x)=X+xlnχf要證f(%)≥%—即證/+工①%≥%—ei”,

印證式+Inx+?—1≥0,即ln(%e")÷-?-—1≥0,令XeX=3t>0,即證仇t÷?—1≥0,

令g(t)=Znt+?-1,t∈(0,+∞),所以O=；-表=詈，

令g'(t)=O,解得t=l,當0<t<l時，所以g'(t)<O,所以g(t)在(0,1)上單調遞減，

當t>l時，g'(t)>O,所以g(t)在(1,+8)上單調遞增，所以當t=l時，g(t)取得極小值即最小

值，

所以g(t)≥g(l)=0，B∣∏nt+?-1>0,所以f(X)≥χ-e-*.

【解析】(1)因為f(x)為(1,+8)上的單調遞增函數(shù)，故r(x)≥0恒成立，參變分離后可求得參數(shù)ɑ

的取值范圍；

(2)由/(x)≥%-e—知需證明In(Xe*)+*-1≥0,換元，對函數(shù)求導，研究函數(shù)的最值即可.

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值，考查不等式的證明，考查運算求解能力與邏輯

推理能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：已知/O)=?+)X,函數(shù)定義域為(0,+8),

可得f'(x)=_/+：=等，

當α≤0時，f(%)>0,/(無)單調遞增，無極值，不符合題意；

當α>0時，

當0<X<α時，∕,(x)<0,f(x)單調遞減;

當x>α時，/'(X)>0,/(x)單調遞增，

所以函數(shù)/(x)在％=Q處取得極小值，極小值f(α)=1+Ina；

已知g(x)=ax-Inx-2,函數(shù)定義域為(0,+8),

可得g(x)=a-；,

當Q≤0時，g’(x)<0,g(x)單調遞減，無極值，不符合題意;

當Q>。時，

當0v%v，時，g'(x)<0,g(x)單調遞減；

當%>，時，g'(%)>0,g(%)單調遞增，

所以函數(shù)g(x)在X=，處取得極小值，極小值g(,)=-1+Ina,

若/(%)與g(%)都存在極小值，且極小值之和為0，

此時1+Ina-1+Ina=0,

解得Q=1;

(2)證明：當Q=I時，/(x)=?÷Inx,

若/01)=/(&)=b,

?+Inx=b

Bpk11,

——FInx=b

S2

1

兩式相減得學子=Inx2-Inx1,

即(仇工2一"XI)XlX2_?

、×2~×1一，

要證%ι+X2>2,

即證X]+3>20吟TnXDX叱

*2?l

不妨設A?>?>0?

要證蟄W>2,n包，

XlX2M

需證式一言>2)?

xlx2xI

令t=孑,t>1>

xI

即證t—?>2lntf

不妨設h(t)=2仇七一￡+；,函數(shù)定義域為(1,+8),

可得力，?=：—==一噌<0，

所以函數(shù)奴t)在定義域上單調遞減，

又九(1)=0,

所以∕ι(t)<0在定義域上恒成立，

則t—；>2lτιt?

故%ι+X2>2.

【解析】(1)由題意，對函數(shù)/(x)和g(x)求導，分別討論α≤0和a>0這兩種情況，結合導數(shù)的幾

何意義得到函數(shù)/(X)和g(%)的單調性極值，進而即可得到答案；

(2)將α=1代入函數(shù)/(x)的解析式中，若/(xι)=/(x2)=b,列出等式可得四寫竺因強=1,要

x2xI

證與+亞>2，即證Xi+X2>也氣甯泊,設小>Xi>O，將問題轉化成求證券一言>2伍言，

利用換元法，令t=藁，t>l,構造函數(shù)W)=2伉"t+1,對∕ι(t)進行求導，利用導數(shù)得到∕ι(t)

的單調性和最值，進而即可求證.

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，考查了邏輯推理、轉化思想、分類討論和運算能力.

22.【答案】解：⑴己知f(x)=k仇x+2(k6R),函數(shù)定義域為(0,+8),

可得/'(%)=：_'，

若函數(shù)y=/(%)在(2,3)上不單調，

則1(X)=O在(2,3)上有變號的實數(shù)根，

即k=盤在(2,3)上有變號的實數(shù)根，

不妨設g(χ)=卷，函數(shù)定義域為(0,+8),

可得g'(χ)=?ξ>

當2<%V3時，g'(x)<O,g(%)單調遞減，

又g(2)=?-g⑶=?>

所以或<k<捻，

則k的取值范圍為?,分

(2)(團)證明:因為7(%)=皆,

當O<xVl時，g,(χ)y>O,g(%)單調遞增;

當%>1時，g,(x)<0,g(x)單調遞減，

所以g(χ)≤g(l)=；，

即工≥4-

當k=??,f(χ)=^-l=l(i-≡)≥0,

eJ、'XexXeex

所以/(X)=號+2在定義域上單調遞增，

已知0V??<%2,

則f(%2)>f(∕)