2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 復(fù)數(shù)乘除運算 學(xué)案

7.2.2復(fù)數(shù)乘、除運算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運算.（2）理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、

結(jié)合律和乘法對加法的分配律.（3）會利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法及運算律解決相關(guān)問

題.

題型1復(fù)數(shù)的乘法運算

【問題探究1】類比多項式的乘法，我們該如何定義兩復(fù)數(shù)的乘法呢？

例1計算下列各題.

⑴(1—i)(l+i)+(2+〉；

(2)(2-i)(-l+5i)(3-4i)+2i.

學(xué)霸筆記：（1）復(fù)數(shù)的乘法運算可以把，看作字母，類比多項式的乘法進(jìn)行，注意要把

I'化為一1,進(jìn)行最后結(jié)果的化簡.

（2）對于能夠使用乘法公式計算的兩個復(fù)數(shù)的乘法，用乘法公式更簡便.例如平方差公

式、完全平方公式等.

跟蹤訓(xùn)練1(1)若2=(3+i)(2—i),則z=)

A.5+iB.7+i

C.5—iD.7—i

⑵設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1—i)(l+ai)是實數(shù)，則實數(shù)a的值為()

A.-1B.0C.1D.2

題型2復(fù)數(shù)的除法運算

【問題探究2】類比實數(shù)的除法運算是乘法運算的逆運算，你認(rèn)為該如何定義復(fù)數(shù)的

除法運算？

例2計算:

⑴磊;

⑵(言門鬻?

題后師說

兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式除法運算的一般步驟

跟蹤訓(xùn)練2(1)若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=4—3i,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(2)(多選)已知復(fù)數(shù)z=羅，則下列結(jié)論正確的是()

3—1

A.z的虛部是1

B.7在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點落在第二象限

C.z(l-i)=5-3i

D.2Z=VT7

題型3在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程

例3在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：x'+4x+6=0.

題后師說

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程

a/+Z?jr+c=O(a^O)的求解方法

跟蹤訓(xùn)練3已知z=2+i是關(guān)于x的方程V+px+gnO的一個根，求實數(shù)0、。的值

及方程的另一個根.

隨堂練習(xí)

1.(2—i)(l+i)=()

A.3+iB.l-2i

C.3-iD.3

2.若復(fù)數(shù)2=六，貝恒=()

4-31

3.設(shè)?=3+2i,Z2=l+wi(其中i為虛數(shù)單位)，若zg為純虛數(shù)，則實數(shù)0=()

4.已知一3+2i是關(guān)于x的方程2/+0田+°=0的一個根，則實數(shù)0=，實數(shù)

q=________

課堂小結(jié)

1.復(fù)數(shù)的乘法運算.

2.復(fù)數(shù)的除法運算.

3.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程.

7.2.2復(fù)數(shù)乘、除運算

問題探究1提示：設(shè)zi=a+6i,Z2=c-\-di(a,b,c,dGR)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它

們的積(a+歷)(c+di)=(ac—bd)+(ad-Vbe)i.

例1解析:(1)(1—i)(1+i)+(2+i)2=1—i"+4+i-+4i=5+4i.

(2)(2-i)(-l+5i)(3-4i)+2i

=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i

=(3+lli)(3-4i)+2i

=9-12i+33i-44i2+2i

=53+23i.

跟蹤訓(xùn)練1解析：⑴因為2=(3+i)(2—i)=7—i,所以z=7+i.故選B.

(2)(1—i)(1+ai)=l+ai—i—ai2=l+a+(a—1)i,它是實數(shù)，則a—1=0,a—1.

故選C.

答案：(1)B(2)C

問題探究2提示：通常先把(a+歷)+(c+di)寫成可的形式，再把分子和分母都乘

以(c—di),化簡后得結(jié)果,

ppa+bi_(a+bi)(c-di)(ac+bd)+(bc-ad)iac+bdbc-ad

i(c+diWO).

c+di(c+di)(c-di)c2+d2c2+d2c2+d2

2—i(2—i)(l-2i)2—4i—i+2i2

例2解析：⑴i.

l+2i(l+2i)(l-2i)5

⑵方法一原式=［等喑曙中.6V6+2i+3i—V61I.

------------=—1+1.

5

6,V2+V3i

'i(-V3i-V2)

4—3i(4—3i)(l—i)4-4i—3i+3i2

跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)因為z(l+i)=4—3i,所以z=

l+i(l+i)(l-i)2

17.

-1

22

所以復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為W，—，，位于第四象限.故選D.

13-i_(13-i)(3+i)_39+13i-3i+l

(2)由題意得2==4+i,

3—i(3—i)(3+i)10

對于A：z的虛部是1,故A正確；

對于B：z=4-i,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為(4,—1)落在第四象限，故B錯誤;

對于C：z(l—i)=(4+i)(1—i)=4—4i+i+l=5—3i,故C正確；

對于D：^z=(4+i)(4-i)=42-i2=17,故D錯誤.故選AC.

答案：(1)D(2)AC

例3解析：方法一因為_/+4x+6=0,

所以(x+2)2=—2,

因為(、泛i)2=(i)2=—2,

所以x+2=V^i或x+2=—V2i,

即X——2+V2i或X——2—V2i,

所以方程￡+4X+6=0的根為x=-2±V^i.

方法二由f+4x+6=0知zl=42-4X6=-8<0,

所以方程f+4x+6=0無實數(shù)根.

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，設(shè)方程￡2+4X+6=0的根為x=a+bi{a,6￡1?且6W0),

則(a+Z?i)2+4(a+bi)+6=0,

所以a+2abi—lj+4a+46i+6=0,

整理得(才一方+4a+6)+(2助+46)i=0,

所以尸―b2+4a+6=0,

(2ab+4b=0,

「「er,,fa2—b2+4a+6=0,

又因為6W0,所以］

(2a+4=0,

解得a=-2,b=±yj2.所以x=—2±V2i,

即方程x+4^r+6=0的根為x=—2+V2i.

跟蹤訓(xùn)練3解析：因為z=2+i是方程f+px+^o的一個根，

所以(2+i)2+〃(2+i)+q=。

即3+0+20+(p+4)i—0,

所以"q+2P=0,解得,=一4,

Ip+4=0,Iq=5,

所以方程為4x+5=0,

因為xi+e=4,

所以方程的另一個根是x=2—i.

［隨堂練習(xí)］

1.解析：由題意可得：(2—i)(1+i)=2+i—i?=3+i.故選A.

答案：A

2.解析：由2=六=臂=一/+京，得z=一/―3.故選C.

4—312525Z52525

答案：C

3.解析：ziZ2=(3+2i)(1+4)=3+3勿i+