立體幾何單項(xiàng)選擇部分分類(lèi)匯編- 全國(guó)新高考地區(qū)近2年(2020-2021)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

第頁(yè)全國(guó)卷（新課標(biāo)）高三期末精編-立體幾何單項(xiàng)選擇題型一：斜二測(cè)畫(huà)法的應(yīng)用1．（2020·陜西延安中學(xué)高三期末）如圖所示，是一平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是（）A． B．C． D．2．（2021·浙江浙江·高三期末）已知水平放置的按斜二測(cè)畫(huà)法，得到如圖所示的直觀圖，其中，，那么是一個(gè)（）A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．三邊互不相等的三角形3．（2021·浙江浙江·高三期末）如圖正方形的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．

題型二：充分、必要條件4．（2021·浙江麗水·高三期末）已知平面，直線m，n滿(mǎn)足，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2021·浙江·高三期末）已知、是不同的直線，、是不同的平面，且，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2021·遼寧營(yíng)口·高三期末）已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線，則“兩兩相交”是“共面”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2021·浙江·高三期末）設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，，為兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2021·浙江上虞·高三期末）設(shè)a，b，m，n是四條不同直線，是兩個(gè)不同平面，且，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

題型三：平行、垂直命題判定9．（2021·浙江·高三期末）已知平面，l，m是兩條不同的直線，且，則正確的選項(xiàng)是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．（2021·江蘇徐州·高三期末）已知，為不同直線，，為不同平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，，則 B．若，，，，則C．若，，，則 D．若，，，則11．（2021·山東青島·高三期末）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下結(jié)論正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則12．（2021·廣東珠海·高三期末）已知，是兩個(gè)不同的平面，，，是三條不同的直線，下列條件中，可以得到的是（）A．，，，B．，C．，D．，13．（2021·青海西寧·高三期末（理））設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，則或；④若，，，則.則其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3

題型四：立體幾何的應(yīng)用14．（2019·浙江·諸暨市教育研究中心高三期末）三棱錐如圖所示，是以為底的等腰直角三角形，中，.當(dāng)以為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，記，二面角的余弦值為，則與的函數(shù)關(guān)系的圖像大致形狀是（）A． B．C． D．15．（2021·山東德州·高三期末）阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家，他和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，他一生最為滿(mǎn)意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理，即圓柱容器里放了一個(gè)球，該球頂天立地，四周碰邊（即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切），球的體積是圓柱體積的三分之二，球的表面積也是圓柱表面積的三分之二．今有一“圓柱容球”模型，其圓柱表面積為，則該模型中球的體積為（）A． B． C． D．

16．（2021·江蘇啟東·高三期末）攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見(jiàn)于亭閣式建筑如圖所示，某園林建筑為六角攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正六棱錐，設(shè)正六棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為，則側(cè)棱與底面內(nèi)切圓半徑的比為（）A． B． C． D．17．（2021·廣東中山·高三期末）大擺錘是一種大型游樂(lè)設(shè)備(如圖)，游客坐在圓形的座艙中，面向外，通常大擺錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險(xiǎn)，座艙旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，懸掛座艙的主軸在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下做單擺運(yùn)動(dòng).假設(shè)小明坐在點(diǎn)處，“大擺錘”啟動(dòng)后，主軸在平面內(nèi)繞點(diǎn)左右擺動(dòng)，平面與水平地面垂直，擺動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)在平面內(nèi)繞點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，并且始終保持，.設(shè)，在“大擺錘”啟動(dòng)后，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)在某個(gè)定球面上運(yùn)動(dòng)；B．與水平地面所成銳角記為，直線與水平地面所成角記為，則為定值；C．可能在某個(gè)時(shí)刻，；D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為.

18．（2021·山東菏澤·高三期末）沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱(chēng)為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)．如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為，細(xì)沙全部在上部，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）．假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐沙堆．以下結(jié)論正確的是（）A．沙漏的側(cè)面積是B．沙漏中的細(xì)沙體積為C．細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為D．該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1985秒（）

題型五：球體問(wèn)題19．（2021·江蘇·南京田家炳高級(jí)中學(xué)高三期末）已知直三棱柱的底面ABC為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積之比為（）A．25：1 B．2：1 C．5：1 D．：120．（2021·遼寧丹東·高三期末），，，在同一個(gè)球面上，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形；三棱錐的體積最大值為，則三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．21．（2021·天津·高三期末）已知正方體的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，若球的體積為，則正方體的體積為（）．A． B． C． D．22．（2021·貴州·高三期末（理））在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是（）A． B． C． D．23．（2020·河北邯鄲·高三期末）已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且的長(zhǎng)分別為，又，側(cè)面與底面成角，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為A． B． C． D．

題型六：空間幾何體-線面、二面角24．（2021·浙江浙江·高三期末）在正方體中，是正方形的中心，則直線與直線所成角大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°25．（2012·海南瓊?！じ呷谀ɡ恚┱睦忮F的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°26．（2021·河北張家口·高三期末）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，分別為，的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．27．（2021·安徽·高三期末（理））在正方體中，已知分別為的中點(diǎn)，P為平面內(nèi)任一點(diǎn)，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為（）A． B． C． D．

28．（2021·浙江·高三期末）在矩形中，，，E、F分別為邊、上的點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿直線折成，使得點(diǎn)在平面上的射影在四邊形內(nèi)（不含邊界），設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成的角為，直線與直線所成角為，則（）A． B． C． D．

題型七：空間動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題29．（2021·北京·高三期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)可以是棱的中點(diǎn) B．線段的最大值為C．點(diǎn)的軌跡是正方形 D．點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為30．（2021·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）在底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)等于2，則（）A．在正四棱柱的棱上到異面直線和距離相等的點(diǎn)有且只有一個(gè)B．在正四棱柱的棱上到異面直線和距離相等的點(diǎn)有且只有兩個(gè)C．在正四棱柱的棱上到異面直線和距離相等的點(diǎn)有且只有三個(gè)D．在正四棱柱的棱上到異面直線和距離相等的點(diǎn)有且只有四個(gè)

31．（2021·新疆·昌吉市第九中學(xué)高三期末）已知梯形CEPD如下圖所示，其中，，A為線段PD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面平面ABCD，得到如圖所示的幾何體．已知當(dāng)點(diǎn)F滿(mǎn)足AF=λAB0<λ<1時(shí)，平面平面PCE，則的值為（）A． B． C． D．32．（2021·浙江·麗水外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E是線段的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．

全國(guó)卷（新課標(biāo)）高三期末精編-立體幾何單項(xiàng)選擇題型一：斜二測(cè)畫(huà)法的應(yīng)用1．（2020·陜西延安中學(xué)高三期末）如圖所示，是一平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，得到原來(lái)圖形的形狀，結(jié)合直角三角形的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)槭且粋€(gè)平面圖形的直觀圖，其中斜邊，所以,根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，可得，所以直角的面積為.故選：D.2．（2021·浙江浙江·高三期末）已知水平放置的按斜二測(cè)畫(huà)法，得到如圖所示的直觀圖，其中，，那么是一個(gè)（）A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．三邊互不相等的三角形【答案】B【分析】根據(jù)斜二測(cè)直觀圖的畫(huà)法判斷．【詳解】在軸上，在軸，因此，在原圖形中，，三角形為等邊三角形．故選：B．3．（2021·浙江浙江·高三期末）如圖正方形的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三視圖得原圖形的形狀，結(jié)構(gòu)，得邊長(zhǎng)后可得周長(zhǎng)．【詳解】由三視圖知原圖形是平行四邊形，如圖，，，，，所以平行四邊形的周長(zhǎng)是8．故選：A．題型二：充分、必要條件4．（2021·浙江麗水·高三期末）已知平面，直線m，n滿(mǎn)足，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，即可得答案.【詳解】由直線m，n滿(mǎn)足，，則時(shí)，m與可垂直，可不垂直，當(dāng)，且，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可以得到，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5．（2021·浙江·高三期末）已知、是不同的直線，、是不同的平面，且，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用面面垂直的性質(zhì)、判定定理結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】充分性：若，設(shè)，存在直線，使得，由面面垂直的性質(zhì)定理可得，，則，從而可得或，則與的位置關(guān)系不確定，充分性不成立；必要性：，，則，，，必要性成立.因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷充分條件和必要條件，一般有以下幾種方法：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法.6．（2021·遼寧營(yíng)口·高三期末）已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線，則“兩兩相交”是“共面”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由，，，在同一平面，則，，，相交或，，，有兩個(gè)平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行，根據(jù)充分條件，必要條件的定義即可判斷．【詳解】空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線，，，若，，在同一平面，則，，相交或，，有兩個(gè)平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行．所以“，，在同一平面”成立，則“，，兩兩相交”不一定成立；而若“，，兩兩相交”，則“，，在同一平面”成立．故“，，兩兩相交”是“，，共面”的充分不必要條件，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：充分必要條件的判斷，常用的方法有：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.7．（2021·浙江·高三期末）設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，，為兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件的定義，結(jié)合線面關(guān)系的性質(zhì)、定理判斷推出關(guān)系，即可知“”與“”的充分、必要關(guān)系.【詳解】由，，則，而，所以；由，，，不能確定.∴“”是“”的充分不必要條件.故選：A8．（2021·浙江上虞·高三期末）設(shè)a，b，m，n是四條不同直線，是兩個(gè)不同平面，且，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用面面平行的判定和性質(zhì)定理結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)，若時(shí)，與可能相交，如圖（1）當(dāng)，也不一定有成立，可能異面.如圖（2）所以“”是“”的既不充分也不必要條件故選：D題型三：平行、垂直命題判定9．（2021·浙江·高三期末）已知平面，l，m是兩條不同的直線，且，則正確的選項(xiàng)是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】若，，才有，故A錯(cuò)誤一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交的直線，才垂直于這個(gè)平面，故B錯(cuò)誤若，推不出，故C錯(cuò)誤若，則，故D正確故選：D10．（2021·江蘇徐州·高三期末）已知，為不同直線，，為不同平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，，則 B．若，，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】C【分析】根據(jù)空間中，線線、線面、面面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，若，，則或，A錯(cuò)；B選項(xiàng)，若，，，，當(dāng)時(shí)，與可能相交，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，若，，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得，又，根據(jù)面面垂直的判定定理，可得，故C正確；D選項(xiàng)，若，，，垂直于交線，并不能推出垂直于另一平面，因此不能得出，即不能推出.故D錯(cuò)；故選：C.11．（2021·山東青島·高三期末）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下結(jié)論正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】A【分析】由空間線面、面面的平行、垂直關(guān)系對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，可得答案.【詳解】選項(xiàng)A.若兩平面平行，則垂直于一個(gè)平面的直線必垂直于另一個(gè)平面，故A正確.選項(xiàng)B.若，若，且直線不在平面內(nèi)，此時(shí)滿(mǎn)足，，但此時(shí)，故B不正確.選項(xiàng)C.若，，則直線可能有，也可能有，故C不正確.選項(xiàng)D.若，,則直線可能在平面內(nèi)，可能與平面相交，也可能，故D不正確.故選：A12．（2021·廣東珠?！じ呷谀┮阎?，是兩個(gè)不同的平面，，，是三條不同的直線，下列條件中，可以得到的是（）A．，，，B．，C．，D．，【答案】D【分析】根據(jù)直線平面間的位置關(guān)系或線面垂直的判定定理判斷各選項(xiàng)．【詳解】由，是兩個(gè)不同的平面，，，是三條不同的直線，知：對(duì)于A，，，，，則與相交?平行或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則與相交?平行或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，則與相交?平行或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則由線面垂直的判定定理得，故D正確.故選：D.13．（2021·青海西寧·高三期末（理））設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，則或；④若，，，則.則其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】①根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得到或，從而判定真假；②列舉出所有可能即可，從而判定真假；；③根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得到或，從而判定真假；④結(jié)合面面垂直的判定定理即可判斷真假.【詳解】①因?yàn)?，，則或，但，所以，故①正確；②因?yàn)椋?，則或或與相交，故②錯(cuò)誤；③因?yàn)?，，則或，故③正確；④因?yàn)?，，，則，結(jié)合面面垂直的判定定理即可，故④正確，故選：D題型四：立體幾何的應(yīng)用14．（2019·浙江·諸暨市教育研究中心高三期末）三棱錐如圖所示，是以為底的等腰直角三角形，中，.當(dāng)以為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，記，二面角的余弦值為，則與的函數(shù)關(guān)系的圖像大致形狀是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為.化簡(jiǎn)得到，即得解.【詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為.由題得,兩邊平方得,所以.故選：A15．（2021·山東德州·高三期末）阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家，他和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，他一生最為滿(mǎn)意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理，即圓柱容器里放了一個(gè)球，該球頂天立地，四周碰邊（即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切），球的體積是圓柱體積的三分之二，球的表面積也是圓柱表面積的三分之二．今有一“圓柱容球”模型，其圓柱表面積為，則該模型中球的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求得球的表面積后得球半徑，從而可得體積．【詳解】由題意球的表面積為，即，，所以體積為．故選：D．16．（2021·江蘇啟東·高三期末）攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見(jiàn)于亭閣式建筑如圖所示，某園林建筑為六角攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正六棱錐，設(shè)正六棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為，則側(cè)棱與底面內(nèi)切圓半徑的比為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先畫(huà)出正六棱錐的底面和側(cè)面，利用幾何圖形中邊長(zhǎng)的關(guān)系，求側(cè)棱與底面內(nèi)切圓半徑的比.【詳解】如圖，正六邊形時(shí)正六棱錐的底面，等腰三角形是正六棱在的側(cè)面，設(shè)側(cè)棱，底面邊長(zhǎng)，底面內(nèi)切圓半徑，,則是等邊三角形，，側(cè)面中，，，即.故選：A17．（2021·廣東中山·高三期末）大擺錘是一種大型游樂(lè)設(shè)備(如圖)，游客坐在圓形的座艙中，面向外，通常大擺錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險(xiǎn)，座艙旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，懸掛座艙的主軸在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下做單擺運(yùn)動(dòng).假設(shè)小明坐在點(diǎn)處，“大擺錘”啟動(dòng)后，主軸在平面內(nèi)繞點(diǎn)左右擺動(dòng)，平面與水平地面垂直，擺動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)在平面內(nèi)繞點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，并且始終保持，.設(shè)，在“大擺錘”啟動(dòng)后，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)在某個(gè)定球面上運(yùn)動(dòng)；B．與水平地面所成銳角記為，直線與水平地面所成角記為，則為定值；C．可能在某個(gè)時(shí)刻，；D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為.【答案】C【分析】利用已知條件確定是定值，即得A選項(xiàng)正確；作模型的簡(jiǎn)圖，即得B正確；依題意點(diǎn)B在平面內(nèi)，不可能，得C錯(cuò)誤；設(shè)，結(jié)合題意知時(shí)，直線與平面所成角最大，計(jì)算此時(shí)正弦值，即得D正確.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)繞點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，并且始終保持，所，又因?yàn)椋瑸槎ㄖ?，所以也是定值，所以點(diǎn)在某個(gè)定球面上運(yùn)動(dòng)，故A正確；作出簡(jiǎn)圖如下，，所以，故B正確；因?yàn)椋圆豢赡苡?，故C不正確；設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角最大，此時(shí)直線與平面所成角的正弦值為，故D正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵在于認(rèn)真讀題、通過(guò)直觀想象，以實(shí)際問(wèn)題為背景構(gòu)建立體幾何關(guān)系，再運(yùn)用立體幾何知識(shí)突破難點(diǎn).18．（2021·山東菏澤·高三期末）沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱(chēng)為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)．如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為，細(xì)沙全部在上部，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）．假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐沙堆．以下結(jié)論正確的是（）A．沙漏的側(cè)面積是B．沙漏中的細(xì)沙體積為C．細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為D．該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1985秒（）【答案】D【分析】由題設(shè)知沙漏底面半徑cm，cm，可得圓錐的母線cm，利用圓錐側(cè)面積公式求沙漏側(cè)面積、根據(jù)高度比例及圓錐體積公式求細(xì)沙體積、由等體積法求細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度、由求沙漏的一個(gè)沙時(shí).【詳解】由題意知：底面半徑cm，cm，故圓錐的母線cm，A：沙漏的側(cè)面積，錯(cuò)誤；B：細(xì)沙全部在上部時(shí)，其底面半徑cm，cm，所以細(xì)沙體積為，錯(cuò)誤；C：若細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度為，由題設(shè)及B知：，解得，錯(cuò)誤；D：由題意及B知：，沙漏的一個(gè)沙時(shí)s，正確；故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用圓錐體側(cè)面積、體積公式求沙漏、沙堆的側(cè)面積、體積，根據(jù)等體積法求C所描述沙堆的高，由求沙時(shí).題型五：球體問(wèn)題19．（2021·江蘇·南京田家炳高級(jí)中學(xué)高三期末）已知直三棱柱的底面ABC為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積之比為（）A．25：1 B．2：1 C．5：1 D．：1【答案】C【分析】設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為，利用正三棱柱的內(nèi)切球的半徑為正三棱柱的底面正三角形的內(nèi)切圓半徑，求出內(nèi)切球的半徑，再利用正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心連接線段的中點(diǎn)，結(jié)合勾股定理求出外接球的半徑，從而得到外接球與內(nèi)切球表面積之比．【詳解】設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長(zhǎng)為，當(dāng)球內(nèi)切于正三棱柱時(shí)，球的半徑等于正三棱柱的底面正三角形的內(nèi)切圓半徑，所以，故正三棱柱的高為，當(dāng)球外接于正三棱柱時(shí)，設(shè)球的半徑為，則球心是上下底面中心連接線段的中點(diǎn)，如圖所示：因?yàn)?，，所以，外接球與內(nèi)切球表面積之比為，故選：C20．（2021·遼寧丹東·高三期末），，，在同一個(gè)球面上，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形；三棱錐的體積最大值為，則三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖可得三棱錐的高，進(jìn)而由直角三角形，可求出外接圓半徑，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，三角形ABC的中心為M，球心為O，當(dāng)時(shí)，三棱錐體積最大，，設(shè)，則外接圓體積為故選：B21．（2021·天津·高三期末）已知正方體的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，若球的體積為，則正方體的體積為（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出球的半徑，再根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)與其外接球半徑的關(guān)系，求出正方體的棱長(zhǎng)，即可求出正方體的體積.【詳解】解：球的體積為，即，解得：，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，由題意知：，即，解得：，正方體的體積.故選：D.22．（2021·貴州·高三期末（理））在三棱錐中，，底面是等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別設(shè)出三棱錐的底面邊長(zhǎng)和高，利用體積為，則可得出其關(guān)系式.再利用三棱錐的底面邊長(zhǎng)和高表示出三棱錐的外接球半徑，即可利用基本不等式得出其半徑的最小值，即可求出其表面積的最小值.【詳解】設(shè)三棱錐外接球的球心為，三棱錐底面邊長(zhǎng)和高分別為，.底面的外接圓半徑為，則.由題意可知是三棱錐的外接球的一條直徑，則，即.設(shè)三棱錐的外接球半徑為，球心到底面的距離為.則，故三棱錐的外接球表面積為.故選：A.23．（2020·河北邯鄲·高三期末）已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且的長(zhǎng)分別為，又，側(cè)面與底面成角，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【分析】將三棱錐體積用公式表示出來(lái)，結(jié)合均值不等式和，可得體積最大時(shí)，進(jìn)而得到，帶入體積公式求得，根據(jù)公式求出外接球的表面積.【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閭?cè)面與底面成角，則，，，所以，故外接球的表面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.題型六：空間幾何體-線面、二面角24．（2021·浙江浙江·高三期末）在正方體中，是正方形的中心，則直線與直線所成角大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】如圖，連接，，，利用余弦定理可求的值，從而可得直線與直線所成角大小.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，連接，，，因?yàn)?，故或其補(bǔ)角為直線與直線所成角.而，，，故，所以，所以，因?yàn)闉殇J角，故，故選：A.25．（2012·海南瓊?！じ呷谀ɡ恚┱睦忮F的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】連接底面正方形對(duì)角線、交于，連接，則是的中位線，且，故與所成角是異面直線與所成角，由此可求出異面直線與所成角的大?。驹斀狻窟B接底面正方形對(duì)角線、交于，則為的中點(diǎn)，連接，在中為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是的中位線，且，，與所成角是異面直線與所成角，由于，,，為等腰三角形，從作，則，在中根據(jù)余弦定理，，即，在中，根據(jù)余弦定理，，解得：，即，所以異面直線與所成角為，故選：C26．（2021·河北張家口·高三期末）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，分別為，的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)為Q，可得即為所求異面直線所成的角，求出各邊長(zhǎng)，利用余弦定理即可求出.【詳解】如圖，不妨設(shè).取的中點(diǎn)為Q，連接，則且，故四邊形為平行四邊形，∴，∴即為所求異面直線所成的角.在中，，，則.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．27．（2021·安徽·高三期末（理））在正方體中，已知分別為的中點(diǎn)，P為平面內(nèi)任一點(diǎn)，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷出角取得最小值時(shí)，即為直線與平面所成的角，可知角為與平面所成的角，利用三角函數(shù)值計(jì)算余弦值.【詳解】若取得最大值，則取得最小值，因?yàn)镻為平面內(nèi)任一點(diǎn)，由直線與平面所成角的定義可知，直線與平面所成的角為直線與平面內(nèi)的所有直線所成角的最小角，所以的最小值為與平面所成的角，如圖所示，為中點(diǎn)，可知即為在平面內(nèi)的射影，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則可得，所以，從而得到.故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)于線面角或者二面角的計(jì)算，一是可以利用定義找出線面角或者二面角的平面角，然后利用勾股定理或者余弦定理求解；二是可以建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過(guò)求出平面的法向量，再代入數(shù)量積的夾角公式計(jì)算.28．（2021·浙江·高三期末）在矩形中，，，E、F分別為邊、上的點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿直線折成，使得點(diǎn)在平面上的射影在四邊形內(nèi)（不含邊界），設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成的角為，直線與直線所成角為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意作出相應(yīng)的二面角，線面角，線線角，結(jié)合點(diǎn)在平面上的射影求解.【詳解】過(guò)A作的垂線，分別交，，于M，G，N，如圖，顯然.因?yàn)?，所以直線與所成角即為.當(dāng)在平面上的射影為G時(shí)，平面，此時(shí).于是當(dāng)在平面上的射影在線段上時(shí)，，所以.由于，，進(jìn)而得，.因?yàn)槭窃谄矫嫔系纳溆?，所以由線面角最小性知，即.再由二面角的最大性知.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)二面角平面角、線面角、異面直線所成的的角的定義，分別在圖形中作出或找到是解題的關(guān)鍵，再根據(jù)位置分析角的變化范圍即可比較大小.題型七：空間動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題29．（2021·北京·高三期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)可以是棱的中點(diǎn) B．線段的最大值為C．點(diǎn)的軌跡是正方形 D．點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為【答案】D【分析】在正方體中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、方向?yàn)檩S、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，確定點(diǎn)的軌跡，在逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】在正方體中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、方向?yàn)檩S、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵撜襟w的棱長(zhǎng)為，分別為的中點(diǎn)，則，，，，所以CN=12,0,1，設(shè)因?yàn)椋?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；取，，，，連接，，，，則EF=GH=0,1,0，EH=