期中模擬預測卷03（解析版）

2022-2023學年高一數(shù)學下學期期中模擬預測卷03考生注意：1．本試卷含三個大題，共21題．答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出解題的主要步驟．一．填空題（共12小題）1．若扇形的圓心角為30°，半徑為1，則扇形的面積為．【分析】根據(jù)弧長公式先求出弧長，然后利用扇形的面積公式進行計算即可．【解答】解：扇形的圓心角為，則扇形的弧長l＝×1＝，則扇形的面積S＝××1＝，故答案為：．【點評】本題主要考查扇形的面積的計算，利用扇形的弧長公式以及面積公式是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．2．在△ABC中，若，C＝60°，，則A＝450．【分析】由已知結(jié)合正弦定理可求sinA，然后結(jié)合大邊對大角即可求解A．【解答】解：由正弦定理可得，，所以sinA＝＝＝，因為c＞a，所以C＞A，A為三角形內(nèi)角，故A＝45°．故答案為：45°【點評】本題主要考查了正弦定理在求解三角形中的應用，屬于基礎(chǔ)試題．3．已知，則＝．【分析】由已知結(jié)合二倍角公式及同角基本關(guān)系即可求解．【解答】解：因為，則．故答案為：﹣【點評】本題主要考查了同角基本關(guān)系及二倍角公式在三角化簡求值中的應用，屬于基礎(chǔ)試題．4．已知向量，夾角為45°，且，，則?＝1．【分析】由平面向量數(shù)量積運算求解即可．【解答】解：由向量，夾角為45°，且，，則＝1×＝3，則?＝4，故答案為：1．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積運算，屬基礎(chǔ)題．5．已知tanθ＝，則sin2θ﹣2cos2θ＝﹣．【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanθ＝，則sin2θ﹣2cos2θ＝＝＝﹣，故答案為：﹣．【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應用，屬于基礎(chǔ)題．6．已知函數(shù)f（x）＝sin（3x+φ）（﹣＜φ＜）的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則φ＝．【分析】直接利用函數(shù)的關(guān)系式的變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用求出結(jié)果．【解答】解：數(shù)f（x）＝sin（3x+φ）（﹣＜φ＜）的圖象關(guān)于直線x＝對稱，所以（k∈Z），解得φ＝（k∈Z），由于﹣＜φ＜，當k＝0時，φ＝．故答案為：【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．7．關(guān)于x的方程cos2x+sinx﹣a＝0有實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，]．【分析】方程變形表示出a，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)及正弦函數(shù)的值域確定出a的范圍即可．【解答】解：方程cos2x+sinx﹣a＝0，變形得：a＝cos2x+sinx＝﹣sin2x+sinx+1＝﹣（sinx﹣）2+，∵﹣1≤sinx≤1，∴a的范圍為[﹣1，]．【點評】此題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．8．如圖，海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為海里：在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為海里；貨輪向正北由A處行駛到D處時，若燈塔B在方位角120°的方向上，則燈塔C與D處之間的距離為海里．【分析】利用方位角求出B的大小，利用正弦定理直接求解AD的距離，直接利用余弦定理求出CD的距離即可．【解答】解：在△ABD值中，因為在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°的方向上，距離為12海里，貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在南偏東60°方向上，所以B＝45°，由正弦定理，所以AD＝＝24海里．在△ACD中，AD＝24，AC＝8，∠CAD＝30°，由余弦定理可得：CD2＝AD2+AC2﹣2?AD?ACcos30°＝242+（8）2﹣2×24×8×＝192，所以CD＝8海里，故答案為：8．【點評】本題考查正弦定理與余弦定理的應用，注意方位角的應用，考查計算能力．9．已知f（x）＝Asin（ωx+φ），若函數(shù)y＝f（x）的圖像如圖所示，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2022）＝1+．【分析】由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式為f（x）＝sin（x﹣），得其最小正周期為8，求得一個周期內(nèi)f（1）、f（2），…，f（8）的值，可求得f（i）＝0，從而可求得f（i）的值．【解答】解：∵f（x）＝Asin（ωx+φ），∴由圖像知A＝1，T＝4，∴ω＝＝，由五點作圖法可知，1×+φ＝0，∴φ＝﹣，∴f（x）＝sin（x﹣），∴f（1）＝0，f（2）＝，f（3）＝1，f（4）＝，f（5）＝0，f（6）＝﹣，f（7）＝﹣1，f（8）＝﹣，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）＝0，又2220＝252×8+6，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2022）＝252×0+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）＝1+，故答案為：1+．【點評】本題考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的周期性，考查識圖能力與運算求解能力，屬于中檔題．10．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinA＝2sinC，a2+c2﹣ac＝b2，則∠C＝．【分析】利用正弦定理求出a，c關(guān)系，結(jié)合已知條件，推出b，c關(guān)系，然后利用余弦定理求解C即可．【解答】解：△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinA＝2sinC，可得a＝2c，代入a2+c2﹣ac＝b2，可得b＝c，所以cosC＝＝＝，因為C是三角形內(nèi)角，所以C＝．故答案為：．【點評】本題考查正弦定理以及余弦定理的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．11．已知α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，cosβ＝﹣，則α+2β的值為﹣．【分析】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得cosα和sinβ的值，再由二倍角公式得sin2β和cos2β的值，然后根據(jù)兩角和公式得cos（α+2β）和sin（α+2β）的值，并確定α+2β的取值范圍，從而得解．【解答】解：∵α∈（0，），sinα＝，∴cosα＝＝，∵β∈（﹣π，﹣），cosβ＝﹣，∴sinβ＝﹣＝﹣，∴sin2β＝2sinβcosβ＝2×（﹣）×（﹣）＝，cos2β＝1﹣2sin2β＝1﹣2×（﹣）2＝，∴cos（α+2β）＝cosαcos2β﹣sinαsin2β＝×﹣×＝﹣＜0，sin（α+2β）＝sinαcos2β+cosαsin2β＝×+×＝＞0，∵α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），∴α+2β∈（﹣2π，﹣），∴α+2β∈（﹣，﹣π），∴α+2β＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查三角恒等變換的綜合，主要包含兩角和差公式、二倍角公式，確定α+2β的取值范圍是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．12．在△ABC中，若，則（tan2A﹣3）sin2C的最小值為．【分析】由已知結(jié)合同角基本關(guān)系，二倍角公式進行化簡，然后結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：因為，所以B＝45°，則（tan2A﹣3）sin2C＝（tan2A﹣3）sin[2π﹣2（A+B）]＝﹣（tan2A﹣3）sin（2A+）＝﹣＝﹣?cos2A＝①，令t＝1+cos2A，因為A∈（0，），所以t∈（0，2），①＝＝＝4t+×2﹣6﹣6＝4，當且僅當4t＝×2，即t＝時取等號．故答案為：4﹣6．【點評】本題主要考查了同角基本關(guān)系，二倍角公式在三角化簡中的應用，還考查了利用基本不等式求解最值，屬于中檔題．二．選擇題（共4小題）13．已知非零向量，，，則“?＝?”是“＝”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】分別從充分性和必要性進行判斷，由充分條件與必要條件的定義，即可得到答案．【解答】解：當且，則＝0，但與不一定相等，故不能推出，則“?＝?”是“＝”的不充分條件；由，可得，則，即，所以可以推出，故“?＝?”是“＝”的必要條件．綜上所述，“?＝?”是“＝”的必要不充分條件．故選：B．【點評】本題考查了充分條件與必要條件的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的基本概念和基本運算，屬于基礎(chǔ)題．14．設(shè)函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤f（）對任意的x∈R恒成立，則下列結(jié)論正確的是（）A．f（）＞（） B．f（x）的圖像關(guān)于直線x＝對稱 C．f（x）在[，]上單調(diào)遞增 D．過點（a，b）的直線與函數(shù)f（x）的圖像必有公共點【分析】由f（x）≤f（）對任意的x∈R恒成立得函數(shù)在x＝取得最大值，從而有asin+bcos＝，整理得a＝b，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分析各選項即可判斷．【解答】解：由f（x）≤f（）對任意的x∈R恒成立得函數(shù)在x＝取得最大值，所以asin+bcos＝，整理得，a＝b，f（x）＝asinx+acosx＝sin（x+），A：f（）＝a，f（）＝sin（）＝，所以f（）＜f（），A錯誤；B：f（）＝0與函數(shù)在對稱軸處取得最值矛盾，B不正確；C：令≤x+，k∈Z，解得，，顯然不包含區(qū)間[，]，C不正確；由于f（x）＝sin（x+）的定義域R，最大值，故b＝a＜，從而點（a，b）的直線與函數(shù)f（x）的圖像必有公共點，D正確．故選：D．【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應用，解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的熟練掌握并能靈活應用，屬于中檔題．15．函數(shù)y＝sin（2x+φ）的圖像向左平移個單位長度后與函數(shù)的圖像重合，則|φ|的最小值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)的周期性進行求解即可．【解答】解：＝sin（+2x+）＝sin（2x+），函數(shù)y＝sin（2x+φ）的圖像向左平移個單位長度后，得到y(tǒng)＝sin[2（x+）+φ]＝sin（2x++φ），此時與y＝sin（2x+）重合，則+φ＝2kπ+，即φ＝2kπ+，k∈Z，當k＝0時，φ＝，當k＝﹣1時，φ＝﹣，即|φ|的最小值是，故選：C．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的變換關(guān)系以及周期性進行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．16．如果對一切實數(shù)x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，] B．[3，+∞） C．[﹣2，2] D．[﹣3，3]【分析】將不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立轉(zhuǎn)化為+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（y）＝+，利用基本不等式可求得f（y）min＝3，于是問題轉(zhuǎn)化為asinx﹣sin2x≤2恒成立．通過對sinx＞0、sinx＜0、sinx＝0三類討論，可求得對應情況下的實數(shù)a的取值范圍，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：?實數(shù)x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立?+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）＝+，則asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，當y＞0時，f（y）＝+≥2＝3（當且僅當y＝6時取“＝”），f（y）min＝3；當y＜0時，f（y）＝+≤﹣2＝﹣3（當且僅當y＝﹣6時取“＝”），f（y）max＝﹣3，f（y）min不存在；綜上所述，f（y）min＝3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx＝t，則0＜t≤1，再令g（t）＝t+（0＜t≤1），則a≤g（t）min．由于g′（t）＝1﹣＜0，所以，g（t）＝t+在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，因此，g（t）min＝g（1）＝3，所以a≤3；②若sinx＜0，則a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx＝0，0≤2恒成立，故a∈R；綜合①②③，﹣3≤a≤3．故選：D．【點評】本題考查恒成立問題，將不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立轉(zhuǎn)化為+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基礎(chǔ)，令f（y）＝+，求得f（y）min＝3是關(guān)鍵，也是難點，考查等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的綜合運用，屬于難題．三．解答題（共5小題）17．如圖，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，＝，＝，＝．（1）用表示，，；（2）求證：B，E，F(xiàn)三點共線．【分析】（1）利用平面向量的線性運算化簡即可；（2）利用平面向量共線定理證明即可．【解答】解：（1）＝＝，＝+＝+，＝＝（+）＝+；（2）證明：∵＝﹣＝+﹣＝﹣，＝﹣＝﹣＝（﹣）＝，∴B，E，F(xiàn)三點共線．【點評】本題考查了平面向量的線性運算及平面向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題．18．設(shè)，，且α，β滿足．（1）求的值；（2）求cos（α+β）的值．【分析】（1）利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值求出sin（α+）的值，由α的范圍求出α+的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡即可求出cos（α+）的值；（2）利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，求出sin（β+）的值，由β的范圍求出β+的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（β+）的值，將所求式子利用誘導公式sin（+θ）＝cosθ變形，其中的角+α+β變形為（α+）+（β+），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入即可求出值．【解答】解：（1）∵由題意可得5sinα+5cosα＝8，∴10（sinα+cosα）＝8，即sin（α+）＝，∵α∈（0，），∴α+∈（，），∴cos（α+）＝＝；（2）∵由題意可得sinβ+cosβ＝2，∴2（sinβ+cosβ）＝2，即sin（β+）＝，∵β∈（，），∴β+∈（，），∴cos（β+）＝﹣，∴cos（α+β）＝sin[+（α+β）]＝sin[（α+）+（β+）]＝sin（α+）cos（β+）+cos（α+）sin（β+）＝×（﹣）+×＝﹣．【點評】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式，靈活變換角度是解本題的關(guān)鍵，同時注意角度的范圍．本題中靈活運用角的變換的技巧達到了用已知表示未知，在求值題中，這是一個重要的經(jīng)驗！19．某動物園要為剛?cè)雸@的小動物建造一間兩面靠墻的三角形露天活動室，地面形狀如圖所示，已知已有兩面墻的夾角為（∠ACB＝），墻AB的長度為6米，（已有兩面墻的可利用長度足夠大），記∠ABC＝θ．（1）若θ＝，求△ABC的周長（結(jié)果精確到0.01米）；（2）為了使小動物能健康成長，要求所建的三角形露天活動室面積△ABC的面積盡可能大，問當θ為何值時，該活動室面積最大？并求出最大面積．【分析】（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC，BC，即可求△ABC的周長；（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將c，cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面積公式求出面積的最大值，以及此時θ的值．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝2，BC＝＝3+，∴△ABC的周長為6+3+3≈17.60米（2）在△ABC中，由余弦定理：c2＝62＝a2+b2﹣2abcos60°，∴a2+b2﹣ab＝36，∴36+ab＝a2+b2≥2ab，即ab≤36，∴S△ABC＝AC?BC?sin＝ab≤9，此時a＝b，△ABC為等邊三角形，∴θ＝60°，（S△ABC）max＝9．【點評】此題考查了正弦定理、余弦定理，基本不等式的應用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．20．已知函數(shù)f（x）＝sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0）．（1）化簡y＝f（x）的表達式；（2）若y＝f（x）的最小正周期為π，求y＝f（x），x∈（0，）的單調(diào)區(qū)間與值域；（3）將（2）中的函數(shù)f（x）圖像上所有的點向右平移φ（φ∈[0，]）個單位長度，得到函數(shù)y＝g（x），且y＝g（x）圖像關(guān)于x＝0對稱．若對于任意的實數(shù)a，函數(shù)y＝g（λx），x∈[a，a+]與y＝1的公共點個數(shù)不少于6個且不多于10個，求正實數(shù)λ的取值范圍．【分析】（1）由二倍角正余弦公式，以及輔助角公式可得f（x）＝2sin（2ωx﹣）；（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，）上單調(diào)遞減，可求值域；（3）由平移法則可得g（x）＝2sin[2x﹣2φ﹣]，又g（x）圖像關(guān)于x＝0對稱．可得g（x）＝﹣cos2λx，y＝1的公共點個數(shù)不少于6個且不多于10個，可得3?≤，且5?＞，求解即可．【解答】解：（1）由題意可得：f（x）＝sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx＝﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx＝sin2ωx﹣cos2ωx＝2sin（2ωx﹣）；（2）y＝f（x）的最小正周期為π，∴＝π，∴ω＝1，f（x）＝2sin（2x﹣），∵x∈（0，），∴2x﹣∈（﹣，），∴﹣＜sin（2x﹣）≤1，∴﹣1＜2sin（2x﹣）≤2，由2x﹣＝，可得x＝，∴y＝f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，）上單調(diào)遞減，值域為（﹣1，2]；（3）將（2）中的函數(shù)f（x）圖像上所有的點向右平移φ得y＝2sin[2（x﹣φ）﹣]，∴g（x）＝2sin[2x﹣2φ﹣]，∵y＝g（x）圖像關(guān)于x＝0對稱，∴﹣2φ﹣＝+kπ，k∈Z，∴φ＝﹣+，k∈Z，又φ∈[0，]，∴φ＝，∴g（x）＝﹣2cos2x．∴g（λx）＝﹣2cos2λx，又對于任意的實數(shù)a，函數(shù)y＝g（λx），x∈[a，a+]與y＝1的公共點個數(shù)不少于6個且不多于10個，∴3?≤且5?＞，解得9≤|λ|＜15，∴正實數(shù)λ的取值范圍[9，15）．【點評】本題主要考查了函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)恒等變換的應用，周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．21．已知函數(shù)y＝f（x），x∈D，如果對于定義域D內(nèi)的任意實數(shù)x，對于給定的非零常數(shù)P，總存在非零常數(shù)T，恒有f（x+T）＜P?f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的P級遞減周期函數(shù)，周期為T；若恒有f（x+T）＝P?f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的P級周期函數(shù)，周期為T．（1）判斷函數(shù)f（x）＝x2+3是R上的周期為1的2級遞減周期函數(shù)嗎，并說明理由？（2）已知，y＝f（x）是[0，+∞）上的P級周期函數(shù)，且y＝f（x）是[0，+∞）上的嚴格增函數(shù)，當時，f（x）＝sinx+1．求當時，函數(shù)y＝f（x）的解析式，并求實數(shù)P的取值范圍；（3）是否存在非零實數(shù)k，使函數(shù)是R上的周期為T的T級周期函數(shù)？請證明你的結(jié)論．【分析】（1）利用P級遞減周期函數(shù)定義，計算驗證作答；（2）根據(jù)給定條件，利用P級周期函數(shù)定義，依