核心考點(diǎn)06復(fù)數(shù)（原卷版）

核心考點(diǎn)06復(fù)數(shù)考點(diǎn)精講目錄一．虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)（共7小題）二．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義（共9小題）三．純虛數(shù)（共7小題）四．復(fù)數(shù)的運(yùn)算（共10小題）五．復(fù)數(shù)的模（共8小題）六．復(fù)數(shù)的三角表示（共3小題）七．實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理（共3小題）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一．虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)【虛數(shù)單位i的概念】i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a(bǔ)+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，把a(bǔ)＝0且b≠0的數(shù)叫做純虛數(shù)，a≠0，且b＝0叫做實(shí)數(shù)．復(fù)數(shù)的模為．【復(fù)數(shù)的運(yùn)算】①?gòu)?fù)數(shù)的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加．②復(fù)數(shù)的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M?N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，與多項(xiàng)式乘法類似，只不過要加上i．【例題解析】例：定義運(yùn)算，則符合條件的復(fù)數(shù)z為．解：根據(jù)定義，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i．這個(gè)題很好地反應(yīng)了復(fù)數(shù)的一般考法，也就是考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算能力，其中常常用到復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相除．這個(gè)題的第一步先把復(fù)數(shù)當(dāng)做一個(gè)整體進(jìn)行運(yùn)算，第二部相除，思路就是把分母變成實(shí)數(shù)，方法就是乘以它的共軛復(fù)數(shù)（虛數(shù)前面的符號(hào)變?yōu)橄喾醇仁牵幚磉@種方法外，有的時(shí)候還需要設(shè)出復(fù)數(shù)的形式為a+bi，然后在求出a和b，這種類型的題一般用待定系數(shù)法．【復(fù)數(shù)的概念】形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a+bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．2、復(fù)數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、復(fù)數(shù)的模：的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．二．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)（0，0），對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）→平面向量．2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．3、復(fù)數(shù)中的解題策略：（1）證明復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的策略：①z＝a+bi∈R?b＝0（a，b∈R）；②z∈R?＝z．（2）證明復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的策略：①z＝a+bi為純虛數(shù)?a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0時(shí)，z﹣＝2bi為純虛數(shù)；③z是純虛數(shù)?z+＝0且z≠0．三．復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則四．復(fù)數(shù)的模1．復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a+bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．2、復(fù)數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、復(fù)數(shù)的模：的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．五．實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理：n次多項(xiàng)式f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的系數(shù)都為實(shí)數(shù)，如果方程：f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0＝0有一根x0＝a0+b0i∈C（復(fù)數(shù)集），其中a0，b0∈R，則＝a0﹣b0i也是方程的根．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)（共7小題）1．（2022春?虹口區(qū)校級(jí)期末）已知復(fù)數(shù)z，則“z+＝0”是“z為純虛數(shù)”的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要2．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）3+4i的虛部是．3．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知復(fù)數(shù)z＝10+17i，則Rez＝．4．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若i是虛數(shù)單位，當(dāng)n∈N時(shí)，的所有可能的取值組成的集合為．5．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)2+i的虛部是．6．（2022春?松江區(qū)校級(jí)期末）設(shè)z、z1、z2∈C，則下列命題中的真命題為（）A．若z1＞z2，則z1+z＞z2+z B．若z+＝0，則z為純虛數(shù) C．若z1z2＝0，則z1＝0或z2＝0 D．若z＝z1z2，則argz＝argz1+argz27．（2022春?金山區(qū)校級(jí)期末）已知復(fù)數(shù)z1＝2+mi，z2＝tanθ+icos2θ（θ為實(shí)數(shù)），并且z1＝z2，則實(shí)數(shù)m＝．二．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義（共9小題）8．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）如果復(fù)數(shù)z滿足|z﹣1|+|z+1|＝2，那么|z﹣1﹣i|的最大值是．9．（2022春?嘉定區(qū)校級(jí)期末）已知復(fù)數(shù)z1＝5﹣2022i，z2＝2017+2ai（a∈R），若z1+z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則a＝．10．（2022春?虹口區(qū)校級(jí)期末）已知復(fù)平面上有點(diǎn)A和點(diǎn)B，向量與向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為﹣1﹣2i與4﹣i，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．11．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）求實(shí)數(shù)m的值或取值范圍，使得復(fù)數(shù)z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m﹣14）i在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z分別位于：（1）虛軸上；（2）第四象限．12．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)期末）復(fù)數(shù)3﹣4i和1+i在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角的大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．13．（2022春?徐匯區(qū)期末）如圖，在復(fù)平面上給定平行四邊形OABC，其中點(diǎn)A與點(diǎn)C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)zA＝﹣1+i與zC＝3+2i，則點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為．14．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）復(fù)數(shù)z＝（a2﹣2a+3）﹣（a2﹣a+）i（a∈R）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第象限．15．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）設(shè)a是實(shí)數(shù)，關(guān)于z的方程（z2﹣2z+5）（z2+2az+1）＝0有4個(gè)互不相等的根，它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的4個(gè)點(diǎn)共圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．16．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)A、P所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為πi、cos（2t﹣）+isin（2t﹣）（i為虛數(shù)單位），則當(dāng)t由連續(xù)變到時(shí)，向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是．三．純虛數(shù)（共7小題）17．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知復(fù)數(shù)z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．﹣218．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)期中）已知復(fù)數(shù)z＝（a2﹣3a+2）+（a2﹣a﹣2）i（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝．19．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)期末）已知純虛數(shù)z＝（1+i）m2﹣（4+i）m+3，其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．1 B．3 C．1或3 D．020．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）若關(guān)于x的方程x2+（t2﹣2t+2tx）i＝0（t∈R）有純虛數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的值為．21．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）已知θ為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則z的虛部為．22．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)月考）（1）當(dāng)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)是：①實(shí)數(shù)；②純虛數(shù)；（2）已知z，ω為復(fù)數(shù)，（1+3i）?z為純虛數(shù)，，且，求復(fù)數(shù)ω．23．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）設(shè)z為復(fù)數(shù)．（1）若，求|z|的值；（2）已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+px+q＝0（p、q∈R）的一個(gè)復(fù)數(shù)根為z，若z為純虛數(shù)，求p+q的取值范圍．四．復(fù)數(shù)的運(yùn)算（共10小題）24．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）i2022+i2021+…+i+1＝（）A．1 B．i+1 C．i D．025．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知復(fù)數(shù)z滿足（1+2i）z﹣1﹣i＝0，則z的虛部為（）A． B． C． D．26．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期末）關(guān)于z的實(shí)系數(shù)一元二次方程z2+bz+c＝0的一根為，則c＝．27．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期末）已知z是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則的最小值是．28．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知虛數(shù)z滿足z3+1＝0．則＝．29．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）設(shè)關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的兩個(gè)虛數(shù)根分別為x1、x2，若|x1﹣x2|＝|x1+x2|，則＝．30．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）已知z為虛數(shù)，且z1＝是實(shí)數(shù)，z2＝也是實(shí)數(shù)，則z3的值為．31．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）關(guān)于x的方程x2+mx+13＝0（m∈R）的兩個(gè)根為x1，x2．（1）若x1＝﹣3+2i，求實(shí)數(shù)m的值；（3）若|x1﹣x2|＝3，求實(shí)數(shù)m的值．32．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）已知z為虛數(shù)，若，且﹣1＜ω＜2．（1）求z的實(shí)部的取值范圍；（2）設(shè)，求ω﹣μ2的最小值．33．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位．（1）若，且z1?z2為實(shí)數(shù)，求θ的值；（2）若，復(fù)數(shù)z1z2對(duì)應(yīng)的向量分別是、，存在θ使等式成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．五．復(fù)數(shù)的模（共8小題）34．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）（1）若復(fù)數(shù)z1、z2，且z1?z2＝0，則z1＝0或z2＝0．（2）若復(fù)數(shù)z1、z2，且|z1|＝|z2|，則z1＝±z2．（3）若復(fù)數(shù)z，則|z|2＝z2．A．0 B．1 C．2 D．335．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)期末）設(shè)a∈R，復(fù)數(shù)z1＝a+i，z2＝2a+2i，z3＝2a+6i，其中i是虛數(shù)單位．若|z1|，|z2|，|z3|成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值是．36．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）若復(fù)數(shù)z1和復(fù)數(shù)z2滿足|z1|＝6，|z2|＝4，|z1+z2|＝8，則|z1﹣z2|＝．37．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)期末）已知復(fù)數(shù)z1＝3cosθ+isinθ，，其中i為虛數(shù)單位，θ∈R．（1）當(dāng)z1、z2是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+mx+n＝0的兩個(gè)虛根時(shí)，求實(shí)數(shù)m、n的值；（2）求的值域．38．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期末）已知復(fù)數(shù)z＝a+bi（其中a、b∈R），存在實(shí)數(shù)t，使成立．（1）求值：2a+b；（2）若，求|z|的取值范圍．39．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知虛數(shù)z1＝4cosθ+3sinθ?i，z2＝2﹣3sinθ?i，其中i為虛數(shù)單位，θ∈R，z1、z2是實(shí)系數(shù)一元二次方程z2+mz+n＝0的兩根．（1）求實(shí)數(shù)m、n的值；（2）若，求|z|的取值范圍．40．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）設(shè)復(fù)數(shù)數(shù)列{zn}滿足：|z1|＝1，且對(duì)任意正整數(shù)n，均有：．若復(fù)數(shù)zi對(duì)應(yīng)復(fù)平面的點(diǎn)為Zi，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求△OZ1Z2的面積；（2）求|zn+zn+1|；（3）證明：對(duì)任意正整數(shù)m，均有．41．（2022春?嘉定區(qū)校級(jí)期末）已知向量，，，在復(fù)平面坐標(biāo)系中，i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1．（1）求|z1|；（2）若復(fù)數(shù)z滿足（為z1的共軛復(fù)數(shù)），且復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，求點(diǎn)Z與點(diǎn)Z1之間的最小距離．六．復(fù)數(shù)的三角表示（共3小題）42．（2022春?嘉定區(qū)校級(jí)期末）復(fù)數(shù)的三角形式（用輻角主值表示）為．43．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則argz＝．44．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）的三角形式是（）A． B． C． D．七．實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理（共3小題）45．（2022春?普陀區(qū)校級(jí)期末）若3+4i是關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0（b∈R，c∈R）的一個(gè)虛數(shù)根，則c＝．46．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若1+2i是實(shí)系數(shù)方程x2+ax+b＝0的一個(gè)根，則a?b＝．47．（2022春?徐匯區(qū)期末）已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+kx+3＝0有兩個(gè)虛根x1和x2．（1）求k的取值范圍；（2）若|x1﹣x2|＝2，求k的值．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2022春·上海黃浦·高一上海市向明中學(xué)?？计谀┰O(shè)是虛數(shù)單位，則的值為（

）A． B． C． D．02．（2022春·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？计谀┓匠逃幸粋€(gè)根為，求的值為（

）A．5 B．3 C．4 D．23．（2020秋·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)（）的最小值為0，若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為（

）A．9 B．8 C．6 D．44．（2022春·上海浦東新·高一校考期末）已知下列命題：(1)“為實(shí)數(shù)”的充要條件是“”；(2)若，則；(3)；(4).在復(fù)數(shù)集中，上述命題正確的個(gè)數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題5．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┰趶?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則___________.6．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)平面內(nèi)的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是－2＋i，3＋2i，則＝________．7．（2022春·上海普陀·高一?？计谀┦翘摂?shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則______．8．（2022春·上海長(zhǎng)寧·高一上海市第三女子中學(xué)?？计谀┰趶?fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式________．9．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀__________.10．（2022春·上海普陀·高一?？计谀┰O(shè)，則_______.11．（2022春·上海松江·高一上海市松江二中?？计谀┰O(shè)為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)，（其中i為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則的值為_______.12．（2021春·上海普陀·高一曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知z是復(fù)數(shù),均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位）,且復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．13．（2021春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)校考階段練習(xí)）負(fù)實(shí)數(shù)在復(fù)數(shù)范圍的平方根是______.14．（2021春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程的兩個(gè)虛根為，且，則實(shí)數(shù)的值是______.15．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中學(xué)校考期末）若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______．16．（2022春·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)校考期末）復(fù)數(shù)和在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角的大小為__________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）.17．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）為求方程的虛根，可以把原方程變形為，由此可得原方程的一個(gè)虛根為______18．（2021春·高一單元測(cè)試）______.三、解答題19．（2022春·上海普陀·高一?？计谀┮?/p>