第一講 轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用（原卷版）

轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想:就是把待解決或難解決的問題通過數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)運(yùn)算，使之轉(zhuǎn)化為一類已解決或易解決的問題，最終使原問題獲解。使用化歸與轉(zhuǎn)化思想的原則是:化難為易、化異為同、化生為熟、化繁為簡、化未知為已知。在三角函數(shù)學(xué)習(xí)中，從三角函數(shù)的概念建立、推理證明、計(jì)算化簡到實(shí)際問題的解決，始終貫穿著轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用。如利用三角函數(shù)定義可以實(shí)現(xiàn)邊與角的轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)之間互余關(guān)系實(shí)現(xiàn)對(duì)“正余弦”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用同角關(guān)系及“1”的妙用可以實(shí)現(xiàn)弦切互化。在有關(guān)三角函數(shù)的最小正周期、三角函數(shù)求值、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)、三角函數(shù)的值域、三角函數(shù)的伸縮平移變換及三角恒等變換的問題中，經(jīng)常涉及到代換思想、類比思想和轉(zhuǎn)化思想等來解決問題，這些均體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)中的重要性及其重要應(yīng)用。在學(xué)習(xí)和使用轉(zhuǎn)化與化歸思想時(shí)，一定要明確轉(zhuǎn)化目標(biāo)，轉(zhuǎn)化方向，有了轉(zhuǎn)化目標(biāo)和方向后，接下來的重點(diǎn)思想是如何向我們的目標(biāo)和方向進(jìn)行轉(zhuǎn)化。而本文會(huì)重點(diǎn)就轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)中的5類應(yīng)用展開詳細(xì)講解?！緫?yīng)用一】轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)求最小正周期中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)三角函數(shù)圖象及性質(zhì)及三角恒等變換時(shí)，會(huì)直接用公式求（）的周期，但有時(shí)也會(huì)遇到這樣一類題，給定的函數(shù)解析式包含正弦和余弦，或?yàn)楦叽问?，此時(shí)則無法用周期公式直接求解；需要對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行函數(shù)名的統(tǒng)一或降次化簡，從而轉(zhuǎn)化為（）的形式，即可求解，變換過程的實(shí)質(zhì)就是“化歸”思想。例如下面這道例題：【例1】（四川成都·成都七中?？家荒＃┖瘮?shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．在我們熟悉的求解最小正周期的問題中，經(jīng)常遇見給定的函數(shù)解析式是可以直接用周期公式求解的，而本題無法直接通過周期公式求解，那該怎么轉(zhuǎn)化呢？這就需要我們利用相關(guān)公式把函數(shù)解析式化解為一個(gè)函數(shù)名，要么是正弦、要么是余弦，首先我們要把轉(zhuǎn)化為，則即可計(jì)算求解【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于給定的解析式無法直接用周期公式求解時(shí)，我們都可以用轉(zhuǎn)化與化歸思想，對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡來統(tǒng)一函數(shù)名，進(jìn)而用周期公式求解，通過學(xué)習(xí)本題達(dá)到學(xué)習(xí)一道題會(huì)一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究復(fù)雜型的三角函數(shù)周期問題【變式1.1】（全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【變式1.2】（湖北武漢·校聯(lián)考一模）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【變式1.3】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和2【應(yīng)用二】轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)給值求值及拼湊角中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及三角恒等變換時(shí)，常見的給值求值會(huì)比較好化簡，常見的拼湊角可以轉(zhuǎn)化成特殊角處理，但有時(shí)也會(huì)遇到這樣一類題，給定的角為非特殊角，需要多次拼湊才能實(shí)現(xiàn)特殊轉(zhuǎn)化，需結(jié)合誘導(dǎo)公式和恒等變換求解，這樣把角通過拼湊來整體轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)就是“化歸”思想。例如下面這道例題：【例2】（2019·全國·高考真題）tan255°=A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+在我們求角的三角函數(shù)值時(shí)，遇到的角如為特殊角，則通過特殊角的三角函數(shù)值直接求值即可；而本題的為非特殊角，則解題的關(guān)鍵在于如何把非特殊角通過拼湊轉(zhuǎn)化為特殊角，即可表示為，先用誘導(dǎo)公式進(jìn)行第一步轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計(jì)算，進(jìn)一步對(duì)進(jìn)行拼湊為，應(yīng)用兩角和的正切公式計(jì)算求解．

【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于給定非特殊角求值問題，我們都可以用轉(zhuǎn)化與化歸思想，對(duì)待求角進(jìn)行拼湊轉(zhuǎn)化，結(jié)合誘導(dǎo)公式及三角恒等變換公式來作為解題突破口，從而通過學(xué)習(xí)一道題會(huì)一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究三角函數(shù)給值求值問題?！咀兪?.1】（2017·江蘇·高考真題）若,則.【變式2.2】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中校考期末）已知角，，則（

）A． B． C． D．【變式2.3】（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知，則（

）A． B． C． D．【應(yīng)用三】轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)伸縮平移變換中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)三角函數(shù)伸縮平移變換及三角恒等變換綜合時(shí)，會(huì)遇到這樣一類題，為異名三角函數(shù)的伸縮平移變換。這類題型解題關(guān)鍵在于用誘導(dǎo)公式及三角恒等變換公式來統(tǒng)一函數(shù)名，通常用進(jìn)行正弦化余弦，用進(jìn)行余弦化正弦，進(jìn)而求解，其實(shí)質(zhì)就是“化歸”思想。例如下面這道例題：【例3】（2022·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度我們?cè)趯W(xué)習(xí)三角函數(shù)的伸縮平移變換中，經(jīng)常遇到同名三角函數(shù)的相關(guān)變換，而本題為異名三角函數(shù)的伸縮平移變換，平移前是余弦型函數(shù)，平移后是正弦型函數(shù)，我們要做的變換首先是把異名三角函數(shù)變?yōu)橥呛瘮?shù)，我們不妨把題干簡化成：，我們可以對(duì)平移前進(jìn)行變換，，從而轉(zhuǎn)化為的變換；我們同樣也對(duì)平移后進(jìn)行變換，，從而轉(zhuǎn)化為的變換，進(jìn)而求解變換過程【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于異名三角函數(shù)的伸縮平移變換,往往可以利用誘導(dǎo)公式,將其轉(zhuǎn)化為形如同名三角函數(shù)的形式，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)伸縮平移變換規(guī)則可求解，通過學(xué)習(xí)本題達(dá)到學(xué)習(xí)一道題會(huì)一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究復(fù)雜型的三角函數(shù)伸縮平移變換或變換后的圖象與性質(zhì)等綜合問題?！咀兪?.1】（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線，則下面結(jié)論正確的是（

）A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線C2C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度C2D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2【變式3.2】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度

【變式3.3】（2022·新疆克拉瑪依·統(tǒng)考三模）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位【應(yīng)用四】轉(zhuǎn)化與化歸思想在弦切互化中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)同角三角函數(shù)基本關(guān)系及三角恒等變換時(shí)，會(huì)遇到這樣一類題，已知正切求關(guān)于正弦或余弦代數(shù)式的值，會(huì)有如下幾類情況，已知的代數(shù)式是一次分式齊次式、次分式齊次式或次整式齊次式，代數(shù)形式為：、或，而此時(shí)能否做到統(tǒng)一三角函數(shù)名，把待求的正弦或余弦，用已知的正切來表示就顯得至關(guān)重要，這也是解題的核心思想，而在統(tǒng)一函數(shù)名用正切來表示的方法就是弦切互化。“弦切互化”的應(yīng)用中，通常指的是把三角函數(shù)中的弦化成切，有時(shí)結(jié)合具體試題也可以把切化成弦，從而來統(tǒng)一函數(shù)名求解。對(duì)于中，分子分母同時(shí)除以，可得，即可求解，對(duì)于中，分子分母同時(shí)除以，可得，即可求解，對(duì)于中，即，我們需要巧妙使用平方關(guān)系“”來等價(jià)替換，若，則，即可求解若則需進(jìn)行齊次轉(zhuǎn)化，像這樣把函數(shù)名稱化為統(tǒng)一，有利于解題的過程，其實(shí)質(zhì)就是“轉(zhuǎn)化與化歸”思想。例如下面這道例題：

【例4】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B． C． D．在我們熟悉的弦化切過程中，我們通?？吹降姆质缴舷麓螖?shù)是一致的，這時(shí)候只需要在分母上下同時(shí)除以的若干次方即可，而在本題中，很顯然分式上下的次數(shù)不一致，那么我們?cè)撊绾螌⑺D(zhuǎn)化為一致呢？這就需要我們借助來調(diào)節(jié)式子的次數(shù)，把1換成，其實(shí)相當(dāng)于把一個(gè)“零次式”轉(zhuǎn)化為了一個(gè)“二次式”，從而起到了調(diào)節(jié)次數(shù)的作用本題中，我們把分子中的換為，結(jié)合，分子將變成一個(gè)三次式，而分母還是一個(gè)一次式，這時(shí)候我們需要對(duì)分母進(jìn)行齊次構(gòu)造，可以借助分母乘以結(jié)果不變，把分母調(diào)整成三次式，整個(gè)式子變?yōu)榫蛯⑽覀兊念}目轉(zhuǎn)化為了一道我們熟悉的題目，從而使用我們的弦化切方法進(jìn)行求解【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于已知正切值，要求關(guān)于弦的齊次及非齊次類的化簡求值類型題，我們都可以用轉(zhuǎn)化與化歸思想及弦切互化的方法來作為解題突破口，對(duì)于、這類齊次直接除以的化簡求值，對(duì)于這類齊次式，可借助加分母來構(gòu)建齊次化簡求值，對(duì)于加完分母1仍然不齊次問題，可再次借助題干隱藏條件或來調(diào)節(jié)式子的次數(shù)使之齊次。在后續(xù)學(xué)習(xí)中遇到已知正切，來求上述問題時(shí)，可利用轉(zhuǎn)化與化歸思想來求解?！咀兪?.1】（2023秋·天津紅橋·高一天津市瑞景中學(xué)校考期末）已知，則（

）A．4 B． C． D．【變式4.2】（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？级＃┮阎?，則.【變式4.3】（2019·江蘇·高考真題）已知，則的值是.

【應(yīng)用五】轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)最值中的應(yīng)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)及三角恒等變換綜合時(shí)，經(jīng)常遇到具體的正弦型或余弦型函數(shù)的值域和最值問題，可結(jié)合性質(zhì)直接求解，但有時(shí)也會(huì)遇到這樣一類題，給出幾個(gè)不同函數(shù)名的三角函數(shù)，要求給定函數(shù)的最值或值域。這類題型解題關(guān)鍵在于用誘導(dǎo)公式及三角恒等變換公式來做函數(shù)名和角度的統(tǒng)一，進(jìn)而用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解，其實(shí)質(zhì)就是“化歸”思想。例如下面這道例題：【例5】（2019·全國·高考真題）函數(shù)的最小值為．在我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，我們對(duì)于（）或（）的最值可以快速求解，對(duì)于（）的最值可以結(jié)合二次函數(shù)換元求解。而本題函數(shù)名包含正弦和余弦，且角度為倍角關(guān)系，直接用性質(zhì)無法求解，需要對(duì)利用誘導(dǎo)公式及三角恒等變換公式對(duì)原函數(shù)進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化為相的同三角函數(shù)名和相同的角。首先把轉(zhuǎn)化成，則，第一步轉(zhuǎn)化為了相同的三角函數(shù)名；其次把轉(zhuǎn)化成，則，第二步轉(zhuǎn)化為了相同的角，進(jìn)而換元，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解最值?！舅季S提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于三角函數(shù)的最值問題,往往可以利用誘導(dǎo)公式及三角恒等變換公式,將其進(jìn)行同三角函數(shù)名和同角變形，轉(zhuǎn)化為形如（）或（）等形式，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì)可求解最值，可通過學(xué)習(xí)一道題會(huì)一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究三角函數(shù)的最值或值域等綜合問題?！咀兪?.1】（2016·全國·高考真題）函數(shù)的最大值為A．4 B．5 C．6 D．7【變式5.2】（2017·全國·高考真題）函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x?)的最大值為A． B．1 C． D．【變式5.3】（2017·全國·高考真題）函數(shù)（）的最大值是．鞏固練習(xí)1．（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知，則=（

）A．-7 B． C． D．52．（2023秋·高一單元測(cè)試）已知，則等于（

）A．4 B．6 C．2 D．3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．5．（全國·高考真題）為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個(gè)長度單位 B．向右平移個(gè)長度單位C．向左平移個(gè)長度單位 D．向右平移個(gè)長度單位6．（2023·吉林通化·梅河口市第五