重慶市巴南區(qū)2024屆高二數學第一學期期末聯考試題含解析

重慶市巴南區(qū)2024屆高二數學第一學期期末聯考試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.片，凡是橢圓土+乙=1的焦點，點P在橢圓上，點尸到E的距離為1,則P到6的距離為（）

94

A.3B.4

C.5D.6

2.若橢圓。：如2+〃y2=1與直線岳+y—1=0交于A,3兩點,過原點與線段A8中點的直線的斜率為貶,則一=

n

1A/2

A.?BR?------

22

C.y/2D.2

3.如圖，在長方體ABCB—44。。］中，AB^BC=2,CQ=1,則直線A，和耳。夾角的余弦值為（）

22

4.橢圓C:工+與=15〉?！?）的左右焦點分別為耳，工，P是C上一點，PF2LX軸，NP耳瑞=30。，則橢圓。

ab

的離心率等于（）

A巫B.-

33

1

D.—

2

5.若點A是函數y=x-4ex圖象上的動點（其中e的自然對數的底數），則A到直線y=3-3%的距離最小值為（）

771049

.?------B.——

1010

C.V17

6.氣象臺A正南方向400km的一臺風中心，正向北偏東30°方向移動，移動速度為50km/h,距臺風中心250km

以內的地區(qū)都將受到影響，若臺風中心的這種移動趨勢不變，氣象臺所在地受到臺風影響持續(xù)時間大約是（）

A.3hB.4h

C.5hD.6h

7.已知A(L—2,3),則點A關于xOy平面的對稱點的坐標是()

A.(—1,—2,3)B.(—1,—2,—3)

C.(1,—2,—3)D.(—1,2,-3)

22

8.橢圓一一+W—=1焦距為O

m+12m+4

A.472B.8

C.4D.2V2

9.圓（％-1）2+（丁+2）2=2關于直線/：x+y-2=0對稱的圓的方程為（）

A.(x-4)2+(y-l)2=2B.(x+4)2+(y+l)2=2

C.(x-4)2+(y+l)2=2D.(x+4)2+(y-l)2=2

10.已知直線/i：y=x+2與L：2Q%+y-l=0垂直，貝（）a=（）

11

A.—B.----

22

C.-1D.l

11.已知ABC的周長等于10,忸q=4,通過建立適當的平面直角坐標系，頂點A的軌跡方程可以是（）

2222

A.—+^=l（y^0）B.土+乙=1（丁#0）

95I）94V7

2222

C.—+^=l(y^o)D.土+乙=1("0)

3620i)36161)

r2v21

12.設片，凡是橢圓L+2L=I的兩個焦點，「是橢圓上一點，且cos/KPE,=-.則鳥的面積為()

1224-3

A.6B.6夜

C.8D.8&

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.命題“若尤＞0,則12＞。”的否命題為

14.一道數學難題，在半小時內，甲能解決的概率是:，乙能解決的概率是g,兩人試圖獨立地在半小時內解決它，

則問題得到解決的概率是.

15.已知函數，/(/(1))=.

-%,x＞0,

16.寫出直線2x+y+l=0一個方向向量機=

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在半徑為6m的,圓形(。為圓心)鋁皮上截取一塊矩形材料0A5C,其中點3在圓弧上，點A,

4

C在兩半徑上，現將此矩形鋁皮OA5C卷成一個以A3為母線的圓柱形罐子的側面(不計剪裁和拼接損耗)，設矩形的

邊長|A3|=xm,圓柱的體積為VnP.

(1)寫出體積V關于x的函數關系式，并指出定義域；

(2)當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大？最大體積是多少？

22

18.(12分)已知命題P：實數/"滿足|i+i2°22|＞加成立，命題4：方程工+」一=1表示焦點在y軸上的橢圓，若命

m2—m

題r為真，命題?；騫為真，求實數〃?的取值范圍

19.(12分)已知圓C:x2+y2+8y+i2=0,直線/:?x+y+2a=0.

(1)當。為何值時，直線/與圓C相切；

(2)當直線/與圓C相交于A、B兩點,且|A@=2及時，求直線/的方程.

20.(12分)已知等差數列｛%｝的前“項和為S,"S9=81,%=13,求：

(1)S?；

(2)若S3、Sl7-S16>&成等比數列，求發(fā)

21.(12分)已知圓C的方程為爐+9―2x—2y—23=0

(1)求圓。的圓心及半徑；

(2)是否存在直線/滿足：經過點A(2,-1),且_________________?如果存在，求出直線/的方程；如果不存在,

請說明理由

從下列三個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：

條件①：被圓C所截得的弦長最長；

條件②：被圓C所截得的弦長最短；

條件③：被圓。所截得的弦長為8

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分

22.(10分)如圖，在三棱錐P—ABC中，底面ABC,ZBAC=90°.點。，E,N分別為棱24,PC,BC

的中點，河是線段AD的中點，PA=AC=4,AB=2

(1)求證：MN〃平面BDE；

(2)求二面角C-EM—N的正弦值；

(3)已知點”在棱24上，且直線NH與直線跳所成角的余弦值為也，求線段的長

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】利用橢圓的定義直接求解

【詳解】由題意得片=9,得。=3,

因為|尸制+|尸閶=2a=6,|尸耳|二1,

所以|尸制=5,

故選：C

2、D

【解析】細查題意，把＞=1-缶代入橢圓方程如2+4=1,得座2+”(1—后-=1,整理得出

(m+2n)x2-242nx+n-l=0,設出點A3的坐標，由根與系數的關系可以推出線段A5的中點坐標，再由過原點

與線段A3的中點的直線的斜率為行，進而可推導出一的值.

n

I詳解】聯立橢圓方程如2+町;2=]與直線方程缶+,_]二0,

可得mx?+n(l-A/2X)2=1,

整理得(m+2n)x2-2y[lnx+〃-1=0,

設%),8cx2,%),

則為+々=尊巴，

m+2n

從而線段AB的中點的橫坐標為％=土也=衛(wèi)1，縱坐標光=1-亞％=」一，

2m+2nm+2n

因為過原點與線段AB中點的直線的斜率為叵，

m

所以陪&區(qū)

m+2n

rn

所以一=2,

n

故選D.

【點睛】該題是一道關于直線與橢圓的綜合性題目，涉及到的知識點有直線與橢圓相交時對應的解題策略，中點坐標

公式，斜率坐標公式，屬于簡單題目.

3、D

【解析】如圖建立空間直角坐標系，分別求出曲旦。的坐標，由空間向量夾角公式即可求解.

【詳解】如圖：以。為原點，分別以DA,DC,?？谒诘闹本€為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則。（0,0,0）,

4（2,0,0）,2（0,0,1）,4（2,2,1）,

所以叫=（一2,0,1）,^￡>=（-2,-2,-1）,

/\ARBD4-1亞

而以cos<A4Dn.,BR,nD）=?----V-H~?=——/=——

所以\??//|也向V5XV4Z4ZT5，

所以直線和耳。夾角的余弦值為g,

故選：D.

【解析】在月中結合已知條件，用焦距表示|尸耳|、再利用橢圓定義計算作答.

RtAP￡2c\PF2\,

22

【詳解】令橢圓C:二+二=1的半焦距為C,因P是。上一點，P巴，X軸，鳥=30。,

ab

在RtAP￡片中，|「外|=|月工ItanNPEK\PFl\=2\PF2l=^y^-?

由橢圓定義知2。=|。月|+|即|=2辰，則6=至=走，

2a3

所以橢圓C的離心率等于且.

3

故選：A

5、A

【解析】設/(x)=x—4e',g(x)=3—3無，設與g(x)平行且與7'(尤)相切的直線與/'⑺切于4e%),由導

數的幾何意義可求出點尸的坐標，則A到直線y=3-3%的距離最小值為點p到直線y=3-3x的距離，再求解即可.

【詳解】解：設/(x)=x—4e*,g(x)=3-3無，/(x)=l-4ex

設與g(x)平行且與于(x)相切的直線與/(尤)切于P(%,5-4e“)

所以/''(40)=]_4€』=-3=>%0=0

所以P(0,—4)

則P到直線g(x)的距離為d=^==乂邊，

M10

即A到直線y=3-3x的距離最小值為人包，

10

故選：A

6、D

【解析】利用余弦定理進行求解即可.

【詳解】如圖所示：設臺風中心為。，ZAOB=30°,f小時后到達點3處，即忸。|=50八

當A3<250時，氣象臺所在地受到臺風影響,

由余弦定理可知:

|AB\=A0|2+\Bd\-2■|AO|-|B0|■cos30°=,160000+2500/_2x400.50/毛，于是有：

I=160000+2500』-2x400-50r^<2502n/一8?+39<0，

解得：4V3-3<?<4A/3+3，

所以氣象臺所在地受到臺風影響持續(xù)時間大約是4A/3+3-（4A/3-3）=6，

故選：D

7、C

【解析】根據對稱性求得坐標即可.

【詳解】點A關于X0V平面的對稱點的坐標是（1,-2,-3）,

故選：C

8、A

【解析】由題意橢圓的焦點在X軸上，故片=7〃2+1212=7〃2+4,02=〃2+12—（加2+4）=8,求解即可

【詳解】由題意，m2+12>m2+4,故橢圓的焦點在X軸上

a2=m2+12,b2=m2+4,c2=m2+12-（m2+4）=8

故焦距2c=2x2y/2=4y/2

故選:A

9、A

【解析】首先求出圓（x—l）2+（y+2）2=2的圓心坐標與半徑，再設圓心（L—2）關于直線l:x+y-2=0對稱的點的

坐標為（。力），即可得到方程組，求出。、b,即可得到圓心坐標，從而求出對稱圓的方程；

【詳解】解：圓（彳—1丫+（尹2）2=2的圓心為（1,—2）,半徑一行，設圓心（1,—2）關于直線/:x+y—2=。對稱的

點的坐標為（。涉），

b+2z

----x(-ln=-1

zz-l\7<2=4

即圓（x—丁+（/2）2=2關于直線/：%+k2=0對稱的圓的圓心為（4,1）,

則9，解得

工曰-2=0b=l

I22

半徑r=五，

所以對稱圓的方程為（％—4）2+（y—1）2=2；

故選：A

10、A

【解析】利用兩直線垂直斜率關系，即可求解.

【詳解】直線li：y=x+2與hz2ax+y-1=0垂直，

一2a——1,1.a=—?

2

故選:A

【點睛】本題考查兩直線垂直間的關系，屬于基礎題.

11、A

【解析】根據橢圓的定義進行求解即可.

【詳解】因為一ABC的周長等于10,忸。=4,

所以|AB|+|AC|=6>忸q,

因此點A的軌跡是以5c為焦點的橢圓，且A不在直線上，

因此有2。=6,2c=4na=3,c=2n/=4—/=5,

22

所以頂點A的軌跡方程可以是三■+4=l（yw0）,

故選：A

12、B

【解析】利用橢圓的幾何性質，得到|P制+|P閶=2a=4n，閨司=2C=4Q,進而利用cos/片尸耳=g得出

|尸7小忸閶=18,進而可求出

22

【詳解】解：由橢圓二+上=1的方程可得標=24力2=12,

1224

所以c?="-A?=12，得a=2娓,c=2幣

且儼耳|+歸耳|=2。=4癡，閨司=20=4百，

在月中，由余弦定理可得

cosZFPF=呼）+*|2-]廖『=（|尸用+|沙|）2-2|因||丁|-超』|2

2

'2|尸耳||尸耳|2\PFl\\PF2\

_4a2一402一2|）耳||尸耳|_4/一2|尸耳||2區(qū)|=4x12—21。耳|||

-2|尸耳||尸耳|-—2|尸￡||尸耳|2\PF1\\PF.\

而cos/KP&=g,所以，歸耳卜歸閭=18,

又因為，cosZ^PT^=1,所以sin/月尸乙=當，

所以，S_PF[Fz=^\PFl\\PF2\-sinZFlPF2=^xl8x^^=642

故選：B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、若無<0,則f<0

【解析】否命題是對命題的條件和結論同時否定，同時否定x>0和犬>0即可.

命題“若x>0,則>0"的否命題為:若x<0,貝！)％2<0

考點：四種命題.

2

14、-

3

【解析】分甲解決乙不能解決，甲不能解決乙能解決，甲能解決乙也能解決三類，利用獨立事件的概率求解.

【詳解】因為甲能解決的概率是!，乙能解決的概率是工，

所以問題得到解決的概率是〃=不乂(1_鼻］+(1_乂,+不乂耳二.，

2

故答案為：-

3

15、-1

【解析】直接利用分段函數的解析式即可求解.

,c/\一，無<0,

【詳解】因為〃x)=X''，

-x,x>0,

所以/(1)=—1,

所以/(/(1))=/(T)=—L

故答案為：-1

16、（1,-2）

【解析】本題可先將直線的一般式化為斜截式，然后根據斜率即可得到直線的一個方向向量.

【詳解】由題意可知，直線2x+y+l=0可以化為y=-2x—1,

所以直線的斜率為-2,直線的一個方向向量可以寫為（1,-2）.

故答案為：（L-2）.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）V=36X~X,0<x<6；

（2）時，V最大值為"@n?.

n

【解析】（1）連接08,在Rt_Q短中，由|A同=x,利用勾股定理可得|Q4|,設圓柱底面半徑為「，求出廠.利用

、=+.%（其中0<%<6）即可得出；

⑵利用導數V',求出V的單調性，即可得出結論

【小問1詳解】

連接08,在Rt一。48中，\AB\^x,.?.儂=J36-d,

設圓柱底面半徑為小貝UJ36—尤2=2萬廠，

即4乃2戶=36-x2,

v=nr1?x=,其中0<x<6

4?

【小問2詳解】

由*36-3廠=。及0<%<6,得x=2g,

4%

列表如下:

X(0,2而2道＞（2石，6）

V+0—

極大值?8

V

71

???當x=2百時，丫有極大值，也是最大值為Nn?

n

18、l＜m＜\/2^4m＜0

【解析】首先根據復數的乘方及復數模的計算公式求出命題，為真時參數的取值范圍，再根據橢圓的性質求出命題夕為

真時參數的取值范圍，依題意夕為假，。為真，即可求出參數的取值范圍；

【詳解】解：因為i=i，i2=—l，『=一3.Ji，所以i2。22=14x505+2"=—],所以k+i?。??卜”[=血，所

以。為真時他＜血，

22

因為方程土+工一=1表示焦點在y軸上的橢圓，所以2—帆＞帆＞o,所以o(加＜1,即q為真時o(加＜1,所

m2-m

以q為假時參數的取值范圍為7徨之J或加＜0,

因為命題—為真，命題。或q為真，所以q為假，P為真,

:.1工m＜6或mW。

3

19、(1)tz=—；(2)7x+y+14=0或x+y+2=0.

4.

【解析】(1)將圓。的方程表示為標準方程，確定圓心坐標與半徑，利用圓心到直線/的距離可求得實數。的值；

(2)求出圓心到直線/的距離d,利用2、網、廠三者滿足勾股定理可求得。的方程，解出。的值，即可得出直線

2

/的方程.

【詳解】將圓C的方程X2+丁+8＞+12=0配方得標準方程為V+(y+4)2=4,則此圓的圓心為C(0,T),半徑

為尸=2.

1-4+26/13

(1)若直線/與圓C相切，則有I,匕2,解得〃=:；

\2a-4\

(2)圓心。到直線/的距離為d=

y/a~+1

,C\AB\^,2a—4廠

由勾股定理可得/+J_?=產，可得=夜，

整理得a?-8a+7=0,解得a=1或a=7,

故所求直線方程為7尤+y+14=0或x+y+2=0.

【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法

(1)幾何法：求圓的半徑為「，弦心距為d,弦長為/,則/=2，產_屋；

(2)代數方法：運用根與系數的關系及弦長公式卜而笆卜-々卜

20、(1)S?=n2

(2)11

【解析】(1)由等差數列前〃項和公式與下標和性質先求。5,然后結合%=13可解；

(2)由(1)中結論和已知列方程可解.

【小問1詳解】

由59=95；%)=9%=81,解得%=9,

又:?d=工—^-=2,%=。5-4d=l,

...S="+妁曰><2"2

"2

【小問2詳解】

,:S3,S17.S16,S"成等比數列,

22

:.S3sdS17.S16)2=a；7,即9k=33,

解得：k=ll

21、(1)圓心為(1,1),半徑為5;

(2)答案見解析.

【解析】(1)寫出圓標準方程即得解；

(2)選擇條件①：直線/應過圓心即直線/過點A(2,-1)和即得解；選擇條件②：直線/應與C4垂直，求出

直線的方程即得解；選擇條件③：不存在滿足條件的直線.

【小問1詳解】

解：由圓的方程整理可得(x-1)?+”-1)2=25,

所以圓心為(LD，半徑為5.

小問2詳解】

選擇條件①：若直線/被圓C所截得的弦長最長，則直線/應過圓心即直線/過點A(2,-1)和所以直線的斜率

為勺2,則直線/的方程為丁=-2九+3.

選擇條件②：若直線/過點A(2,-l)被圓C所截得的弦長最短，則直線/應與C4垂直.

又必=-2,所以&=g.故直線/方程為y=gx—2.

選擇條件③：經過點A(2,-l)的直線/被圓C所截得的最短弦長=2斤N=4百，

由于4石〉8,所以不存在滿足條件的直線.

22、(1)證明見解析；(2)《變；(3)號或工

2152

【解析】本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎知識.考查用空間向量解決立體幾何問題

的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，證明線

面平行只需求出平面的法向量，計算直線對應的向量與法向量的數量積為0,求二面角只需求出兩個半平面對應的法

向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出的

值.

試題解析：如圖，以/為原點，分別以AB，AC，AP方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意

可得4(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0