相似三角形(解析版)-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題22相似三角形

【專題目錄】

技巧1：巧用“基本圖形”探索相似條件

技巧2：巧作平行線構(gòu)造相似三角形

技巧3：證比例式或等積式的技巧

【題型】一、相似圖形的概念和性質(zhì)

【題型】二、平行線分線段成比例定理

【題型】三、相似三角形的判定

【題型】四、相似三角形的性質(zhì)

【題型】五、利用相似三角形解決實(shí)際問題

【題型】六、位似圖形的概念與性質(zhì)

【題型】七、平面直角坐標(biāo)系與位似圖形

【考綱要求】

1、了解比例線段的有關(guān)概念及其性質(zhì)，并會(huì)用比例的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問題.

2、了解相似多邊形，相似三角形的概念，掌握其性質(zhì)和判定并會(huì)運(yùn)用.

3、了解位似變換和位似圖形的概念，掌握并運(yùn)用其性質(zhì).

【考點(diǎn)總結(jié)】一、相似圖形及比例線段

相似圖形在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.

若兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，它們的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)

相似多邊形多邊形叫做相似多邊形。

特征：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。

在四條線段a,b,c,d中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，

HC

即上=上（或a：6=c：4，那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段，簡(jiǎn)

比例線段的定義

bd

解直

稱比例線段.

基本性質(zhì)：；

角三(1)B=,=ad=bc

ba

角形⑵合比性質(zhì)：=—；

bdbd

比例線段的性質(zhì)

等比性質(zhì)：

的應(yīng)(3)

若4=￡=…=%(6+d+…和)，那么"+°+…+加=」

用bdnb+d+…+〃b

點(diǎn)C把線段43分成兩條線段/C和BC,如果絲=",則線段N8被點(diǎn)C黃

ABAC

黃金分割

金分割，點(diǎn)C叫線段45的黃金分割點(diǎn)，4C與45的比叫做黃金比.

【考點(diǎn)總結(jié)】二、相似三角形

各角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.

定義

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相

似；

(2)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；

相似

判定

(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；

三角(4)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；

(5)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.

形

(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；

(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；

性質(zhì)(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；

(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方

【技巧歸納】

技巧1:巧用“基本圖形”探索相似條件

相似三角形的四類結(jié)構(gòu)圖:

1.平行線型.

BC

(J)E//BC')(.CD/ZAB')

2.相交線型.

AA

3.子母型.

4.旋轉(zhuǎn)型.

【類型】一、平行線型

1.如圖，在AABC中,BE平分/ABC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作ED/7BC交AB于點(diǎn)D.

(1)求證：AEBC=BDAC；

(2)如果SAADE=3,SABDE=2,DE=6,求BC的長(zhǎng).

【類型】二、相交線型

2.如圖，點(diǎn)D,E分別為AABC的邊AC,AB上的點(diǎn)，BD,CE交于點(diǎn)O,且駛=毀，試問4ADE與

BOCO

△ABC相似嗎？請(qǐng)說明理由.

【類型】三、子母型

3.如圖，在AABC中，ZBAC=90°,AD_LBC于點(diǎn)D,E為AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于

占F求證.—

ACAF

A

【類型】四、旋轉(zhuǎn)型

4.如圖，已知/DAB=/EAC,ZADE=ZABC.

求證：(D△ADEs^ABC；

參考答案

1.(1)證明：：ED〃BC,

.?.ZADE=ZABC.

又：NA=/A,/.AADE^AABC.

.AE=DE

，9AC~BC

：BE平分NABC,；.NDBE=NEBC.

VED//BC,；./DE*B=/EBC.

/.ZDBE=ZDEB.

?1?DE=BDAAC=BC

即AEBC=BDAC.

(2)解：設(shè)hAADE表示△ADE中DE邊上的1W1,

h^BDE表示Z^BDE中DE邊上的IWJ,

hAABC表示△ABC中BC邊上的iWi.

?SAADE~3,S/\BDE=2,

DELADEKO

.OAADE_2_HAADE_3

SBDE1入hBDE2

A—DEnBDEA

2A

,hAADE_3

??———.

hAABC5

VAADE^AABC,

.DEhAAPE3

BChAABC5

VDE=6,ABC=10.

2.解：相似.理由如.下：因?yàn)橛?也，ZBOE=ZCOD,ZDOE=ZCOB,所以△BOEs^cOD,

BOCO

△DOEs/^cOB.所以/EBO=/DCO,NDEO=NCBO.因?yàn)?ADE=/DCO+/DEO,ZABC=ZEBO

+ZCBO,所以NADE=/ABC.又因?yàn)镹A=/A,所以△ADEs^ABC.

3.證明：?.?/BAC=90。，AD_LBC于點(diǎn)D,

/.ZBAC=ZADB=90o.

又；NCBA=/ABD（公共角），

.?.△ABC^ADBA.

：AD，BC于點(diǎn)D,E為AC的中點(diǎn),

；.DE=EC.

；./BDF=NCDE=NC.

.?.ZBDF=ZBAD.

又：/F=/F,

.?.△DBF^AADF,

.DB_DF.AB_DF

點(diǎn)撥：當(dāng)所證等積式或比例式運(yùn)用“三點(diǎn)定型法”不能定型或能定型而不相似，條件又不具備成比例線段

時(shí)，可考慮用中間比“搭橋”，稱為"等比替換法“，有時(shí)還可用“等積替換法”，例如：如圖，在AABC中，

AD_LBC于點(diǎn)D,DE_LAB于點(diǎn)E,DF_LAC于點(diǎn)F,求證：AE-AB=AF-AC.可由兩組“射影圖”得AE-AB

=AD2,AFAC=AD2,AAEAB=AFAC.

4.證明：(1)VZDAB=ZEAC,

???NDAE=NBAC..

又,.?NADE=NABC,/.AADE^AABC.

ADAR

(2)VAADE^AABC,.?.*=半

AEAC

?/ZDAB=ZEAC,AADB^AAEC.

AECE

技巧2：巧作平行線構(gòu)造相似三角形

【類型】一、巧連線段的中點(diǎn)構(gòu)造相似三角形

1.如圖，在^ABC中，E,F是邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，BD分別交AE,AF于點(diǎn)P,

Q,求BPPQQD.

【類型】二、過頂點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形

2.如圖，在AABC中，AC=BC,F為底邊AB上一點(diǎn)，BFAF=32,取CF的中點(diǎn)D,連接AD并延

【類型】三、過一邊上的點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形

3.如圖，在△ABC中，AB>AC,在邊AB上取一點(diǎn)D,在AC上取一點(diǎn)E,使AD=AE,直線DE和BC

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P求證：—.

B

【類型】四'過一點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形

4.如圖，在AABC中，點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且AE=】AB,連接EM并延長(zhǎng)交BC

4

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：BC=2CD.

參考答案

1.解：如圖，連接DF,TE,F是邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn),

???BE=EF=FC.

,ID是AC的中點(diǎn)，??.AD=CD.

???DF是4ACE的中位線.

???DF〃AE,且DF」AE.

2

???DF〃PE.

???NBEP=NBFD.

又TNEBP為公共角，

JABEP^ABFD./.-

BFBD

BF=2BE,I.BD=2BP.BP=PD.DF=2PE.

VDF//AE,

???NAPQ=NFDQ,NPAQ=NDFQ.

???AAPQ^AFDQ.

QDDF

設(shè)PE=a,貝!]DF=2a,AP=3限

APQQD=APDF=32.

ABPPQQD=5.32.

A

2.解：如圖，過點(diǎn)C作CG〃AB交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

VCG/7AB,???NDAF=NG.

又???D為C.F的中點(diǎn)，???CD=DE*…

NDAF=NG,

itAADF和4GDC中，.ZADF=ZCDG,

DF=CD,

???△ADFt△GDC(/AS).，AF=CG.

VBFAF=32,AABAF=52.

VAB/7CG,???NCGE=NBAE,ZBCE=ZABE.

AAABE^AGCE.

.BE=AB=AB=5

，，EC-CG-AF-2，

3.證明：如圖，過點(diǎn)C作CF〃AB交DP于點(diǎn)F,

AZPFC=ZPDB,ZPCF=ZPBD.

???APCF^APBD.?產(chǎn)=嗎

CPCF

???AD〃CF,???NADE=NEFC.

VAD=AE,???NADE=NAED.

NAED=NCEP,JNEFC=NCEP.???EC=CF.

.BP=BD

"Cp-EC,

4.證明：(方法一)如圖①，過點(diǎn)C作CF〃AB,交DE于點(diǎn)F,

（第4題①）

???NFCD=NB.

又???ND為公共角，

/.△CDF^ABDE.

,CF=CD

?'BE—BD.

,??點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn),

AAM=CM.

?.?CF〃AB,

AZA=ZMCF.

又???NAME=NCMB

1?△AME名△CMF.

???AE=CF.

VAE=-AB,BE=AB—AE,

4

AF1

???BE=3AE..,?任='

BE3

??CF=CD

?BE-BD，

即BD=3CD.

BEBD3

又???BD=BC+CD,

???BC=2CD.

（第4題②）

（方法二）如圖②，過點(diǎn)C作CF〃DE,交AB于點(diǎn)F,

.AE=AM

a，AF~AC

又丁點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，

.\AC=2AM.

???2AE=AF..??AE=EF.

又璃4噌=2

.BFBC

又?.?CF〃DE,0

FECD

（第4題③）

（方法三）如圖③，過點(diǎn)E作EF〃BC,交AC于點(diǎn)F,AZAEF=ZB.

又〈NA為公共角,

/.△AEF^AABC.

.EF=AE=AF

^BCABAC

由AE=，AB,知

4

EF=AE=AF=1

BCABAC_4，

.*.EF=-BC,AF=-AC.

44

由EF〃CD,易證得△EFMs./VDCM,

.EF=MF

**CD-MC

又?.?AM=MC,AMF=-MC,

2

.\EF=-CD.

2

???BC=2CD.

（第4題④）

（方法四）如圖④，過點(diǎn)A作AF〃BD,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

???NF=ND,NFAE=NB.

AAAEF^ABED.

,AE=AF

?'BE_BD，

VAE=-AB,

4

.?.AE=-BE./.AF=-BD.

33

由AF〃CD,易證得△AFMs/iCDM.

又：AM=MC,；.AF=CD.

.,.CD=-BD.ABC=2CD.

3

點(diǎn)撥：由已知線段的比，求證另外兩線段的比，通常添加平行線，構(gòu)造相似三角形來求解.

技巧3：證比例式或等積式的技巧

【類型】一、構(gòu)造平行線法

1.如圖，在^ABC中，D為AB的中點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

求證：AECF=BFEC.

2.如圖，已知AABC的.邊AB上有1點(diǎn)D,邊BC的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E,且AD=CE,DE交AC于點(diǎn)F,

求證：ABDF=BCEF.

【類型】二'三點(diǎn)定型法

3.如圖，在QABCD中，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DE交BC于F.

求證：區(qū)=①.

AEAD

M為BC的中點(diǎn)，DM_LBC交CA的延長(zhǎng)線于D,交AB于E.

求證：AM2=MDME.

【類型】三、構(gòu)造相似三角形法

5.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，AP的垂直平分線分別交AB,AC于點(diǎn)M,

N.

求證：BPCP=BMCN.

【類型】四、等比過渡法

6.如圖，在AABC中，AB=AC,DE〃:BC,點(diǎn)F在邊AC上，DF與BE相交于點(diǎn)G,且/EDF=/ABE.

求證：（D^DEFS/XBDE；

7.如圖，CE是次AABC斜邊上的高，在EC的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)P,連接AP,作BGLAP于點(diǎn)G,交

CE于點(diǎn)D.

8.如圖，在R/^ABC中，AD是斜邊BC上的高，/ABC的平分線BE交AC于E,交AD于F.

BFAB

求證:=

BE-BC

9.如圖，在nABCD中，AM±BC,AN_LCD,垂足分別為M,N.求證:

(l)AAMB^AAND；

【類型】六'等積代換法

10.如圖，在△ABC中，AD_LBC于D,DE_LAB于E,DF_LAC于F.

AEAC

求證:

AFAB，

11.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD_LBC于點(diǎn)D,點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，CF//AB,延長(zhǎng)BP交

AC于點(diǎn)E,交CF于點(diǎn)F,

求證：BP2=PEPF.

12.如圖，已知AD平分/BAC,AD的垂直平分線EP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

求證：PD2=PBPC.

A

參考答案

1.證明：如圖，過點(diǎn)C作CM〃AB交DF于點(diǎn)M.

???CM〃AB,AZFCM=ZB,ZFMC=ZFDB.AACMF^ABDF.

,BF=BD

?&一CM.

又,.?CM〃AD,

???NA=NECM,NADE=NCME.

APAD

AADE^ACME.

ECCM

???D為AB的中點(diǎn)，??.BD=AD.

.BD=AD.BF=AE

"CM~CM，9CY~EC

即AECF=BFEC.

2.證明：過點(diǎn)D作DG〃BC,交AC于點(diǎn)G,

易知△DGFsaECF,AADG^AABC.

.EF=CEAB=AD

，，DF-DG，BCDG,

.CE^AD.AB=EF

???AD=CE,

^DGDG^BCDF

即ABDF=BCEF.

點(diǎn)撥：過某一點(diǎn)作平行線，構(gòu)造出％”型或“X，型的基本圖形，通過相似三角形轉(zhuǎn)化線段的比，從而解

決問題.

3.證明：???四邊形ABCD是平行四邊形,

???A“E〃DC,ZA=ZC.

???NCDF=NE.

.?.△FCD^ADAE.A-=—.

AEAD

4.證明：VDM±BC,NBAC=90。，

.?.ZB+ZBEM=90°,ZD+ZDEA=90°.

VZBEM=ZDEA,，NB=ND.

又：M為BC的中點(diǎn)，ZBAC=90°,

.?.BM=AM.

.\ZB=ZBAM.

/BAM=/D.即ZEAM=ZD.

又「NAME=/DMA.

.,.△AME^ADMA.

AM2=MDME.

MDAM

5.證明：如圖，連接PM,PN.

VMN是AP的垂直平分線，

；.MA=MP,

NA=NP.

.\Z1=Z2,Z3=Z4.

又???△ABC是等邊三角形，

；./B=/C=Nl+/3=60。.

.?.Z2+Z4=60°.

.?.Z5+Z6=120°,

又?.?/6+N7=180°-NC=120°,

/5=N7.ABPM^ACNP.

.BPBPCP=BMCN.

CNCP

6.證明：(1)VAB=AC,AZABC=ZACB.VDE//BC,

ZABC+NEDB=180°,ZACB+ZFED=1^0°.ANFED=/EDB.

又：NEDF=NDBE,

/.△DEF^ABDE.

(2)由△DEFs/XBDEW-=—.BPDE2=DB,EF.又由△DEFs^BDE,得.NGED=/EFD.:NGDE

BDDE

ZEDF,.,.△GDE^AEDF.

A-=—,BPDE2=DGDF.

DEDF

.,.DGDF=DBEF.

7.證明：VBG±AP,PE±AB,

ZAEP=ZDEB=NAGB=90°.

.?.ZP+ZPAB=90°,

ZPAB+ZABG=90°.

ZP=ZABG.AAAEP^ADEB.

Anpp

?嚴(yán)=莊艮pAEBE=PEDE.

DEBE

又「NCEA=ZBEC=90°,

???NCAB+NACE=90。.

又???NACB=90。，

.\ZCAB+ZCBE=90°.

???NACE=ZCBE.AAEC^ACEB.

.AE變.即CE2=AEBE.

**CEBE

???CE2=DEPE.

8.證明：由題意得NBDF=NBAE=90。.

〈BE平分NABC,???NDBF=NABE.

J△BDFs/XBAE.???辿=理.

ABBE

ZBAC=ZBDA=90°,

NABC=NDBA.

???△ABCs^DBA..,?旭=叨

BCAB

.BF=AB

9.證明：（1）??,四邊形ABCD為.平行四邊形，???NB=ND.

VAMXBC,AN±CD,

.\ZAMB=ZAND=90o.

AAAMB^AAND.

AMAR

⑵由△AMBs/^AND得就=花，NBAM=NDAN.

又AD=BC,.哪嚷

VAMXBC,AD〃BC,

???ZMAD=ZAMB=90°.

JNB+NBAM=ZMAN+ZNAD=90°./.NB=NMAN.

?八

..AAAAMNnNTs△nBAAcC....AM=MN.

ABAC

10.證明：VAD±BC,DE±AB,

???NADB=NAED=90。.

又,.,NBAD=NDAE,

A△ABDADE.

.AD隹.即AD2=AEAB.

*ABAD

同理可得AD2=AFAC.

AFAC

.,.AEAB=AFAC..\—=—

AFAB

11.證明：連接PC,如圖所示.

,.?AB=AC,AD±BC,

?,?AD垂直平分BC,ZABC=ZACB.

.*.BP=CP.AZ1=Z2

JZABC-Z1=ZACB-Z2,

即N3=N4.

VCF/7AB,???N3=NF..?.N4=NF.

又?.?NCPF=NCPE,

AACPF^AEPC.

.?.》CP=、PF即cp2=pppE.

PECP

VBP=CP,ABP2=PEPF.

12.證明：如圖，連接PA,

VEP是AD的垂直平分線，

/.PA=PD.

.?.ZPDA=ZPAD.

ZB+ZBAD=ZDAC+ZCAP.

XVAD平分NBAC,

/BAD=ZDAC.AZB=ZCAP.

又?.,/APC=NBPA,

PAPC

△PAC^APBA.A-=—.

PBPA

即PA2=PBPC.

VPA=PD,.".PD2=PBPC.

【題型講解】

【題型】一、相似圖形的概念和性質(zhì)

CD3CE

例1、如圖，在△48C中，DE//AB,且——=—,則——的值為（）

BD2CA

【答案】A

【提示】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到比例式即可解答.

【詳解】

CF3

???丁的值為一.故答案為4

【題型】二、平行線分線段成比例定理

例2、如圖，在A4BC中，DEHBC,AD=9,DB=3,CE=2,則ZC的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【提示】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由DE〃BC得一=—,然后利用比例性質(zhì)求EC和AE的值即

DBEC

可

【詳解】???￡>￡//BC,

ADAE9AE

——=——，即nn一=——，

DBEC32

AE=6,

AC=AE+EC=6+2=8.

故選C.

【題型】三、相似三角形的判定

例3、如圖，已知ND4B=NC4E,那么添加下列一個(gè)條件后，仍然無法判定的是（）

ABACABBC

A.-----=------B.-C./B=/DD.NC=ZAED

ADAEADDE

【答案】B

【提示】利用相似三角形的判定依次判斷可求解.

【詳解】解：VZDAB=ZCAE,

ZDAE=ZBAC,

AC

A、若——=——，且NDAE=NBAC,可判定△ABCs^ADE,故選項(xiàng)A不符合題意;

ADAE

4BBC

B、若——=——，且/DAE=/BAC,無法判定△ABCs/\ADE,故選項(xiàng)B符合題意；

ADDE

C、若NB=ND,且/DAE=/BAC,可判定△ABCs/\ADE,故選項(xiàng)C不符合題意；

D、若/C=NAED,且NDAE=/BAC,可判定△ABCS^ADE,故選項(xiàng)D不符合題意;

故選：B.

【題型】四、相似三角形的性質(zhì)

例4、如圖，在AA5C中，D、E分別是和/C的中點(diǎn)，S^^BCED=15,貝|S^c=（）

A.30B.25C.22.5D.20

【答案】D

【提示】

首先判斷出△ADES^ABC,然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出AABC的面積.

【詳解】

解:根據(jù)題意，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是AB和AC的中點(diǎn),則DE〃BC且DE=；BC,故可以判斷出△ADEs△ABC,

根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可知S^DE：4,則S四邊形BCED：^C=3：4,題中

=

已知S四邊形BCED=15,故可得5AAPE=5,20

故本題選擇D

【題型】五、利用相似三角形解決實(shí)際問題

例5、為測(cè)量某河的寬度，小軍在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)/，再在他所在的這一側(cè)選點(diǎn)B,C,。,使得

CDLBC,然后找出工。與2C的交點(diǎn)E,如圖所示.若測(cè)得BE=90m,￡C=45m,0）=60m,則這條河

的寬N8等于（）

A

-----門?___工\__

B-￡\MC

、X

D

A.120mB.67.5mC.40mD.30m

【答案】A

【解析】

ZABE=ZDCE,ZAEB=ZCED,

.,.△ABE^>ADCE,

.AB_BE

"~CD~'CE

BE=9Qm,EC=45m,CZ)=60m,

/^=9^60=12()H

故選A.

【物高問題】

【題型】六、位似圖形的概念與性質(zhì)

例6、如圖，ZX/BC與△￡>￡尸位似，點(diǎn)。為位似中心.已知。4：。>1：2,則與△￡>￡尸的面積比

為（）

【答案】C

【提示】

根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】

由位似變換的性質(zhì)可知，AB!!DE,AC/IDF

?04_OBI

"0D~0E~2

.AC0A.1

"DF~0D~2

：.△NBC與的相似比為：1:2

△4BC與△￡）￡1廠的面積比為：1：4

故選C.

【題型】七、平面直角坐標(biāo)系與位似圖形

例7、如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2：5,且三角板的一邊長(zhǎng)為8cm.則

投影三角板的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為（）

A.20cmB.10cmC.8cmD.3.2cm

【答案】A

【提示】

根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】

解：設(shè)投影三角尺的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為我加，

???三角尺與投影三角尺相似，

**?8：2：5,

解得x=20.

故選:4

相似三角形（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）

一、單選題

AF）1

1.如圖，已知DE〃8C,—=-,則V/DE與A4BC的周長(zhǎng)之比為（）

BD2

A.1:2B.1:4C.1：9D.1:3

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理可得：AABCSAADE,相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，

且周長(zhǎng)比等于相似比，據(jù)此即可解答.

【詳解】解：

/.ZADE=ZB,

/A=NA,

：.AABCS^ADE,

'：AD：DB=\：2,

：.AD：AB=\：3,

??,c^AADE■'C^AABC=~13'

即■與A48C的周長(zhǎng)比為1：3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理及其性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.如圖，在A4BC中，高BD、CE相交于點(diǎn)R圖中與△4EC一定相似的三角形有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】利用相似三角形的判定方法可得△/ECSA/DS,A4ECsJEB,A4ECsAFDC,可求解.

【詳解】解：-.-ZA=ZA,ZAEC=ZADB=90°,

:AAECS^ADB,

:.ZACE=ZABD,

又??,NAEC=ZBEC=90°,

:AAECSAFEB,

ZACE=ZACE,ZAEC=ZADB=90°f

.RECsAFDC,

故選c

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

3.在△48C中，D、E分別是48、/C的中點(diǎn)，則△/￡）￡：與△48。的面積之比為（）

1111

A.—B.—C.-D.-

6432

【答案】B

【分析】容易證明兩個(gè)三角形相似，求出相似比，相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，面積比等于相似比

的平方.

【詳解】解：由題意得。E為△4BC的中位線，那么。E〃8C,DE：BC=L2.

LADEsLABC,

：.LADE與AABC的周長(zhǎng)之比為1：2,

.?.△4DE與△/2C的面積之比為1：4,即1.

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，

面積比等于相似比的平方是解決此題關(guān)鍵.

4.如圖，。是的邊上的一點(diǎn)，那么下列四個(gè)條件中，不能夠判定△N2C與△DR4相似的是（）

A.NC=NBADB.ABAC=ABDA

八ACAD

D.AB?=BDBC

.BCAB

【答案】C

【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案.

【詳解】解：AC=ABAD,ZB=NB,AABC^^DBA,故選項(xiàng)A不符合題意；

ABAC=ABDA,ZS=ZS,"BCs^DBA,故選項(xiàng)B不符合題意；

ACAD

==二/，但無法確定//C8與/氏4。是否相等，所以無法判定兩三角形相似，故選項(xiàng)C符合題意；

BCAB

2=NB=NB,故選項(xiàng)不符合題意.

AB=BDXBCBDABAABCSADB4,D

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

5.已知A/BCSAHB'C',和HD是它們的對(duì)應(yīng)角平分線，若4D=8,A'D'=U,則A/8C與A/?。的

面積比是（）

A.2：3B.4：9C.3：2D.9；4

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方求解即可.

【詳解】：A4BCSAAB'C',和是它們的對(duì)應(yīng)角平分線，/。=8,A'D'=12,

...兩三角形的相似比為：/。：?￡>'=8:12=2:3,

則與A/'*。的面積比是：4：9.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度，已知標(biāo)桿8E高為1.5%,測(cè)得/3=3根,

AC^lOm,則建筑物CD的高是m.

【答案】5

【分析】根據(jù)題意和圖形，利用三角形相似的性質(zhì)，可以計(jì)算出CO的長(zhǎng)，從而可以解答本題.

【詳解】,：EBLAC,DC1,AC,

C.EB//DC,

：.ZAEB=ZADC,/ABE=ZACD,

又???乙4="

AABEs^ACD,

,AB_BE

??萬一五，

?；BE=1.5m,AB=3m,AC=10m,

.3_1.5

??歷一而‘

解得，CD=5,

即建筑物CO的高是5m,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用、相似比等知識(shí)，正確得出相似三角形是解題的關(guān)鍵.

7.如圖所示，要使?ANAE,需要添加一個(gè)條件（填寫一個(gè)正確的即可）

【答案】ZADE=/B

【分析】根據(jù)已有條件，加上一對(duì)角相等就可以證明A/BC與V/DE相似，依據(jù)是：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三

角形相似.

【詳解】解：添加ZADE=NB,

???N4=ZA

:AABC?AADE

故答案為：ZADE=NB.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定方法，牢記三角形相似的判定方法是做出本題的關(guān)鍵.

三、解答題

8.如圖，在△4BC中，D,E分別是/C邊上的點(diǎn)，S.AD:AB=AE:AC=2:3.

A

⑴求證：△ADEs^ABC；

(2)若。￡=4,求2C的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)5C=6.

【分析】(1)直接根據(jù)相似三角形的判定方法判定即可；

(2)利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

(1)

4DAE2

證明：AD:AB=AE:EC=2:3,即一=—=—,

ABEC3

二△ADEs^ABC；

(2)

解：V/\ADE^/\ABC,

.ADDE24

-SC'廠近，

：.BC=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的判定和性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

相似三角形(提升測(cè)評(píng))

一、單選題

1.如圖，在菱形/BCD中，點(diǎn)￡在/。邊上，EF//CD,交對(duì)角線3。于點(diǎn)用則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

r_D_E—_D_FE_F_—D_F__E_F—_D__FE__F—_D_F_

AE~BFAD~DBCD~BF___________CD~DB

【答案】C

【分析】根據(jù)已知及平行線分線段成比例定理進(jìn)行分析，可得。Q〃5R依據(jù)平行線成比例的性質(zhì)和相似三

角形的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】解：,??四邊形/3CO是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD,

■:EFIICD,

：.EF//AB,

DEDF

..——=—,ADEFs4ADAB,

AEBF

.EF_DF

?"AB~DB'

■;AB=AD=CD,

.EFDFEFDF

??茄一麗’~CD~'DB'

J選項(xiàng)A、B、D正確；選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

故選：c.

【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理；熟練掌握

平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵.

2.如圖1為一張正三角形紙片4BC,其中。點(diǎn)在4B上，￡點(diǎn)在2C上.今以。E為折線將B點(diǎn)往右折后,

BD、BE分別與4c相交于尸點(diǎn)、G點(diǎn)，如圖2所示.若4D=10,AF=16,PF=14,BF=8,則CG的

長(zhǎng)度為多少？（）

AA

圖1圖2

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形/3C是正三角形，可得N/=N5=60。，AAFDsdBFG,即可求出/G=7,而4）=10,

。尸=14,BF=8,可得45=32=4。,故CG=AC-4F-FG=9.

【詳解】解：???三角形力是正三角形，

.\ZA=ZB=60°f

???ZAFD=ZBFG,

/.\AFDs\BFG,

.DFAFRn1416

FGBFFG8

.?.尸G=7,

vAD=10,。尸=14,BF=8,

AB=32,

AC=32,

CG=AC-AF-FG=32-16-7=9；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形中的翻折問題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，證明AAFDSMFG,從而求

出尸G的長(zhǎng)度.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有4,5兩點(diǎn)，其中點(diǎn)/的坐標(biāo)是（-2,1）,點(diǎn)8的橫坐標(biāo)是2,連接/。，

5。已知乙4。5=90。，則點(diǎn)5的縱坐標(biāo)是（）

A.275B.4C.V5D.2

【答案】B

【分析】先過點(diǎn)4作軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)5作軸于點(diǎn)。，構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形的

性質(zhì)列出比例式，計(jì)算求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)4作軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)5作軸于點(diǎn)。，則N4co=/。。5=90。，

/B+NBOD=90。，

QZAOB=90°,

:.ZAOC+ZBOD=90°,

:.NB=ZAOC,

..△ACOs叢ODB,

.ACCO

.?速一耘'

又???4的坐標(biāo)是(-2,1),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是2,

：.AC=1,CO=2,OD=2,

12

—=----，即DB=4,

2DB

???:B的縱坐標(biāo)是4.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，通過作垂線構(gòu)造相似三角形是解決問題的關(guān)鍵.

4.如圖，。是△"C的邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)。作BC的平行線交/C于點(diǎn)￡,連接BE,過點(diǎn)。作BE的平行

線交/C于點(diǎn)R則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

_A_D___A_FA_F__D__F_ADAErAFDE

BD~EF___________AE~EBABACFEBC

【答案】D

【分析】根據(jù)。9〃HE,。石〃5C找到對(duì)應(yīng)線段成比例或相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比相等，判斷即可.

【詳解】解：尸〃5E,

.ADAF

一茄一涼’

故A選項(xiàng)比例式正確，不符合題意；

DF//BE,

/\ADF^/\ABE,

,DFAF

??商一萬’

故B選項(xiàng)比例式正確，不符合題意；

???DE//BC,

.ADAE

,?下一就‘

故C選項(xiàng)比例式正確，不符合題意；

???DE//BC,

--A-F=-D-Ew-A-F

ACBCFE

故D選項(xiàng)比例式不正確，符合題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.

二、填空題

5.如圖，小明想測(cè)量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子落在了地上和墻上，此時(shí)測(cè)得地面上的影長(zhǎng)為4m,

墻上的影子CD長(zhǎng)為1m,同一時(shí)刻一根長(zhǎng)為1m的垂直于地面上的標(biāo)桿的影長(zhǎng)為0.5m,則樹的高度為

______m.

【分析】設(shè)地面影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的樹高為由，根據(jù)同時(shí)同地物高與影長(zhǎng)成正比列出比例式求出X,然后加上墻上

的影長(zhǎng)CD即為樹的高度.

【詳解】解：設(shè)地面影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的樹高為Q，

由題意得，￡Y=｛1，

40.5

解得x=8,

?.?墻上的影子長(zhǎng)為1m,

樹的高度為8+l=9（m）.

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查利用投影求物高.熟練掌握同時(shí)同地物高與影長(zhǎng)成正比是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，梯形48co中，AD//BC,3c=2/。，點(diǎn)尸在8C的延長(zhǎng)線上，4尸與8D相交于點(diǎn)￡,與CD邊

相交于點(diǎn)G.如果/。=2以，那么ADEG與ACFG的面積之比等于.

【分析】根據(jù)AADGSAFCG和AADESMSE,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例和相似三角形的面積比等于

相似比的平方，即可求解.

【詳解】解：???/OII8C,

AADGskFCG,

ADAGc

??==2,

CFGF

\ADG與\CFG的面積之比4:1,

???AD\\BC,

KADEs\FBE,

.AD-AE-2

令GF=a,則NG=2〃，

設(shè)AE=x,EG=2a-xf

:.x:(a+2a-x)=2:5,

7

.廠6尸廠8

/.AE=—a,HG=-a,

77

AE:EG=3:4,

AT>EG與A4DE的面積之比是4:3,

：.ADEG與ACFG的面積之比是16:7.

故答案為：16:7.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，