行列式按行列展開

關于行列式按行列展開三階行列式：（一）按某一行（列）展開余子式三階降成了二階！則代數余子式第2頁,共35頁，2024年2月25日，星期天余子式討論n階行列式：n-1階行列式Aij=(-1)i+j

Mijaij

的代數余子式

第3頁,共35頁，2024年2月25日，星期天定理1.4

(P.22)按行展開按列展開即：D

等于第

i

行（列）元素與對應的代數余子式乘積的和。第4頁,共35頁，2024年2月25日，星期天證（下面就四階行列式給出證明，方法是從特殊到一般。）“1”不與其余數構成逆序第5頁,共35頁，2024年2月25日，星期天第6頁,共35頁，2024年2月25日，星期天(3)四階行列式按第三行展開的結果＃n階行列式按第i行展開：第7頁,共35頁，2024年2月25日，星期天P.25例2計算行列式解按第三列展開其中：展開原則：選0元素最多的行（列）展開。第8頁,共35頁，2024年2月25日，星期天所以注：?對于三階行列式，也可展成二階，零元素多時可直接計算；?用展開定理之前，可先用性質將某行（列)化成只含一個非零元。第9頁,共35頁，2024年2月25日，星期天解2按第二行展開按第一列展開第10頁,共35頁，2024年2月25日，星期天P.26(28)例3當k為何值時解第11頁,共35頁，2024年2月25日，星期天P.27例4求證第12頁,共35頁，2024年2月25日，星期天證按第1列展開第13頁,共35頁，2024年2月25日，星期天n-1階第14頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例5(P28)證明范德蒙(Vandermonde)行列式第15頁,共35頁，2024年2月25日，星期天證明(數學歸納法)，結論成立。按第1列展開第16頁,共35頁，2024年2月25日，星期天根據歸納假設有：綜上所述，結論成立。第17頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例6(P29)計算行列式12張解

V是的范德蒙行列式，故第18頁,共35頁，2024年2月25日，星期天即：第i行元素與另一行元素的代數余子式乘積的和等于零。定理1.5

（P.23)證0=i

行s

行2和10對應的代數余子式相同：第19頁,共35頁，2024年2月25日，星期天綜合定理1.4，定理1.5對于行：對于列：第20頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例解法一：解法二：第21頁,共35頁，2024年2月25日，星期天稱S為D的一個2階子式*（二）按某k

行（列）展開(Laplace展開）P.29

子式及其余子式

取第1、2行與第1、4列交點位置的元素構成一個二階行列式：稱M為S在D中的余子式為S在D中的代數余子式S的行標之和S的列標之和第22頁,共35頁，2024年2月25日，星期天

定義

(P.29)在n階行列式D中，任取k行、k列的交點上的k2個設S的各行位于D中第行S的各列位于D中第列，那么稱為S的代數余子式。

元素按原來的相對位置組成的k階行列式

S，稱為D的一個k階子式。在D中劃去S所在的k行與k列，余下的元素按原來的相對

位置組成的n-k階行列式M，稱為S的一個余子式。第23頁,共35頁，2024年2月25日，星期天

定理1.6(Laplace)若在行列式D中任意取定k個行

，則由這k個行組成的所有k階子式與它們的代數余子式的乘積之和等于D。當k=1時，此定理即按行展開，t=n。此定理可實現大幅度降階的目標。設D的某k行組成的所有k階子式分別為它們相應的代數余子式分別為則第24頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例7

(P.29)用拉普拉斯定理求行列式的值：解按第一、第二行展開(含0多），這時任何兩列交叉點上的元素可構成二階子式，共有則1,4列；2,4列；3,4列對應的Si=0.1,2列1,3列2,3列第25頁,共35頁，2024年2月25日，星期天練習1,2列按1,2行展開顯然，按Laplace展開計算并沒有減少，但特殊情況卻有很多優(yōu)勢。展開的原則：值為零的子式越多越好。第26頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例證：取前k行展開即得。第27頁,共35頁，2024年2月25日，星期天推廣：(其中Ak為方陣)特別：(其中Ak為方陣)注：

對右上三角形的也成立第28頁,共35頁，2024年2月25日，星期天P.26例3續(xù)當k為何值時解第29頁,共35頁，2024年2月25日，星期天練習：注意：對角線上一定是方陣，非對角線上可以是長方形的降成了二階和三階行列式第30頁,共35頁，2024年2月25日，星期天接克萊姆法則第31頁,共35頁，2024年2月25日，星期天練習：（P.36第12題（4）用前面的結果解）或原式第32頁,共35頁，2024年2月25日，星期天練習

計算解原則：選0元素最多的行