B2第3章-B2第3章習題課2

習題第3章機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

第三章三重積分的計算習題第3章機動目錄上頁下頁返回二、三重積分的計算1.利用直角坐標計算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次積分法先假設連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計算.的密度函數(shù),方法:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、三重積分的計算1.利用直角坐標計算三重積分方法1.如圖所示,在柱面坐標系中體積元素為因此適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量互相分離.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束如圖所示,在柱面坐標系中體積元素為因此適用范圍:1)積3.利用球坐標計算三重積分直角坐標與球面坐標的關(guān)系機動目錄上頁下頁返回結(jié)束體積元素為3.利用球坐標計算三重積分直角坐標與球面坐標的關(guān)系機動例1.把積分化為三次積分,其中

由曲面解:

積分域為原式及平面所圍成的閉區(qū)域.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.把積分化為三次積分,其中由曲面解:積分域為原式例2.(A)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則正確的是(B)(C)(D)

答：選(C)例2.(A)機動目錄上頁下頁返其中是由所圍成的.解：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.計算積分其中是由所圍成的.解：機動目錄上頁下頁機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.設f(u)連續(xù)其中解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.設f(u)連續(xù)其中解機動目錄上頁機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中是兩個球(R>0)的公共部分.解法1:

由于被積函數(shù)缺x,y,用“先二后一”法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.計算積分其中是兩個球(R>0)的公共部分.解法1:由機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解法2:

用球面坐標變換機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解法2:用球面坐標變換機動目錄上頁下頁機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.計算三重積分解:用“先二后一”機動目錄上頁下頁返回結(jié)束與所圍成的閉區(qū)域例5.計算三重積分解:用“先二后一”機動解:

在球坐標系下利用洛必達法其中機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.解:在球坐標系下利用洛必達法其中機動目錄上頁解:

在球坐標系下計算機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7解:在球坐標系下計算機動目錄上頁下頁機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中是由oxy平面上曲線所圍成的閉區(qū)域.解：旋轉(zhuǎn)曲面繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8計算三重積分用柱面坐標變換邊界曲面投影區(qū)域其中是由oxy平面上曲線所圍成的閉區(qū)域.解：旋轉(zhuǎn)曲面機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.求曲面所圍立體的體積.解:

由曲面方程可知,立體位于oxy面上部,利用對稱性,所求立體體積為0yz面對稱,并與0xy面相切,故在球面坐標系下所圍立體且關(guān)于0xz

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.求曲面所圍立體的體積.解:由曲面方程可知,立體位于所圍成.其中由分析：若用“先二后一”,則有計算較繁!采用“先一后二”較好.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.

計算所圍成.其中由分析：若用“先二后一”,則有計算較繁機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中解:利用對稱性機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.計算其中解:利用對稱性機動目錄上頁下頁返機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例12.設函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零,其中(1)討論F(t)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性;(2)證明t>0時,(03考研)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例12.設函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零,其中(1)討解:

(1)

因為

兩邊對

t

求導,得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:(1)因為兩邊對t求導,得機動目錄(2)

證明