第五章-誤差基礎

測量學

第6章

測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識3/31/2024

1西南科技大學第6章測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識

§6.1概述

§6.2測量誤差的種類

§6.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)

§6.4衡量觀測值精度的指標

§6.5誤差傳播定律

§6.6同精度直接觀測平差

§6.7不同精度直接觀測平差

§6.8最小二乘法原理及其應用

3/31/2024

2西南科技大學

◆測量與觀測值

◆觀測與觀測值的分類

●觀測條件

●等精度觀測和不等精度觀測

●直接觀測和間接觀測

●獨立觀測和非獨立觀測§6.1測量誤差概述3/31/2024

3西南科技大學§6.1測量誤差概述

◆測量誤差及其來源●測量誤差的來源（1）儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗等。（3）外界條件的影響：溫度變化、風、大氣折光等

●

測量誤差的表現(xiàn)形式

●

測量誤差（真誤差=觀測值-真值）（觀測值與真值之差）（觀測值與觀測值之差）3/31/2024

4西南科技大學例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差

ld

計算改正

鋼尺溫度誤差

lt

計算改正

水準儀視準軸誤差I

操作時抵消(前后視等距)

經(jīng)緯儀視準軸誤差C

操作時抵消(盤左盤右取平均)

…………2.系統(tǒng)誤差

——誤差出現(xiàn)的大小、符號相同，或按規(guī)律性變化，具有積累性?！裣到y(tǒng)誤差可以消除或減弱。

(計算改正、觀測方法、儀器檢校)測量誤差分為：粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差§6.2測量誤差的種類1.粗差(錯誤)——超限的誤差3/31/2024

5西南科技大學3.偶然誤差——誤差出現(xiàn)的大小、符號各不相同，表面看無規(guī)律性。

例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產(chǎn)生誤差

。

●準確度(測量成果與真值的差異）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●測量平差（求解最或是值并評定精度）4.幾個概念:

●精（密）度（觀測值之間的離散程度）3/31/2024

6西南科技大學多余觀測

為了防止錯誤的發(fā)生和提高觀測成果的質量，在測量工作中一般要進行多于必要的觀測，稱為多余觀測。例如一段距離采用往返丈量，如果往測屬于必要觀測，則返測就屬于多余觀測；如對一個水平角觀測了6個測回，如果第一個測回屬于必要觀測，則其余5個測回就屬于多余觀測；又例如一個平面三角形的水平角觀測，其中兩個角屬于必要觀測，第三個角屬于多余觀測。有了多余觀測可以發(fā)現(xiàn)觀測值中的錯誤，以便將其剔除或重測。由于觀測值中的偶然誤差不可避免,有了多余觀測，觀測值之間必然產(chǎn)生差值(不符值、閉合差)。根據(jù)差值的大小可以評定測量的精度(精確程度)，差值如果大到一定的程度，就認為觀測值中有錯誤(不屬于偶然誤差)，稱為誤差超限。差值如果不超限，則按偶然誤差的規(guī)律加以處理，稱為閉合差的調整，以求得最可靠的數(shù)值。

3/31/2024

7西南科技大學舉例:

在某測區(qū)，等精度觀測了358個三角形的內角之和，得到358個三角形閉合差

i(偶然誤差，也即真誤差)

，然后對三角形閉合差i

進行分析。

分析結果表明，當觀測次數(shù)很多時，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯?！?.3偶然誤差的特性3/31/2024

8西南科技大學3/31/2024

9西南科技大學用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計：

頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱于y軸。

頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。

各條形頂邊中點連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律

圖6-1誤差統(tǒng)計直方圖3/31/2024

10西南科技大學◆從誤差統(tǒng)計表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤差的四個特性：

特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性(4)具有實用意義。

3.偶然誤差的特性(1)在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值(有界性)；(2)絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多(趨向性)；(3)絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的機會相等(對稱性)；(4)當觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術平均值趨近于零

(抵償性)：3/31/2024

11西南科技大學

偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當觀測次數(shù)n無限增多(n→∞)、誤差區(qū)間d

無限縮小(d→0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性。圖6-1誤差統(tǒng)計直方圖3/31/2024

12西南科技大學正態(tài)分布的特征正態(tài)分布密度以為對稱軸,并在處達到最大。當時，f(x)0，所以f(x)以x軸為漸近線。用求導方法可知，在處f(x)有兩個拐點。對分布密度在某個區(qū)間內的積分就等于隨機變量在這個區(qū)間內取值的概率3/31/2024

13西南科技大學1.方差與標準差

由正態(tài)分布密度函數(shù)式中、為常數(shù)；

=2.72828…x=

y正態(tài)分布曲線(a=0)令：

，上式為：§6.4衡量精度的指標3/31/2024

14西南科技大學

標準差的數(shù)學意義

表示的離散程度x=

y較小較大稱為標準差：上式中，稱為方差：3/31/2024

15西南科技大學

測量工作中，用中誤差作為衡量觀測值精度的標準。中誤差:觀測次數(shù)無限多時，用標準差表示偶然誤差的離散情形：上式中，偶然誤差為觀測值

與真值X之差：觀測次數(shù)n有限時，用中誤差m表示偶然誤差的離散情形：

i=

i-

X3/31/2024

16西南科技大學P123表5-23/31/2024

17西南科技大學

m1小于m2,說明第一組觀測值的誤差分布比較集中，其精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比較離散，其精度較低：

m1=2.7是第一組觀測值的中誤差；

m2=3.6是第二組觀測值的中誤差。3/31/2024

18西南科技大學2.容許誤差(極限誤差)

根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d

內的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內的概率為：

將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7

測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m|

或|容|=2|m|3/31/2024

19西南科技大學

3.相對誤差(相對中誤差)

——誤差絕對值與觀測量之比。

用于表示距離的精度。

用分子為1的分數(shù)表示。

分數(shù)值較小相對精度較高；分數(shù)值較大相對精度較低。

K2<K1，所以距離S2精度較高。例2：用鋼尺丈量兩段距離分別得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。計算S1、S2的相對誤差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=——

100500020010000解：3/31/2024

20西南科技大學§6.5誤差傳播定律

對于能直接觀測的量(如角度、距離、高差等)，經(jīng)過多次觀測后，便可通過真誤差或改正數(shù)計算出觀測值的中誤差，作為評定觀測值精度的標準。但在實際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進行觀測，而需要由另一些直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關系計算出來，這些未知量即為觀測值的函數(shù)。例如，在水準測量中，兩點間的高差h=a-b，則h是直接觀測值a和b的函數(shù)；在三角高程測量的計算公式中，如果覘標高v等于儀器高i，則h=ltanδ，這時，高差h就是觀測值l和δ的函數(shù)，等等。本節(jié)所要討論的就是在觀測值中誤差為已知的情況下，如何求觀測值函數(shù)中誤差的問題。闡述觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學關系的定律，稱為誤差傳播定律3/31/2024

21西南科技大學一.一般函數(shù)的中誤差令的系數(shù)為，(c)式為：由于和是一個很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得對(a)全微分：(b)設有函數(shù)：為獨立觀測值設有真誤差，函數(shù)

也產(chǎn)生真誤差(a)§6.5誤差傳播定律3/31/2024

22西南科技大學對Z觀測了k次，有k個式(d)對(d)式中的一個式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)對K個(e)式取總和：(f)3/31/2024

23西南科技大學(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：(g)由偶然誤差的抵償性知：(g)式最后一項極小于前面各項，可忽略不計，則：<<前面各項即(h)3/31/2024

24西南科技大學(h)考慮，代入上式，得中誤差關系式：(6-10)上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。3/31/2024

25西南科技大學

通過以上誤差傳播定律的推導，我們可以總結出求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：

1.列出函數(shù)式；2.對函數(shù)式求全微分；3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。注意：只有自變量微分之間相互獨立才可以進一步寫出中誤差關系式。3/31/2024

26西南科技大學1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設有函數(shù)式(x為觀測值，K為x的系數(shù))全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點間長度

=168.5mm

0.2mm,

計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：解：列函數(shù)式求全微分中誤差式二.幾種常用函數(shù)的中誤差

3/31/2024

27西南科技大學2.線性函數(shù)的中誤差

設有函數(shù)式

全微分

中誤差式例：設有某線性函數(shù)其中

、

、分別為獨立觀測值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。

解：對上式全微分：由中誤差式得：3/31/2024

28西南科技大學

函數(shù)式全微分中誤差式3.算術平均值的中誤差式

由于等精度觀測時，，代入上式：得由此可知，算術平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了倍。

●對某觀測量進行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。3/31/2024

29西南科技大學4.和或差函數(shù)的中誤差

函數(shù)式：

全微分：

中誤差式：當?shù)染扔^測時：上式可寫成：例：測定A、B間的高差，共連續(xù)測了9站。設測量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：

3/31/2024

30西南科技大學觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術平均值

3/31/2024

31西南科技大學誤差傳播定律的應用用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內角時，每個內角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差m

15

。例1：要求三角形最大閉合差m

15

，問用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形每個內角時須用幾個測回？?

=(1+2+3)-180解：由題意：2m=

15

,則m=

7.5

每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：3/31/2024

32西南科技大學誤差傳播定律的應用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。解:(1)測量水平距離的精度

基本公式：

求全微分：

水平距離中誤差：

其中：

3/31/2024

33西南科技大學誤差傳播定律的應用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測量的精度。解:(2)測量高差的精度基本公式：

求全微分：

高差中誤差：

其中：

3/31/2024

34西南科技大學誤差傳播定律的應用例3:(1)用鋼尺丈量某正方形一條邊長為求該正方形的周長S和面積A的中誤差.解:(1)周長,(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中:求該正方形的周長S和面積A的中誤差.

面積,

周長的中誤差為全微分:面積的中誤差為全微分:3/31/2024

35西南科技大學解:(1)周長和面積的中誤差分別為例3:(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長為其中:求該正方形的周長S和面積A的中誤差.

(2)周長;周長的中誤差為面積得面積的中誤差為全微分:但由于3/31/2024

36西南科技大學▓觀測值的算術平均值(最或是值)▓用觀測值的改正數(shù)v計算觀測值的中誤差(即:白塞爾公式)§6.6同（等）精度直接觀測平差3/31/2024

37西南科技大學

一.觀測值的算術平均值(最或是值、最可靠值)

證明算術平均值為該量的最或是值：

設該量的真值為X，則各觀測值的真誤差為

1=

1-

X

2=

2-

X

······

n=

n-

X對某未知量進行了n次觀測，得n個觀測值

1,2,···,n,則該量的算術平均值為：x==

1+2+···+n

nn上式等號兩邊分別相加得和：L=3/31/2024

38西南科技大學當觀測無限多次時：

得兩邊除以n：由

當觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術平均值就是該量的真值；當觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術平均

值最接近真值。所以，算術平均值是最或是值。L≈X3/31/2024

39西南科技大學觀測值改正數(shù)特點二.觀測值的改正數(shù)v：以算術平均值為最或是值，并據(jù)此計算各觀測值的改正數(shù)v，符合[vv]=min的“最小二乘原則”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)

特點1——改正數(shù)總和為零：對上式取和：以代入：

通常用于計算檢核L=

n

v=nL-

nv

=n-

=0v

=0

特點2——[vv]符合“最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-

=0

x=

n3/31/2024

40西南科技大學精度評定

比較前面的公式，可以證明，兩式根號內的部分是相等的，即在與中：精度評定——用觀測值的改正數(shù)v計算中誤差一.計算公式(即白塞爾公式)：3/31/2024

41西南科技大學證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式根號內相等對上式取n項的平方和由上兩式得其中:3/31/2024

42西南科技大學證明兩式根號內相等中誤差定義:白塞爾公式:3/31/2024

43西南科技大學小結一、已知真值X，則真誤差一、真值不知，則二、中誤差二、中誤差3/31/2024

44西南科技大學解：該水平角真值未知，可用算術平均值的改正數(shù)V計算其中誤差：例：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數(shù)據(jù)如下表，求其算術平均值及觀測值的中誤差。算例1:次數(shù)觀測值VVV備注176

42

49

-416276

42

40

+525376

42

42

+39476

42

46

-11576

42

48

-39平均76

42

45

[V]=0[VV]=6076

42

45

±1.74

3/31/2024

45西南科技大學距離丈量精度計算例算例2：對某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術平均值；②觀測值的中誤差；③算術平均值的中誤差；④算術平均值的相對中誤差：

凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分數(shù)表示。3/31/2024

46西南科技大學§6.7不同精度直接觀測平差一、權的概念權是權衡利弊、權衡輕重的意思。在測量工作中權是一個表示觀測結果可靠程度的相對性指標。1權的定義：設一組不同精度的觀測值為li,其中誤差為mi(I=1,2…n)，選定任一大于零的常數(shù)λ，則定義權為：

稱Pi為觀測值li

的權。3/31/2024

47西南科技大學1權的定義：對于一組已知中誤差mi的觀測值而言，選定一個大于零的常數(shù)λ值，就有一組對應的權；由此可得各觀測值權之間的比例關系：2權的性質（1）權表示觀測值的相對精度；（2）權與中誤差的平方成反比，權始終大于零，權大則精度高；（3）權的大小由選定的λ值確定，但觀測值權之間權的比例關系不變，同一問題僅能選定一個λ值。3/31/2024

48西南科技大學二、測量中常用的定權方法1同精度觀測值的權對于一組同精度觀測值li，一次觀測的中誤差為m，由權的定義，選定λ=m2，則一次觀測值的權為：n次同精度觀測值的算術平均值的中誤差為：同精度觀測值算術平均值的權為：3/31/2024

49西南科技大學二、測量中常用的定權方法2單位權與單位權中誤差對于一組不同精度的觀測值li，一次觀測的中誤差為mi，設某次觀測的中誤差為m，其權為P0，選定λ=m2，則有：數(shù)值等于1的權，稱為單位權；權等于1的中誤差稱為單位權中誤差，常用μ表示。對于中誤差為mi的觀測值，其權為：相應中誤差的另一表示方法為：3/31/2024

50西南科技大學權的單位在確定一組同類元素的觀測值的權時，所選取的單位權中誤差的單位，一般是與觀測值中誤差的單位相同的，由于權是單位權中誤差平方與觀測值中誤差平方之比，所以，權一般是一組無量綱的數(shù)值，也就是說，在這種情況下權是沒有單位的。但如果需要確定權的觀測值（或它們的函數(shù)）包含有兩種以上的瑣類型元素時，情況就不同了。例如，要確定其權的觀測值（或它們的函數(shù)）包含有角度和長度，它們的中誤差的單位分別為“秒”和“毫米”。3/31/2024

51西南科技大學例子：若選取的單位權中誤差的單位是秒，即與角度觀測值之中誤差單位相同，那么，各個角度觀測值的權是無量綱（或無單位）的；而長度觀測值的