棱柱棱錐的面積和體積

棱柱的側面積和體積：

S直棱柱側=ch,S斜棱柱側=c’l,V柱體＝Sh

hSLSS’柱體體積公式的推導：等底面積等高的幾個柱體被平行于平面α的平面所截截面面積始終相等體積相等∵V長方體＝abc∴V柱體＝Sh

α定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。αh1S1h2S2hShS取任意兩個錐體，它們的底面積為S，高都是h＋平行于平面α的任一平面去截＋截面面積始終相等＝兩個錐體體積相等定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。αh1S1h1S2hShS證明：取任意兩個錐體，設它們的底面積為S，高都是h。

把這兩個錐體放在同一個平面α上，這是它們的頂點都在和平面α平行的同一個平面內，用平行于平面α的任一平面去截它們，截面分別與底面相似，設截面和頂點的距離分別是h1，截面面積分別是S1，S2根據(jù)祖搄原理，這兩個錐體的體積相等。錐體的體積公式

定理三：如果一個錐體的底面積是S，高是h，那么它的體積是

V錐體＝Sh棱錐的側面積和體積1、正棱錐的側面積：S=ch’2、等底面積等高的兩個棱錐的體積相等。3、如果一個棱錐的底面積是S,高是h，那么它的體積是V錐體＝Sh例1：三棱柱的底面是邊長為5的等邊三角形，其中一條側棱與底面兩邊都成600的角，側棱長為4，求三棱柱的側面積。ABCA’B’C’例2.如圖是一石柱,石柱頂上部是一個正四棱錐,下部是一個正四棱柱.已知正四棱柱底面邊長0.5米,高1米,正四棱錐的高是0.3米.石料比重d為每一立方米

2400千克.求這個石柱的重量.解:V棱錐=V棱柱=所以石柱的重量P=(V棱柱+V棱錐)×d=660(千克).0.5米1米0.3米例3.在三棱錐V-ABC中,AC=BC=13,AB=10，三個側面與底面所成的二面角均為60o,VO⊥平面ABC,交平面ABC于O.O在三角形內部。BACVEOFD(2)求：三棱錐的高.

(3)求：三棱錐的體積.

(1)求證：O是△ABC的內心.

OD為VD在平面ABC內的射影,根據(jù)三垂線定理,得VD⊥AB.于是∠VDO為側面VAB與底面所成二面角的平面角，∠VDO=60o.同理∠VEO=∠VFO=60o.CV解:（1）過O在平面ABC內分別作AB、AC、BC的垂線,D、F、E為垂足.連結VD、VF、VE.AEOFDB因為VO⊥平面ABC,OD⊥AB,顯然OD=OE=OF=VOctg60o,即點O到△ABC三邊距離相等.因此O是△ABC的內心.CVEOFDAB例4.已知正四棱錐相鄰兩個側面所成二面角為120o,底面邊長a,求它的高、體積.ABCDSEOABCDSEO解：連結AC、BD交于O，連結SO，則SO為正四棱錐的高.

過B作BE⊥SC,E為垂足.連結DE,

則∠DEB為二面角D-SC-B的平面角,

所以DEB=120o.ASBCDEO連結OE,例5.如圖三棱錐V-ABC中,D為BC上一點,E為AV上一點,BC⊥ED,BC⊥AV,ED⊥AV,已知BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm.求:三棱錐的體積.VABCDENEXTRETURNVABCDEBC=6,ED=4,AV=8.解：EVABCDBC=6,ED=4,AV=8.例6、如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,G為A1B1上的點,E、F在棱AB上,H在C1D1上.(1).若點G在A1B1上滑動,H在C1D1上滑動,線段EF在AB上滑動,則VH-EFG的值有何變化?(2).若點G滑動到B1,E、F滑動到A、B點,H滑動到D1點,則VH-EFG體積為多少?ABCDA1B1C1D1GHEF

A

D

BCE

θ

證明：在平面BCD內，作DE⊥BC，垂足為E，連接AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。

根據(jù)三垂線定理，AE⊥BC。

∴∠AED＝θ。例7：已知：三棱錐A-BCD的側棱AD垂直于底面BCD，側面ABC與底面所成的角為θ

求證：V三棱錐＝S△ABC·ADcosθ＝S△ABC·ADcosθ＝×BC·AEcosθ·ADV三棱錐＝S△BCD·AD＝×BC·DE·AD例8：已知:三棱錐A-BCD的側棱AD垂直于底面BCD，側面ABC與底面所成的角為θ

求證：V三棱錐＝S△ABC·ADcosθ

A

D

BCE

θ

問題1、ADcosθ有什么幾何意義？

F

結論：V三棱錐＝S△ABC·DF

例9、已知：三棱錐A-BCD的側棱AD垂直于底面BCD，側面ABC與底面所成的角為θ

求證：V三棱錐＝S△ABC·ADcosθ

A

D

BCE

θ

結論：V三棱錐＝VC-AED＋VB-AED

問題2、解答過程中的

×BC·AEcosθ·AD其中

AEcosθ·AD可表示什么意思？∵AEcosθ＝ED∴S△AED＝ED·AD

又BE與CE都垂直平面AED，故BE、CE分別是三棱錐B-AED、C-AED的高。

分析：練習1：將長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個三棱錐，這個三棱錐的體積是長方體體積幾分之幾？（請列出三棱錐體積表達式）AB

CD

A’

C’B’

D’問題1、你能有幾種解法？

問題2、如果這是一個平行六面體呢？或者四棱柱呢？練習2:從一個正方體中，如圖那樣截去四個三棱錐，得到一個正三棱錐A-BCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？C

D

AB

問題2、如果改為求棱長為a的正四面體A-BCD的體積。你能有幾種解法？問題1、你能有幾種解法？解一、補形，將三棱錐補成一個正方體。解二、利用體積公式

V四面體＝S△BCD·h

解三、將四面體分割為三棱錐C-ABE和三棱錐D-ABEE練