§1-向量的長度、內(nèi)積及其正交性

第一節(jié)向量的長度、內(nèi)積及正交性內(nèi)積的定義及性質(zhì)向量的長度及性質(zhì)正交向量組的概念及求法正交矩陣與正交變換定義1一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)設(shè)有n維向量令稱[x，y]為向量x與y的內(nèi)積.說明

1.維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積的推廣.2.內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，如果x，y都是列向量，內(nèi)積可用矩陣記號表示為內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)且當(dāng)時(shí)，有定義2

令向量的長度具有下述性質(zhì)：二、向量的長度及性質(zhì)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，3.三角不等式2.齊次性1.非負(fù)性單位向量及n維向量間的夾角(1)當(dāng)時(shí)，稱x為單位向量(2)當(dāng)x，y都是非零向量時(shí)，稱為n維向量x與y的夾角.稱為n維向量x的長度（或范數(shù)）.１正交的概念２正交向量組的概念假設(shè)一非零向量組中的向量兩兩正交，三、正交向量組的概念及求法當(dāng)[x，y]=0時(shí)，稱向量x與y正交.由定義知，零向量與任何向量正交.量組為正交向量組．那么稱該向證明３正交向量組的性質(zhì)定理1若n維向量是一組兩兩正交的非零向量組，則線性無關(guān).設(shè)有使兩端左乘得由有同理有故線性無關(guān).４向量空間的正交基若是向量空間V的一個(gè)基，且是兩兩正交的非零向量組，空間V的正交基.則稱是向量５標(biāo)準(zhǔn)正交基定義3設(shè)n維向量組是向量空間V的一個(gè)基，如果兩兩正交且都是單位向量，則稱是V的一個(gè)規(guī)范正交基.由于所以為的一個(gè)規(guī)范正交基.例如同理可知也為的一個(gè)規(guī)范正交基.（1）正交化，取，６求標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法若為向量空間V的一個(gè)基.設(shè)是向量空間V的一個(gè)基，要求V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，就是找一組兩兩正交的單位向量使與等價(jià)，這樣一個(gè)問題，稱為把規(guī)范正交化.〔2〕單位化，那么兩兩正交，且與等價(jià).是V的一個(gè)規(guī)范正交基.則取例1解設(shè)試用施密特正交化過程把這組向量標(biāo)準(zhǔn)正交化.取上述由線性無關(guān)向量組構(gòu)成出正交向量組的過程，稱為施密特正交化過程.再把它們單位化，取則為兩兩正交的單位向量組.例2解根底解系為即已知應(yīng)滿足使兩兩正交.求一組非零向量把根底解系正交化，其中于是有取證明定義4定理2四、正交矩陣與正交變換A為正交矩陣的充要條件是A的列(行)向量都是單位向量且兩兩正交．若n階方陣滿足即那么稱A為正交矩陣.性質(zhì)

正交變換保持向量的長度不變．證明例3判別以下矩陣是否為正交陣．若P為正交陣，則線性變換稱為那么有設(shè)為正交變換.正交變換．定義5解所以它不是正交矩陣．考察矩陣的第一列和第二列，由于所以它是正交矩陣．由于1．將一組基標(biāo)準(zhǔn)正交化的方法：先用施密特正交化方法將基