數(shù)學(xué)競賽講座-二次根式的運(yùn)算

第一講二次根式的運(yùn)算式子(≥0)叫二次根式，二次根式的運(yùn)算是以以下運(yùn)算法那么為根底．(1)(≥0)；(2)()；(3)()；(4)(0)．同類二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它們貫穿于二次根式運(yùn)算的始終，因?yàn)槎胃降募訙p實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式，二次根式除法、混合運(yùn)算常用到有理化概念．二次根式的運(yùn)算是在有理式(整式、分式)運(yùn)算的根底上開展起來的，常常用到有理式運(yùn)算的方法與技巧，如換元、字母化、拆項(xiàng)相消、分解相約等．例題求解【例1】，那么=．(重慶市競賽題)思路點(diǎn)撥因一個(gè)等式中含兩個(gè)未知量，初看似乎條件缺乏，不妨從二次根式的定義入手．注：二次根式有如下重要性質(zhì)：(1)，說明了與、一樣都是非負(fù)數(shù)；(2)(0)，解二次根式問題的途徑——通過平方，去掉根號有理化；(3)，揭示了與絕對值的內(nèi)在一致性．著名數(shù)學(xué)教育家玻利亞曾說，“回到定義中去”，當(dāng)我們面對條件較少的問題時(shí)，記住玻利亞的忠告，充分運(yùn)用概念解題．提示：【例2】化簡，所得的結(jié)果為〔〕(武漢市選拔賽試題)A．B．C．D．思路點(diǎn)拔待選項(xiàng)不再含根號，從而可預(yù)見被開方數(shù)通過配方運(yùn)算后必為完全平方式形式．提示：原式=〔C〕【例3】計(jì)算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．思路點(diǎn)撥假設(shè)一開始就把分母有理化，那么使計(jì)算復(fù)雜化，觀察每題中分子與分母的數(shù)字特點(diǎn)，通過分拆、分解、一般化、配方等方法尋找它們的聯(lián)系，以此為解題的突破口．〔1〕原式=〔2〕原式=〔3〕考慮一般情形原式〔4〕【例4】(1)化簡；(北京市競賽題)(2)計(jì)算(“希望杯”邀請賽試題)(3)計(jì)算．(湖北省孝感市“英才杯”競賽題)思路點(diǎn)撥〔1〕把4+2萬與4—2分別化成一個(gè)平方數(shù)化簡，原式此外，由于4+2與4—2是互為有理化因式，因此原式平方后是一個(gè)正整數(shù)，我們還可以運(yùn)用這一特點(diǎn)求解；原式(2)原式(3)通過配方可以簡化一重根號，此題的關(guān)鍵是就的取值情況討論，解決含根號、絕對值符號的綜合問題．原式【例5】，求的值．(山東省競賽題)思路點(diǎn)撥條件是一個(gè)含三個(gè)未知量的等式，三個(gè)未知量，一個(gè)等式怎樣才能確定未知量的值呢?考慮從配方的角度試一試．原式可化為：即，因此有，得；，得；，得。故。學(xué)歷訓(xùn)練1．如果，那么=．2．，那么的值為．(成都市中考題)提示：原式3．計(jì)算=．(天津市選拔賽試題)原式4．假設(shè)ab≠0，那么等式成立的條件是．(淄博市中考題)，即故，因此，∵，∴5．如果式子化簡的結(jié)果為，那么x的取值范圍是(B)A．x≤1B．x≥2C．1≤x≤2D．x>0(徐州市中考題)6．如果式子根號外的因式移入根號內(nèi)，化簡的結(jié)果為〔C〕A．B．C．D．7．，那么的值為(D)A．B．C．D．8．，那么的值等于〔〕A．B．C．D．39．計(jì)算：(1)；〔2〕；〔3〕；〔4〕(“希望杯”邀請賽試題)10．(1)與的小數(shù)局部分別是a和b，求ab－3a+4b+8的值；(2)設(shè)，，n為自然數(shù)，如果成立，求n．11．如圖，某貨船以20海里／時(shí)的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的B處，經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨．此時(shí)，接到氣象部門通知，一臺(tái)風(fēng)中心正以40海里／時(shí)的速度由A向北偏西60°方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均會(huì)受到影響．〔1〕問：B處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響?請說明理由；(2)為防止受到臺(tái)風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物?(供選用數(shù)據(jù)：，)(貴陽市中考題)12．，，那么=．(杯全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)13．假設(shè)有理數(shù)x、y、z滿足，那么=．(北京市競賽題)14．設(shè)，其中a為正整數(shù)，b在0，1之間，那么=．15．正數(shù)m、n滿足，那么=．(北京市競賽題)16．化簡等于()A．5—4B．4一1C．5D．1(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)17．假設(shè)，那么等于()(2004年武漢市選拔賽試題)AB．C．1D．－118．假設(shè)都是有理數(shù)，那么和()(“希望杯”邀請賽試題)A．都是有理數(shù)B．一個(gè)是有理數(shù)，另一個(gè)是無理數(shù)C．都是無理數(shù)D．有理數(shù)還是無理數(shù)不能確定19．以下三個(gè)命題：①假設(shè)α，β是互不相等的無理數(shù)，那么αβ+α－β是無理數(shù)；②假設(shè)α，β是互不相等的無理數(shù)，那么是無理數(shù)；③假設(shè)α，β是互不相等的無理數(shù)，那么是無理數(shù)．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)提示：①是有理數(shù)；答案A②是有理數(shù)；③是有理數(shù)。20．計(jì)算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；(4)；(5)．提示：〔1〕原式；〔2〕原式；〔3〕先看通項(xiàng)故原式〔4〕原式；〔5〕原式21．(1)求證；(2)計(jì)算．〔“祖沖之杯”邀請賽試題〕提示：〔1〕因?yàn)椋栽阶筮?右邊〔2〕設(shè)，那么原式22．(1)，求的值；(2)設(shè)x、y都是正整數(shù)，且使，求y的最大值．(上海市競賽題)提示：(1)注意到，原可化為：故=〔2〕設(shè)，23．試將實(shí)數(shù)改寫成三個(gè)