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文檔簡(jiǎn)介
4.1.2數(shù)列的遞推公式與前n項(xiàng)和公式
一、單選題
1.設(shè)數(shù)列{q}滿足4=1,%=3α,ι+l(">l),則%=()
A.0B.4C.5D.8
【答案】B
【分析】由遞推關(guān)系式直接求出即可.
【解析】由題意得:α2=3α1+l=4.
故選:B.
2.設(shè)S“是數(shù)列{%}的前八項(xiàng)和,若S,,=∕+2",則々022=()
A.4045B.4043C.4041D.2021
【答案】A
【分析1根據(jù)出。22=S2022S202l計(jì)算可得;
【解析】解:因?yàn)镾,,=/+2”,
22
所以?)N=?‰a-?l=2022+2×2022-(2021+2×2021)=4045;
故選:A
3.數(shù)列{%}中,an+all+,=all+2,q=2,%=5,則4=()
A.-3B.11C.-5D.12
【答案】D
【分析】根據(jù)遞推公式一一計(jì)算可得;
【解析】解:因?yàn)?+%+∣=4+2,4=2,g=5,
所以%=4+%=7,α4=?,+α2=12;
故選:D
4.已知數(shù)列{/}滿足/>。,且對(duì)于任意正整數(shù)P,g都有冊(cè)∕=2p+'成立,則知的值為()
A.8B.16C.32D.64
【答案】C
【分析】令P=q=2,結(jié)合求出“2=4,再令p=2,q=5,求出%=32.
24
【解析】令2=4=2得:a2=2=16,
因?yàn)?>0,所以%=4,
2+5
令p=2,q=5得:??=2=128,解得:a5=32
故選:C
5.在數(shù)列{%}中,4=2,。向=得,則4=()
A.—B.—C.-3D.2
32
【答案】C
【分析】利用遞推公式依次求出“2,%,%即得解.
(1?~~?a,12一11
【解析】解:因?yàn)?=2,=F,所以4=七7二”所以%=r=-不,
an÷14+13α2+12
ci-i-\.
所以4=17=-3.
。3+1
故選:C
6.若數(shù)列{七}的首項(xiàng)4=-;,且滿足4+產(chǎn)1-',則%>22=()
44
【答案】C
【分析】根據(jù)遞推公式,結(jié)合代入法可以求出數(shù)列的周期,利用數(shù)列的周期性進(jìn)行求解即可.
【解析】因?yàn)?=-;,4川=1-',
a
4n
1?4.1
所以%=1-:1=5?'%=11"=丁4=1-4
4.所以該數(shù)列的周期為3,
45
于是有?2=?74×3=%=W,
故選:C
7.在數(shù)列{4}中,4=3,a,,=Mτ+2,則()
A.數(shù)列{q}單調(diào)遞減B.數(shù)列{4}單調(diào)遞增
C.數(shù)列{4}先遞減后遞增D.數(shù)列{4}先遞增后遞減
【答案】A
【分析】由數(shù)列遞推式求出生=K,可判斷4,>0,將%=J4τ+2兩邊平方得
(4川+”“)(α,,+∣=4-ɑ,?,判斷4川-”“與4,-明同號(hào),結(jié)合可判斷
即得答案.
【解析】由4=3,at,=MT+2,得%=石,0i=λ∕√5+2,且可知4>。.
再由4=Jα,τ+2,兩邊平方得a「=a,i+2①,
a2
則n+f=a”+2②,
②-①得:《用2一(αzt+∣+αzf)(αzι+∣-%)=α〃一4T
tan>09Λan+l-an^an-an.l同號(hào),
由4-4<。,可知,〃〃一ql-ιV°,即?!?lt;4τ,
可知數(shù)列{%}單調(diào)遞減.
故選:A.
8.已知數(shù)列{m}滿足:aι=lf^÷ι=-?7(n∈N*),則數(shù)列{即}的通項(xiàng)公式為()
〃〃+Z
A??=--B?an=C?an=-------
n+172-1n+1
【答案】A
【解析】:4+1=&(〃WN*)
1a+211
.--=--n--——I
'42an2an
V?7=1
???{:}是以1為首項(xiàng),;為公差的等差數(shù)列
11/?〃+1
.?.-=1ι÷^1-0-
??.4=V
故選A.
點(diǎn)睛:已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)一般有兩個(gè)方法:構(gòu)造新數(shù)列和歸納猜想.
一般用構(gòu)造即為通過構(gòu)造新的等差或等比數(shù)列來求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
歸納猜想適用于數(shù)列遞推關(guān)系較為復(fù)雜不宜構(gòu)造時(shí),通過羅列數(shù)列的有限項(xiàng)來觀察規(guī)律.
,、[a?-4,a,,>4
9.已知數(shù)列{%}的首項(xiàng)q=“,且0<a≤4,。向=6'?a<4,是此數(shù)列的前〃項(xiàng)和,
則以下結(jié)論正確的是()
A.不存在α和〃使得S“=2021B.不存在α和〃使得S,,=2022
C.不存在。和〃使得S,,=2023D.不存在。和〃使得S,,=2024
【答案】A
【分析】利用特殊值的思路,分別令6=1、2來去判斷即可.
【解析】令4=1,則所有的奇數(shù)項(xiàng)都為1,偶數(shù)項(xiàng)都為5,此時(shí)SG=2023,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
令4=2,則所有的奇數(shù)項(xiàng)都為2,偶數(shù)項(xiàng)都為4,此時(shí)$674=2022,S675=2024,故BD選
項(xiàng)錯(cuò)誤,綜上所述,A選項(xiàng)正確.
故選:A.
10.己知數(shù)列{4,,}滿足:H)=(?+ι)G∈N*),則下列說法正確的是()
Ja,,
A.若““>1,則數(shù)列{6,}是單調(diào)遞減數(shù)列B.若0<α,,<l,則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列
、Ic,1a1,
C.%=2時(shí),an+}+>2+4〃D.4=一時(shí),n+↑÷---<2+4〃
%2?÷ι
【答案】C
【分析】將式子進(jìn)行變形,構(gòu)造等差數(shù)列,之后構(gòu)造新函數(shù),進(jìn)而得到結(jié)果.
【解析]由=("€N*)得%J2%L±!=巴'1,
a
。“+1an?+.n
即(4出+?)-⑷+')=4,
?÷lan
所以數(shù)列{“"+?}是以4為公差的等差數(shù)列,
函數(shù)f(χ)=χ+L
X
A項(xiàng),an>?,an+t>1,f(χ)在(1,E)上是單調(diào)遞增函數(shù),即數(shù)列{4}是單調(diào)遞增數(shù)列,
B項(xiàng),。<%<1,/(X)在(0,1)上是單調(diào)遞減函數(shù),即數(shù)列{q,}是單調(diào)遞減數(shù)列,
1515“,、“3
C項(xiàng),4=2時(shí),可知4+—=彳,?+-=-+4(rt-l)=4n--,
q2azl22
135
an+.+=4(H+1)——=4及+—>2+4〃,
?+ι22
I151-“
D項(xiàng),時(shí),a?+~=~,由C知,?∣+—>2+4?,
2q2+4用
故選:C.
11.已知數(shù)列{q}的首項(xiàng)4=1,且滿足α向-α,,=(-g)(∕ι∈N"),則存在正整數(shù)〃,使得
(4,-義)(4田+為<0成立的實(shí)數(shù)人組成的集合為()
?-(-∞-4)U?Hb?住Ic??ι)
D?(-8,一|)
【答案】A
【分析】顯然?!笔钦龜?shù),求出通項(xiàng)公式,再理解不等式的含義即可.
【解析】由于4用-4=(-g),所以使用累加法,得:
““=4+(42—《)+(6—“2)+(“4—43)+??+(a“_a,i)=:1—(一:),
若〃為奇數(shù),勺=|[1+5)>|,是遞減數(shù)列;
若〃為偶數(shù),是遞增數(shù)列,
顯然可>O,對(duì)于不等式(q-㈤(α向+>t)<0,
等價(jià)于:若4<(),^a,-λ>0,則%+∣<-"n+i≥2,一;I大于從數(shù)列的第2項(xiàng)算起的最
小值,即只要λ<~,
22
必然存在一個(gè)正整數(shù)〃使得不等式(%-4(4用+為<0成立,故2e1-8,-g1
若%>。,有。〃+1+幾>。,則。“<%,即4>(",Jmin=;,
故;l∈(g,+8);
故選:A.
12.數(shù)列{q,}滿足用,則下列說法錯(cuò)誤的是()
A.存在數(shù)列{《,}使得對(duì)任意正整數(shù)p,g都滿足。因=整與+P&
B.存在數(shù)列{4}使得對(duì)任意正整數(shù)p,4都滿足J=P4+嗎,
C.存在數(shù)列{%}使得對(duì)任意正整數(shù)p,g都滿足冊(cè)F=P4+網(wǎng)P
D.存在數(shù)列{4}使得對(duì)任意正整數(shù)p,q都滿足μ+,=(£+;,四
【答案】C
【分析】依題設(shè)找到數(shù)列滿足的遞推關(guān)系,或舉反例否定.
【解析】由%=q2%,+p2%,得與τ=%+%,
Pqp9p^<ι^P-q-
2
令4=log,n,al,=nlog,n,
n
則當(dāng)Cl時(shí),數(shù)列{%}滿足題設(shè),所以A正確;
由=得為="+%,
PqPq
令可=山Og"則當(dāng)r>l時(shí),數(shù)列{4}滿足題設(shè),所以B正確;
由%=P4+嗎,
令q=l,得/+1=Wi+%,,%=20∣,ai=2aλ+a2=4al,aA=3α1+a3=lal,
令P=q,得%,,=2pap,a2=2αl,a4=4a2=8?,,
則8q=7α∣,ɑ∣=0,從而出=%=%=°,與a”<a”+i矛盾,所以C錯(cuò)誤;
由α
p+q]{K得黑=■
令4="〃,則當(dāng)f>l時(shí),數(shù)列{q}滿足題設(shè),所以D正確.
故選:C
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:肯定命題,構(gòu)造符合題設(shè)數(shù)列,注意類比常見函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),尋找恰
當(dāng)?shù)臄?shù)列:否定命題,賦值舉反例,發(fā)現(xiàn)矛盾.
二、多選題
13.數(shù)列1,3,6,10,15,…的遞推公式可以是()
A.an+?=all+n,〃eN"B.all=a?_,+n,n≥2,neN
C.aπ+l=all+(n+l),n≥2,?∈N*D.all-all^+(π-l),?∈N*,n≥2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意,得到々-4=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-ai=5,由此得到答
案.
【解析】設(shè)數(shù)列1,3,6,10,15,…為{%},則出-4=2,=3,%=4,%-%=5,一,
〃=1時(shí),A、D不合題意;而C中不包含%-4=2,
由此可得數(shù)列{q,}滿足4-4ι=〃,〃≥2,"∈N".
故選:B.
14.已知數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為5“,且S“-4=5-1)2,hn=^-r,則()
2
A.Sn=nB.an=In
C.數(shù)列也}是遞增數(shù)列D.數(shù)列也}的最小值為甘
【答案】AD
【分析】根據(jù)SSa得到S,ι=("7)2,進(jìn)而求出前一項(xiàng)和與通項(xiàng)公式,進(jìn)而判斷AB
選項(xiàng);利用與L=(魯,結(jié)合魯與1的大小關(guān)系,得至U{d}不是遞增數(shù)列,且求出熊的
最小值,判斷CD選項(xiàng).
2
[解析],=Sn-sιl,l(n≥2),二S,,-an=5,,.l,則SU=S-I尸,即S.=n(n∈N*),.
當(dāng)“≥2時(shí),??=W2-(M-I)2=2∕J-1,又α∣=l滿足上式,.?.%=2"-l("∈N*),故A正確,
B錯(cuò)誤;
22n4烏[,當(dāng)叵>1時(shí),〃>a+1,
易知b,>0,
t("+I)”H+1)〃+1
???當(dāng)1≤"<3時(shí),bn>bll+i,當(dāng)n≥3時(shí),包<加,...數(shù)列也}不是遞增數(shù)列,且當(dāng)”=3時(shí),
女取得最小值三,故C錯(cuò)誤,D正確.
81
故選:AD.
15.已知正項(xiàng)數(shù)列{4}滿足:?+l>3?,S“是{4}的前"項(xiàng)和,則下列四個(gè)命題中正確的
是()
A.%R3%B.SM>(1+3*+9*)S*
C.?≤∣?-^l(∏>2)D..等}是遞增數(shù)列
【答案】ABC
【分析】對(duì)于A,根據(jù)》3〃”和4>O迭代可得結(jié)果,對(duì)于B,由于
&=(q+%++4)+(4-1+4.2++%J+(%+∣+%E++,%),結(jié)合“向23凡化簡(jiǎn)即
Skal+a2+ak
可,對(duì)于C,由已知可得的W中,…%≤含,4W含,相加化簡(jiǎn)即可,對(duì)于D,舉
例判斷
【解析】對(duì)于A,由已知得。向23%223?Zτ223Z,故A正確;
+a
“工口S?*_(4+4+÷?)+(?+ι÷?+2÷÷?)÷(?A+I÷?+2÷3k)
悶于B,-T-=--------------------------------------------------------------
Ska,+a2+ak
_1,4-1+4+2++ci2k,4Zhi+%—++%kI
一?'',田
4+%++4q+%++6
以+1N34,〃攵+223%,…出人23%,出人+1294,生人+229%,…須29%;得
些21+3*+9、故S3*2(1+3'+9")S?,故B正確;
對(duì)于C,由A知,?≥3?.i=>?.1≤?y?,...?≤^2>qW^?,所以
S,,=αl+α2++/W含+含++y+??=?^l+→■+/]
3
對(duì)于D,若{4}是等比數(shù)列且乎=4,則|竽.是常數(shù)列,故D錯(cuò)誤,
故選:ABC.
16.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí),發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)I,1,2,3,5,...,
其中從第三項(xiàng)起,每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和,后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列包}
稱為“斐波那契數(shù)列”,記S,,為數(shù)列{%}的前"項(xiàng)和,則下列結(jié)論正確的是()
A.4=8B.S-,=33
C.ax+a3+α5+???+α19=α20D.a2+ez4+a6+???+tz20=S19
【答案】ABCD
【分析】對(duì)于A:直接由遞推公式寫出數(shù)列的前6項(xiàng),即可判斷;
對(duì)于B:直接求出數(shù)列的前7項(xiàng)的和;
對(duì)于C:由遞推關(guān)系直接求解;
對(duì)于D:由q+2=。,川+可,直接轉(zhuǎn)化,即可判斷
【解析】對(duì)于A:寫出數(shù)列的前6項(xiàng)為1,1,2,3,5,8,故A正確.
對(duì)于B:S,=l+l+2+3+5+8+13=33,故B正確.
對(duì)于C:由4=4,a3=ai-a2,a5=aβ-a4,αl9=?-Λ18,可得α∣+%+%+???+α∣9=?,
故C正確.
對(duì)于D:斐波那契數(shù)列總有4+2=%+4,則
a2+a4+a6-i-----Fa20=a2+a2+α,+H-----1-αl8+αl9=wl+a2+a3+a4-?-----ι-al8+?|9=5∣9,故D
正確.
故選:ABCD
三、填空題
17.已知數(shù)列也,}的前八項(xiàng)和S“=貝Ijq=
【答案】1
【分析】令〃=1,得到5=2-4,即q=2-q,即可求解.
【解析】由題意,數(shù)列{叫的前〃項(xiàng)和S,=2〃-凡,
令九=1,可得S1=2-4,即4=2-q,解得α∣=l.
故答案為:1.
18.在數(shù)列{〃〃}中,q=l,-βd-=^-TΠGN則4O=_______.
%n+1(),
【答案】?
【分析】直接由遞推關(guān)系進(jìn)行累乘運(yùn)算即可.
一a.a,a,9811
nx1
[解析]由題后知4O=----------^?al=-×~××-×=~.
α9?4109210
故答案為:?.
19.設(shè)數(shù)列{叫滿足4=%(4M-I)(I-α.)=2α,,ReN*),若數(shù)列{%}的前2019項(xiàng)的乘積
為3,則。=.
【答案】2
【解析】本題先根據(jù)遞推式的特點(diǎn)可知%*1,然后將遞推式可轉(zhuǎn)化為4+∣=產(chǎn)?再根據(jù)
%=”逐步代入前幾項(xiàng)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列{4}是以最小正周期為4的周期數(shù)列.再算出一個(gè)周期
內(nèi)的乘積為1,即可根據(jù)前2019項(xiàng)的乘積為3求出a的值.
【解析】解:由題意,根據(jù)遞推式,為w1,故遞推式可轉(zhuǎn)化為%”=產(chǎn).
1一區(qū),
a-?
1?H-------
“-1+?-a+l-,
ɑs——1一a1
1-%i_£zl
a+?
???數(shù)列{”“}是以最小正周期為4的周期數(shù)歹U,
,
Q2019=4×504+3,.?al-a2...a20l9=al-a2-a3
解得α=2.
故答案為:2.
【點(diǎn)睛】本題主要考查周期數(shù)列的判定以及周期數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,本題屬中檔題.
20.以I0.”1間的整數(shù)電就"建則二!期f為分子,以〃:為分母組成分?jǐn)?shù)集合τ,其所有元素
和為生;以(0.”廠I間的整數(shù)MAL*尼1臧為分子,以,,:;為分母組成不屬于集合T的分
數(shù)集合T.,其所有元素和為4;……,依次類推以10,,/間的整數(shù)毓泌吧臧:為分子,
以”::為分母組成不屬于A,4,…,4一的分?jǐn)?shù)集合41其所有元素和為a:;則
q÷cι^+…+a”
【答案】甲
【解析】依題意可得4=一.因?yàn)橐?,::為分母組成屬于集合M的元素為
烏■,警,…,生普即匕工,…,如£所有這些元素的和為生.所以
mmmmmm
1+2+???+(∕H2-1)l+2+???+("/—1)閂IHl
一4.π即π--------?---------L=4+%同理
nrm~
【答案】(1)an=--;(2)4=L
nn
【分析】(1)利用累加法即可求出通項(xiàng)公式;
(2)利用累乘法即可求出通項(xiàng)公式;
?__1_
【解析】(1)因?yàn)?。?%+(〃N1),a∣=-l,所以4+∣-a,,
鹿(〃+1)n〃+1
所以當(dāng)"≥2時(shí),an=al+(a2-ax)++(?.l-?.2)+(?-aπ.1)
11
=-ι÷ι-l÷l-l++-L-
2237?-1nn
當(dāng)〃=1時(shí),也適合
1
所以{4}的通項(xiàng)公式為%=-
n
〃一1/、4=1,所以言了十
(2)因?yàn)?H--an-?=-----4-l(“≥2),
n
。2[123n—11
所以當(dāng)"≥2時(shí),q=4,.——?------=Ix—×—X-XX-----=一
6出an-ι234nn
當(dāng)〃=1時(shí),也適合,
所以的通項(xiàng)公式為4,,=」?
n
2
22.已知數(shù)列{%}滿足A爭(zhēng)+$++^=n+n,求數(shù)列{α,,}的通項(xiàng)公式.
【答案】aπ=n-2^.
【分析】當(dāng)“22時(shí),得到卜生+袋++翁=("-iy+"-l,進(jìn)而做差可得到
墨=2"("≥2),再檢驗(yàn)〃=1時(shí),即可求出結(jié)果.
【解析】W+'+者++故="+〃,
工當(dāng)〃22時(shí),y+^-+?^?+-+^?=(n-l)2+n-b
兩式相減得M=2〃(〃≥2),.?.4=〃?2"+'(n≥2).
又'.‘當(dāng)"=1時(shí),5=1+1,;.4=4,滿足%="?2"+∣.
,?an=n?2〃”.
--LAS=2Z+1M∈N)
2
23.記數(shù)列的前"項(xiàng)和為S,,,已知S(I=
-,(n=2*Λ∈N*)
12
(1)求數(shù)列{q}的通項(xiàng)公式;
⑵求數(shù)歹“二一的前”項(xiàng)和小
a
lA+ιJ
【答案】(1)4=(」)"?〃;
n
(2)7;=
n+1
【分析】(1)討論”為奇偶性,結(jié)合已知前〃項(xiàng)和及S”的關(guān)系求通項(xiàng)公式即可;
11
(2)由H=-而幣y,再應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求7”.
""""+I'l'?/
(1)
Ii+1fl-??
當(dāng)"為奇數(shù)且“23時(shí),q=SJI-ET=-審一號(hào)=-〃,且4=A=-I,也滿足該式;
Yl((〃-1)+1
當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),-2、--i-?=〃.
綜上,αn=(-l)"?n.
(2)
由⑴
故雹=-
24.(1)已知數(shù)列{的}滿足:4=1,%+|=蠟石("€'*),求{〃〃}的通項(xiàng)公式;
(2)在數(shù)列{“〃}中,己知?∕=3,(3n+2)an+∣=(3n-l)Cm(n∈7√*),an≠0,求
【答案】(1)an=—^—;(2)m=
2—15Jn—1
【分析】(1)對(duì)的+∕=j?■兩邊“取倒數(shù)”,得到J--'=2",再利用累加法求解;
Zan+?an+?an
Qnq3〃-1
(2)由(3/?+2)anI-(3/2-1)an,得到---=-----,然后利用累乘法求解.
an3/1+2
【解析】(1)對(duì)的+尸行41兩邊“取倒數(shù)”,得一L="B
2%+1%afl
11
,即---=2n+—,
%7?
11
,〃22時(shí),-------
anan-l
將以上各式累加得,
1_一_1=2"T+2"-2+…+2?+2=?∑ΞJ=2"-2,
1-2
所吟=f
所以為=4,當(dāng)"=1也滿足,
所以”,,=4?
Z—1
.,a.,3n-1
(2)因前#),由(3〃+2)cm+ι=(3〃-1)an,得n=τ~
a?3〃+2
a_3〃-4_3〃-7%_5g_2
?時(shí),--n-=尸=三,一=
"22=-~7,------?—7a7
a〃T3〃-1an_23〃-4a2θ?5
一一a2
逐項(xiàng)累乘,得-inL=丁一
?*?cιn=J,當(dāng)〃=1也滿足,
3n-?
.6
??cιn=----.
〃3M-1
2
25.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{all}的前〃項(xiàng)和為5〃,且S“滿足S;-(H÷〃-3)S.-3W+?)=0,
"∈N".
(1)求%的值;
(2)求數(shù)列{可}的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)4=2;
(2M=2”.
【分析】(1)對(duì)己知條件,通過令〃=1,結(jié)合題意即可求得結(jié)果;
(2)把已知遞推式因式分解,求出5“,利用勺,S〃的關(guān)系求得答案.
(1)
2
由S:-(〃“+〃-3)Sn—3(n+h)=09得
ciy—(1^÷1—3)4—3(1~÷1)=0,βp%~+ciy—6=0,
解得:q=-3(舍)或4=2.
(2)
22
由S;-(n+n—3)Sπ—3(n+n)=0,
得(S,,+3)(S〃一〃2一〃)=。,
即S“="+〃或S“=-3(舍)
當(dāng)〃=1時(shí),q=2.
22
當(dāng)2時(shí),an=Sn-Sll^=n+n-(n-l)-(n-l)=2n.
驗(yàn)證〃=1時(shí)上式成立,
.?.an=2n.
12
26.已知S"為數(shù)列{4,,}的前"項(xiàng)和,且滿足q=9,5“=4+S,-(〃≥2).
⑴求證:數(shù)列{叫是遞增數(shù)列;
(2)如果存在一個(gè)正數(shù)“,使得㈤恒成立,則稱數(shù)列{4}是有界的.判斷數(shù)列{4}是
否有界,并說明理由.
【答案】(1)證明見解析;
(2)有界,理由見解析.
【分析】(D利用(與利關(guān)系可求得?!埃勺C得由此可證得結(jié)論;
?21
(2)由同=正有=l--7-y<1可得數(shù)列{q}有界.
(1)
/I21
當(dāng)“≥2時(shí),?=5,,-5π,l=^-;經(jīng)檢驗(yàn):q=χ也滿足%=——,
n+12n+1
2
數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式為為=」」(〃wN?,
22222
("+I)?n(∕J+l)(∏+l)-∏[(n+l)+l]2?+1n
,,+l(∕1+1)2+1M2+1[(〃+葉+1]("2+1)[("+Ip+1](∕+1)
數(shù)列{q}是遞增數(shù)列;
(2)
數(shù)列{%}有界.
?21
理由如下:㈤=再Y=I-再J<l,即㈤<1恒成立,.?.數(shù)列{q}有界.
27.已知數(shù)列{??}的前"項(xiàng)和為5”,首項(xiàng)q=1,且對(duì)于任意nwN*,都有nan+l=25?
(I)求{4}的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè)I=----------,且數(shù)列他}的前〃項(xiàng)之和為T”,求證:(<白
【答案】(I)an=n
(Il)見解析
【分析】(I)利用累乘法求通項(xiàng)公式(II)利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和即可求證.
【解析】(I)解法一:由〃*=2S”①
得當(dāng)"≥2時(shí),(〃-l)α,,=2S,ι②,
由①-②可得,∕ω,,+l-(n-l)?=2(S,,—Sg)=2aι,,
所以照,+∣=("+1)%,
ɑ,?.π+l
即當(dāng)時(shí),—=—,
“≥2ann
〃3_34_4a_n
所以,n
a12'%3'%H-I
an
將上面各式兩邊分別相乘得,-=i,
即4“=鼻?。2(〃N3),
又。2=2S]=2q=2,所以〃“=〃(π≥3),
此結(jié)果也滿足q,〃2?
故〃“=〃對(duì)任意都成立.
解法二:由We=2S〃及=Sπ+1-ξ,,
/?5,,.∣n+2
得"S"+|=("+2)S,,,即《一=U
345
S=S「邑鳥X-×-X-Xn+1n(n+?)
.?.當(dāng)〃22時(shí),123X----=--------(此式也適合岳),
“5lS2n-?2
對(duì)任意正整數(shù)?均有S,,=亞咐,
2
二當(dāng)“≥2時(shí),?=S,,-5,,-l=n(此式也適合q),
故4,=".
【點(diǎn)睛】本題主要考查了由累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)的和,屬于
中檔題.
zI、_n
fl,,=
28.已知數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式為=竽?(H∈N?)iLl+l++1(H≡N*).
2/2+1
ab2bll
⑴求數(shù)列也}的通項(xiàng)公式;
"2'
(2)求數(shù)列*中最大值的項(xiàng)和最小值的項(xiàng).
'2
【答案】(1也=3'”;(2)最大值項(xiàng)為:,最小值項(xiàng)為假.
∕2(n+l),n..2
【分析】(1)首先根據(jù)已知條件求出;+;++;,然后再根據(jù)
?=T^+7~+÷7~^+τ^-^Γ+7~++T~求解,并對(duì)〃=1進(jìn)行討論,即可求解.
bb
?32n-xbn)3b2bn_J
(2)首先求出色的通項(xiàng)公式,利用單調(diào)性即可求出最大值的項(xiàng)和最小值的項(xiàng).
n
【解析】(1)?.?4=1+1+
偽b2
5,4」,.:
當(dāng)M=I時(shí),CIA
2÷13瓦%,13
當(dāng)兒.2時(shí),—
4
2〃+1/八2〃-12/?+12/2—11
=n-------------(〃-1)----------=------------------=----------
M(Π+1)(n-l)nn+1n〃(〃+1)
Λbιt=n(n+l),顯然當(dāng)〃=1時(shí),2=〃(〃+1)不成立.
"=1
綜上,bn=?3'.
M(H+1),n..2
〃22
(2)當(dāng)〃=1時(shí),2=彳,
bl3
21_1
當(dāng)”,2時(shí),£=〃(〃+1)2]〃(〃+1)〃+〃+丁"」________]
222
bn2n+ln(π÷l)(2n÷l)4/?+4∕?÷144(4n+4∕ι+l)
,.?/(n)=4"+4〃+1在幾.2時(shí)為增函數(shù),,必有4/÷4∕?+1..25.
]1?116
由"<4(4/+4〃+1)”而可知)>^_4(4/+4〃+])…天.
21
>??.數(shù)列加的最大值項(xiàng)為最小值項(xiàng)為魯T?
3-4-
29.已知數(shù)列{4,}滿足q=;,對(duì)任意的皿°∈N*,都有α,i=qjα,.
(1)求數(shù)列{0,,}("eN*)的遞推公式
⑵數(shù)列也}滿足q=缶-昌+4+…+(-1)””徐(〃eN*),求數(shù)列也}的通項(xiàng)公
ZI1LI?LI?LI1
式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)%=2
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