2023年考研數(shù)學(xué)三真題及參考答案

2023年尊檄學(xué)三真題及參考察

一、選擇題：1~10小題,每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)選項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.

1,已知函數(shù)/8j'）Tnb+|xsinj|），則

史更更更

A.&飛」）不存在，存在B.&&D存在，?&D不存在

更更更更

C.?。ㄘ状嬖?，②⑺）存在D.由7Q不存在，（0R不存

在

【答案】A.

【解析】由已知/（xJ）=lnS+|xsin.i，|），則

/U1)=ln(l+1xsin1|)/(0sy)=Iny

當(dāng)x>0時(shí)，/(x1)=ln(l+xsin1)及

M")_4f(-v4)

=-sinl

當(dāng)x<0時(shí)，/(x,l)=ln(l-A-sin1),去(o.i)&IxU)

次口）

所以"Ig不存在.

如.】1）_4f（Q；y）

又打（OJ）-6

，存在.

故選A.

|J1.x<0

/(x)=Jl+x2

|(X+l)C3X,X>°的一個(gè)原函數(shù)為(

2.函數(shù)).

F(x)=jln(^77-4X-0

(x+l)cosx-sinx,x>0

尸(力=M87r)+Lx?0

(x+l)cosx—sinxsx>0

尸⑴Jin(爾一4三。

(x+l)sinx+cosx,x>0

InIJl+f+x|+Lx<0

產(chǎn)3=

D.(x+l)sinx+cosx,x>0

【答案】D.

f(x)=limf(x)=/(0)=1八、一

【解析】由已知33八"八'，即/⑴連續(xù).

所以"X)在x=0處連續(xù)且可導(dǎo)，排除A,C.

又x>0時(shí)[(x+1)cosx-sinx]r=cosx-(x+1)sinx-cosx=-(>+l)sinx

排除B.

故選D.

3.若V+G''+8=°的通解在(7°，楨)上有界，則().

A0<0：b>0gn>0,6>0

Qa=0,5<0[-)a=0s6>0

【答案】D.

【解析】微分方程J'"+W+E=°的特征方程為八+"+b=0.

2"v(x)=(CcosCsin-)

①若d-4b<°n，則通解為r22*2A

②若-4b>0,則通解為J。)=Ge

③若J-4b=0,則通解為Mx)=(G+GX)e

由于Mx）在（YD,物）上有界，若一5>°,則①②③中x->+8時(shí)通解無(wú)界，若

__<0八

2,則①②③中XT70時(shí)通解無(wú)界，故。°.

a=0時(shí),若b>0,則彳12=67，通解為y（x）=（Gcosm+Gsin石x）,在

（2功上有界.

。=。時(shí),若b<。,則七=士衣,通解為1*）=。】*+。2產(chǎn),在（一叫”）上

無(wú)界.

綜上可得。=°,b>°.

00000000

Z42aZb“

4.設(shè)4<bn，且M與4收斂，M絕對(duì)收斂是篇,絕對(duì)收斂的（）.

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既非充分又非必要條件

￡◎-4）￡（4-4）

【解析】由已知條件可知日為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，進(jìn)而z絕對(duì)收

斂.

88

設(shè)￡”絕對(duì)收斂，則由M=h-a”+/|4h-4l+kl與比較判別法彳導(dǎo)￡”絕

對(duì)收玫；

8〉:a

設(shè)匯勾絕對(duì)收斂，則由卜』=腐一4+a」'h—a』+同與比較判另（］法，得占"絕

對(duì)收斂.故選A.

5.45為可逆矩陣，E為單位陣，為M的伴隨矩陣，貝/°B

f\A\B'-B'A"r\B\A*-AB*

A,0㈤/B.、O\A\B*

:\B\A*-B'A*

c.。L4|$.D.0㈤4

【答案】B.

【解析】由于

O

、。5"人。Mll^l

_f\A\,4Tx\B\-|N|N7|5@i、

-、oB-X\A\\B\,

-XB*

=、。K4

故選B..

2

6.”演，為，均）=（%+（石+X3）-4（X2一再彳的規(guī)范形為

C.Ji+31-4>^

A.才+賢B.KFD.

.端+乂一只

【答案】B

【解析】/（&%，歷）=（x+sy+（石+再彳一名與一吃彳

=2A；-3*—3x；+2\x,+4再+81再

'211、

A=1-34

二次型的矩陣為U4

2-2112-A10

1-3-24=(2+7)1-3-z1

14-3-214-1

2-210

=(2+7)21-20=-2(2+7XA-3)=0

14-1

4=3.-0,故規(guī)范形為才,故選B.

%=2

7.已知向量組，若,既可由%%線性表示,

又可由凡耳線性表示，則尸=（）

勺、’3、

k3,keRk5,keR

A.J,B.bl

5

k1,keR

【答案】D.

［解析］設(shè)/=占q+總％=內(nèi)月+晨河,則占4+總，一&月一治g=0,對(duì)關(guān)于

區(qū)月網(wǎng)A的方程組的系數(shù)矩陣作初等變換化為最簡(jiǎn)形，

'12-2-r003、

/=(%生,一q,-四)=21-50->010-1

-9、001L

解得&出也&)T=C(TLT1)T+(3,TL0)T=(3-3C—1+C,1-CC)T故

(i-cArr

上口+與%=(3-3C)aj+(C-l)/=,5(1-C)=k5,k&R

>8(1-0)[8,

8.設(shè)X服從參數(shù)為1的泊松分布，則￡（lX-頤㈤I）=（）.

1￡2

A.eB,2C.e

D.l

【答案】C.

e-1

P{X=《}='(k=0.L2-L)1

【解析】方法一：由已知可得，左！-/⑶=L故

EQX-E(X)|)=EQX-l|)=￡^Vi=eT+eTf

Dk!f-ok\

=2e-1+E(X-l)=-

e.

故選c.

r￡一￡f1"x*+1ex-x-l

e=27——zZ------=-X---------------

方法二：由于2-0左！，于是a-i(上+1)!》*7(氐+1)!*于是

：W/Y_p產(chǎn)Y_fex-x-lY_(x-l)ex+l

馬(左+1)!=詒(左+1)1=-瓦麗I=1-=一7一

e-1

P{X=k}=上=012工)1

由已知可得，H-產(chǎn)⑶=】，故

￡(]^-E(Ar)|)=￡O^-l|)=e-1+e-1X^^=e-1+e-1X-A-

t-ik!f.i(k4-1)!

==/+e-、2

￡(|X-E(X)I)=￡(|1*|)=[e-1+￡(1*)]=e-1+E(X)-l=e-1

故選C.

9.設(shè)駕X』d”為來(lái)自總體NQ4，/)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，幾JL1為來(lái)自總體

NQ&2(7)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且兩樣本相互獨(dú)立，記,

1n_1m_

方區(qū)2=Va-y)!

〃一1z,加一17,貝女)

朱：F(n,ni)去■:F(H-1,?M-1)

A.%B.%

2S22S?

-A--F(小吟會(huì)：F(n-Lm-T)

C.%D.%

【答案】D.

(〃-i)Ws-i)sj

【解析】由兩樣本相互獨(dú)立可得人與2/相互獨(dú)立，且

器察：八時(shí)】)

a,2b

(〃T)S//

一—^一二,

F(n—1w-1)

厘％」)F:

因此,故選D.

10.已知總體X服從正態(tài)分布陽(yáng)兒/),其中。＞。為未知參數(shù)，國(guó),冬為來(lái)

自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記6=內(nèi)墻一名1,若國(guó)的二°■，則。=().

后-Jljr

A.2B.2c.而D.歷

【答案】A.

【解析】由與&,X：為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X】，X：相互獨(dú)立，且

耳：X、:NQid）

I/

因而區(qū)一占~人「?2/），令『=冬-占，所以y的概率密度為

1f上

2=行后…

所以

因吁匚3-"，叱2『嬴擊a得

由雙乃=亞（因-孤1）=。，即

血"）=。lo

a工

解得2,故選A.

二、填空題：11-16小題,每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.

limx2；2-xsin—cos—!=

11.求極限'f'XX).

【答案】3.

sint.

./11pJ,2-——cost

limx*,2—xsincos—|」lim----J-----

x*IxxJf-*0t

【解析】

sin?1,

Tim--+lim---=lim^r-+lim--

r->0t"r->0尸i0f1r->0/

=-H—

26

_2

=3

xdv-vdxTT

〃、y）=,且彳，則/(力,

12.已知函數(shù)“2）滿足"U)=3)=

【答案】3.

Mxj)-yMxj)x

【解析】由已知聲/+】'辦’/+丁,則

/(x.y)=［、二支dx=-arctanB+K)

Wx+eh，）

所以F+F.，即0'G）=o,旗】'）=c,

JCTT"7"

/(2)=-arctan—+C/(1.1)=-C=-

從而F，又4,解得2,故

喏/（&）/一…號(hào)

CD、.2m

y—

13.占Q〃)!

e+e

【答案］~~r

8戶

SO）=>二-

【解析】令￡（2〃）！，則S（°）=l,且

co2??-l

sf(x)=y———

￡(2〃-1)!S'(0)=0

CDCD

sff(x)=y———=y=S(力

￡(21)!七(2力!

從而可得微分方程S3-S（x）=0,解得S（x）=Ge'+Ge-',

又s（o）=i,s，（o）=。，解得G=G="故

x-x

s(力=＞9二0—=e+e

士(2力！2

14.某公司在，時(shí)刻的資產(chǎn)為了?),則從°時(shí)刻到，時(shí)刻的平均資產(chǎn)等于t,

假設(shè)了⑺連續(xù)且"°)=0,則/?)=.

【答案】2(er-t-V)

］；/("/⑺_?

【解析】由已知可得一't—=~T~r,整理變形⑺"=""一廠，

等式兩邊求導(dǎo)/⑺=k(')一2,，即尸⑺一/⑺:？？，解得一階線性微分方程通解

為

/(0=-2(z+l)+Cef

I

又/(°)=°,解得C=2,故/S=2-

ax1^x3=L

Z+%+為=0：ci011a1

再+2為+3=0,1a1=412a

15」有+g=2有解，其中。力為常數(shù)，若12aabQ

，則

【答案】8

a011

1101

1a10

12+21a1=0

120

b01

【解析】方程組有解，則ab02,故

1Q1

12a=8

abQ

16.設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且X：3(Lp)F:B(2,P),pe(OJ)則x+y

與x-y的相關(guān)系數(shù)為.

1

【答案】萬(wàn)

【解析】由題意可得，5X)=P(1—P),5F)=2p(l-p),又由X與y相互獨(dú)

立可知，。(刀士】‘)：1^㈤+°(建，故

Cov(X+y,X-F)_D(X)-D(Y)

%+3"=。(入；00?")=&⑶+%)也)⑶+0(F)

=D(AQ-D(F)=p(l-p)-2p(l-p)1

-DW+D(r)-p(l-p)+2p(l-p)~3

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

已知函數(shù)1=J'*)滿足ae：+丁2+j-1n(l+x)cosj+6=0，且J'(°)=Q>'(°)=。,

(1)求的值；

(2)判斷》=0是否為函數(shù)=的極值點(diǎn)

［解］(1)將火°)=0代入ae'+F+yTna+力cosy+6=0得a+6=0

方程。e1+/+y-ln(l+x)cos1+6=。兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

ae+2ivf+vr-cosv+ln(l+x)sinv-vr=0

1+x,

將y(0)=0代入上式得“1=0，解得a=Lb=-l.

1.

e'+2w'+vf-----cosv+ln(l+x)sinv-vr=0

⑵由(1)知一.1+x?■-，上式兩邊再對(duì)X求導(dǎo)

得

ex+2(/),+2W"+/H------TCOSTH----sinv-vr+----sini，+lnQ+A)COSV9vf+ln(l+x)sinvy

(1+x)1+x|_l+x_

將y(o)=Qy(o)=o代入上式得似。)=-2,所以x=°是函數(shù)尸J。)的極大值

點(diǎn).

18.（本題滿分12分）

―J,xNl

D=(x,y)10<<

2

已知平面區(qū)域xjl+x

（1）求平面區(qū)域Q的面積s.

（2）求平面區(qū)域。繞X一周所形成得旋轉(zhuǎn)體的體積

s=r^L=dv=p^￡L^=pJ_dz

【解】⑴-Wl+x-」彳tan，sec，J彳sin，

=-D:—ydcos?

4段J］1-cost

cos/-I2I^2+1

為------=—In—3=——

cosZ+1+2J2—1

4

⑵F-5dxT；9占

19.（本題滿分12分）

..fflJx1+v2-1|dvfh'

已知刃={(“)|(x—l)2+y2wi}求J/Y

［解］令A(yù)={(x，J')l(x-l)2+『41*+曠41}，則

。|&+},2_］由4

=JJ宙+>2-1陋+”［l-Jf+J陋

D-D口

=ff(V?+7-ljdvdv+2ff11-次+作酒

DA

=r￡*d…+手夙2心電加”寧

20.（本題滿分12分）

設(shè)函數(shù)八X）在［一久㈤上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù).

（1）證明：若八°）=°,存在太（FM）,使得/匕）=了［/⑷+"一砌；

（2）若/3在（一小。）上存在極值，證明：存在〃w（一?。），使得

1八〃）匕!|/（。）一/（一。）|

【證明】Q）將/支）在內(nèi)=°處展開為

/（.r）=/（0）+/（0）x+^-^=/'（0）x+Z^l

其中5介于。與x之間

分另！J令x=_。和x=a,貝II

/M=/（0X-n）+^|^_〃＜費(fèi)＜0,

/⑷=/（°XG+巧盧，。＜芻“，

兩式相加可得

〃2/"4）+7*4）

f（-a）+f（a）=a——I------

/

又函數(shù)/（X）在［-。㈤上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),由介值定理知存在；6國(guó)心］u（-?a）,

使得

/（勇=="（一。）+/（切

即。

（2）設(shè)f（x）在七處取得極值，則/'（毛）=°.

將/（'）在飛處展開為

/（X）=/（毛）+八/X》一七）+=/（而）+/"（』;婚

其中＜5介于F與x之間.

分別令x=-a和x=a,貝［］

（F））”嗎+/）

/=/6+，-a</<與

/（。）=/（%）+八絲「Q

不<〃2<。

兩式相減可得

/⑷=/“（小乂。一斗1_/"ODg+x?！?/p>

所以

?/⑷_/（_〃）］=/"（%）（"一飛）_f（/Xa+Xo）

//（加（。+土）2||/（?。﹟（。一%『

22

=+2尸+S-分力（|/*（〃）1=max。/*（/）|J/*（%）I》

工艮件K。+』）+（。-與行=2a2\八〃）I

I

ir（7）i^Xi/（?）-/（-?）1

即2。^

21.（本題滿分12分）

玉玉+馬+玉

A毛22再一巧+再

設(shè)矩陣，滿足對(duì)任意的與電，西均有、為一百

⑴求.4

（2）求可逆矩陣尸與對(duì)角陣/，使得P-%P=4

玉+玉+巧

-4Xj=2再一毛j+巧

【解】（1）由七一七得

q1

Z—2-1=0

1

即方程組-對(duì)任意的與孫