2021版新高考數(shù)學(xué)人教A版一輪復(fù)習(xí)單元質(zhì)檢卷七立體幾何

單元質(zhì)檢卷七立體幾何（A）

（時(shí)間:45分鐘滿分:100分）

一、選擇題（本大題共6小題,每小題7分，共42分）

1.（2019山東濟(jì)寧一模,7）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.24+9K

B.12+9兀

C.12+5%

D.24+4兀

2.（2019湖北八校聯(lián)考二,6）設(shè)Ijn表示兩條不同的直線,a/表示兩個(gè)不同的平面,0表示一個(gè)點(diǎn)，給出

下列四個(gè)命題，其中正確的命題是（）

①Q(mào)￡a,/ua=Q￡/②/八加二4③I〃m,lua,QGm,QGanmua④，且

BQ-nlG。

A.①②B.②③C.①③D.③④

1

俯視圖

3.圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為力組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯

視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20rt,則r=（）

A.1

B.2

C.4

D.8

4.（2019安徽定遠(yuǎn)中學(xué)預(yù)測(cè)卷一）已知四棱錐P-ABCD的底面四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，若過(guò)

點(diǎn)?作平面A8CO的垂線，垂足為四邊形A8C。的中心，且四棱錐P-ABCD的側(cè)棱與底面所成的角為

60°,則四棱錐P-4BCD的高為（）

A.2V2B.V3C.V6D.2V3

5.（2019安徽合肥一模,9）如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某三棱錐的三視圖,則該三

棱錐的外接球的表面積為（）

A.6TI

B.24兀

2

C.48兀

D.96兀

6.（2019貴州遵義航天中學(xué)十一模泗棱錐P-ABCD的底面為正方形J_底面A8CRA8=2,若

該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為早的同一球面上，則PA的長(zhǎng)為)

A.3B.2C.lDA

2

二'填空題（本大題共2小題海小題7分，共14分）

7.（2019山東日照一模,16）如圖,四棱錐P-ABCD的底面為矩形，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D在球。的同

一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，且球的表面積為16兀，則四棱錐P/8CO體積的最大值為.

8.（2019北京師大附中模擬三,13）某工廠現(xiàn)將一棱長(zhǎng)為舊的正四面體毛坯件切割成一個(gè)圓柱體零件,

則該圓柱體體積的最大值為.

三、解答題（本大題共3小題，共44分）

9.（14分）如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SABL平面ABC^SAB是等邊三角形，已知

AC=2AB=4,BC=2yj5.

⑴求證:平面S4B_L平面SAC-,

（2）求二面角B-SC-A的余弦值.

3

10.(15分)(2019山東濟(jì)寧一模,18)如圖，在四棱錐P-ABCD中底面ABC。為平行四邊形,PAL底面

ABCD,ZABC=60°48=7X40=2/4P=3.

(1)求證:平面尸C4_L平面PCD;

(2)設(shè)E為側(cè)棱尸C上的一點(diǎn),若直線8E與底面A8CQ所成的角為45°,求二面角的余弦值.

11.

4

p

（15分）（2019北京,16）如圖，在四棱錐P-ABCD中,P4_L平面ABCDADLCDAD//

BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且/=1

⑴求證:CD_L平面PAD\

(2)求二面角F-AE-P的余弦值;

(3)設(shè)點(diǎn)G在PB上，且襄=W判斷直線4G是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由.

ro3

參考答案

單元質(zhì)檢卷七立體幾何(A)

LB由題意可知，幾何體是抄圓錐,

5

所以幾何體的表面積工X42兀+2X1X4X3+1x1x8;rx5=12+9兀故選B.

4242

2.D①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤，③正確,④正確.故選D.

3.B由條件知,該幾何體是由一個(gè)圓柱被過(guò)圓柱底面圓直徑的平面所截剩下的半個(gè)圓

柱及一個(gè)半球拼接而成，其表面積是一個(gè)矩形面積，兩個(gè)半圓面積，圓柱側(cè)面積的一半，球

表面積的一半相加所得,所以表面積為S=2rx2r+2x

表

；7Tr2+jtrx2r+：*4兀：2=5兀廠2+4「2=16+20兀,解得r=2.

4.C

如圖,設(shè)高為P。,根據(jù)線面角的定義可知/PC。是側(cè)棱PC與底面所成的角,

據(jù)題設(shè)分析知，所求四棱錐的高〃=與上31160°=J6.故選C.

5.B由三視圖可知，三棱錐的直觀圖如圖P-AOC,是底面為直角邊為4與2的直角三角

形，高為2的三棱錐,將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的外接球與棱錐的外接球相同求

解即可.圖中矩形ABC。的長(zhǎng)為4,寬為2,棱錐的高為尸8=2,

所以棱錐的外接球就是以BC,瓦為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球,

外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，即2R=J42：22；22=卜,

所以外接球的表面積為4無(wú)我2=24兀故選B.

6

C連接AC、8。交于點(diǎn)瓦取PC的中點(diǎn)。，連接。E,可得。E〃PA,OE，底面ABCD,可

得0到四棱錐的所有頂點(diǎn)的距離相等，即0為球心，設(shè)球半徑為R,

可得R=gpC=/PA2+8,可得丹?42+8)3=算解得抬=1.故選C.

乙乙KJ乙乙

7.y因?yàn)榍颉５谋砻娣e是16兀，所以S=4成2=16無(wú),解得/?=2.

設(shè)矩形A5CO的長(zhǎng)、寬分別為x,y,則G+y2=(2R)222盯，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)上式取等

號(hào)，即底面為正方形時(shí)，底面面積最大，此時(shí)S......=2/?2=8.

正方形

因?yàn)辄c(diǎn)P在球面上,所以當(dāng)?shù)酌?38時(shí),PO=R即hniaX=R,

此時(shí)四棱錐P-A8CD體積有最大值為98x2啰

8

圓柱體體積最大時(shí)，圓柱的底面圓心為正四面體的底面中心0；圓柱的上底面與棱錐側(cè)

面的交點(diǎn)N在側(cè)面的中線AM上.

:正四面體棱長(zhǎng)為低/.BM=^0'M=^,B0'=1,：.A0'=^,

設(shè)圓柱的底面半徑為廠,高為〃，則0＜廠＜：.由三角形相似得彳=綏，即〃=e-2位r,

2，V2

圓柱的體積V=7tr2/i=V2nr2(1-2/0,

7

勺)3=$當(dāng)且僅當(dāng)r=1-2「即r=g時(shí)取等號(hào)....圓柱的最大體積為

0.故答案為四.

2727

9.(1)證明在△8C4中,,.,A8=2,C4=4,BC=2j5,

：.AB2+AC2=BC2,^ABVAC.

又平面SAB,平面ABC,平面SABfl平面ABC=AB,，ACJ_平面SAB.

又ACu平面SAC,所以平面SABJL平面SAC.

(2)解如圖建立空間直角坐標(biāo)系4(0,0,0),8(2,0,0),S(l,0,75)0(0,4,0),

cs=(l,-4,遍),就=(24,0),AC=(0,4,0),

設(shè)平面甌的法向量n=(x,y,z),由0,則n=4,竽-

設(shè)平面SCA的法向量m=(a力,c),由｛:;人:代?=0:111=(-冉，0』)，

?2—19

?.cos<n,m>=-^—,

19

又二面角B-SC-A的平面角為銳角，

二二面角B-SC-A的余弦值為年2

ly

10.(1)證明在平行四邊形48co中,NA0C=6O°,。0=冉,力。=2次,由余弦定理得

AC2=AD2+CD2-2ADCDCOSZADC=12+3-2X2^XWXCOS60°=9,

：.AC2+CD2=AD2,：.ZACD=90°,5PCOLAC,又PA_L底面ABCRCOu底面ABCD,

；.PA上CD,

8

又ACQPA=A,

平面PCA又COu平面PC。,，平面PC4_L平面PCD.

(2)解如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)ABACAP所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系.則A(O,O,O),S(AO,O),C(O,3,O),￡>(-V3,3,O),P(O,O,3).

設(shè)E(x,y,z),方=□記(0W2W1),則(x,y,z-3)=〃0,3,-3).

，X=0J=34Z=3-3兒即點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,34,3-32).

雇=(-，3323-3幻,又平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,l),

Asin45°=lcos<5F,n>l=-------艮網(wǎng)----，解得2=1

V3+9A2+(33A)2'

.,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1,2),

???荏=(0,12),瓶=(遍,0,0).

777?AR—0(X—0

設(shè)平面E48的法向量為m=(初②,由方一：'得v+.0

令z=L得平面E48的一個(gè)法向量為m=(0,-2,l),

?/、mn_1__/5

??cosvm,n>=—————

|m||n|V55

又二面角E-A6-。的平面角為銳角，所以，二面角E-A8-。的余弦值為g

11.⑴證明因?yàn)镻4_L平面ABC。,所以P4_LCD又因?yàn)锳OLCO,所以平面PAD.

(2)解過(guò)A作A。的垂線交8C于點(diǎn)

9

因?yàn)镻AJ_平面ABCD,

所以PA±AM,PA±AD.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A(0,0,0)f(2,-l,0),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2).

因?yàn)镋為尸。的中點(diǎn)，所以E(O,1,1).

所以標(biāo)=(0,1,1),記=(經(jīng)-2),而=(0,02).

所以方式記=(|[,[)萬(wàn)=Q+兩=修猾).

設(shè)平面AE77的法向量為n=