2023年山東各地?cái)?shù)學(xué)中考一模試題匯編含詳解12 切線(xiàn)的證明與計(jì)算

專(zhuān)題12切線(xiàn)的證明與計(jì)算

一.解答題(共22小題)

1.(2023?博山區(qū)一模)如圖Co是。。直徑，A是。。上異于C,。的一點(diǎn)，點(diǎn)B是。C延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連A8、

AC.AD,KZBAC=ZADB.

(1)求證：直線(xiàn)AB是。。的切線(xiàn)；

(2)若BC=20C,求tan/AOB的值；

(3)在(2)的條件下，作NcA。的平分線(xiàn)AP交。。于P,交CD于E,連PC、PD,若AB=2√^,求AE?AP

2.(2023?天橋區(qū)一模)如圖，。是以AB為直徑的。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的切線(xiàn)QE交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B

作BCLDE交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C,垂足為點(diǎn)F.

(1)求證：AB=CB-,

1

(2)若AB=I8,SinA=右求BF的長(zhǎng).

C

3.(2023?梁山縣一模)如圖，在AABC中，AC=BC,以BC為直徑作。0,交AC于點(diǎn)M,作CZ)_LAC交A8延

長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。，E為CD上一前,S.BE=DE.

(1)證明：BE為OO的切線(xiàn)；

(2)若AM=4,tanA=2,求。E的長(zhǎng).

4.(2023?鄲城縣一模)如圖，AB是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，。是弧AC的中點(diǎn)，E為。。延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),

且NC4E=2NC,AC與BD交于點(diǎn)H,與OE交于點(diǎn)、F.

(1)求證：AELAB；

(2)求證：DF2=FH?FC；

(3)若。H=9,tanC=:,求半徑。4的長(zhǎng).

5.(2023?長(zhǎng)清區(qū)一模)如圖，在aABC中，AB=BC,以AB為直徑的。。與AC交于點(diǎn)。，過(guò)。作。。的切線(xiàn)交

AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,交BC于尸.

(1)求證：DFLBC；

(2)求證：DE2AE?BE.

6.(2023?成武縣校級(jí)一模)如圖，四邊形ABCO內(nèi)接于。。，NBAO=90°,AD,BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)凡點(diǎn)E在

C尸上，且NoEC=NBAC

(1)求證：QE是。。的切線(xiàn)；

(2)若4B=AC,CE=IO,EF=I4,求CD

7.(2023?荷澤一模)如圖，勿為。。的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，過(guò)4作OP的垂線(xiàn)48,垂足為點(diǎn)C,交G)O于點(diǎn)B,延

長(zhǎng)。與0。交于點(diǎn)。，與物的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E.

(1)求證：PB為。。的切線(xiàn)；

1

(2)?ftanZABE=求SinE.

B

E

8?(2023?滕州市一模)如圖，AB為。。的直徑，D、E是。0上的兩點(diǎn),延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C,連接CD,NBDC=N

BAD.

(1)求證：CQ是。。的切線(xiàn).

?

(2)若tanNBED=(,AC=9,求。。的半徑.

D

9.(2023?東平縣一模)如圖，AB是OO的直徑,點(diǎn)￡)在48的延長(zhǎng)線(xiàn)上，C、E是G)O上的兩點(diǎn)，CE=CB,ZBCD

=ZCAE,延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.

(1)求證：CD是。。的切線(xiàn)；

(2)求證：CE=CF;

(3)若BD=I,CD=√2,求弦AC的長(zhǎng).

10.(2023?東明縣一模)如圖，在RtZXABC中，NACB=90°,。是BC邊上一點(diǎn)，以。為圓心，OB為半徑的圓

與AB相交于點(diǎn)￡),連接CC,且CO=AC.

(1)求證：CC是。。的切線(xiàn)；

(2)若AC=4,Cfi=2,求半徑的長(zhǎng).

11.(2023?河口區(qū)校級(jí)一模)如圖，在aABC中，AC=BC,Co平分/ACB交AB于點(diǎn)￡>,B尸平分NABC交CO

于點(diǎn)凡AB=6,過(guò)8、尸兩點(diǎn)的。。交BA于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)E,EB恰為00的直徑.

(1)判斷CZ)和。。的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；

(2)若CoSNA=,，求。。的半徑.

12.(2023?東平縣校級(jí)一模)如圖所示，AB為0。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC于點(diǎn)E.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是。。的中點(diǎn)時(shí)，求NBAC的度數(shù)；

(2)如圖2,連接8E,若CD〃BE,求tanN8AC的值；

(3)如圖3,在(2)的條件下，將aABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△尸8。，請(qǐng)證明直線(xiàn)尸。是OO的切線(xiàn).

13.(2023?金鄉(xiāng)縣一模)如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，。為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，ZACD=ZB.

(1)求證：QC為。。的切線(xiàn)；

(2)若。。的半徑為5,SinB=求AO的長(zhǎng).

14.(2023?歷下區(qū)一模)如圖，已知AB是。。的直徑，OC與。。相切于點(diǎn)C,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)B作

8”_LC。于點(diǎn)H.

(?)求證：NBAC=NBCD；

(2)若。。的半徑為5,SiMBaC=咯，求的長(zhǎng).

15.(2023?泰山區(qū)校級(jí)一模)如圖，。。是AABC的外接圓，AO是。。的直徑，P是A。延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接C￡>,

CF,且C尸是。。的切線(xiàn).

(1)求證：ZDCF=ZCAD.

(2)探究線(xiàn)段CRFD,%的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；

(3)若COSB=*AD=I,求FO的長(zhǎng).

16.(2023?東營(yíng)區(qū)校級(jí)一模)如圖，C)O是aABC的外接圓，AB為。0的直徑，點(diǎn)E為。。上一點(diǎn)，EF//AC交

AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,CE與AB交于點(diǎn)。，連接BE,若NBCE=BNABC.

(1)求證：EF是。。的切線(xiàn).

(2)若BF=2,sin∕BEC=左求C)O的半徑.

17.(2023?任城區(qū)校級(jí)一模)如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，點(diǎn)E是元的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AC交BE的延長(zhǎng)

線(xiàn)于點(diǎn)￡>,點(diǎn)尸在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，EFlAD,垂足為G.

(1)求證：G尸是Oo的切線(xiàn)；

(2)若BF=2,EF=√5,求。。的半徑.

D

18.(2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模)已知：如圖，點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)在。。上，AE平分NB4C,交。。于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)

D,過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)/〃BC,連接BE.

(1)求證：直線(xiàn)/是。。的切線(xiàn)；

(2)如果。E=α,AE=b,寫(xiě)出求8E的長(zhǎng)的思路.

19.(2023?東阿縣一模)如圖，點(diǎn)O是ΔABC的邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作」O,與BC相切于點(diǎn)

E,交AB于點(diǎn)￡>,連接。E,連接OD并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸，ZAOD=ZEOD.

(1)連接ΛF,求證：AF是。的切線(xiàn);

(2)若FC=IO,AC=6,求AD的長(zhǎng).

20.(2023?寧陽(yáng)縣校級(jí)一模)如圖，在RtΔABC中，NC=90。，平NABC交4C于點(diǎn)O,O為54上一點(diǎn)，經(jīng)

過(guò)點(diǎn)3,。的O分別交AB,3C于點(diǎn)E,F,連接O尸交8。于點(diǎn)G.

(1)求證：AC是:。的切線(xiàn)；

(2)求證：BD2=BABF；

(3)若A￡=5,sinA=-,求3D的長(zhǎng).

5

21.(2023?臨清市一模)如圖，。的弦AB,CD交于點(diǎn)E,連接AC,BC,延長(zhǎng)"'到點(diǎn)尸，連結(jié)PB,PB與

,。相切，且PB=PE.

(1)求證：點(diǎn)A是CO的中點(diǎn)；

(2)若AE=BE,AC=4,求?E的長(zhǎng).

22.(2023?墾利區(qū)一模)如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,。是8C邊上一點(diǎn)，以。為圓心，08為半徑的圓與

AS相交于點(diǎn)力，連接CD,且CD=AC.

(1)求證：CD是O的切線(xiàn)；

(2)若ZA=60。，AC=2√3,求BO的長(zhǎng).

專(zhuān)題12切線(xiàn)的證明與計(jì)算

一.解答題（共22小題）

1.（2023?博山區(qū)一模）如圖Co是。。直徑，A是。。上異于C,。的一點(diǎn)，點(diǎn)B是。C延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連A8、

AC.AD,KZBAC=ZADB.

（1）求證：直線(xiàn)AB是。。的切線(xiàn)；

（2）若BC=20C,求tan/AOB的值；

（3）在（2）的條件下，作NcA。的平分線(xiàn)AP交。。于P,交CD于E,連PC、PD,若AB=2√^,求AE?AP

【分析】（1）連接OA,先得出NoAC+NOAQ=90°,再得出∕BAC+NOAC=90°,進(jìn)而得出NBAo=90°,

最后根據(jù)切線(xiàn)的判定得出結(jié)論；

√4CBC

（2）先得出ABCAsAaAO,進(jìn)而得出二=1；，設(shè)半徑OC=O4=r,根據(jù)勾股定理得出43=2&r,最后根

ADAB

據(jù)三角函數(shù)得出結(jié)果；

（3）由（2）的結(jié)論，得出/-=√3,結(jié)合直角三角形的性質(zhì)得出AC=2,ΛD=2√2,然后得出4CAPSEA0,最

后根據(jù)AE?AP=AC?AQ得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：連接。A,

「CO是。。的直徑，

ΛZCAD=90°,

ΛZOAC+ZOAD=90°,

又YOA=OD,

：.ZOAD=AODA,

又?.?∕BAC=ZADB,

：.ZBAC+ZOAC^90°,

即∕BAO=90°,

：.ABLOA,

又?.?0A為半徑，

.?.直線(xiàn)A8是。O的切線(xiàn)；

(2)解：'：ZBAC^ZADB,/B=NB,

.?∕?BCA^ΛBAD,

.ACBC

?.=f

ADAB

設(shè)半徑OC=OA=心

YBC=ZOC,

:?BC=2r,OB=3r,

在RtZ?8AO中，

2222f

AB=yJθB—OA=λ∕(3r)—r=2V2r,

在RtzλC4Q中，

tan/AoC=而=而=訪=亍

(3)解：在(2)的條件下，AB=2√2r=2√6,

/.r=√3,

ΛCD=2√3,

在Rt?C4D中，

ACV2〉,?

—=—,AC1+AD1CD1,

AD2

解得AC=2,AD=2√2,

YAP平分NC4￡),

：.ACAP=ΛEAD,

又；ZAPC=ZADE,

二△CAPSXEM

.ACAP

??—,

AEAD

.".AE?AP=AC?AD=2×2√2=4√2.

2.(2023?天橋區(qū)一模)如圖，。是以AB為直徑的。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的切線(xiàn)。E交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)8

作BCLDE交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C,垂足為點(diǎn)F.

(1)求證：AB=CB:

1

(2)若4B=18,SinA=東求BF的長(zhǎng).

C

【分析】（1）連接OD,由切線(xiàn)的性質(zhì)得到ODLDE,而B(niǎo)CLDE,推出OD"B3得到NC=NoD4,由OD

=OAf得到NA=NODA,因此NA=Nc即可證明A8=C8;

（2）連接8D,由圓周角定理得到NBOC=NAD8=90°,由銳角的正弦求出3。的長(zhǎng)，由余角的性質(zhì)得到/8。尸

1

=ZA,因此SinN8。/=SinA=熱即可求出BF的長(zhǎng).

【詳解】（1）證明：連接0。，

???。石切OO于。，

ODLDEf

9

：BCJLDE9

：.OD//BC,

JNC=NOOA,

,

?OD=OA1

：.ZA=ZODA9

：.ZA=ZCf

ΛAB=CB：

(2)解：連接8D,

〈AB是圓的直徑，

ΛZADB=90o,

ΛZBDC=180°-ZADB=90o,

Dn-1

TsinA=器=余AB=18,

：.BD=6,

,.βNBDFMCDF=ZC+ZCDF=90o,

"BDF=∕C,

YZA=ZC,

ΛABDF=ZA,

1

ΛsinZBDF=sinA=?,

.BF1

BD3

3.(2023?梁山縣一模)如圖，在AABC中，AC^BC,以BC為直徑作。0,交Ae于點(diǎn)M,作C￡>_L4C交A3延

長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。，E為Cz)上一點(diǎn)，且BE=OE.

(1)證明：BE為。。的切線(xiàn)；

(2)若AM=4,tanA=2,求OE的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)垂直的定義得到NACZ)=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NA=NA8C,ZD^ZDBE,推

出CBLBE,于是得到結(jié)論；

(2)連接8例，根據(jù)圓周角定理得到BMLAC,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BM=I6,BC=20,根據(jù)相似三角形

的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：?.?CD_L4C,

ΛZACD=90°,

ΛZΛ+ZD=90o,

'：AC=BC,BE=DE,

.?.∕A=∕A8C,ZD=NDBE,

：.ZABC+ZDBE=W,

ΛZCBE=180°-90°=90°,

：.CBLBE,

,BE為。。的切線(xiàn)；

(2)解：連接8M,

YBC為。。的直徑，

.'.BM±AC,

"."AM=4,tanA==2,

：.BM=IAM=?),

?；AC=BC,

：?CM=BC-AM=BC-4,

222

?.?BC=BM+CM9

：.BC2=S2+(8C-4)2,

/.BC=IO9

ΛAC=BC=10,

VBM±AC,AC_LCQ,

.β.BM//CD,

：?NMBC=NBCE,

?,ZBMC=ZCBM=90o,

:?4BMCs^CBE,

.CMBM

?.—,

BEBC

_6____巴

?e?—,

BE10

15

.??BE3=~2",

.*.DE=BE=?,

4.(2023?鄲城縣一模)如圖，AB是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，。是弧AC的中點(diǎn)，E為。。延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),

且∕C4E=2∕C,AC與BD交于點(diǎn)H,與QE交于點(diǎn)F.

(1)求證：AE1.AB；

(2)求證：DF2=FH?FC；

Q

(3)若O"=9,IanC=本求半徑04的長(zhǎng).

E

H

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到。E?LAC,求得NAFE=90°,求得NEAo=90°,于是得到結(jié)論;

（2）根據(jù)圓周角定理和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；

（3）連接A。，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）???。是京的中點(diǎn)，

JOELAC,

：.ZAFE=90°,

ΛZE+ZEAF=90o,

VZAOE=2ZC,ZCAE=2ZC,

：.ZCAE=ZAOE,

ΛZE÷ZAOE=90o,

ΛZEAO=90o,

ΛAE1AB；

（2）VOD=OB,

：?/B=NFDH,

?：∕C=∕B,

：?NC=NFDH,

9

：ZDFH=ZCFDf

:ADFHsACFD,

.DFCF

??FH~DFf

ΛDF2=FH?CF;

（3）連接AO,在RlZXAOH中，

?'ZDAC=ZCf

3

ΛtanZDAC=tanC=彳，

q

VDH=9,

ΛAD=12,

在Rt?BDA中，Vtanβ=tanC=彳

??*3

??SinB一5,

ΛAB=20,

.?OA=^AB=10.

E

5.（2023?長(zhǎng)清區(qū)一模）如圖，在AABC中，AB=BC,以AB為直徑的Oo與AC交于點(diǎn)。，過(guò)。作C）O的切線(xiàn)交

AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,交BC于F.

(1)求證：DFLBC↑

(2)求證：D怦=AE?BE.

【分析】（1）求出0Z）〃3C,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得出OOLED,即可求出答案;

（2）求出AOBEsAAOE,根據(jù)相似得出比例式，即可得出答案.

【詳解】證明：（1）連接0￡>,

'：OA=OD,AB=BC,

：.ZA=ZC,ZODA,

：.AC=ZODA,

：.OD//BC,

1BFE=∕0DE,

?.?OE為。。的切線(xiàn)，

ΛZODE=90o,

ΛZBFE=90o,

ΛDF±BC;

(2)連接BZλ

,?,4?為OO的直徑,

ΛZADB=90o，

：.ZA+ZABD=90o,

VZODE=90o,

ΛZODB+ZBDE=90o,

YOD=OB,

：.ZODB=ZABD9

：.ZA=ZBDEf

?'ZE=ZEf

:?叢DBES叢ADE,

.AEDE

??—)

DEBE

/.DE2=AEXBE.

6.(2023?成武縣校級(jí)一模)如圖，四邊形ABCr)內(nèi)接于。0,NBAQ=90°,AD.BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)尸，點(diǎn)E在

CF上,且NDEC=NBAC.

(1)求證：OE是C)O的切線(xiàn)；

(2)AB=AC,CE=10,EF=14,求CD

【分析】（1）先判斷出BO是圓。的直徑，再判斷出即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)余角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到N尸=NEDF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OE=Er=14,根據(jù)勾

股定理得到CD.

【詳解】解：（1）如圖，連接BC,

VZBAD=90Q,

點(diǎn)。必在8。上，即：8。是直徑，

/88=90°,

：.ZDEC+ZCDE=90Q,

,：ZDEC^ZBAC,

NBAC+/CCE=90°,

9

:ZBAC=ZBDC9

BDC+/CDE=W,

ΛZBDE=90o,即：BDLDE,

???點(diǎn)。在OO上，

???OE是OO的切線(xiàn)；

(2)?：NBAF=NBDE=90°,

JZF-^ZABC=Nfi)E+/408=90°,

VAB=AC,

.β.NABC=NACB,

丁/ADB=NACB,

：?/F=/EDF,

ΛDE=EF=14,

VCE=IO,ZBCD=90o,

：?NDCE=90°，

.?CD=√DF2-CE2=4√6.

7?(2023?荷澤一模)如圖，%為Oo的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)、,過(guò)A作。尸的垂線(xiàn)A3,垂足為點(diǎn)C交。。于點(diǎn)從延

長(zhǎng)。與OO交于點(diǎn)。，與雨的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)R

(1)求證：PB為。。的切線(xiàn)；

【分析】(1)要證P8是。。的切線(xiàn)，只要連接。4再證NPBo=900即可；

￡71AD

(2)連接A￡>,證明AAOES?POE,得到一=一,設(shè)OC=f,貝IJBC=2f,AD=2t,由4P8Cs1?80C,可

ZEPOP

求出SinNE的值.

【詳解】(1)證明：連接。4,

???∕?為。。的切線(xiàn)，

:,OALPA

：.ZPAO=90o,

"：OA=OB,OPLABjf-C,

：.BC=CA,PB=^PA,

.?ΛPAO^∕?PBO,

：.ZPBO^ZPAO=90°,

PB為C)O的切線(xiàn)；

(2)解：連接A。，

；BD為直徑,ZBAD=90o由⑴知NBCO=90°

：.AD//OP,

：.XADEsXPOE,

EAAD

?*?-，

EPOP

由A?！?C得AQ=2OC

VtanZABE=?,

.0￡_1

??BC~2

設(shè)。C=f,則BC=2f,AD=2t,由APBCsABOC,

得PC=2BC=4f,0P=5t,

uEAAD2

??EP~OP~5

可設(shè)E4=2,EP=5,則%=3,

9JPA=PB,

：.PB=3,

8?（2023?滕州市一模）如圖，AB為。。的直徑，。、E是OO上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)48至點(diǎn)C連接CD,NBDC=N

BAD.

(1)求證：CO是。。的切線(xiàn).

(2)若tanNBED=5,AC=9,求。。的半徑.

【分析】(1)連接OO，由圓周角定理得出NAf>B=90°,證出OOJ_CO,由切線(xiàn)的判定可得出結(jié)論；

CDBCBD2

(2)證明aBOCS2?D4C,由相似三角形的性質(zhì)得出一=—=—=一，由比例線(xiàn)段求出CD和BC的長(zhǎng),

ACCDDA3

可求出AB的長(zhǎng)，則可得出答案.

圖1

YA3為Oo的直徑，

ΛZADB=Wo,

.?.NA+NA8O=90°,

OB=OD,

：.ZABD=ZODBf

9

：ZBDC=ZAf

.?.NBDC+NOO8=90°,

ΛZODC=90o,

JODVCD,

?.?OO是。。的半徑，

???C。是。。的切線(xiàn)；

9

(2)解：VZADB=90o,tanZBED=

.BD2

t9AD-3，

,β

.ZDCB=ZACDfNBDC=/BAD,

，叢BDCs∕?DAC,

.CDBCBD2

t*AC~CD~DA~3

VAC=9,

.CD2

??,

93

.?.CO=6,

.BC2

??=—,

63

.*.BC=4,

：.AB=AC-BC=9-4=5.

5

???OO的半徑為3

9.(2023?東平縣一模)如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)。在A8的延長(zhǎng)線(xiàn)上，C、E是。。上的兩點(diǎn)，CE=CB,ZBCD

=NCAE,延長(zhǎng)4E交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E

(1)求證：CO是。。的切線(xiàn)；

(2)求證：CE=CF;

【分析】(1)連接。C,可證得∕C4O=/BC。，由/C4D+∕48C=90°,可得出NoC。=90°,即結(jié)論得證；

(2)證明AABCgZVl尸C可得CB=C凡又CB=CE,則CE=Ca

(3)證明^OC8S4D4C,可求出D4的長(zhǎng)，求出A8長(zhǎng)，設(shè)BC=",AC=√2α,則由勾股定理可得AC的長(zhǎng).

【詳解】解：(1)連接OC,如右圖所示，

`:AB是OO的直徑，

.?.NACB=90°,

ΛZCAD+ZABC=9Q°,

?；CE=CB,

：.ZCAE=ZCABf

?/NBCD=NCAE,

：?4CAB=/BCD,

?：OB=OC,

1/OBC=NOCB,

：.ZOCB+ZBCD=90Q,

ΛZOCD=90o,

???C。是Oo的切線(xiàn)；

(2)ZBAC=ZCAE9NACB=NACr=90°,AC=AC9

：.?ABC^?AFC(ASA),

：?CB=CF,

又?：CB=CE,

：.CE=CF↑

(3)?：NBCD=∕CAD,ZADC=ZCDB,

：,/\DCBs叢DAC,

.CDADAC

??BD-CD一BC

.√2AD

Λ

T=√f,

ΛDA=2,

：.AB=AD-BD=2-1=1,

設(shè)3C=α,AC=y∕2a,由勾股定理可得：。2+(企砌2=12,

解得:a=?,

10.（2023?東明縣一模）如圖，在RtzλA3C中，NAc5=90°,。是BC邊上一點(diǎn)，以。為圓心，。5為半徑的圓

與AB相交于點(diǎn)O,連接。拉，且CO=AC

(1)求證：C。是Oo的切線(xiàn)；

(2)若AC=4,CE=2,求半徑的長(zhǎng).

【分析】(1)連接OD由等腰三角形的性質(zhì)及圓的性質(zhì)可得NA=NAOC,NB=NBDO.再根據(jù)余角性質(zhì)及三

角形的內(nèi)角和定理可得NoQC=I80°-(NADC+NBD0)=90°.最后由切線(xiàn)的判定定理可得結(jié)論；

(2)設(shè)半徑為X,在直角三角形ODC中，根據(jù)勾股定理列方程即可求出半徑.

【詳解】(1)證明：連接。。，

ZA^ZADC.

'：OB=OD,

J,ZB=ZBDO.

VZACB=90o,

ΛZA+ZB=90o.

二NAOC+/800=90°.

NOCC=180°-(NAQC+NBCO)=90°.

又：O。是OO的半徑，

.?.α＞是。。的切線(xiàn).

(2)解：?'CD=AC,

.?.CO=4,

設(shè)半徑為X,則OC=X+2,

在直角三角形0。C中，

OC2=OD2+CD2,即(JC+2)2=X2+42,

??x=3?

??.半徑的長(zhǎng)為3.

11.(2023?河口區(qū)校級(jí)一模)如圖，在AABC中，AC=BC,CZ)平分NAa3交AB于點(diǎn)。，BF平分NABC交CD

于點(diǎn)F,48=6,過(guò)8、下兩點(diǎn)的。。交BA于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)E,EB恰為。。的直徑.

(1)判斷CO和。0的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；

(2)若CoSN4=寺,求Oo的半徑.

【分析】(1)連接0F,求出0尸〃30,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出。LAB,推出OFLCZ),即可得出答案;

(2)解直角三角形求出8C,設(shè)半徑為r,證a^CF0s^cDB,得出比例式，代入求出即可.

【詳解】解：(1)Co與G)O相切，

理由如下：連接。凡

VAC=BC,CZ)平分/AC8,

：.AD=BD=3,CDLAB,

：.ZBDC=90a,

,.?OF=OB,

：.ZOFB=ZOBF,

'：B尸平分乙4BC,

：.ACBF=AFBD,

.?ZOFB=ZFBD,

：.OF//DB,

.,.NCfO=ZBZ)C=90°,

.?.CO與。。相切；

(2)VAC=BC,

.,./A=/ABC,

1

cosZABC=COSZA=?

在RtZXBQC中，COSZABC=?=

ΛBC=9,

VOF//DBf

二△CFOsXCDB,

設(shè)。。的半徑是r,則W=g

9

=4'

9

即。。的半徑句.

12.（2023?東平縣校級(jí)一模）如圖所示，AB為0。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，0。_14。于點(diǎn)￡

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是0。的中點(diǎn)時(shí)，求/BAC的度數(shù);

（2）如圖2,連接BE,若CD〃BE,求tan/BAC的值;

（3）如圖3,在（2）的條件下，將AABE繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到aP8Q,請(qǐng)證明直線(xiàn)PQ是OO的切線(xiàn).

P

【分析】（1）證明ACOC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出NCOO=NA00=60°,由等腰三角形的性

質(zhì)得出答案:

（2）連接BC,證明四邊形Ba）E為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得出BC=OE,證出OE為aABC的中位

線(xiàn)，得出OE=；BC=設(shè)0E=%,由勾股定理求出AE的長(zhǎng)，則可得出答案；

OHQp

（3）延長(zhǎng)Eo交PQ的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,證明AOAESAOPH,由相似三角形的性質(zhì)得出方=—,證出OH=R,

則可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：是0。的中點(diǎn)，OOLAC,

.".CO=CD,Ab=Cb,

：.ZAOD=ZCOD,

又,：OC=OD,

.?.△CO。是等邊三角形，

二NCOO=∕AOO=6(Γ,

ΛZAOC=UOo,

,

.?OC=OA9

「?NA=NOCA=30°；

(2)解：連接3C,

圖2

??,A8是直徑，

：?BC-LAC,

,

.?ODA.AC9

.?OD∕∕BC,AE=EC,

：?DE〃BC,

又,：BE//CD9

???四邊形BCDE為平行四邊形,

：.BC=DE,

又TAE=EC,OA=OB,

：.OE為aABC的中位線(xiàn)，

11

???OE=aBC=*E,

設(shè)OE=m,

?*?DE=BC=2m,

.,.OD—m+2ιn—3m,

：.0A=OD=3m,

.".AE=y∕0A2-0E2=2√2w,

?*A_0E_Tn√?

??tanλ=荏=有=不

(3)證明：延長(zhǎng)EO交PQ的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,

D

圖3

???將E繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到^PBQ,

/.ZP=ZA,AB=BPf

.?AC∕∕PH,

β.?OD.LAC,

/.DHA.HP9

由(2)得OP=OB+BP=3∕n+6m=9m,

?tAC∕∕PH,

ΛΔOAE^ΔOPW,

.OHOP

?.=9

OEOA

.OH9m

?.=f

m3m

/.OH=3m,

：?OH=R,

.?.PQ是。。的切線(xiàn).

13.(2023?金鄉(xiāng)縣一模)如圖，AB為C)O的直徑，C為。。上一點(diǎn)，。為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，NACD=NB.

(1)求證：DC為C)O的切線(xiàn)；

(2)若。。的半徑為5,SinB=求A。的長(zhǎng).

【分析】(1)連接OC,則/AC。=/。CB=由AB是C)O的直徑，得/4CB=90°,所以/OCC=NACB

=90°,即可證明。C為。。的切線(xiàn)；

√4CQQ

(2)由。。的半徑為5得OA=OB=0C=5,則AB=I0,由一=SinB=1，得AC=?AB=6,再由勾股定理求

AB??

?__________ADAC3

得CB=y∕AB2-AC2=8,再證明aD4CsAθCB,得一=一=-,設(shè)CD=Am,則AD=3m,由勾股定理得

sCDCB4

52+(4∕n)2=(5+3m)2,即可求出川的值即AO的長(zhǎng).

【詳解】(1)證明：連接0C,則。C=OA,

/OCB=NB,

?.?ZACD=ZB,

.?.ZACD=ZOCB,

是G)O的直徑，

ΛZACB=90o,

/.NoCD=/AC。+NOcA=∕OCB+NOC4=NACB=90°,

?,OC是。。的半徑，且。ci?OG

??OC為OO的切線(xiàn).

,

(2)解：?OA=OB=OC=5f

3

VZACB=90o,SinB=

AC3

/.—=sinB=F，

AB5

ΛAC=∣AB=∣×10=6,

:?CB=y]AB2-AC2=√102-62=8,

VZACD=ZBfZD=ZD9

：.ADACsADCB,

βADAC63

"CD~CB~8~4

設(shè)CC=4機(jī)，則A。=]CO=]X4機(jī)=3瓶，

121

?：oc^-cb=obf

Λ52+(4∕w)2=(5+3M2,

解得見(jiàn)=多小2=0(不符合題意，舍去)，

?ΛΠ-QXZ30-90

??AD—3×-y-=~7~f

90

.,.AD的長(zhǎng)是一.

7

14.(2023?歷下區(qū)一模)如圖，已知AB是。。的直徑，OC與。。相切于點(diǎn)C,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)B作

BHLCD于點(diǎn)、H.

(1)求證：NBAC=NBCD；

(2)若。。的半徑為5,SinNBAC=絡(luò)，求BH的長(zhǎng).

【分析】(1)連接。C,由切線(xiàn)的性質(zhì)得到NBCD+NOC8=90°,由圓周角定理得到/∕MC+NOC8=90°,即

可證明ZBAC=ZBCD；

(2)由NAAC的正弦求出BC的長(zhǎng)，即可由NJBC〃的正弦求出3”的長(zhǎng).

【詳解】(1)證明：連接OC

?.?oc切G)O于C,

工半徑OCI.CD,

.?ZOCH=90o,

ΛZBCD+ZOCB=90o,

TAB是O。的直徑，

/.ZACB=90o,

?：OA=OC,

：.ZBAC=ZOCA9

?.?NOC4+NOC8=90°,

.,.ZBΛC+ZOCB=90o,

：?NBAC=/BCD；

(2)解：???。。的半徑為5,

ΛAB=2×5=10,

9：ZBCA=90o,

??/CB_\S

??sιnN8AC==~g-,

βC=10×^=2√5,

?：BHLCD,

：.ZBHC=90°,

,.?NBCH=4BAC,

：.SmZBAC=SinZBCH=需=尋，

.,.8H=2√5x增=2.

.?.B”的長(zhǎng)是2.

15.（2023?泰山區(qū)校級(jí)一模）如圖，。。是aABC的外接圓，AO是Oo的直徑，F(xiàn)是4。延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接C￡）,

CF,且CF是。。的切線(xiàn).

(1)求證：ZDCF=ZCAD.

(2)探究線(xiàn)段CF,FD,M的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由;

(3)若COSB=+AD=2,求尸。的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)切線(xiàn)的判定，連接0C,證明出OC_LFC即可，利用直徑所得的圓周角為直角，三角形的內(nèi)角

和以及等腰三角形的性質(zhì)可得答案；

(2)可證明S△/?c,即可得出結(jié)論；

(3)由cos3=∣,根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義和勾股定理可得CO：AC：AD=3：4：5,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

可求出答案.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。C,

VAD是。。的直徑，

ΛZACD=90o,

：.ZOCD+ZOCA=90o,

??,尸。是O。的切線(xiàn)，

ΛZDCF+ZOCD=90o,

：.ZOCA+ZDCF,

YOC=OAf

.?.NCAO=NOCA,

：,ZDCF=ZCAD;

2

(2)解：FC=FD^FAf理由如下：

e

：ZFCD=ZFACfZF=ZF,

：?4FCDSAFA3

FCFD

??=,

FAFC

：?FdI=FD?FA?

(3)解：VZB=ZADC,CosB=

3

ΛcosZADC=弓，

在RtZ?ACD中,

3CD

?.?cosNA。C=?=而，

.CD3

??——,

AC4

由（2）知AFCDs△心c,

.CDFCFD3

""AC~FA~FC~4

：.Fd=FD?FA,

設(shè)/0=3x,則FC=4x,AF=3x+2,

5L,:FC2-=FD?FA,

即（4x）2=3X（3X+2）,

解得x=9（取正值），

16.（2023?東營(yíng)區(qū)校級(jí)一模）如圖，。。是AABC的外接圓，AB為00的直徑，點(diǎn)E為。。上一點(diǎn)，EFHAC交

AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,CE與AB交于點(diǎn)￡>,連接8E,若NBCE=*NABC.

（1）求證：E尸是OO的切線(xiàn).

（2）若BF=2,SinNBEC=*求O。的半徑.

r

【分析】（1）根據(jù)切線(xiàn)的判定定理，圓周角定理解答即可;

（2）根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理解答即可.

【詳解】（1）證明：連接OE

11

*：ZBCE=^ZABCf∕BCE="BoE,

???NABC=NB0E,

：.OE//BC9

LNOED=/BCD,

,

?EF//ACf

：,AFEC=AACE,

：?/OED+/FEC=/BCD+NACE,

ZFEO=ACB,

9：AB是直徑，

ΛZACB=90o,

ΛZFEO=90o,

ΛFE±EO,

???石。是0。的半徑，

???匹是OO的切線(xiàn).

(2)解：9CEF//AC,

:.XFEOSXACB,

.EOFO

??=,

BCAB

3

?；BF=2,SinZBEC=

設(shè)O。的半徑為r,

ΛFO=2+r,AB=2r,BC=∣r,

.r2+r

Λ∣7=右，

解得：r=3,

檢驗(yàn)得：r=3是原分式方程的解，

OO的半徑為3.

17.(2023?任城區(qū)校級(jí)一模)如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，點(diǎn)E是我的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AC交BE的延長(zhǎng)

線(xiàn)于點(diǎn)D，點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，EFVAD,垂足為G.

(1)求證：GF是。。的切線(xiàn)；

(2)若BF=2,EF=√5,求。。的半徑.

D

【分析】(1)連接OE,由圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)證得。七〃A。，得出NOEF=N4GE=90°,則可得

出結(jié)論；

EFBF

(2)證明AEfBsz?AEE,由相似三角形的性質(zhì)得出=求出A尸的長(zhǎng)，則可得出答案.

AFEF

【詳解】(1)證明：連接0,如圖所示，

???點(diǎn)E是元的中點(diǎn)，

：.ZCAE=ZEABf

YOA=OE,

；?NEAB=NOEA,

：.ZCAE=ZOEA,

：.OE//AD,

：.ZOEF=ZAGE9

VEF±AD,

ΛZAGE=90°,

：.ZOEF=ZAGE=Wo,

???G尸是。。的切線(xiàn)；

(2)VZAEO+ZOEB=90o,NoEB+NBEF=90°,

JZAEO=ZBEFf

：.ZAEO=ZOAEf

.?.NOAE=NBEF,

：.ΛBFE=AEFA,

:?AEFBsAAFE,

.EFBF

?.=,

AFEF

.√52

Λ∑F=忑

：.AF

：.ABAF-BF=^-2=^,

18.(2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模)已知：如圖，點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)在OO上，AE平分N54C,交OO于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)

D,過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)/〃BC,連接BE.

(1)求證：直線(xiàn)/是C)O的切線(xiàn)；

(2)如果。E=4,AE=b,寫(xiě)出求BE的長(zhǎng)的思路.

【分析】(1)作輔助線(xiàn)，連接半徑，由角平分線(xiàn)得：ZBAE^ZCAE,圓周角相等，則弧相等，再由垂徑定理證

明0E_L8C,所以O(shè)EL/,直線(xiàn)/與。。相切；

BEAE

(2)根據(jù)NBAE=NCA及NCAE=/CBE結(jié)合公共角證4ABES∕?BDE可得一=一,從而得出答案.

DEBE

?..AE平分NBAG

：?NBAE=NCAE,

：.BE=CEf

：.ZBOE=ZCOE9

?：OB=OC,

：.0E1.BC,

???OELh

???直線(xiàn)/是O。的切線(xiàn);

(2)yZBAE=ZCAE9ZCAE=ZCBE,

：.ZBAE=ZDBEf

又Y/AEB=NBED,

：.XABEsXBDE,

.BEAE

??—,

DEBE

：.BE1=AE?DE=ah.

19.(2023?東阿縣一模)如圖，點(diǎn)O是AABC的邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作O,與BC相切于點(diǎn)

E,交AB于點(diǎn)D,連接OE,連接”)并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸，ZAOD=ZEOD.

(1)連接AF,求證：AF是。的切線(xiàn)；

【分析】(1)根據(jù)SAS證ΔAOF三AEo/，得出NaAF=NQE尸=90。，即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)勾股定理求出AF,證AOECSΔE4C,設(shè)圓。的半徑為廣，根據(jù)線(xiàn)段比例關(guān)系列方程求出r,利用勾股

定理求出OF,最后根據(jù)FD=O尸-OD求出即可.

【詳解】(1)證明：在A4OF和AEOF中，

OA=OE

-ZAOD=ZEOD,

OF=OF

:.AAOFWAEOF(SAS),

.-.ZOAF=ZOEF,

BC與O相切，

.-.OEVFC,

.?.NQ4F=NOEF=90°,

^OALAF,

是O的半徑，

.?.AF是。的切線(xiàn)；

(2)解：在RtΔCAF中，ZC477=90o,FC=1O,AC=6,

.'.AF^yjFC2-AC2=8,

?.?/OCE=AFCA,ZOEC=NFAC=90°,

.?.Δ6>EC^ΔMC,

EOCO

..----=-----,

AFCF

設(shè)。的半徑為r,則C=I,

■