2024年高考數(shù)學一輪復習（新高考版） 第2章 函數(shù)的圖象

§2.10函數(shù)的圖象

【考試要求】1.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析

法)表示函數(shù)2會畫簡單的函數(shù)圖象.3.會運用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與

不等式解的問題.

?落實主干知識

【知識梳理】

1.利用描點法作函數(shù)圖象的方法步驟:列表、描點、連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)平移變換

(2)對稱變換

G“、關于X軸對稱

?y=J(x)-------------1y=—f(x).

關于y軸對稱0、

②產(chǎn)危)-------------"y=f(-x).

關于原點對稱,、

③y=/U)

④y=r(4>0,且a#1)=10陵x(a>0,且aWl).

(3)翻折變換

小—々、保留X軸上方圖象_“

Oy-fix)將上軸下方圖象翻折上￡了一四?

有。、保留)軸右側(cè)圖象，并作其切，、

②y=/W關于例對稱的圖象”產(chǎn)題.

【常用結論】

1.左右平移僅僅是相對x而言的，即發(fā)生變化的只是x本身，利用“左加右減”進行操作.如

果x的系數(shù)不是1,需要把系數(shù)提出來，再進行變換.

2.函數(shù)圖象自身的對稱關系

(1)若函數(shù)y=Kr)的定義域為R，且有/(a+x)=/S—x),則函數(shù)y=7(x)的圖象關于直線

對稱.

(2)函數(shù)y=?r)的圖象關于點(。，份成中心對稱Q/3+無)=2。一/(a—犬)經(jīng)”)=2/?—/(2a—犬).

3.兩個函數(shù)圖象之間的對稱關系

(1)函數(shù)y=_/(x)與y=/(2a—x)的圖象關于直線x=a對稱.

(2)函數(shù)y=/(x)與y=2萬一人2a-x)的圖象關于點(“，份對稱.

【思考辨析)

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

⑴函數(shù))=|/明為偶函數(shù).(X)

(2)函數(shù)y=/(l-x)的圖象，可由y=/(—x)的圖象向左平移1個單位長度得到.(X)

(3)當xe(O,+8)時，函數(shù))，=|/(x)|與了=川動的圖象相同.(X)

(4)函數(shù)y=y(x)的圖象關于y軸對稱即函數(shù)y=_/(x)與'=火一x)的圖象關于y軸對稱.(X)

【教材改編題】

1.函數(shù))，=1一士的圖象是()

cD

答案B

解析將函數(shù)＞=一5的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，即得到y(tǒng)=l

』的圖象,故選B-

2.函數(shù)人x)=ln(x+l)的圖象與函數(shù)gOOMr-?+d的圖象的交點個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析由于函數(shù)次x)=ln(x+l)的圖象是由函數(shù)y=lnx的圖象向左平移1個單位長度得到的,

函數(shù)g(x)=f-4X+4=(X-2)2,故函數(shù)g(x)的對稱軸為X=2,頂點坐標為(2,0),開口向上，

所以作出兀r),g(x)的圖象如圖所示，

故函數(shù)“V)與g(x)的圖象有兩個交點.

3.函數(shù))，=/&)的圖象與)，=^的圖象關于y軸對稱，再把)，=大尤)的圖象向右平移1個單位長

度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)=.

答案e^+l

解析：/(x)=er,

g(x)=e"-"=e"'L

■探究核心題型

題型一作函數(shù)圖象

例1作出下列各函數(shù)的圖象:

⑴y=|log2(x+l)|;

(3)y=f-2園一1.

解(1)將函數(shù)y=logix的圖象向左平移1個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去,

即可得到函數(shù)y=|log2(x+l)|的圖象，如圖①所示.

(2)原函數(shù)解析式可化為y=2+—j,故函數(shù)圖象可由函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度,

X1X

再向上平移2個單位長度得到，如圖②所示.

j^2—2x—[^0

(3)因為y=,,'"'且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點法作出[0,+8)上的圖象，再根

x+2x—l,x<0,

據(jù)對稱性作出(-8,0)上的圖象，最后得函數(shù)圖象如圖③所示.

思維升華函數(shù)圖象的常見畫法及注意事項

(1)直接法：對于熟悉的基本函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的特征描出圖象的關鍵點，直接作圖.

(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對值符號的，去棹絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫.

(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對稱得到，則

可利用圖象變換作圖.

(4)畫函數(shù)的圖象一定要注意定義域.

跟蹤訓練1作出下列各函數(shù)的圖象:

(l)y=x—|x—1|；(2)y=(；)&(3)y=[k>g2X—1|.

[1,xN1,

解(1)根據(jù)絕對值的意義，可將函數(shù)式化為分段函數(shù)y=_可見其圖象是由兩

條射線組成，如圖①所示.

關于y軸的對稱部分，即得的圖象，如圖②實線部分所示.

(3)先作出y=log”的圖象，再將其圖象向下平移一個單位長度，保留x軸上方的部分，將x

軸下方的圖象翻折到x軸上方，即得y=|log2X-l|的圖象，如圖③所示.

題型二函數(shù)圖象的識別

例2(1)(2023?許昌質(zhì)檢涵數(shù)啟)一+))lnW

的圖象大致為()

1L

-/1/-0]\1\\X

AB

x

1

CD

答案B

解析由解析式知，定義域為{x|x#0},

2-2t+l1+22'

火一x)—2r?ELK—2X?InMTx)，

故y-Q羅則為偶函數(shù),排除D；

又火1)=0,?/(})=一量＜°，排除A,C.

⑵（2022.全國乙卷）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］上的大致圖象，則該函數(shù)

是（）

一爐+3工

A-尸廠+1

2xcosx2sinx

C.y—D.

』+1

答案A

解析對于選項B,當x=l時，y=0,與圖象不符，故排除B；對于選項D,當x=3時，y

=/in3>0,與圖象不符，故排除D；對于選項C,當0<x/時，0<cosx<l,故尸筆管

〈離［"W1,與圖象不符，所以排除C.故選A.

思維升華識別函數(shù)的圖象的主要方法

（1）利用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、定義域等判斷.

（2）利用函數(shù)的零點、極值點等判斷.

（3）利用特殊函數(shù)值判斷.

A

跟蹤訓練2（1）（2022?呂梁模擬）函數(shù)應^）=余2詈sin的x大致圖象為（）

-2-10-5

答案A

解析因為,/0=拜*，所以7U）的定義域為R,

—sinx

又式一外=方”=一穴》），所以Xx）為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，排除C選項;

因為:<1與所以0勺⑴=?-^=,sin1<|,排除B,D選項.

2+2、

1_]xW]

(2)(2023?泉州模擬)已知函數(shù)於)=則函數(shù)），=Ai-x）的圖象大致為（）

10g2X,X>1,

答案B

&x~1-1YV1

解析函數(shù)3=1

IOg2X,X>\,

e-x—1,x》0,

所以y=g(x)=/U-x)=

log2(l—X),X<0,

所以當x=0時，g（0）=e°—1=0,

故選項A,C錯誤；

當x20時，g（x）=er—l單調(diào)遞減,

故選項D錯誤，選項B正確.

題型三函數(shù)圖象的應用

命題點1利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

例3（多選）已知函數(shù)八、）=言，則下列結論正確的是（）

A.函數(shù)4x）的圖象關于點（1,2）成中心對稱

B.函數(shù)?r）在（-8,1）上單調(diào)遞減

C.函數(shù)人勸的圖象上至少存在兩點A,B,使得直線48〃工軸

D.函數(shù)式x）的圖象關于直線x=l對稱

答案AB

解析因為《此二令2r二-21（x?~七1）—+2=W2+2,所以該函數(shù)圖象可以由y=92的圖象向右平移

X1XIX11

1個單位長度，向上平移2個單位長度得到，所以函數(shù)式x）的圖象關于點（1,2）成中心對稱，在

（一8,I）上單調(diào)遞減，A,B正確，D錯誤；易知函數(shù)人x）的圖象是由的圖象平移得到

的，所以不存在兩點A,B使得直線AB〃x軸，C錯誤.

命題點2利用圖象解不等式

例4(2023?商丘模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)火x)在[0,+8)上的圖象如圖所示，則不等

式直工)>4(處的解集為()

A.(一書,0)U(小，2)

B.(-8,-2)U(2,+8)

C.(一8,—2)U(一隹0)U(V2,2)

D.(-2,一的U(0,的U(2,+8)

答案C

解析根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征，作出,/(x)在(-8,0)上的圖象，如圖所示,

由得(X2—2)*x)>0,

[JC2—2>0,[%2—2<0,

則h)>0或k<o,

解得x<—2或也<%<2或一也<%<0,

故不等式的解集為(-8,-2)U(一啦，0)U(V2,2).

命題點3利用圖象求參數(shù)的取值范圍

儂一1|,xW2,

例5已知函數(shù)/(x)=*{若關于x的方程兀r)-m=o恰有兩個不同的實數(shù)解，

1―x+5,x>2,

則實數(shù)力的取值范圍是()

A.(0,1)B.[0,1)

C.(l,3)U{0}D.[l,3)U{0}

答案D

解析因為關于x的方程段)一機=0恰有兩個不同的實數(shù)解，所以函數(shù)y=/(x)Vy=%的圖

象有兩個交點，

作出函數(shù)圖象，如圖所示，

所以當mG[l,3)U{0}時，函數(shù))，=")與丫=，”的圖象有兩個交點，所以實數(shù)〃?的取值范圍是

[l,3)U{0}.

思維升華當不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對應函數(shù)的圖象

可作出時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關系問題，從而利用數(shù)形結合思想求解.

跟蹤訓練3(1)把函數(shù)/U)=ln|x—3的圖象向左平移2個單位長度，所得函數(shù)在(0,+8)上

單調(diào)遞增，則a的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析把函數(shù)?t)=ln|x一旬的圖象向左平移2個單位長度，得到函數(shù)g(x)=ln|x+2-a|的圖象，

則函數(shù)g(x)在(a—2,+8)上單調(diào)遞增,

又因為所得函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以a—2W0,即aW2.

所以a的最大值為2.

⑵已知函數(shù)4x)=|x-2|+1,g(x)=fcr.若方程穴x)=g(x)有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)人的

取值范圍是.

答案&1)

解析先作出函數(shù)?￥)=僅一2|+1的圖象，如圖所示，當直線g(x)=fcr與直線AB平行時斜率

為1,當直線g(x)=fcc過點A時，斜率為3，故於)=g(x)有兩個不相等的實數(shù)根時，實數(shù)左

的取值范圍為(},1).

課時精練

立基礎保分練

1.為了得到函數(shù)、=2廠3—1的圖象，只需把函數(shù))，=2、的圖象()

A.向右平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度

B.向左平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度

C.向右平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度

D.向左平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度

答案A

解析將函數(shù)y=2,的圖象向右平移3個單位長度得到y(tǒng)=2廠3的圖象，再向下平移1個單位

長度得到y(tǒng)=2L3—1的圖象.

2.（2022?全國甲卷）函數(shù)y=（3，-3r>cosx在區(qū)間一看夕上的圖象大致為（）

答案A

解析方法一(特值法)

取X—1,則y=(3—；)cos1=5cos1>0；

取x=—l,則3)cos(—1)

Q

=-2COSl<0.結合選項知選A.

方法二令y=/(x),

則—x)=(3一"-3')cos(-x)

=—(3V—3')cosx=—fix),

所以函數(shù)y=(3*—3r)cosx是奇函數(shù)，

排除B,D；

取x=l,則y=(3—g)cos1=與(\?l>0,排除C,故選A.

3.（2023?黑龍江模擬）已知某個函數(shù)的圖象如圖所示，則下列解析式中與此圖象最為符合的是

)

1中一1|

A.於)=xB，月x)=ln|x-l|

x~2x—2

c'^)=w-lD，Dx)=x(x-1)

答案A

x—1#0,

解析對于B選項，函數(shù)火工）=而看有意義，則■解得xWO且xW1且冗22,

」中一1儼0,

故不滿足，錯誤;

對于C選項，函數(shù)式x）=5言有意義，則|x|-1W0,解得x#±l,故不滿足，錯誤;

I入I1

對于D選項，當xG（0,l）時，火》）=；；三］）>0,故不滿足，錯誤.

故根據(jù)排除法得兀0=羋:」

與此圖象最為符合.

4.若函數(shù)），=/（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)），=-/（x+l）的圖象大致為（)

答案C

解析要想由），=/"）的圖象得到y(tǒng)=-/（x+l）的圖象，需要先作出y=/（x）的圖象關于x軸對

稱的圖象y=一4尤），然后向左平移1個單位長度得到x+1）的圖象，根據(jù)上述步驟可

知C正確.

5.已知.*x）是定義在［-5,5］上的偶函數(shù)，當一5WxW0時，./U）的圖象如圖所示，則不等式黑

<0的解集為（）

A.(一兀，-2)U(0,2)U(jt,5]

B.(―it,-2)U(n,5]

C.[-5,-2)U(0,7t)U(7t,5]

D.[-5,-2)U(7t,5]

答案A

解析因為次x)是定義在[—5,5]上的偶函數(shù)，觀察圖象結合偶函數(shù)性質(zhì)得

式》)>0的解集為[-5,-2)U(2,5],?r)<0的解集為(一2,2),

當xC[—5,5]時，sinx>0的解集為[-5,一兀)U(0,兀)，sinx<0的解集為(一冗，0)U(n,5],

不等式兼<。伏龍）>0,或…

等價于

[sin%<0sinx>0,

網(wǎng)>0,

由].八解得x￡（一兀，—2）U（K,5],

lsinx<0,

」於）<0，“

由.解得x￡（0,2）,

[sinJC>0,

所以不等式翟<0的解集為(一兀，一2)u(o,2)um，5],

(九2_3x_x20,

6.(多選)已知函數(shù)式x)=_二-"方程|")一1|=2—皿mdR),則下列判斷正確的

〔一ex〈0,

是()

3

稱

-對

A.函數(shù)/U)的圖象關于直線2

B.函數(shù)1x)在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)遞增

C.當m6(1,2)時，方程有3個不同的實數(shù)根

D.當機G(—1,0)時，方程有4個不同的實數(shù)根

答案BD

解析對于選項A,7(4)=4,負-1)=1—e,

顯然函數(shù)7(x)的圖象不關于直線對稱；

對于選項B,yu)=f—3x的圖象是開口向上的拋物線，所以函數(shù)段)在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)

遞增；

作出函數(shù)的圖象，如圖所示，

對于選項C,當加6(1,2)時，2一機e(O,l),結合圖象可知方程府)一1|=2—/n(mGR)有2個

不同的實數(shù)根；

對于選項D,當機6(—1,0)時，2—機?(2,3),結合圖象可知方程儀》)一1|=2-皿%GR)有4

個不同的實數(shù)根.

7.將函數(shù)xx)的圖象先向左平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖

象，若g(x)為奇函數(shù)，則火0)+<2)=.

答案一2

解析由函數(shù)y(x)的圖象先向左平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度得到函數(shù)g(x)

的圖象，可得g(x)=/(x+l)+l,

故人》)=飄》—1)-1,

所以.40)+人2)=g(_l)_]+g(l)-l=_g(l)+g(l)_2=_2.

x~\~1

8.(2023?衡水質(zhì)檢)函數(shù)危)=一1的圖象與直線了=丘+1交于不同的兩點(xi，yi),(必然)，

則y\+”=.

答案2

r—|—]1

解析因為段)=—所以?x)的圖象關于點(0』)對稱，而直線丁="+1過(0,1)點，

故兩圖象的交點3，n)，(x2,”)關于點(0,1)對稱,所以歸衛(wèi)=1,即yi+”=2.

A2,/WO,

9.已知函數(shù)yu)=<i—%

——,x>0.

(1)畫出函數(shù)y(x)的圖象；

(2)當兀r)》2時，求實數(shù)x的取值范圍.

x2,xWO,

解(1)由題得兀0='1其圖象如圖所示,

--1,x>0,

/0,產(chǎn)'

⑵由題可得|冷2對口》2,

解得xW—也或

所以實數(shù)x的取值范圍為(一8,一正］U(0,1.

X2+2X,X<0,

10.已知40=、八是定義在R上的奇函數(shù).

x?2x,x^O

(1)請畫出人外的大致圖象并在圖象上標注零點；

(2)已知若函數(shù)人x)在區(qū)間［-1,。-2］上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍;

(3)若函數(shù)9(x)=?r)—el求夕⑴的零點個數(shù).

解(1)根據(jù)題意，列表如下，

X-2-1012

危)0-1010

式x)的大致圖象如圖所示，其中有A,O,B三個零點、,

(2)由(1)的函數(shù)圖象可知，要使兀0在［-1,。-2］上單調(diào)遞增，則一l<a-2Wl,即l<aW3,

故a的取值范圍為l<aW3.

(3)9(》)=④0—e''的零點即為式x)與y=e'圖象交點的橫坐標，

又y=e”在R上單調(diào)遞增，值域為(0,+°°),

結合(1)的圖象，易知火幻與了=厘的圖象在(一8,0)有一個交點，即夕(x)只有一個零點.

立綜合提升練

11.(多選)函數(shù)次》)=器*的圖象如圖所示，則()

C.c>0D.abc<0

答案AB

解析函數(shù)的定義域為{x|xW-c},

由圖可知一c>0,則c<0,

b

由圖可知式0）=F<0，所以b<o,

由於）=0,得<zx+b=0,x=—~,

由圖可知一1>0,得與<0，所以。>0,

綜上，<?>0,b<0,c<0.

12.（2023?濟南模擬）若平面直角坐標系內(nèi)A,8兩點滿足：（1）點A,B都在的圖象上；

（2）點4,B關于原點對稱，則對稱點對（4,8）是函數(shù)火x）的一個“和諧點對”，（4,B）與（B,

X2+2X,X<0,

A）可看作一個“和諧點對”.已知函數(shù)Xx）={2、則火x）的“和諧點對”有（）

/，x—0,

A.1個B.2個

C.3個D.4個

答案B

解析作出函數(shù)y=/+2x（x<0）的圖象關于原點對稱的圖象（如圖中的虛線部分），著它與函數(shù)

丫=看2。20）的圖象的交點個數(shù)即可，觀察圖象可得交點個數(shù)為2,

即負㈤的“和諧點對”有2個.

q拓展沖刺練

13.（2023?貴陽模擬）設函數(shù)段）的定義域為R,滿足式x+l