【數(shù)學(xué)】棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積課件-2023-2024學(xué)年高一下人教A版（2019）必修第二冊

8.3簡單幾何體的表面積和體積

8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積回顧與引入

前面我們分別認(rèn)識了基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征和平面表示，本節(jié)課進(jìn)一步學(xué)習(xí)簡單幾何體的表面積和體積．表面積是幾何體表面的面積，它表示幾何體表面的大小，體積是幾何體所占空間的大?。?/p>

在小學(xué)和初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？

在本節(jié)中我們會涉及到常用平面多邊形面積，你能熟練地計算它們的面積嗎?矩形正方形三角形┐┐┐平行四邊形正六邊形知識探究(一)

思考1:

由以上你能得出對于于一個多面體,它的表面積應(yīng)如何計算嗎?從而進(jìn)一步得出棱柱、棱錐、棱臺表面積的計算方法嗎?

由于多面體是由若干個平面多邊形的面圍成的幾何體，因此，它的表面積應(yīng)該是各個多邊形的面積之和.棱柱、棱錐、棱臺表面積的計算方法棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于圍成它們的各個面的面積之和

思考2:具體地講，棱柱、棱錐、棱臺的各個面是怎樣的，它的表面積應(yīng)如何計算？棱柱多邊形平行四邊形側(cè)面積等于側(cè)面的各個平行四邊形的面積和.表面積等于底面積與側(cè)面積的和.返回棱錐多邊形梯形側(cè)面積等于側(cè)面的各個三角形的面積和.表面積等于底面積與側(cè)面積的和.多邊形側(cè)面積等于側(cè)面的各個梯形的面積和.表面積等于底面積與側(cè)面積的和.三角形返回例析

例1.已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積．BCAP∴其面積為∵△PBC是邊長為a的正三角形∴四面體P-ABC的表面積為思考1:圍成這個四面體的各個面是什么樣的圖形？4個全等的正三角形思考2:邊長為a

正三角形的面積等于多少？解：知識探究(二)

思考1：我們以前已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體、長方體的體積公式，它們分別是怎樣的?

思考2：正方體、長方體都是一種特殊的棱柱，從棱柱的底和高的角度來看，以上體積公式可以怎樣寫，由此你能猜想出一般棱柱的體積公式嗎?棱柱的體積公式

一般地，如果棱柱的底面面積為S，高為h，那么這個棱柱的體積

說明：

(1)棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線，這點(diǎn)與垂足(垂線與底面的交點(diǎn))之間的距離.

(2)對直棱柱而言，由于側(cè)棱垂直于底面，因此直棱柱的側(cè)棱長即為直棱柱的高.棱錐、棱臺的體積公式

如果一個棱柱和一個棱錐的底面積相等，高也相等，那么，棱柱的體積是棱錐的體積的3倍．

一般地，如果棱錐的底面面積為S，高為h，那么這個棱錐的體積為

由于棱臺是由棱錐截成的，因此可以利用兩個棱錐的體積差，得到棱臺的體積公式.

棱錐的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的距離.

棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線，這點(diǎn)與垂足之間的距離.

一般地，如果棱臺的上底面面積為S′，下底面面積為S，高為h，那么這個棱臺的體積為返回

思考3：棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間有什么關(guān)系？你用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？棱柱、棱錐、棱臺的體積公式間的關(guān)系返回例析

例2.如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面ABCD是邊長為1m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米？(精確到0.01m3)

思考:你能畫出這個幾何體的直觀圖嗎？其容體該如何求呢？

由于這個幾何體由一個長方體和一個四棱錐組合而成，因此其容積為長方體和四棱錐的體積之和.解：由題意得即這個漏斗的容積約為0.67m3.

例3.如圖，正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上底面邊長為10，下底面邊長為20，側(cè)面的高(斜高)為13.求：(1)四棱臺表面積;(2)四棱臺的體積.

思考1:一般地，正棱錐、正棱臺側(cè)面的高稱為它們斜高(一般用h′表示)，你能作出此正四棱臺的一條斜高嗎？

∵側(cè)面BCC1B1是等腰梯形

∴

取BC中點(diǎn)E，B1C1是中點(diǎn)E1，則EE1為梯形BCC1B1的高，即棱臺的斜高.解：

注:

空間幾何體中的輔助線，看得見的畫成實(shí)線，被遮住的畫成虛線。

例3.如圖，正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上底面邊長為10，下底面邊長為20，側(cè)面的高(斜高)為13.求：(1)四棱臺表面積;(2)四棱臺的體積.

思考2:你能作出此正四棱臺的一條高嗎？如何計算？

∴

取分別上底和下底的中心O1和O，則OO1此棱臺

的高解：在直角梯形OEE1O1中練習(xí)

1.正六棱臺的上，下底面邊長分別是2cm和6cm，側(cè)棱長是5cm，求它的表面積.解：

如圖，棱臺ABCDEF-A′B′B′C′D′E′F′為正六棱臺，且AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm.過A′作A′H?AB于H，則∴此棱臺的表面積為

2.如圖是一個表面被涂上紅色的棱長是4cm的立方體，將其適當(dāng)

分割成棱長為1cm的小立方體.(1)共得到多少個棱長為1cm的小立方體？(2)三面是紅色的小立方體有多少個?它們的表面積之和是多少?

(3)兩面是紅色的小立方體有多少個?它們的表面積之和是多少?(4)一面是紅色的小立方體有多少個?它們的表面積之和是多少?(5)六面均沒有顏色的小立方體有多少個?它們的表面積之和是多

少?它們占有多少立方厘米的空間?解：(1)共有64個(2)有8個,

它們的表面積之和是48cm2.(3)有24個,

它們的表面積之和是144cm2.(4)有24個,

它們的表面積之和是144cm2.(5)六面均沒有顏色的小立方體有8個,

它們的表面積之和是32cm2，

它們占有的空間是8cm3.

3.某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截

去八個一樣的四面體得到的.如果被截正方體的棱長是50cm，

那么石凳的體積是多少m3？解：

如圖所示，正方體ABCD-A′B′B′C′D′的棱長AB=50cm=0.5m,則

AE=AF=AG=0.25m∴

這個石凳的體積為4.求證：直三棱柱的任意兩個側(cè)面的面積和大于第三個側(cè)面

的面積.解：

如圖示，直三棱柱ABC-A′B′C′中，設(shè)底面ABC的三邊分別為a,b,c，棱柱的高為h，則有ACBA′C′B′ahcb∴直三棱柱的任意兩個側(cè)面的面積和大于第三個側(cè)面的面積.課堂小結(jié)

1．多面體的表面積如何計算，棱柱、棱錐、棱臺的表面積呢？2．棱柱、棱錐、棱臺的體積公式是怎樣的？它們之間的體積公式有何關(guān)系？3．對于組合體，我們在計算它的表面積和體積要注意什么問題？(1)首要弄清組合體是則哪幾種基本