幾何分布的期望和標(biāo)準(zhǔn)差的詳細(xì)證明

幾何分布的期望和標(biāo)準(zhǔn)差的詳細(xì)證明幾何分布是一種用于描述獨(dú)立試驗(yàn)中成功次數(shù)的概率分布。在一個獨(dú)立試驗(yàn)中，只有兩個可能的結(jié)果：成功或失敗。幾何分布給出了在獨(dú)立試驗(yàn)中首次獲得成功所需要的試驗(yàn)次數(shù)的概率分布。期望的證明設(shè)X表示在獨(dú)立試驗(yàn)中首次獲得成功所需要的試驗(yàn)次數(shù)。要計(jì)算幾何分布的期望，我們需要計(jì)算每個可能的取值乘以其對應(yīng)的概率，并將所有結(jié)果相加。若成功的概率為p，則失敗的概率為1-p。那么首次獲得成功的概率為p，獲得成功需要的試驗(yàn)次數(shù)為1。因此，我們可以得到：E(X)=1(獲得成功需要的試驗(yàn)次數(shù))*p(獲得成功的概率)+2(獲得成功需要的試驗(yàn)次數(shù))*(1-p)(首次失敗后獲得成功的概率)+3*(1-p)^2+...可以看出，每次失敗的概率都為(1-p)倍前一次失敗的概率。我們可以將每次失敗的概率進(jìn)行等比數(shù)列的形式表示：E(X)=1*p+2*(1-p)*p+3*(1-p)^2*p+...接下來，我們將上述式子進(jìn)行整理得到：E(X)=p+2p(1-p)+3p(1-p)^2+...將p提取出來，并根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，我們可以得到期望的計(jì)算式：E(X)=p+2p(1-p)+3p(1-p)^2+...=p(1+2(1-p)+3(1-p)^2+...)=p(1+2(1-p)+(1-p)^2+(1-p)^3+...)=p∑[n=1→∞]n(1-p)^(n-1)由于∑[n=1→∞]n(1-p)^(n-1)是一個已知的等比數(shù)列求和公式，我們可以直接代入結(jié)果，得到幾何分布的期望的計(jì)算式：E(X)=p/(1-(1-p))=p/p=1/p因此，幾何分布的期望為1/p。標(biāo)準(zhǔn)差的證明要計(jì)算幾何分布的標(biāo)準(zhǔn)差，我們需要先計(jì)算方差，然后再將其開方。方差的計(jì)算公式為Var(X)=E[(X-E(X))^2]，其中E(X)為期望。首先，計(jì)算(X-E(X))^2的期望。可以展開該式子得到：(X-E(X))^2=(X-1/p)^2接下來，計(jì)算(X-1/p)^2的期望：E[(X-1/p)^2]=(1/p)^2*[1(成功需要的試驗(yàn)次數(shù)-1/p)^(2-1)+2(成功需要的試驗(yàn)次數(shù)-1/p)^(3-1)+3(成功需要的試驗(yàn)次數(shù)-1/p)^(4-1)+...]注意到(成功需要的試驗(yàn)次數(shù)-1/p)^(n-1)可以展開成等比數(shù)列的形式，將其進(jìn)行整理得到：E[(X-1/p)^2]=(1/p)^2*[1*(1-1/p)^(0)+2*(1-1/p)^(1)+3*(1-1/p)^(2)+...]繼續(xù)整理上式得到：E[(X-1/p)^2]=(1/p)^2*∑[n=1→∞]n*(1-1/p)^(n-1)由于∑[n=1→∞]n*(1-1/p)^(n-1)是一個已知的等比數(shù)列求和公式，我們可以直接代入結(jié)果，得到幾何分布的方差的計(jì)算式：Var(X)=(1/p)^2*[p/(1-(1-1/p))]=(1/p)^2*(p/(1/p))=(1/p)=1/p^2最后，將方差開方，即可得到幾何分布