江西省宜春市2023屆高三模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題（含答案）

宜春市2023年高三年級模擬考試數(shù)學(xué)（文）試卷

命題人：朱江平（豐城九中）鄒噪（宜春九中）審題人：彭武軍（宜春一中）

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上.

2.回答選擇題前，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試

卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)全集U=R,集合A={x∣x<—1或42},5={-2,—l,0,l,2},貝MdA)CB=()

A.{O,1}B.{T,O}C,{0,l,2}D.{-1,0,1)

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足z(l+i)=—2,則彳=()

?--1÷iB--1—iC.]+iD.1—i

3.非零向量α∕,c滿足d?Lp-c),α與》的夾角為(，W=2,則C在α上的投影為()

A.lB.√3C.-lD.-√3

χ-y≥o,

4.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件<x+y-3≤0,則Z=3-2A>'的最大值是()

.y≥l,

1√31

A.3B.-e.?D.—

3927

5.從棱長為2的正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則取到的點(diǎn)到中心的距離不小于1的概率為()

兀

71λ1TC1兀

A.-B.-C.1----D.1——

6464

6.若。=0?04,Z?=InLO4,C=Iog31.04則()

A.c<h<aB.h<a<c

C.c<a<b^>.b<c<a

7.在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)，公式和定理，若正整數(shù)加，幾只有1為公

約數(shù)，則稱加,〃互質(zhì)，對于正整數(shù)〃,夕（〃）是小于或等于〃的正整數(shù)中與〃互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)°（〃）以其

首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：o（3）=2,e（7）=6,o（9）=6.記S.為數(shù)列加（3"）｝的前〃

)

項(xiàng)和，則SK）二（

3l0-l

B.39-lcD.310-l

22

8.函數(shù)/(x)=sin[s+^J的圖象(0<<y<4)關(guān)于直線X=Y對稱，將/(x)的圖象向左平移?個單位長

度后與函數(shù)y=g(χ)圖象重合，下列說法正確的是()

A.函數(shù)g(x)圖象關(guān)于直線X=工對稱

6

B.函數(shù)g(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(一看,0卜稱

C.函數(shù)g(無)在(θ,單調(diào)遞減

D.函數(shù)g(x)最小正周期為]

9.在RjABC中，C4=1,C6=2.以斜邊AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體

積為()

A6兀R8√2Λ-r32乃4萬

338181

22

10.如圖，耳，鳥是雙曲線C:二一二=1(。〉0力〉0)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)4，8分別在兩條漸近線上，且滿足

aIr

21

OA=-OF2-^--OB,OA?BF2=Of則雙曲線C的離心率為()

A.2√3B.√10C.2D.√3

77+2

11.已知數(shù)列｛gj滿足％+&+&■+-+”=2用，若數(shù)列,，的前〃項(xiàng)和S,對任意〃∈N"不

23n〃+1)4n

等式S,<4恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

A.Λ>1B.λ≥lC.∕l>-D.λ>-

88

12.已知函數(shù)/(x)=In(X+1)--Ej,g(x)=x+ln±O>0),且/(x∣)=g(x2)=O,則&■的最

大值為()

八21

A.1B.eC.-D.一

ee

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知a=(Jl—f+χ.,則到點(diǎn)"(a,0)的距離為2的點(diǎn)的坐標(biāo)可以是.(寫出一個滿

足條件的點(diǎn)就可以)

14.已知點(diǎn)A(T,T),B(l,-1),若圓(X—α>+(y-2α+4)2=l上存在點(diǎn)“滿足ΛM?M5=3,則實(shí)數(shù)。

的取值的范圍是.

15.已知某線路公交車從6：30首發(fā)，每5分鐘一班，甲、乙兩同學(xué)都從起點(diǎn)站坐車去學(xué)校，若甲每天到起點(diǎn)

站的時間是在6：30-7：00任意時刻隨機(jī)到達(dá)，乙每天到起點(diǎn)站的時間是在6：45-7：15任意時刻隨機(jī)到

達(dá)，那么甲、乙兩人搭乘同一輛公交車的概率是.

16.如圖，多面體ABC。所中，面ABS為正方形，OE，平面ABCr>,C產(chǎn)〃OE,且

A3=OE=2,CF=1,G為棱SC的中點(diǎn)，”為棱OE上的動點(diǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)〃為QE的中點(diǎn)時，GH〃平面AB￡；

②存在點(diǎn)H，使得GULAC；

③直線GH與BE所成角的余弦值的最小值為逑；

5

④三棱錐A-BCv的外接球的表面積為9萬.

其中正確的結(jié)論序號為.(填寫所有正確結(jié)論的序號)

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22.23題為選做題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.(12分)

在,.ABC中，角AEC所對的邊分別為α,仇c,且α+匕=2ccosB.

（1）求證：C=2B；

（2）求絲過的最小值.

be。SB

18.（12分）

如圖1,在直角梯形ABeD中，46〃。。,/。48=90,。。=248=24。=4,點(diǎn)￡；,產(chǎn)分別是邊

BC,CQ的中點(diǎn)，現(xiàn)將，C所沿用邊折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置（如圖2所示），且3P=2?

Sl圖2

（1）求證：平面APEJ_平面ABD；

（2）求點(diǎn)B到平面AQP的距離.

19.（12分）

為了緩解日益擁堵的交通狀況，不少城市實(shí)施車牌競價(jià)策略，以控制車輛數(shù)量.某地車牌競價(jià)的基本規(guī)則是：

①“盲拍”，即所有參與競拍的人都是網(wǎng)絡(luò)報(bào)價(jià)，每個人不知曉其他人的報(bào)價(jià)，也不知道參與當(dāng)期競拍的總?cè)?/p>

數(shù)；②競價(jià)時間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)期車牌配額，按照競拍人的出價(jià)從高到低分配名額.某人擬參加2023年5

月份的車牌競拍，他為了預(yù)測最低成交價(jià)，根據(jù)競拍網(wǎng)站的公告，統(tǒng)計(jì)了最近5個月參與競拍的人數(shù)（見

表）

月份2022.122023.12023.22023.32023.4

月份編號，12345

競拍人數(shù)y（萬人）1.72.12.52.83.4

（1）由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合競拍人數(shù)》（萬人）與月份編號f之間的相關(guān)關(guān)系.請用

最小二乘法求y關(guān)于，的線性回歸方程：y=bt+a,并預(yù)測2023年5月份參與競拍的人數(shù).

（2）某市場調(diào)研機(jī)構(gòu)對200位擬參加2023年5月份車牌競拍人員的報(bào)價(jià)進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)

表：

報(bào)價(jià)區(qū)間（萬元）[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)[6,7]

頻數(shù)206060302010

（i）求這200位競拍人員報(bào)價(jià)X的平均數(shù)亍和樣本方差?（同一區(qū)間的報(bào)價(jià)可用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代

替）；

(ii)假設(shè)所有參與競價(jià)人員的報(bào)價(jià)X可視為服從正態(tài)分布N(∕∕,σ?2),且〃與c√可分別由G)中所求的

樣本平均數(shù)1及方差/估值.若2023年5月份實(shí)際發(fā)放車牌數(shù)是5000,請你合理預(yù)測(需說明理由)競拍的

最低成交價(jià).

附：族=j≡H---------------,√L7≈1?3,若y~N(0/)，則P(Y<1.11)=0.8660,

z(?,-?

1=1

P(Y<1.12)=0.8686.

20.(12分)

已知函數(shù)/(x)=X-InX-2.

(1)求函數(shù)的最小值；

(2)若方程/(x)=α有兩個不同的實(shí)數(shù)根和％2且玉<工2，證明：玉+2∕>3?

21.(12分)

V221

在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知橢圓C:}+方v=l(α>b>0)的離心率為5,左、右焦點(diǎn)分別是6,鳥，以

月為圓心，6為半徑的圓與以K為圓心，2為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)過橢圓C的右焦點(diǎn)工的直線4，，2的斜率分別為4,左2,且勺內(nèi)=—2,直線乙交橢圓。于M,N兩

點(diǎn)，直線4交橢圓。于G,”兩點(diǎn)，線段MN,G"的中點(diǎn)分別為RS,直線RS與橢圓。交于p,Q兩點(diǎn)，

S

AB是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，記，PQA與-PQB的面積分別為S2,證明：U1為定值.

32

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)

分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在平面直角坐標(biāo)系XOy中，曲線C的參數(shù)方程彳')(f為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程mpcosθ+2χτsin(9-l=0.

(1)求曲線C的普通方程；

(2)若直線/與曲線C有兩個不同公共點(diǎn)，求〃2的取值范圍.

23」選修4-5：不等式選講］(10分)

己知函數(shù)/(x)=∣2x+4∣+∣x-4∣.

(1)求不等式等4+4∣+∣x-4R4的解集;

(2)若“力的最小值為機(jī)，正實(shí)數(shù)α,"c滿足α+A+c=m,求證：」：+「一+」一≥2.

a+bb+cc+02m

宜春市2023屆高三年級模擬考試數(shù)學(xué)(文)答案

一'選擇題.

題號?23456789IO1112

答案DBABAADCCACB

二,填空題.

「1211

13.(x—2)2+y?=4上的任意一點(diǎn)都可以14.0,—15.—16.①④

5_12

三■解答題.

17.(1)證明：在.ASC中，α+b=2ccosB,

由正弦定理得SinA+sinθ=2sinCbosB，

又A="-(5+C),

因?yàn)镾in(JB+C)+sinB=2sinC?CosB

所以sinC?cosB-SinB?cosC=SinB

所以Sin(C-B)=SinB又SinB>0

所以0<C-B<C<乃，且B+C-3=Cvττ

所以Jg=C—3,故C=2B.

(2)由(1)C=2B得5+C二33∈(0,τr),

所以B∈

因?yàn)??！?2ccosB,C=2B

。+3。2ccosB+2b

所以------二------------

bcosBbcosB

_2sinC?COSB+2sinβ_2sin28?cosB+2sinβ

sinB?cosBsinB?CosB

=4cosβ+-2?≥4Λ∕2

cosB

當(dāng)且僅當(dāng)4cosB=二一即CosB=—

COSB2

且3∈∣0,q）當(dāng)且僅當(dāng)B=?時等號成立，

所以當(dāng)8=工時，/包的最小值為4板.

4bcosB

18.（1）證明：由題意，連接8D,8E,因?yàn)镃D=2AB=2AD=4,AB〃C。,

∕D48=90,E是邊Co的中點(diǎn)，所以BF=CF=2,則8。=2夜

又E是邊BC的中點(diǎn)，則E尸_LBC,在折起中產(chǎn)石_LE產(chǎn).

又BE2+PE2=（√2）2+（√2）2=4=8尸，所以PELBE，

又BECE/=E,BEu平面￡產(chǎn)U平面ABD，

故PEJ_平面48。，又PEU平面APE，所以平面APEJ_平面ABO.

（2）由（1）中取Af）的中點(diǎn)。，連接OE,DE,PO,

由（1）可知，PEL平面AB。，所以PELDE,PE上AE,PELOE,

而OE=；（AB+OC）=3,Or>=gAO=l,

所以DE=JoE2+OD?=√I5，

同理AE=Ji6，

所以PD=√PE2+DE2=2√3,PA=√PE2+AE2=2√3,PO=y∣PEr+OE2=√∏

所以.PAD是等腰三角形，

所以SPAD=?ADPO=∣2√ΓT=√T1'

v

乂VB-PAD=P-ABD>即;SftlDI=/SABD.PE,

所以〃=2?。JE=?_2應(yīng)

PD√∏H

即點(diǎn)B到平面ADP的距離為2亞2.

11

19.(1)7=[(l+2+3+4+5)=3,歹=((1.7+2.1+2.5+2.8+3.4)=2.5,

55

22=]+4+9+16+25=55,J?=1.7+4.2+7.5+11.2+17=41.6,,

/=1/=I

.r41.6-5×3×2.5.?c<.1”

..b=--------------；—=0n.4L1Q=2.5-0n.411×3a=1.27,

55-5×32

N關(guān)于，的線性回歸方程9=0?4U+1.27

2023年5月份對應(yīng)，=6，所以夕=0.41x6+1.27=3.73

所以預(yù)測2023年5月份參與競拍的人數(shù)為3.73萬人.

(2)(i)由題意可得：

%=1.5×0.1+2.5×0.3÷3.5×0.3÷4.5×0.15+5.5×0.1÷6.5×0.05=3.5

Si=(1.5-3.5)2X0]+(2.5-3.5)2X0.3+(3.5-3.5)2×0.3+(4.5-3.5)2×0.15

+(5.5-3.5)2×0.1+(6.5-3.5)2X0.05=1.7

(H)2023年5月份實(shí)際發(fā)放車牌數(shù)是5000,設(shè)預(yù)測競拍的最低成交價(jià)為〃萬元，

根據(jù)競價(jià)規(guī)則，報(bào)價(jià)在最低成交價(jià)以上人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例為理叩~x100%≈13.40%

37300

根據(jù)假設(shè)報(bào)價(jià)X可視為服從正態(tài)分布N(μ,σ1),μ=3.5,σ2=1.7,σ=√L7≈1.3,

令y=豈二K=豈二至，由于P(Y<1.11)=0.8660,

σ1.3

Λ1-P(K<1.11)=0.1340

.?.P(y<a)=pfy<-~^?5

=1.111=0.8660,所以=得α=4.943

)1.3

所以預(yù)測競拍的最低成交價(jià)為4.943萬元.

20.解：(1)由題意可知：函數(shù)/(x)=x—Inx—2的定義域?yàn)椋?0,+∞).

則r(x)=l-L,令(X)=0,解得χ=l.

當(dāng)X∈(0,1),∕?'(x)<O,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(l,+8),∕'(x)>0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增.

所以X=I為極小值點(diǎn)，且/(x)min=/(1)=T?

所以函數(shù)“X)的最小值為-L

(2)根據(jù)題意可知：/(一)=/('),根據(jù)(1)設(shè)O<X∣<1,尤2>1，

構(gòu)造函數(shù)∕z(χ)=/(X)—/(2-X),x∈(O,l).

F(X)=?""2r)=∣?

<0,所以尸(X)在(0,1)上單調(diào)遞減.

則有尸(%)<產(chǎn)(I)=0,也即/(石)一/(2-％)>0.

因?yàn)?(%)=/(%)，所以/(w)一/(2—西)>0,也即/(w)>∕(2一％)

因?yàn)?-%>1,工2>1，由(1)可知/(x)在(1,+⑹上單調(diào)遞增，

所以馬>2—%，也即玉+/>2.由已知々>1，所以玉+2∕>3.

21.(1)解：依題意得

c1.

—=—,?r=4,

?a2則《

6+2=2。，〔'

22

則。2=/一=]2所以橢圓C的方程為土+2_=1

1612

(2)直線4:y=K(x-2)

y=K(χ-2),

X2>2設(shè)M(M,))N(W,M

——+—=1,

11612

則(3+4k；)x2-l6k；X+166-48=0

Δ>0,

16k；

x+x

12-3+44'

16%：-48

xx

t23+%

'腑-6kl'8片—6網(wǎng)

則中點(diǎn)R同理可算S

、3+46'3+4將、3+4后’3+4抬

①當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線PQ-.y=mx+n點(diǎn)R,S在直線PQ上

(8〃?+4〃)攵：+6k[+3/1=0,

則V

(8〃z+4〃)公+6k,+3〃=0,

易知K,%2為方程(8m+4/*2+6攵+3〃=0的兩個根,

3〃

則他-2得n=-??w

8”？+4〃

所以直線PQ：y=/nr-1?6?/n則直線恒過點(diǎn)

11

②當(dāng)直線的斜率不存在時，由對稱性可知K=-k2由Kh=-2

上

828抬16

不妨設(shè)K=-yflyk2=y/2所以—~?-τ=

?^∣IKT3+4411

直線PQ:X=S16過](,0卜艮據(jù)①②可知,

直線PQ恒過點(diǎn)E[9,°

因?yàn)橐籔QA的面積Sl=∣∣AE∣?∣y1-y2∣

_PQB的面積S?=]B