大學概率論期末考試解答題答案

1、設兩兩相互獨立的三事件A,5c滿足條件：ABC=0,P(A)=P(B)=P(C),且

9

P(AoBoC)=—,

求P(A).

解：P(AuBoC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

,9

=3P(A)-3P2(A)=—,

133

那么P(A)=—或2,其中P(A)=?舍去，因為。(4)?月(4。5。。).

444

2、設事件A與8相互獨立，兩事件中只有A發(fā)生及只有8發(fā)生的概率都是工，試求尸(A)及尸(3).

4

--1

解：由條件知：P(AB)=P(A3)=—，那么

4

解得P(A)=P(B)=g.

3、甲、乙、丙三門炮向同一架飛機射擊，設甲、乙、丙炮射中飛機的概率依次為0.4,0.5,0.7,又設

假設只有一門炮射中，飛機墜毀的概率為0.2,假設有兩門炮射中，飛機墜毀的概率為0.6,假設三門

炮同時射中，飛機必墜毀.試求飛機墜毀的概率？

解：設4=｛甲炮射中飛機｝，人=｛乙炮射中飛機｝,A=｛丙炮射中飛機｝,用=｛一門炮射中飛機｝,

為=｛兩門炮射中飛機｝,用=｛三門炮射中飛機｝,。=｛飛機墜毀｝,那么由題意可知事件A，4,4相

互獨立，故

故由全概率公式可得：P(C)=尸(C4DCB2dCB3)=P(CBJ+P(CB2)+Pg)

=PCBj)P(C|Bx)+P(B2)P(C|B2)+P(B3)P(C|B3)=0.36-0.2+0.41-0.6+0.14-1=0.4584、一批產

品中96%是合格品，檢查產品時，一合格品被誤認為是次品的概率是0.02；一次品被誤認為是合格品

的概率是0.05.求在被檢查后認為是合格品的產品確實是合格品的概率.

解：設A=｛抽到的產品是合格品｝,A=｛抽到的產品是次品｝,6=｛抽到的產品認為是合格品｝.那么

由全概率公式可知:

P(B)=P(ABuAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.96-0.98+0.04-0.05=0.9428

故。S鐳u筆子浮。啊9

5、設袋中有10個球，其中3白7黑,隨機任取3個，隨機變量X表示取到的白球數(shù),試求:

(1)、隨機變量X的分布律；(2)、數(shù)學期望E(X)。

解：(1)X的可能取值為0,1,2,3,

C；721

p(x=0)=—=—P(X=l)=-^=

。24do40

C'Cf211

P(X=2)==—

3

G0120120

X的分布律為

X0123

P721211

2440120120

(2)X的數(shù)學期望為

6、沒有6題號

7、p26例

8、設離散型隨機變量X的分布列為

X-2-10123

P0.100.200.250.200.150.10

2

求：⑴X=—2X的分布列；(2)Y2=X的分布列.

解〃：⑴/。(y)=—2y,0<7y<2

、0,其它

E「21yody=4

⑵^=\O23

10、設連續(xù)隨機變量X分布函數(shù)為：F(x)=A+Barctanx試求：1)常數(shù)A、B；2)概率密度函數(shù)/(%)

3)P(-l<x<l)

lim/(%)=lim(A+Barctanx)=0,lim/(%)=lim(A+Barctanx)=1

X—>—00x—>-00x—>00x—>00

A--7rB=0,A+-7vB=l^-^A=-,B=-

2227i

2)f(x)=F(x)=(A+3arctanx)1=....-

7i(\+x)

3)P(-l<x<l)=F(1)-F(-1)=0.5

n、設p{x=o}=p{y=o}=p{x=i}=p{y=i}=g,兩個隨機變量x,y是相互獨立且同分布,

求隨機變量Z\=max(X,y),Z2=x+y的分布律.

解：［1)4的所有可能取值為o,1,且

故Zj的分布律為:

⑵z2的所有可能取值為0,1,2,且

2

4

Z2012

故Z2的分布律為:

12、設(X,Y)的聯(lián)合分布律為Pk

42

試求：⑴EX,EY；(2)E(X—2F)；⑶

E(Xy)；［4)方差DX,DY

解1)EX=1X0.4+2

0.6=1.6E(Y)=—1x0.5+1x0.3+2x0,2=0.2

⑵E(X-27)=E(X)-2E(Y)=1.2

(3)E(XY)=-1*O.2+1*0.1+2*0.1+(-2)*0.3+2*0.2+4*0.1=0.3

AA

(4)D(x)=E(X2)-E(X)2=1*0.4+4*061.6人2=0.24

AA

D(y)=E(Y2)-E(Y)2=1*0.5+1*0.3+4*020.2人2=1.56

13、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設各箱含0,1,2只殘次品的概率相應為0.8,0.1,0』，一顧客欲購

置一箱玻璃杯，在購置時售貨員隨意取一箱，而顧客開箱隨機查看4只，假設無殘次品，那么買下該箱

玻璃杯，否那么退回.試求：

（1）顧客買下該箱的概率；

（2）在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品的概率.

解：令4表示顧客買下所查看的一箱玻璃杯，

及表示箱中恰有，件殘次品，z=0,l,2.由題意可得：

⑴由全概率公式可知，顧客買下所查看的一箱玻璃杯的概率為：

（2）由貝葉斯公式知，在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品的概率為：

14、設有兩箱同類零件，第一箱內裝50件，其中10件是一等品；第二箱內裝30件，其中18件是一等

品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后隨機取出兩個零件（取出的零件均不放回），試求

（1）現(xiàn)取出的零件是一等品的概率；

⑵在先取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.

解：（1）記&表示在第，次中取到一等品，i=l,2-與表示挑到第，箱.

PB

那么有尸（A）=尸（A14）X尸（4）+尸（A\B2）X（2）

（2）P（A4）=P（A4I4）XP（4）+P（A4|32）XP（32）

15、甲、乙兩個獨立地各進行兩次射擊，假設甲的命中率為0.2,乙的命中率為0.5,以X和F分別表

示甲和乙的命中次數(shù)，試求x和y的聯(lián)合概率分布.

解：由題意知：XY

因為x和y相互獨立，那么

從而隨機變量x和y的聯(lián)合分布律為：

16、設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為

012

04/252/251/1000x<-a

18/254/251/50尸（X）=<A+Barcsinx-a<x<a,試

24/252/251/1001x>a

求（1）常數(shù)A3；（2）X的概率密度;

A+Barcsin(-tz)=011

解：〔1〕因方（%）是連續(xù)函數(shù)，所以在點九=一〃,a點連續(xù)，故<，解得A=—,3=—

A+Barcsin(a)=12萬

(2)當一a<Xva時，f(x)—F\x)—(—i—arcsinx)'——/,

271Wl-x2

當％K-a,%2a時，/(x)=F\x)-0

一1

—/,-a<%。

故X的概率密度為：/(x)=^-Vl-x2

0,其它

17、設二維隨機變量(x,y)的聯(lián)合概率密度為

求m4的值；［2)P{X<1,Y<2}

r+oor+oop+oop+oo,,、i+ooi+oo

(xy)xey

解：⑴JJy}dxdy=￡￡Ae~dxdy=Ae~^'~\G=A=1......4分

⑵尸{X<l,y<2}=">。+必辦=e"叫:="")

18、某種型號的器件的壽命X〔以小時計〕具有以下的概率密度

現(xiàn)有一大批此種器件(設各器件損壞與否相互獨立)，任取4只，問其中至少有一只壽命大于2000小時

的概率是多少？

解：設4只器件中壽命大于1000小時的器件個數(shù)為那么Y僅4,p),

/-200010001

且其中p=P{X>2000}=1—P{XK2000}=l-J-^-dx=-

]oooJQ2

故「[21}=1—打工<1}=1—。{1"=0}=1—仁(3。(1)4="

2216

x>0

19、設隨機變量x的概率密度為y(x)=j0,其它，求y=x2的概率密度函數(shù)

2

解:廊=乂2的分布函數(shù)函(y)為:FY(y)=P[Y<y}=P[X<y}……2分

當y<0時,K(y)=P{X2<y}=0,

2

當y20時，F(xiàn)Y(y)=P{x<y}=P{-^<x<4y}=P{x<4y}-P{x<-4y}

—三印舊,y>0

故y=X?的概率密度函數(shù)為：fy(y)=Fy(y)=^2^

0,y<0

20、設隨機變量K在(0,5)上服從均勻分布，那么方程：4f+4Kr+K+2=0有實根的概率.

解：依題意可知，K。(0,5),那么K的概率密度為:

假設要使得方程4f+4Kr+K+2=0有實根，那么有:

△=(4K>—4x4(K+2)20,即K?—K—220；

解得K22或K4—1.

故方程有實根的概率為：

21、設隨機變量X服從均勻分布。[0,1],求F=—21nX的概率密度.

dx1

解：y=短的反函數(shù)為x=lny,且一=—,

dyy

dx1

當Inye(0,1),即ye(l,e)時，fY(y)=fx(\ny)\—\=~.

dyy

1“、

—,ye(1,e)

故1=6v*的概率密度為：4(y)=y

。其他

1.—

22、設隨機變量X的概率密度為%(%)二------1求隨機變量y=l-的概率密度

7i(y+x)

A(y)-

解:函數(shù)y=l-也嚴格單調，反函數(shù)為x=/z(y)=(l-y)3,

那么

23、設隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

6xe3y,0<x<l,y>0

以x,y)=<試求

0,其他

⑴X和F的邊緣密度函數(shù)；(2)P{X>0.5,y>l}.

解：(1)當0<尤<1時，

在其他情況下，/(X)=[p+oof(x,y)dy=0.

J—00

從而X的邊緣密度函數(shù)為：

當y20時，

r+oo

在其他情況下，A(y)=If(x,y)dx=o.

J-OO

從而F的邊緣密度函數(shù)為:

f+oop+ooflp+ooc3c

⑵P[X>0.5,y>1}=J。5]于(x,y)dxdy=￡§，6xe3ydxdy=~e3-

2、24、設二維連續(xù)型隨機變量(x,y)的概率密度為

h-(3x+4y)x>0,>0

f(x,y)=<

0其它

(1)確定常數(shù)左；［2)討論XI的獨立性.

解：［1)因為1==對:晨/支+―)公辦=白

所以

k=12........2分

⑵因為/x(x)=_Q(x，y)d"』。f必，

x〉0.3e3x>0

其它I0,其它；

4〃y>0

同理可得/y(y)=<

0,其它

顯然對任意的x,yeR，恒有/(x,y)=/x(x)/y(y)，故隨機變量X』相互獨立.

25、從學校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并

2

且概率都是一，設X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求(1)X的分布律；(2)X的期望.

5

223

解：(1)由題意可知：XB(3,-),P{X=Z}=C(-),(-)3-/,Z=0,1,2,3.

555

.86

+3x-----——.

1255

'黑，隨機任取3個,

試求：(1)隨機變量X的分布律;(2)數(shù)學期望E(X)。

解：［1)X的可能取值為0,1,2,3o

3C2cl21

p(X=0)=^C^C0=—1P(X=1)=^4^=4

Go120備120

.2/so0003

P(X=2)=^c'^c=—,P(X=3)=^C^C=35

3

HCoI12"0JCo120

⑵灰乂)=0.*^+1.幺？+2.二^+3.與2=2」

MoMo5oJo

3jx

27、設隨機變量X的概率密度/(x)=<F，°<x<l,試求:

0,其它

11)概率p{x〉[卜12)數(shù)學期望石(X)。

解：⑴pjx>|

(?+OOp1

⑵E(X)=fxf(x)dx=[

J-00J0

28、設總體X服從正態(tài)分布N(〃,b2),XpX?,.,X〃是來自總體X的一個容量為〃的簡單隨機樣本,

試求〃和的最大似然估計量.

解：X的概率密度為：f(x；jLi,a2)=—^=exp[——?-y(x-//)2]；

J272b

nii

似然函數(shù)為：L(//,CT2)=TT—f=exp[--(王一〃)2]

M2b

M771J

對數(shù)似然函數(shù)為：InL(//,cr)=一一ln(27)一一Incr2-----r^(王

222cr,=1

ain

令獷人藍學一切支

_1n_

22

因此得的最大似然估計量為：^=x,a=-Y(Xi-X).

ni=i

7e+i)f,o<x<i

29、設總體X的概率密度為/'(x；e)=<其中e>一1是未知參數(shù)，

0,其他’

X],X2，.,x%是來自總體X的一個容量為"的簡單隨機樣本，求

⑴。的矩估計量6；(2)e的最大似然估計量e.

解：⑴E(X)=[xf{x}dx=￡(^+V)xe+ldx=

8+2°0+2

6>+l-

令三一=X,那么。的矩估計量為:1

0+2孤蕊

⑵樣本（X],X2，,X“）的似然函數(shù)為:

n

對數(shù)似然函數(shù)為：lnL（，）=7①〃（，+l）+，（￡ln%J.

i=l

求導得似然方程為：木二羔+力E,

解得6=-1-———,故。的最大似然估計量為：6=-1——J—

（X】n%）（^lnxi）

i=lz=l

30、設X1,Xz，,X%是來自參數(shù)為■的泊松分布總體的一個樣本，試求4的最大似然估計量及矩估計

量.

解：⑴依題意可知，總體X"（4）,其分布律為尸{X=A}=——eT,左=0』,

nQxiQM

那么似然函數(shù)為：￡（2）=n——]J2____"成

汩王！I%!

Z=1

對數(shù)似然函數(shù)為：InL（2）=In%名王一成一￡In知

i=lz=l

>X

似然方程為：JlnLW=上」-n=Q,

dA2

八1工—

解得2=—XX,=X為;I的最大似然估計量.

幾i=i

⑵因為總體X萬（㈤，那么2X）=九故2二因為X的矩估計量.

31、設總體X~N(〃，2.82),(XPX2,..,X10)為總體X的一個樣本，并且樣本的平均值

x=1500,

求4的置信水平為0.95的置信區(qū)間.IZo05=、Z0025=1.96)

a

解：1-0=0.95,a=0.05,—=0.025,n=10,cr=2.8,x=1500/.〃的置信水平為

0.95的置信區(qū)間為

所以〃的置信水平為0.95的置信區(qū)間為

綜合題：

1、事件A,5c相互獨立，證明：與C相互獨立.

證明：3)。=P(ACuBC)=P(AC)+P(BC)—P(ABC)

=[P(A)+P(B)-P(AB)]P(C)=P(AuB)P(C)；

從而和C相互獨立.

2、設隨機變量X服從標準正態(tài)分布N(0,l),求丫=6*的概率密度.

1_X_

解：XN(0,l),那么X的概率密度為：fx{x}=-=e2,-00〈尤<+8.

72兀

dx1

因為y=e、為嚴格的單調增函數(shù)，其反函數(shù)為x=lny,且一=—,

dyy

故^=6、的概率密度為：

3、設二維隨機變量(x,y)的聯(lián)合概率密度為

求mA的值；(2)兩個邊緣概率密度函數(shù)。

解：(1)由丁岫力=1可得，￡(x2+Axy)dy=1

(2)兩個邊緣概率密度函數(shù)分別為

4、設隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

fCe-<3x+4y),x>0,y>0

f(x,y)-<,試求：

[0,其他

(1)常數(shù)C；(2)聯(lián)合分布函數(shù)尸(x,y)；(3)P{0<X<l,0<r<2}.

解：⑴由標準性，=那么『J；C”6+4y)辦小=1,得C=12.

(2)當x>0,y>0時，F(xiàn)(x,y)=jjf(x,y)dxdy=￡￡12e~0x+4y)dxdy

=(1—1")(1—「).

在其他情況下，F(xiàn)(x,y)=f［'f(x,y)dxdy^0.

J—COJ—00

從而聯(lián)合分布函數(shù)尸(x,y)為：

?1-2

⑶尸{0<X<LO<y<2}=JoJj2e-s+4刃公力=(1_"3)(1-”8).

6x,0<x<y<1

5、設二維隨機變量(x,y)的聯(lián)合密度函數(shù)/(X/)={；

求［1)X,y的邊緣密度函數(shù)；［2)P(X+Y<1).

x

解：⑴當Ovxvl時，fx()=f6xtfy=6x(1-x),故

JX

當0<y<l時，人⑶)=「6%dx=3y2,故

fl/2fl-xrl/21

(2)P(X+y<1)=6xdxjdy=6x(1—2x)dx=—.

6、設隨機變量X的概率密度為f(x)=\€,

［0,xKO

試求：［1)X的分布函數(shù)；［2)y=3X的概率密度函數(shù)；［3)y=e-的數(shù)學期望。

解：［1)當尤<0時，/=力=0；當x>0時，F(xiàn)(x)==￡e-'dt

0,x<0

故X的分布函數(shù)為：