四川省成都市四七九名校高2023屆全真模擬考試（二）理科數(shù)學(xué)試題

四川省成都市四七九名校高2023屆全真模擬考試(二)理科

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合A={xeZ|-X?+3x+4Z0},3={x|x=2〃,"eZ},則AB=()

A.{0,2,4}B.{-1,1,3}C.{-4-2,0}D.{-3,-1,1)

2.若圓錐的表面積為12兀，底面圓的半徑為2,則該圓錐的高為()

A.4B.C.2D.6

3.已知x(x-l)"的展開式中x4的系數(shù)為-4,則正整數(shù)"=()

A.8B.6C.5D.4

4."0<a<A”是<lg聞的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知點(diǎn)?(0,4)是拋物線。:/=2度(2>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)?(2,3),且點(diǎn)M為拋物線C上

任意一點(diǎn)，則1朋用+IMPI的最小值為()

A.5B.6C.7D.8

己知夕€仁,兀

7.,—cos2—=1+cos20,則tane=()

32

A.4B.一避C.乎口?-竽

2

8.在三棱錐產(chǎn)一ABC中，PA=PC=2?,AC=4&，ZABC=90,平面PACJ■平

面ABC,若三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的表面上，則球。的半徑為（）

A.2石B.3C.2石D.4

9.一個不透明的袋中裝有4個紅球，4個黑球，2個白球，這些球除顏色外，其他完全

相同，現(xiàn)從袋中一次性隨機(jī)抽取3個球，事件4"這3個球的顏色各不相同”，事件8：

“這3個球中至少有1個黑球“，則P（A|8）=（）

10-將函數(shù)"2嗚沙>。）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來畤，縱坐

標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象.若g（x）在（05）上有且僅有3個極值點(diǎn)，則0的取值范

圍為（）

22

"?已知直線/：尸陽八0）與雙曲線C9f=3。吠。）相交于A，8兩點(diǎn)’點(diǎn)、A在

第一象限，經(jīng)過點(diǎn)A且與直線/垂直的直線與雙曲線C的另外一個交點(diǎn)為M,點(diǎn)N在y

軸上，BN〃NM，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且ON2=7OAM9,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±\f3xB.y=±6xC.y=+>/6xD.y=+41x

,、—（x+2）-

12.已知函數(shù)/（x）=2、'，若關(guān)于x的方程

（2x+2）e-x-w,x>-1

"（X）F-（〃，+3）f（X）+毋-/+3加=0有且僅有4個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍為（）

二、填空題

13.若復(fù)數(shù)z滿足(z-W)(l+i)=-2+2i,則復(fù)數(shù)z的虛部為.

y>-2x

14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足y41-x,則三的最大值是____.

x+7

y>x

15.平面向量〃，〃滿足|〃|=|6|,且,則cos〈A,3〃-〃〉的最小值是.

16.在銳角一ABC中，角A,B,C的對邊分別為mb,c,

tanAsinA(tanBtanC-1)=2tanBtanC,sinB>sinC,KZ?sinB+csinC=masinA,則

試卷第2頁，共4頁

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

三、解答題

17.某工廠甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)相同的電子元件，現(xiàn)分別從這兩套設(shè)備生產(chǎn)的電子元件

中隨機(jī)抽取100個電子元件進(jìn)行質(zhì)量檢測，檢測結(jié)果如下表：

測試指標(biāo)[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

數(shù)量/個8122011050

已知測試指標(biāo)大于或等于80為合格品，小于80為不合格品，其中乙設(shè)備生產(chǎn)的這100

個電子元件中，有10個是不合格品.

⑴請完成以下2x2列聯(lián)表：

甲設(shè)備乙設(shè)備合計

合格品

不合格品

合計

(2)根據(jù)以上2x2列聯(lián)表，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該工廠生產(chǎn)的這種電子元件是否

合格與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān).

n(ad-be)2

參考公式及數(shù)據(jù)：K2=其中〃=Q+Z?+C+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

產(chǎn)(YZ%)0.1000.0500.0100.0050.001

k<)2.7063.8416.6357.87910.828

18.已知數(shù)列｛""｝是公差為2的等差數(shù)列，且%7是4和%+1的等比中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)2=(3-2〃)2"：數(shù)列他,｝的前”項(xiàng)和為S“，求使得S“2-當(dāng)成立的最大正整數(shù)〃

的值.

19.如圖，平面ABCD1平面ABS,四邊形ABCD為矩形，A8S為正三角形，SA=垃BC，

。為A8的中點(diǎn).

(1)證明：平面SOC_L平面80S；

(2)求二面角O—SC—D的正弦值.

92

20.已知4(—3,0)和4(3,0)是橢圓?7：，+2=13>/?>0)的左、右頂點(diǎn)，直線/與橢

圓〃相交于M,N兩點(diǎn)，直線/不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)0,且不與坐標(biāo)軸平行，直線AM與直

線4M的斜率之積為

(1)求橢圓〃的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線OM與橢圓"的另外一個交點(diǎn)為S,直線AR與直線相交于點(diǎn)尸，直線尸。

與直線/相交于點(diǎn)。，證明：點(diǎn)。在一條定直線上，并求出該定直線的方程.

21.已知函數(shù)/(x)=-二+3-l)x+a在x=0處的切線與丁軸垂直.(其中e是自然對數(shù)

ev

的底數(shù))

(1)設(shè)g(x)=—x+92，xe(0,y),當(dāng)a=l時，求證：函數(shù)/(X)在xe(0,"o)上的圖象恒在

函數(shù)g(x)的圖象的上方；

(2)Vxe[0,+a>),不等式2[e"(x)—cosx]>ln(x+l)恒成立，求實(shí)數(shù)°的取值范圍.

Ix=/％+2cos2(^

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為：一，.(a為參數(shù)).以

[y=4smacosa

坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，曲線

C2的極坐標(biāo)方程為：p+4sin0=0,且曲線G與曲線G相交于A,8兩點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若|=2亞,求實(shí)數(shù)"?的值和直線AB的極坐標(biāo)方程.

23.設(shè)函數(shù)f(x)=|/nr-2|+x-6.

(1)當(dāng)m=2時,求不等式/*)V-|x+2|的解集;

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+|12-〃a|-x的最小值為人，且正實(shí)數(shù)a,),c滿足a+2fo+2c=2,

求上1+：1+二4-的最小值.

abb+2c

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】先求出集合A,再由交集的定義求解即可.

【詳解】由-/+3犬+420=-川＜4,

則4={-1,0,1,2,3,4},又8={x|x=2〃,〃eZ},

所以A8={0,2,4}.

故選：A.

2.B

【分析】利用圓錐的表面積公式可求得圓錐的母線長，再利用勾股定理可求得該圓錐的高.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/,高為依

則該圓錐的表面積為兀X2?+7tx2x/=12兀，解得/=4,

因此，該圓錐的高為a=J42-2?=2瓜

故選：B.

3.D

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

(詳解】二項(xiàng)式(x-1)"的通項(xiàng)公式為(“=C；X"一.(-1/,

因?yàn)閤(x-D”的展開式中/的系數(shù)為(X-1)"的展開式中V的系數(shù)，

所以有C：(-1)7=-4,顯然"-3為正奇數(shù)，且“為不小于4的正整數(shù)，

C：(-l)*3=-4=〃("?(〃-2)=4=〃3-3〃2+2〃-24=0n/-4/+〃2+2〃-24=0n

("-4)(1+〃+6)=0nn=4,

故選：D

4.A

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=lg|x|+Y,利用函數(shù)〃x)的單調(diào)性與奇偶性，得到

得出0V“K”，再結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】由可得1g"由宜＜坨|勿+從,

令/(x)=lg|x|+f,顯然函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，且〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(〃)</(?,即0<1。|<聞,

答案第1頁，共15頁

所以"0<a<?！笔恰?g|a|-Av1g|加一°2”的充分不必要條件.

故選：A.

5.D

【分析】對函數(shù)化簡后，利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值判斷即可

【詳解】因?yàn)?(x)=|2"-2T|-cosx,/(—x)=|2-*—2，cos(-x)=/(x),

所以/(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，所以排除A,C選項(xiàng)；

又〃2)=4-9COS2<0,所以排除B選項(xiàng)，

故選：D.

6.C

【分析】利用拋物線的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)FQ4)是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)，所以5=4,解得p=8,所以拋

物線C的方程為：x2=16y.

由拋物線的定義知：點(diǎn)M到點(diǎn)20,4)的距離等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線y=T的距離，

結(jié)合點(diǎn)P(2,3)與拋物線C的位置關(guān)系可知，IMFI+1"尸1的最小值是點(diǎn)尸(2,3)到準(zhǔn)線y=T

的距離，故IMFI+iMPI的最小值為7.

2

【分析】根據(jù)三角恒等變換可得COS6=-然后利用同角關(guān)系式結(jié)合條件即得.

【詳解】因?yàn)楹鮟os咚=l+cos26,將cos21=匕誓,cos2〃=2cos2，一1代入化簡,

3222

、2

可得3cos24cos，-4=0,解得cos8=2(舍去)或cos6=一§,

又因?yàn)?/p>

答案第2頁，共15頁

所以sin”立，tan?=^=-@.

3cos02

故選：B.

8.B

【分析】根據(jù)三棱錐中線面關(guān)系可先確定球心。點(diǎn)在P。,上，再利用勾股定理求解即可.

取AC的中點(diǎn)為。I，連接戶因?yàn)镻A=PC=2",AC=4五,

所以PgJ,AC,AQ=；4c=2a,

所以股=個PA2-AO；=依廂2_(2揚(yáng)2=4.

又因?yàn)槠矫鍼ACJ_平面ABC,平面PAC|1平面ABC=AC,

所以POi_L平面ABC,又ZABC=90,則球心。在直線戶已上，

連接04,設(shè)球。的半徑為R,則。4=OP=R,

即有|4-Rr+(20)2=R2,得R=3,

故選：B

9.D

【分析】運(yùn)用分類加法與分步乘法分別求得〃(8)、n(AB),再結(jié)合條件概率的公式計算即可.

【詳解】由題意知，"(B)=C；?C：+C：G+C：=100,〃(AB)=C；?CiC；=32,

所"⑷加嚅32二8

100-25,

故選：D.

10.C

【分析】先根據(jù)題意得出函數(shù)8。)=而(25-蜜，當(dāng)0<x<：時，1<23-三<摯<，

<6J36636

要使g(x)在(0，￡|上有且僅有3個極值點(diǎn)，需滿足等-聿4與，解不等式即可.

【詳解】由題可知，g(x)=sin(20x-j1,當(dāng)0<x<］時，-l<2cox-y<^-y.

\0736636

答案第3頁，共15頁

因?yàn)間(x)在卜,"上有且僅有3個極值點(diǎn)，所以會〈答-^4?，解得4<04?,

\5)23622

所以。的取值范圍為：(4,日.

故選：C.

11.C

【分析】作出輔助線，設(shè)3(再,%)(玉vO,yvO),根據(jù)點(diǎn)差法得到心人勺。==，由垂直關(guān)

a~

系得到6?%=-1,結(jié)合0/=704'0求出以。,7)“，由&四=%得到方程

一簧=一號'求出5=6,求出漸近線方程

【詳解】根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示.

因?yàn)锽NHNM，所以8、N、M三點(diǎn)共線.設(shè)線段的中點(diǎn)為Q,連接0Q,

根據(jù)題意，顯然可得點(diǎn)。為線段4B的中點(diǎn)，所以O(shè)Q//AM,

設(shè)8（%,yJ（X1<0,乂<0）,M（x2,y2）,0（飛,％）,飛片々.

&-日=1

2.2922

因?yàn)辄c(diǎn)8,M都在雙曲線C上，貝IJ、2兩式相減，得互伸

即裳首號而篝卷』色

所以底W(0=*，即原M=，|\

又因?yàn)橄?，XM,則08L0Q,即心屋40c=T,所以』■?&=T,即員=-"

為s%%

2

所以怎,”=一滔;?又ON，=70AN0,則|oNj=-7|OA|-|O2V|cosZAO/V,

即|ON|=-7|OA|cosZAON=7|y|,故N（0,7y）,所以怎一如

—X|Xj

答案第4頁，共15頁

而k/tM=kuN，故—/'=-8^,即4=6,

a玉x,a

則雙曲線C的漸近線方程為：y=±^6x.

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線相交涉及中點(diǎn)弦問題，常用點(diǎn)差法，該法計算量小，模

式化強(qiáng)，易于掌握，若相交弦涉及AM的定比分點(diǎn)問題時，也可以用點(diǎn)差法的升級

版一定比點(diǎn)差法，解法快捷.

12.A

【分析】令g(x)=f(x)+a,方程可化為g(x)=2，”或g(x)=>+3有四個不同實(shí)數(shù)根，借

助導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)性與最值，數(shù)形結(jié)合即可判斷機(jī)的取值范圍.

37

/、/、_(x+2)—1,x—1

【詳解】設(shè)g(x)=f(力+機(jī)={2,,則/(x)=g(x)-加，

(2x4-2)cv,x>—1

又"(%)?一(〃，+3)f0)+加一加2+36=[/⑺-祖][/(x)-m2+初一3]=0,

所以[g(X)-2磯g(x)一病一3]=0,則g(x)=2以或g(x)=+3.

①當(dāng)x>-l時，8(幻=絲蟲，求導(dǎo)得g，(x)=2e'-27+l)e'=*.

ee"e

當(dāng)—l<x<0時，g'(%)>0,即函數(shù)g(x)在(TO)上單調(diào)遞增;

當(dāng)x>0時，g'(x)vO,即函數(shù)g。)在(0,+s)上單調(diào)遞減.

因?yàn)椤?gt;一1,所以4+l>0,e*>0=g(%)>0.

又g(0)=2,當(dāng)x>-l且%-時，g(x)fO+；

當(dāng)X->+8時，g(x)f()+.

②當(dāng)x4—l時，g(x)=,(x+2)2-l,g(-D=；,

根據(jù)以上信息，作出函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示.

答案第5頁，共15頁

觀察圖像可得：函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=〃，+3的圖象僅有1個交點(diǎn)，

所以函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=2根的圖象有3個交點(diǎn)，

則:<2山<2nJ。"1,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

24<4)

故選：A

13.1

【分析】設(shè)z=a+bi,代入(z-z)(l+i)=-2+2i中化簡可求得結(jié)果

【詳解】設(shè)z=a+bi,則z=a-bi，

由(z—z)(l+i)=—2+2i,得25(1+i)=-2+2i,

所以-2H2M=—2+2i,所以2/?=2,得b=l,

所以復(fù)數(shù)z的虛部為1.

故答案為：1.

14.-

3

【分析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出不等式組表示的區(qū)域，利用斜率模型數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即

可.

y>-2x

【詳解】解析：根據(jù)題意，作出■ywi-x所表示的可行域，如圖所示(陰影部分).

y>x

三表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與(-7,0)所連直線的斜率,

x+7

[2x+y=0\x=-1,

聯(lián)立八，解得c即4T2),

[x+y-l1=0[y=2,

數(shù)形結(jié)合可知—的最大值是一J=7.

x+7-1+73

答案第6頁，共15頁

故答案為：-

15.逑/四

33

【分析】運(yùn)用向量的數(shù)量積、向量的夾角公式計算可得cosS，3b-a〉=M±,結(jié)合基本

6出|

不等式即可求得結(jié)果.

【詳解】由兩邊平方得力+9片=1-

.2

又因?yàn)樗?。?吆二!

6

3b~a.b加-(1。1-1)8|次+1

b-(3b-a)

所以cos(Z?,3b-a)=

\b\-\3b-a\1*16|7j6\b\

=2(8|6+工［=歲，當(dāng)且僅當(dāng)|6|=①時取等號,

61\b\)634

所以cosS,3匕-〃〉的最小值是2包.

3

故答案為：也.

3

16.(1,72)

【分析】由兩角和的正切公式化簡可得sin2A=2sinBsinC,再根據(jù)三角形形狀以及正弦、

余弦定理可限定出|e(U+V2),將參數(shù)機(jī)表示成m=+])再利用函數(shù)單調(diào)性即可求得

其范圍.

【詳解】在ABC中，由A+8+C=7t可得tanA=_tan(B+C)=Jan8+tanC

又因?yàn)閠anAsin>4(tanBtanC-l)=2tanBtanC,

an

所以sinA(tan3+tanC)=2tan4tan。，即!'+⑦匹_?

tanBtanCsinA

.211cosBcosCsinCcosB4-cosCsinBsin(C4-B)sinA

貝mI]------=-------+-------=--------+-------=-------------------------------=---------=--------------,

sinAtan8tanCsin3sinCsinBsinCsinBsinCsinBsinC

所以可得sin?4=2sinBsinC,由正弦定理得c/=2bc.

又sinB>sinC可知3>C.又ABC為銳角三角形，所以cos3>0,

a2+,—/2/?r+c2—b2

由余弦定理得cos8=>0.所以嗎」~->0,

2ac2ac

答案第7頁，共15頁

^2bc+c2-b2>0,所以冏

解得1-a<2<1+0.

c

又￡>1,所以ge(l,l+0).

22

又因?yàn)椤?gt;sin8+csinC=m<2sinA,所以6+c=ma,

即昨空《=金」hc

a22bc2

令2=X,則X€(l,l+夜)，則

:C=/(?=/X4----

c、/a~2X

因?yàn)閒(x)在(1,1+3)上單調(diào)遞增，又/⑴=1,〃1+應(yīng))=&,

所以實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為(1,3).

故答案為：(1,&)

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解解三角形綜合問題時一般會綜合考慮三角恒等變換、正弦定理、余

弦定理等公式的靈活運(yùn)用，再結(jié)合基本不等式或者通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性等

求出參數(shù)取值范圍.

17.(1)列聯(lián)表見解析

(2)有99.9%的把握認(rèn)為該工廠生產(chǎn)的這種電子元件是否合格與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān).

【分析】(1)根據(jù)列聯(lián)表結(jié)合已知信息填寫對應(yīng)數(shù)值即可;

(2)利用公公式進(jìn)行計算，再根據(jù)表格數(shù)據(jù)比較大小即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)如下表所示:

甲設(shè)備乙設(shè)備合計

合格品7090160

不合格品301040

合計100100200

因?yàn)殚L2_200x(70x10-90x30)2

=12.5>10.828,

'-—160x40x100x100

答案第8頁，共15頁

所以有99.9%的把握認(rèn)為該工廠生產(chǎn)的這種電子元件是否合格與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān).

18.(l)an=2?-l;

(2)7.

【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列基本量的運(yùn)算即得;

2n~lT2”

（2）由題可得仇=,然后利用裂項(xiàng)相消法求得S"再結(jié)合的單調(diào)

2〃-12/7+1

性求解不等式.

【詳解】（1）因?yàn)閮?nèi)-1是4和4+1的等比中項(xiàng),

2

所以(％-I)=q(a8+1),

又因?yàn)閿?shù)列包｝是公差為2的等差數(shù)列,

所以(q+4—1)'=4(6+14+=1,

故數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為=2〃-1.

(3-2〃)2"|(3-2〃)2"|2"-'2"

（2）因?yàn)?=

aM+i(2〃-1)(2〃+1)2n-l2n+\9

所以數(shù)列｛〃,｝的前〃項(xiàng)和為

2°212〃-22"馬2"

S=1—1+2+?++

3J55J、2〃-32?-1、2/7—12〃+1,

113

又因?yàn)镾〃N-E，

2"113128、T

所以1------>-----=--->-----

2/7+115152/7+1

設(shè)/(〃)=-^—,〃wN,,

v72n+l

2"_(4〃+2-2”-3)2"_(2n-l)2"

因?yàn)椤?+1)-〃")=>0,

2〃+32〃+1(2/?+3)(2〃+1)(2/?+3)(2/?+1)

所以〃加赤單調(diào)遞增，又/（7）==一=當(dāng)

'）2x7+115

所以“47,

所以使得S,2-胃11成3立的最大正整數(shù)〃的值為7.

答案第9頁，共15頁

19.(1)證明見解析

【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理得到SO,80,利用三角函數(shù)和矩形的性質(zhì)得到

BDVOC,最后利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明即可；

(2)利用空間向量的方法求二面角即可.

【詳解】(1)證明：設(shè)與。C相交于點(diǎn)

因?yàn)?ABS為正三角形，所以SA=S8=A8=0BC，

又。為AB的中點(diǎn)，則S0L4B.

因?yàn)槠矫鍭BCZ)工平面A8S,SOu平面ABS,平面ABCOc平面A8S=AB,SOLAB,所

以SO_L平面ABC。，

又比)u平面ABC。，則SOJ_BZ).

因?yàn)樗倪呅蜛BC￡>為矩形，AB=EBC，

在RtBOC中，tanZBCO=—=—.

BC2

在Rt胡。中，tanZDBA=—=—

AB2

所以tanN5CO=tan/r)a4,所以NBCO=NDBA,

又NCBA=NCBD+/DBA=90°,則Z.CBD+ABC0=90。，即NBMC=90°,所以8。_LOC,

又BDLSO,SOcOC=O,OC,SOu平面SOC,所以平面SOC,

又8￡>u平面BDS,所以平面SOC_L平面BDS.

(2)解：因?yàn)樗倪呅蜛8CQ為矩形，所以ADSAB,

又平面A5CD_￡平面S48,平面ABC。。平面SA8=AB,A￡)u平面48CD,所以A￡)J_平

面SAB.

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)。作平行于A。的直線為z軸，以和OS所在直線分別為x軸和y

軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

答案第10頁，共15頁

設(shè)AB=2,貝石,0),C(l,0,四)，A(-1,0,0),8(1,0,0),

DC=(2,0,0),SD-瓜6,BO=(-2,0,揚(yáng)，

設(shè)平面SCO的一個法向量為機(jī)=（5,肉4）,

in-DC=02芭=0

則，即《

m-SD=0W%=0Z|'

令乂=血，貝1]〃?=（0,夜,百）.

由（1）可知，8。工平面SOC,所以8。是平面SOC的一個法向量.

因?yàn)閗os（"?,BQ）卜Im-BD\

MHV5xV65

所以二面角O—SC-O的正弦值為乎.

X2y2

20.⑴二+2-=1

95

（2）證明見解析，定直線為x=-3

【分析】⑴設(shè)M（%，X）,以32），依題意可得力=-沁2-9）,進(jìn)而結(jié)合。=3可得層=5,

9

從而求解；

（2）設(shè)直線/的方程為：x=my+〃（機(jī)W0,〃H0）,聯(lián)立直線/和橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可

得MX，8+丫2,結(jié)合三點(diǎn)共線可得已=一%,一%=一%，進(jìn)而得到注=￡g，

進(jìn)而得到直線。尸的方程，進(jìn)而聯(lián)立直線OP與直線/的方程即可求解.

【詳解】（1）設(shè)“&,%）,JV（x2,y2）,

所以"[=*=],即#=_泅_9）,

22（2、

由題意知”3,所以很+擊1=犬=叩吟〉

所以6=5,

則橢圓〃的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+二=1.

95

（2）證明：設(shè)直線/的方程為：x=7孫+〃（〃2工0,〃工0）,

答案第11頁，共15頁

x=my+n

聯(lián)立橢圓〃的方程，得2,

—4--=1

95

所以(5療+9)y2+10mny+5n2-45=0,

則A=180(5加一〃2+9)>O,

由根與系數(shù)的關(guān)系，得弘％=竺心^,)1+必=-普1，

5w+95k+9

設(shè)尸(*0，%)，

由p,5,A三點(diǎn)共線，得」h=±,

x0+3$-3

由P,N,&三點(diǎn)共線，得一三=上；，

x0-3x2-3

則也=主坦+至曰=上2+上1=磐±1+也士^=2加+("-3)仕+1

%%%y乂兇%(yy2J

=2〃?+("3))[+)2=2"一("3)27m6m

I).V3_9n+3,

,y〃+3

所以直線OP的斜率為攵8=生n=丁,

xQ3m

則直線。尸的方程為丫=中》,

3m

n+3

y=------x,,

聯(lián)立直線OP與直線/的方程，可得3m,解得冗=一3,

元=沖+〃

所以點(diǎn)。在一條定直線上，該定直線的方程為x=-3.

21.(1)證明見解析

⑵。收)

【分析】(1)根據(jù)切線性質(zhì)可得力=1,利用作差法構(gòu)造函數(shù)S(x)=/(x)-g(x),在由導(dǎo)數(shù)判

斷單調(diào)性證明儀幻>0恒成立即可得出結(jié)論；

(2)將不等式變形可得ae*-V-cosx>；ln(x+l),根據(jù)題意可知

ae°-02-cos0>^ln(0+l),即可得”>1,利用(1)中的結(jié)論Vxe[0,+8),ev>x2+1x+l,

結(jié)合ln(x+l)<x即可得?>1即滿足題意.

【詳解】(1)證明：因?yàn)楹瘮?shù)/(幻=-m+0-1?+。在苫=0處的切線與^軸垂直，所以

答案第12頁，共15頁

r(o)=。，

因?yàn)榘素?立必+b_i,所以1r(o)=匕-1=0,解得b=i.

e'

r2

當(dāng)a=l時，/(x)=---+1,

JC"2jrJ-9

令夕⑶“⑴T⑶~Ui一方

又令p(x)=cx-\-^x-x2,則X(x)=ev-2x--1,

再令tn(x)=ex-2x~—,則加(x)=e*—2,

2

令加(x)=0,解得x=ln2,

故啾X)在(O,ln2)上單調(diào)遞減，在(In2,4w)上單調(diào)遞增，

3-

則〃z(x)之"Z(ln2)=/-21n2=lne2_]n4,

33

易知e3>2.73=19.683>16=4。所以「>4，即皿x)Nln/_ln4>0；

故“⑴>0在(0,+8)上恒成立，所以p(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以p(x)>p(0)=0,即e'>f+gX+1在(0,+8)上恒成立，

所以奴x)>0,所以/(x)>g(x),

故函數(shù)f(x)在xe(O,”)上的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象的上方.

(2)因?yàn)?[日'『(工)-(：05》]>111(》+1),可得ae*-x?-cosx>gln(x+l)；

又因?yàn)閂xe[0,+8),不等式2-cosx]>In(x+1)恒成立，

所以ae°-02-cos0>；ln(0+l),即“>1.

1V

令A(yù)(x)=ln(x+l)-x,則"(x)=-----1=------,

x+1X+1

令〃(用=0,解得x=0.

故人(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

則〃(x)W〃(0)=0,BRln(x+l)<x.

由(1)可知Vxw[(),+8),ex>x2+^x+\.

答案第13頁，共15頁

當(dāng)a>l時，aex-x2-cosx-In(x+1)>e'-x2-cosx-；ln(x+l)

2

>X2+x+1j-x-cosx-gln(x+l)=1-cosx+^[x-ln(x+l)]>l-cosx>0,

2

所以Wxe[0,+8),不等式2[e'/(x)-cosx]>ln(x+l)恒成立,

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(1,位).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性

即可求解，構(gòu)造函數(shù)過程中要特別關(guān)注已有結(jié)論的應(yīng)用，比如ln(x+l)4x,e'±x+l等,

還要培養(yǎng)靈活運(yùn)用上一問結(jié)論的意識和習(xí)慣.

22.⑴卜2626)

7T37r

(2)m=±2；8=-或夕=一

44

【分析】(1)先