北師大版七年級數學上冊從重點到壓軸專題1.1幾何初步(重點題專項講練)(原卷版+解析)

專題1.1幾何初步【典例1】用小立方塊搭一個幾何體，使得它從正面看和從上面看到的形狀圖如圖所示，它最少要m個小立方塊，最多要n個小立方塊，則m+n的值為．【思路點撥】易得這個幾何體共有3層，由從上面看所得的圖形可得第一層正方體的個數，由從正面看所得的圖形可得第二層和第三層最少或最多的正方體的個數，相加即可．【解題過程】解：由從上面看和從正面看所得的圖形可知：至少需要：1+1+1+2+3+1＝9個小立方塊．最多需要：2+2+2+3+1＝13個小立方塊，∴m＝9，n＝13，∴m+n＝22．故答案為：22．1．（2021秋?東臺市期末）觀察如圖，把圖形繞著給定的直線旋轉一周后形成的幾何體可能是（）A． B． C． D．2．（2021秋?順德區(qū)月考）十個棱長為a的正方體擺放成如圖的形狀，這個圖形的表面積是（）A．36a2 B．24a2 C．6a2 D．30a23．（2022?洛陽三模）如圖是一個正方體，如圖哪個選項是它的展開圖（）A．B．C．D．4．（2021秋?盤龍區(qū)期末）有三個正方體木塊，每一塊的各面都寫上不同的數字，三塊的寫法完全相同，現把它們擺放成如圖所示的位置，請你判斷數字5對面的數字是（）A．6 B．3 C．2 D．15．（2022?信陽二模）小聰用八個同樣大小的小立方塊搭成一個大正方體，從正面、左面和上面看到的形狀圖如圖所示，現在小聰從中取走若干個，并使得到的新幾何體從三個方向看的形狀圖不變，則他取走的小立方塊最多可以是（）個A．1 B．2 C．3 D．46．（2021秋?和平區(qū)校級月考）一個正方體鋸掉一個角后，剩下的幾何體的頂點的個數是（）A．7個或8個 B．8個或9個 C．7個或8個或9個或10個 D．7個或8個或9個7．（2021秋?二七區(qū)校級月考）用一個平面去截下列幾何體：①三棱柱；②六棱柱；③長方體；④圓柱；⑤圓錐，其中截面可能是三角形的有．8．（2021秋?隨縣期末）如圖①是一個小正方體的側面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時小正方體朝上面的字是．9．（2021秋?嘉魚縣期末）把小正方體的6個面分別涂上六種不同的顏色，并畫上朵數不等的花，各面上的顏色和花的朵數情況如表：現將上述大小相等、顏色花朵分布完全一樣的四個立方體拼成一個水平放置的長方體（如圖），那么長方體下底面有朵花．顏色紅黃藍白紫綠花的朵數12345610．（2021?城陽區(qū)一模）如圖，棱長為5cm的正方體，無論從哪一個面看，都有三個穿透的邊長為1cm的正方形孔（陰影部分），則這個幾何體的表面積（含孔內各面）是cm2．11．（2021秋?龍泉驛區(qū)校級期末）用相同的小立方體搭一個幾何體，從正面、上面看到的形狀圖如圖所示，從上面看到的形狀圖中小正方形的字母表示在該位置上小立方體的個數，那么這樣的幾何體最多由幾個小立方體搭成，最少由幾個小立方體搭成．12．（2022春?市北區(qū)期中）如圖所示是一種棱長分別為3cm，4cm，6cm的長方體積木，現要用若干塊這樣的積木來搭建大長方體，如果用3塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是cm2，如果用4塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是cm2，如果用24塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是cm2．13．（2021秋?秦都區(qū)期末）如圖所示的是一個正方體的展開圖，它的每一個面上都寫有一個自然數，并且相對的兩個面的兩個數字之和相等，求a+b﹣2c的值．14．（2021秋?南崗區(qū)期末）媽媽給小明的塑料水壺做了一個布套（如圖），小明每天上學帶一壺水．（π取3.14）（1）至少用了多少布料？（2）小明在學校一天喝1.5L水，這壺水杯夠喝嗎？（水杯的厚度忽略不計）15．（2021秋?高州市校級月考）如圖是一個長方體的展開圖，每個面上都標注了字母，請根據要求回答問題：（1）如果A面在長方體的底部，那么哪一個面會在上面？（2）如果F面在前面，B面在左面，那么哪一個面會在上面？（字母朝外）16．（2021秋?樊城區(qū)期末）將三個棱長分別為a，b，c（a＜b＜c）的正方體組合成如圖所示的幾何體．（1）該幾何體露在外面部分的面積是多少？（整個幾何體擺放在地面上）（2）若把整個幾何體顛倒放置（最小的在最下面擺放），此時幾何體露在外面部分的面積與原來相比是否有變化？若有，算出增加或減少的量；若沒有，請說明理由．17．（2021秋?張店區(qū)期末）如圖所示是由棱為1cm的立方體小木塊搭建成的幾何體從3個方向看到的形狀圖．（1）請你觀察它是由個立方體小木塊組成的；（2）在從上面看到的形狀圖中標出相應位置上立方體小木塊的個數；（3）求出該幾何體的表面積（包含底面）．18．（2021秋?鄭州期中）綜合實踐．【問題情境】某綜合實踐小組進行廢物再利用的環(huán)保小衛(wèi)士行動．他們準備用廢棄的宣傳單制作裝垃圾的無蓋紙盒．【操作探究】（1）若準備制作一個無蓋的正方體形紙盒，如圖1，圖形經過折疊能圍成無蓋正方體形紙盒？（2）如圖2是小明的設計圖，把它折成無蓋正方體形紙盒后與“?！弊窒鄬Φ氖悄膫€字？（3）如圖3，有一張邊長為20cm的正方形廢棄宣傳單，小華準備將其四個角各剪去一個小正方形，折成無蓋長方體形紙盒．①請你在圖3中畫出示意圖，用實線表示剪切線，虛線表示折痕．②若四個角各剪去了一個邊長為4cm的小正方形，求這個紙盒的底面積和容積分別為多少？19．（2021秋?普寧市期中）如圖①所示，從大正方體中截去一個小正方體之后，可以得到圖②的幾何體．（1）設原大正方體的表面積為a，圖②中幾何體的表面積為b，那么a與b的大小關系是；A．a＞b；B．a＜b；C．a＝b；D．無法判斷．（2）小明說“設圖①中大正方體的棱長之和為m，圖②中幾何體的各棱長之和為n，那么n比m正好多出大正方體的3條棱的長度．”你認為小明的說法正確嗎？為什么？（3）如果截去的小正方體的棱長為大正方體的棱長的一半，那么圖③是圖②幾何體的表面展開圖嗎？如有錯誤，請予修正．20．（2021春?南崗區(qū)校級月考）如圖，兩個體積相同的圖柱形鐵塊A和B，圓柱A的底面半徑為2厘米，高為20厘米且比圓柱B高．（π取3）（1）求圓柱B的底面積是多少平方厘米？（2）如圖，一個底面長8厘米，寬6厘米的長方體水箱里有一些水，將圓柱A和B立放于水箱里，水面恰好與圓柱A高度相同，求將圓柱A、B放入之前水面的高度是多少厘米？（3）若要使水面下降至與圓柱B高度相同，需將圓柱A提起多少厘米？專題1.1幾何初步【典例1】用小立方塊搭一個幾何體，使得它從正面看和從上面看到的形狀圖如圖所示，它最少要m個小立方塊，最多要n個小立方塊，則m+n的值為．【思路點撥】易得這個幾何體共有3層，由從上面看所得的圖形可得第一層正方體的個數，由從正面看所得的圖形可得第二層和第三層最少或最多的正方體的個數，相加即可．【解題過程】解：由從上面看和從正面看所得的圖形可知：至少需要：1+1+1+2+3+1＝9個小立方塊．最多需要：2+2+2+3+1＝13個小立方塊，∴m＝9，n＝13，∴m+n＝22．故答案為：22．1．（2021秋?東臺市期末）觀察如圖，把圖形繞著給定的直線旋轉一周后形成的幾何體可能是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據每一個幾何體的特征判斷即可．【解題過程】解：觀察如上圖，把圖形繞著給定的直線旋轉一周后形成的幾何體可能是：空心的圓柱體，故選：D．2．（2021秋?順德區(qū)月考）十個棱長為a的正方體擺放成如圖的形狀，這個圖形的表面積是（）A．36a2 B．24a2 C．6a2 D．30a2【思路點撥】先數出每個面的正方形的個數，然后加起來求出面積即可．【解題過程】解：由題意可得該圖形的表面積為各個面的小正方形的面積之和，∴該幾何體前后左右上下各都有6個小正方形，共36個小正方形，∵小正方體的棱長為a，∴該圖形的表面積為36a2，故選：A．3．（2022?洛陽三模）如圖是一個正方體，如圖哪個選項是它的展開圖（）A． B． C． D．【思路點撥】利用正方體及其表面展開圖的特點解題．【解題過程】解：這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，其中面“陰影正方形”與面“陰影圓”相鄰，面“陰影正方形”與面“陰影三角形”相鄰，且三角形只有一個角相鄰，面“陰影三角形”與面“陰影圓”相鄰，且三角形有一條直角邊相鄰．故選：B．4．（2021秋?盤龍區(qū)期末）有三個正方體木塊，每一塊的各面都寫上不同的數字，三塊的寫法完全相同，現把它們擺放成如圖所示的位置，請你判斷數字5對面的數字是（）A．6 B．3 C．2 D．1【思路點撥】根據正方體的表面展開圖的特征進行判斷即可．【解題過程】解：根據第一個和第二個正方體表面的數字可知，“4”的鄰面是“1、6、2、5”，因此“4”的對面是“3”，由第二個和第三個正方體表面的數字可知，“2”的鄰面是“4、5、3、6”，因此“2”的對面是“1”，所以“5”和“6”是對面，故選：A．5．（2022?信陽二模）小聰用八個同樣大小的小立方塊搭成一個大正方體，從正面、左面和上面看到的形狀圖如圖所示，現在小聰從中取走若干個，并使得到的新幾何體從三個方向看的形狀圖不變，則他取走的小立方塊最多可以是（）個A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】根據三視圖的定義解答即可．【解題過程】解：由三視圖可知：該幾何體上下共有兩層，要使新幾何體從三個方向看的形狀圖不變，最下面一層的四個是不變的，從左面看第一列的上面一層可以拿掉一個，第二列的上面一層可以拿掉一個，所以最多可以拿掉2個，B選項正確，故選：B．6．（2021秋?和平區(qū)校級月考）一個正方體鋸掉一個角后，剩下的幾何體的頂點的個數是（）A．7個或8個 B．8個或9個 C．7個或8個或9個或10個 D．7個或8個或9個【思路點撥】根據一個正方體鋸掉一個角，存在四種不同的情形，畫出圖形即可得出答案．【解題過程】解：如下圖，一個正方體鋸掉一個角，存在以下四種不同的情形，新的幾何體的頂點個數分別為：7個、8個、9個或10個，故選：C．7．（2021秋?二七區(qū)校級月考）用一個平面去截下列幾何體：①三棱柱；②六棱柱；③長方體；④圓柱；⑤圓錐，其中截面可能是三角形的有①②③⑤．【思路點撥】根據用一個平面截一個幾何體得到的面叫做幾何體的截面，利用常見圖形分析得出即可．【解題過程】解：①三棱柱能截出三角形；②六棱柱沿對角線截幾何體可以截出三角形；③長方體能截出三角形；④圓柱不能截出三角形；⑤圓錐能截出三角形；故截面可能是三角形的有①②③⑤．故答案為：①②③⑤．8．（2021秋?隨縣期末）如圖①是一個小正方體的側面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時小正方體朝上面的字是路．【思路點撥】根據正方體的表面展開圖找出相對面，然后動手操作即可解答．【解題過程】解：根據正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，“中”與“夢”的面是相對的，“復”與“路”的面是相對的，“國”與“興”的面是相對的，根據題意可知第1格是“興”，所以第4格是“國”；第2格是夢”，第3格是“路”，所以第5格是“復”．所以這時小正方體朝上面的字是“路”，故答案為：路．9．（2021秋?嘉魚縣期末）把小正方體的6個面分別涂上六種不同的顏色，并畫上朵數不等的花，各面上的顏色和花的朵數情況如表：現將上述大小相等、顏色花朵分布完全一樣的四個立方體拼成一個水平放置的長方體（如圖），那么長方體下底面有17朵花．顏色紅黃藍白紫綠花的朵數123456【思路點撥】由圖中顯示的規(guī)律，可分別求出，右邊正方體的下邊為白色，左邊為綠色，后面為紫色，按此規(guī)律，可依次得出右二的立方體的下側為綠色，右三的為黃色，左一的為紫色，即可求出下底面的花朵數．【解題過程】解：由題意可得，右二的立方體的下側為綠色，右三的為黃色，左一的為紫色，那么長方體的下底面共有花數4+6+2+5＝17朵．故答案為：17．10．（2021?城陽區(qū)一模）如圖，棱長為5cm的正方體，無論從哪一個面看，都有三個穿透的邊長為1cm的正方形孔（陰影部分），則這個幾何體的表面積（含孔內各面）是252cm2．【思路點撥】根據正方體6個外表面的面積、9個內孔內壁的面積和，減去“孔”在外表面的面積即可．【解題過程】解：由正方體的6個外表面的面積為5×5×6﹣1×1×3×6＝132（cm2），6個內孔的內壁的面積為1×1×4×4×9﹣1×1×2×6＝120（cm2），因此這個有孔的正方體的表面積（含孔內各面）為132+120＝252（cm2），故答案為：252．11．（2021秋?龍泉驛區(qū)校級期末）用相同的小立方體搭一個幾何體，從正面、上面看到的形狀圖如圖所示，從上面看到的形狀圖中小正方形的字母表示在該位置上小立方體的個數，那么這樣的幾何體最多由11幾個小立方體搭成，最少由9幾個小立方體搭成．【思路點撥】根據主視圖、俯視圖的形狀以及相應位置所擺放的小正方體的數量，判斷最多、最少時的總個數即可．【解題過程】解：根據主視圖、俯視圖的形狀以及相應位置所擺放的小正方體的數量可知，最多時：d、e、f都是2；b、c都是1；a是3，因此共有3+1+1+2+2+2＝11（個），最少時：d、e、f中只有一個是2，其余是1；b、c都是1；a是3，因此共有3+1+1+2+1+1＝9（個），故答案為：11，9．12．（2022春?市北區(qū)期中）如圖所示是一種棱長分別為3cm，4cm，6cm的長方體積木，現要用若干塊這樣的積木來搭建大長方體，如果用3塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是228cm2，如果用4塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是264cm2，如果用24塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是868cm2．【思路點撥】如果用3塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小時，長3×3＝9cm，寬4cm，高6cm的長方體的表面積，根據長方體的表面積公式即可求解；如果用4塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小時，長4×2＝8cm，寬3×2＝6cm，高6cm的長方體的表面積，根據長方體的表面積公式即可求解；如果用24塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小時，長4×4＝16cm，寬6×2＝12cm，高3×3＝9cm的長方體的表面積，根據長方體的表面積公式即可求解．【解題過程】解：（1）搭成的大長方體長3×3＝9cm，寬4cm，高6cm，（9×4+9×6+4×6）×2＝（36+54+24）×2＝114×2＝228（cm2）；故答案為：228；（2）用4塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小時：搭成的大長方體長4×2＝8cm，寬3×2＝6cm，高6cm，2（8×6）+2（8×6）+2（6×6）＝264（cm2）；故答案為：264；（3）表面積最小時，搭成的大長方體長4×4＝16cm，寬6×2＝12cm，高3×3＝9cm，2（16×12+16×9+12×9）＝868（cm2）．故答案為：868；13．（2021秋?秦都區(qū)期末）如圖所示的是一個正方體的展開圖，它的每一個面上都寫有一個自然數，并且相對的兩個面的兩個數字之和相等，求a+b﹣2c的值．【思路點撥】根據正方體的表面展開圖找相對面的方法，同層隔一面，“Z”字兩端是對面，求出a，b，c的值，然后代入式子中進行計算即可解答．【解題過程】解：由圖可知：a與8相對，c與5相對，b與4相對，∴a+8＝c+5＝b+4，∴a﹣c＝5﹣8＝﹣3，b﹣c＝5﹣4＝1，∴a+b﹣2c＝a﹣c+b﹣c＝﹣3+1＝﹣2．14．（2021秋?南崗區(qū)期末）媽媽給小明的塑料水壺做了一個布套（如圖），小明每天上學帶一壺水．（π取3.14）（1）至少用了多少布料？（2）小明在學校一天喝1.5L水，這壺水杯夠喝嗎？（水杯的厚度忽略不計）【思路點撥】（1）先分清制作沒有蓋的圓柱形水壺布套，需要計算兩個面的面積：側面積與底面積，列式計算即可；（2）要求這個水壺能多少水，求出圓柱體體積即可．【解題過程】解：（1）水壺的側面積：3.14×10×20＝628（平方厘米），水壺的底面積：3.14×（10÷2）2＝3.14×52＝78.5（平方厘米），水壺的表面積：628+78.5＝706.5（平方厘米），答：至少用布706.5平方厘米．（2）3.14×（10÷2）2×20＝3.14×52×20＝3.14×25×20＝1570（立方厘米）＝1.57升；1.5＜1.57，答：這壺水夠喝．15．（2021秋?高州市校級月考）如圖是一個長方體的展開圖，每個面上都標注了字母，請根據要求回答問題：（1）如果A面在長方體的底部，那么哪一個面會在上面？（2）如果F面在前面，B面在左面，那么哪一個面會在上面？（字母朝外）【思路點撥】（1）根據長方體的平面展開圖找相對面的方法，同層隔一面判斷即可；（2）把長方體的平面展開圖經過折疊，把它圍成長方體判斷即可．【解題過程】解：由圖可知，“A”與“F”相對，“B”與“D”相對，則“C”與“E”相對，（1）因為面“A”與面“F”相對，所以A面是長方體的底部時，F面在上面；（2）由圖可知，如果F面在前面，B面在左面，那么“E”面在下面，因為“C”與“E”相對，所以C面會在上面．16．（2021秋?樊城區(qū)期末）將三個棱長分別為a，b，c（a＜b＜c）的正方體組合成如圖所示的幾何體．（1）該幾何體露在外面部分的面積是多少？（整個幾何體擺放在地面上）（2）若把整個幾何體顛倒放置（最小的在最下面擺放），此時幾何體露在外面部分的面積與原來相比是否有變化？若有，算出增加或減少的量；若沒有，請說明理由．【思路點撥】（1）熟悉視圖的概念及定義即可解．上面露出的所有面的面積和是最下面正方體的上面積，其余露出的面都是側面，求三個正方體的側面積和即可；（2）分別表示出各自的表面積，相減即可得到答案．【解題過程】解：（1）幾何體露在外面部分的面積是4a2+4b2+5c2；（2）與原來相比增加了，由[4a2+4b2+5c2+（c2﹣a2）]﹣（4a2+4b2+5c2）＝c2﹣a2，∵a＜c，∴c2﹣a2＞0，∴增加了c2﹣a2．17．（2021秋?張店區(qū)期末）如圖所示是由棱為1cm的立方體小木塊搭建成的幾何體從3個方向看到的形狀圖．（1）請你觀察它是由10個立方體小木塊組成的；（2）在從上面看到的形狀圖中標出相應位置上立方體小木塊的個數；（3）求出該幾何體的表面積（包含底面）．【思路點撥】（1）由俯視圖可得該組合幾何體最底層的小木塊的個數，由主視圖和左視圖可得第二層和第三層小木塊的個數，相加即可．（2）根據上題得到的正方體的個數在俯視圖上標出來即可；（3）將幾何體的暴露面（包括底面）的面積相加即可得到其表面積．【解題過程】解：（1）∵俯視圖中有6個正方形，∴最底層有6個正方體小木塊，由主視圖和左視圖可得第二層有3個正方體小木塊，第三層有1個正方體小木塊，∴共有10個正方體小木塊組成．故答案為：10；（2）根據①得：（3）表面積為：6×2+6×2+6×2+2×2＝40（cm2）．18．（2021秋?鄭州期中）綜合實踐．【問題情境】某綜合實踐小組進行廢物再利用的環(huán)保小衛(wèi)士行動．他們準備用廢棄的宣傳單制作裝垃圾的無蓋紙盒．【操作探究】（1）若準備制作一個無蓋的正方體形紙盒，如圖1，圖形C經過折疊能圍成無蓋正方體形紙盒？（2）如圖2是小明的設計圖，把它折成無蓋正方體形紙盒后與“?！弊窒鄬Φ氖悄膫€字？衛(wèi)（3）如圖3，有一張邊長為20cm的正方形廢棄宣傳單，小華準備將其四個角各剪去一個小正方形，折成無蓋長方體形紙盒．①請你在圖3中畫出示意圖，用實線表示剪切線，虛線表示折痕．②若四個角各剪去了一個邊長為4cm的小正方形，求這個紙盒的底面積和容積分別為多少？【思路點撥】（1）根據正方體表面展開圖的特征進行判斷即可；（2）根據正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”進行判斷即可；（3）①根據裁剪要求畫出相應的圖形即可；②得出長、寬、高根據表面積、體積的計算方法進行計算即可．【解題過程】解：（1）無蓋，說明展開圖是有5個面，而正方體表面展開圖“田凹應棄之”可知，選項A不是正方體的表面展開圖，而選項B只有4個面，選項D有6個面，而選項C中的圖形符合題意，故選：C；（2）由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，“?！迸c“衛(wèi)”是對面，故答案為：衛(wèi)；（3）①所畫出的圖形如圖所示：．②當小正方形邊長為4cm時，紙盒的底面積為（20﹣2×4）2＝122＝144（cm2），紙盒的容積為4×（20﹣2×4）2＝576（cm3），答：紙盒的底面積為144cm2，紙盒的容積為576cm3．19．（2021秋?普寧市期中）如圖①所示，從大正方體中截去一個小正方體之后，可以得到圖②的幾何體．（1）設原大正方體的表面積為a，圖②中幾何體的表面積為b，那么a與b的大小關系是C；A．a＞b；B．a＜b；C．a＝b；D．無法判斷．（2）小明說“設圖①中大正方體的棱長之和為m，圖②中幾何體的各棱長之和為n，那么n比m正好多出大正方體的3條棱的長度．”你認為小明的說法正確嗎？為什么？（3）如果截去的小正方體的