高中數(shù)學(xué)橢圓的經(jīng)典知識(shí)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)橢圓的經(jīng)典知識(shí)總結(jié)

橢圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.橢圓的定義：1,2

⑴橢圓：焦點(diǎn)在X軸上時(shí)提+/=1（/=尸+。2）=6二孩制（參數(shù)方程，其中0為

22

參數(shù)），焦點(diǎn)在y軸上時(shí)=+==1（。>人>0）。方程-2+與，2=。表示橢圓的充要條件是什么？

ab

（ABCWO,且A,B,C同號(hào)，AWB）。

2.橢圓的幾何性質(zhì)：

22

（1）橢圓（以一=1（。>Z?>0）為例）：①范圍：—?！从菿a,—Z?<y<Z?；②焦點(diǎn)：兩個(gè)

ab

焦點(diǎn)（土c,O）；③對(duì)稱(chēng)性：兩條對(duì)稱(chēng)軸x=O,y=O,一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（0,0）,四個(gè)頂點(diǎn)（±a,0）,（0,功）,

其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2〃，短軸長(zhǎng)為2心④準(zhǔn)線(xiàn)：兩條準(zhǔn)線(xiàn)x=土且；⑤離心率：e=￡，橢圓<=>0<e<l,

ca

e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。⑥通徑空

a

2.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：⑴點(diǎn)PCX。,打）在橢圓外=國(guó)■+共>1；

ao

（2）點(diǎn)在橢圓上o存+匕=1；

a~b

22

（3）點(diǎn)P（x。,%）在橢圓內(nèi)=烏+烏<1

a'b~

3.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系：

（1）相交：A>0o直線(xiàn)與橢圓相交；（2）相切：A=0o直線(xiàn)與橢圓相切；（3）相離：A<0o

直線(xiàn)與橢圓相離；

22

如:直線(xiàn)y—kx—l=0與橢圓上+上~=1恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_______（答：［1,5）

5m

U（5,+8））；

4、焦半徑（圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計(jì)算方法：利用圓錐曲線(xiàn)的第二定義，轉(zhuǎn)

化到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離，即焦半徑/其中d表示P到與F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離。

如（1）已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為一（答:

2516

10/3）；

22

（2）橢圓?+（_=1內(nèi)有一點(diǎn)2（1,一1）,F為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M,使阿月+2〃月之值

最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（答：（半,一））；

5、焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問(wèn)題：S=02tang=c|y0|,

當(dāng)I%1=6即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，Sm”的最大值為be；

6、弦長(zhǎng)公式：若直線(xiàn)了=丘+人與圓錐曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)A、B,且和馬分別為A、B的橫坐標(biāo),

則1ABi=-訃若X，%分別為A、B的縱坐標(biāo)，則AM=Jl+/5-力|，若弦AB所

在直線(xiàn)方程設(shè)為x=0+）,則|AB|=Vi7淳"-%］。特別地，焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦

長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。

7、圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓

W+E=l中，以P（x0,y。）為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)的斜率k=一4工；

a'h-a-y0

22

如（1）如果橢圓土+乙=1弦被點(diǎn)A（4,2）平分，那么這條弦所在的直線(xiàn)方程是（答:

369--------

22

x+2y-8=0）；（2）已知直線(xiàn)y=—x+1與橢圓；■+￡=1（。＞。＞。）相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB

的中點(diǎn)在直線(xiàn)L：x—2y=0上，則此橢圓的離心率為（答：半）；（3）試確定m的取值范

圍，使得橢圓［+］=1上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=4x+機(jī)對(duì)稱(chēng)（答：卜誓，誓））；

特別提醒：因?yàn)锳＞0是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱(chēng)問(wèn)

題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)△＞（）!

橢圓知識(shí)點(diǎn)

1.如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

任何橢圓都有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，兩條對(duì)稱(chēng)軸。當(dāng)且僅當(dāng)楠圓的對(duì)稱(chēng)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，橢圓的

方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。

確定一個(gè)桶圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確

定標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型。

2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a,"C的幾何意義

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a/,c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的

長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：(a>b>0),(?>c>0),且

(?2=b2+c2)?

可借助右圖理解記憶：

顯然：恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直

角邊。

3.如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置一C；橢圓的

焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此己知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看一,一/V的分母

的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。?

4.方程Av?+為2=C(A,8,C均不為零)是表示橢圓的條件

方程=?？苫癁樯?+2二=1,即1+竺=1,所以只有A、B、C同號(hào)，且AHB時(shí)，方

cccC

7萬(wàn)

程表示橢圓。當(dāng)上c〉士c時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)C時(shí)C，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上。

ABAB

5.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：

①待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類(lèi)型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程

中的參數(shù)a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；

②定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。

6.共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異

2222

共焦點(diǎn)，則C相同。與橢圓0+4=1(a>8>0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為T(mén)—+—=1(〃?>-b2),

a"b~a~+mb~+m

此類(lèi)問(wèn)題常用待定系數(shù)法求解。

7.判斷曲線(xiàn)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的依據(jù)：

①若把曲線(xiàn)方程中的x換成-X,方程不變，則曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);

②若把曲線(xiàn)方程中的y換成-y,方程不變，則曲線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；

③若把曲線(xiàn)方程中的x、y同時(shí)換成-％、-y,方程不變，則曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

8.如何求解與焦點(diǎn)三角形△PFR(P為橢圓上的點(diǎn))有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題？

思路分析：與焦點(diǎn)三角形△PFR有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理(或勾股

定理)、三角形面積公式4叼3=；|P用x|p周xsin/￡P(guān)8相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算解題。

將有關(guān)線(xiàn)段|尸耳卜|尸闖、閨閭，有關(guān)角N耳PB(NFfB茨/￡5尸2)結(jié)合起來(lái)，建立|產(chǎn)制十|P用、

伊片儼儼周之間的關(guān)系.

9.如何計(jì)算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？

長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率e=￡(O<e<l),因?yàn)椤?=/一/，”>，>(),

a

用a、/?表示為e=J1一(I](0<e<1)。

顯然：當(dāng)2b越小時(shí)，e(0<e<l)越大，橢圓?_形狀越扁；當(dāng)巳h越大，e(0<e<l)越小，橢圓形狀越趨

aa

近于圓。

橢圓

題型1:橢圓定義的運(yùn)用

%2V2

例1、已知￡，月為橢圓三三+天-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)6的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn)若|母1|+但q=12,則

y

|明=—。

例2、橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線(xiàn)，經(jīng)橢圓反射后，反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，

今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán)，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,焦距為2c,靜放在點(diǎn)A的小球(小球

的半徑不計(jì))，從點(diǎn)A沿直線(xiàn)出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是

例3、如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

2222

例4、已知P為橢圓蕓+汽=1上的一點(diǎn)，"”分別為圓(％+3)-+>2=1和圓(％-3)+<=4上的點(diǎn),

則+|PN|的最小值為

題型2：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

例1、求滿(mǎn)足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)4(亞-2)、

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,—3)且與橢圓9x2+4V=36具有共同的焦點(diǎn).

(3)一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為4及一4.

題型3:求橢圓的離心率(或范圍)

例I、/VLBC中，.4=30°,|陰=2,5叢8°=、/3若以4笈為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，則橢圓的離心率

為.

例2、過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)B作橢圓長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)交橢圓于P，若居為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為一

題型4:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用(范圍、對(duì)稱(chēng)性等).L

例1、已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足?+春=1,則V+V—x的范圍為------

例2、已知P是橢圓￡+m=1上一點(diǎn)，片，鳥(niǎo)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求歸耳卜|尸鳥(niǎo)|的最大值與最小值

X2y2一一

例3、已知點(diǎn)A,8是橢圓二下+==1上兩點(diǎn)，且AO=XB。,則；1=

m"n

22

例4、如上圖，把橢圓工+二=1的長(zhǎng)軸AB分成8等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作8軸的垂線(xiàn)交橢圓的上半部分于

2516

4,6，6線(xiàn),兄,打七個(gè)點(diǎn)，尸是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則麻

題型5：焦點(diǎn)三角形問(wèn)題

22

例1、已知K，K為橢圓三+：=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓上的一點(diǎn)，已知P,￡,入為一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂

點(diǎn)，且|「目＞|尸國(guó)，求耨的值;

22

例2、己知耳，心為橢圓?：5+?=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，在C上滿(mǎn)足_LP馬的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

22

例3、若可，工為橢圓方+寧=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓上的一點(diǎn)，當(dāng)N6PK為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范

圍為—

3

例4、已知橢圓的焦點(diǎn)是耳（0,-1）,尸2（0,1）,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（I，5）①求橢圓的方程；②設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且

忸6|T。閭=1,求cosN耳尸乃.

題型6:三角代換的應(yīng)用

22

例1、桶圓土?+匕=1上的點(diǎn)到直線(xiàn)l：x+y—9=0的距離的最小值為.

169-

22

例2、橢圓上+二=1的內(nèi)接矩形的面積的最大值為

169

題型7：直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的判斷

2y2

例1、當(dāng)陽(yáng)為何值時(shí)，直線(xiàn)y=x+m與橢圓X一+乙=1相交？相切？相離？

-169

例2、若直線(xiàn)丁=h:+1伏6/?)與橢圓工+工=1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

5m

題型8：弦長(zhǎng)問(wèn)題

22

例3.求直線(xiàn)y=2x-4被橢圓」4x一+y乙=1所截得的弦長(zhǎng).

99

2

例4、已知橢圓；+=1的左右焦點(diǎn)分別為F|,F2,若過(guò)點(diǎn)P(0,-2)及FI的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng),B兩點(diǎn)，求/ABF2

的面積；

題型9：中點(diǎn)弦問(wèn)題

2

尤V

例5、求以橢圓一2+1=1內(nèi)的點(diǎn)A(2,-1)為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)方程。

85

例6、中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為4(0,廊)的橢圓截直線(xiàn)y=3x-2所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為g,求橢圓的方程.

例7、橢圓如2+盯2=1,與直線(xiàn)x+y=l相交于月、B兩點(diǎn)，C是的中點(diǎn).若叫=20，斜

率為也(0為原點(diǎn))，求橢圓的方程.

2

題型10：橢圓與向量、解三角形的交匯問(wèn)題

例6、設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x,y)的直線(xiàn)分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于4、8兩點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)尸關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若BP=2PA,且0Q-A8=l,求尸點(diǎn)的軌跡方程；

五

15.如圖，在Rt^ABC中，ZCAB=90°,AB=2,AC=—?一曲線(xiàn)E過(guò)點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)P在曲線(xiàn)E上運(yùn)動(dòng)，且保

2

持|PA|+|PB|的值不變，直線(xiàn)1經(jīng)過(guò)A與曲線(xiàn)E交于M、N兩點(diǎn)。

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線(xiàn)E的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)1的斜率為k,若/MBN為鈍角，求k的取值范圍。

8

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

3.橢圓a+二=1的一條弦被4(4,2)平分，那么這條弦所在的直線(xiàn)方程是

4.在△ABC中，ZA=90,tanB=-.若以A,B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則該橢圓的離心率e=___

4

5.若耳，工為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn)，若/尸耳尸2：/尸工大：N環(huán)尸工=1:2:3,則此橢圓的離心率為_(kāi)

222

6.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓*?+/=1(。>/?>0)的焦距為2,以0為圓心，。為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)(??,())作

圓的兩切線(xiàn)互相垂直，則離心率6=

綜合提高訓(xùn)練

22

7、已知橢圓=+4=1(。>?！?)與過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,1)的直線(xiàn)1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T,且橢圓的離心率

ab

e=