高考數(shù)學一輪復習 第五章 數(shù)列單元過關檢測 文-人教版高三數(shù)學試題

第五章數(shù)列

單元過關檢測（五）

（120分鐘150分）

一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的）

1.已知數(shù)列,，5,…,，那么15是數(shù)列的（）

A.第22項B.第23項

C.第24項I）.第25項

【解析】選B.根據(jù)通項公式an=有=15,解得n=23.

2.已知等比數(shù)歹lj｛aj的前n項和為S“且Sn=3"+a（nCN*）,則實數(shù)a的值是（）

A.-3B.3C.-lD.1

【解析】選C.當n22時，a?=Sn-Sn-,=2畤"，當n=l時,a】=Si=3+a,因為數(shù)列｛aj是等比數(shù)列，所以3+a=2,解得

a=T.

3.已知等差數(shù)歹U｛a“｝的前n項和為S”,若S3=9,SS=25,貝IJST=（）

A.41B.48C.49D.56

'S3=94+38=9,

【解析】選C.設S?=An2+Bn（AW0）,由題意知，Iq5-=37^cAT-I-JK"R-=3,解得所以349.

【變式備選】已知等差數(shù)列｛an｝的前13項之和為39,則ae+ai+aF（）

A.6B.9C.12D.18

【解析】選B.設等差數(shù)列｛a“｝的公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得:Si3=13ai+d=39,化簡得⑶+6d=3,

所以a6+a-+a8=ai+5d+ai+6d+ai+7d

=3ai+18d=3（ai+6d）=3X3=9.

【一題多解】本小題還可以采用以下解法：

選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)得Si3=13a7=39,所以ai=3,所以a6+a7+as=3a7=9.

4.（2018?長沙模擬）等差數(shù)列｛aj的前n項和為S?,且aKO,若存在自然數(shù)m23,使得a,.=S*則當n>m時,S?

與的大小關系是（）

A.SriVa。B.SWa?

C.Sn>anD.大小不能確定

+，,

【解析】選C.由題意得公差d>0,且am>0,所以當n>m時,Sn-an=Sn-SB1+a1n-an=a.+am+i,+an-i>O,所以Sn>an.

(2an,0<an<1,

5.數(shù)列｛aj滿足a*l%—1,14時<2,若a尸，則a2述的值是()

A.B.C.D.

【解析】選D.由數(shù)列的遞推公式及首項出=可得a2=,a3=,a.=,所以數(shù)列具有周期性,所以a?018=a2=.

6.若。是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,其前n項和為Sn,已知31且S3=7,則Sk

()

A.B.C.D.

【解析】選C.由a?>0,且aia5==l,得a3=l.由S3=7,得++a3=7,即+=6,

234

又q>0,解得q=.所以S7=S3+a3q+a3q+a3q+a3q=7++++=.

7.已知數(shù)列｛a?｝的前n項和為Sn,ai=l,a?=2,且對于任意n>l,nGN*,滿足S?+i+Sn-i=2(Sn+l),則S】。的值為

()

A.91B.90C.55D.54

'1,九=1,

n

【解析】選A.由S“3S"T=2(S.+1)得S?,-S?=S?-S?-,+2即a?,i=a?+2,所以a?=\^~2,H>2,即數(shù)列從

第二項起為等差數(shù)列，公差為2,所以SK)=1+9X2+X2=91.

8.(2018?重慶模擬)在數(shù)列｛aj中，已知a.=(ndN*),則⑸｝的前n項和S.=()

A.—

B.

1/411\

c2\3n+1n+3)

聿11]

D2\6n+2n+3/

【解析】選D.由a.=

1/11\

=2\n+1n+3)

Sn=(-+-+-+???+-+-)

亡+工--^―-1

2\23n+2n+3

1/511\

=216幾+2n+3/

9.在等差數(shù)列｛a,,｝中，a70,&oQa?o13>O,a2以?a20l3<0,則使S?>0成立的最大自然數(shù)n是)

A.4025B.4024

C.4023D.4022

[解析]選B.{a?}為等差數(shù)列,ai>0,a2oi2+a2ois>0,a2012,a2oi3<0,

所以a?oi2>O,a?oi3<O,

所以d<0,

4024(%+a4024)

因為St024=2,ai+a,i021

二82012+32013,

所以S024>0.

4025(d]+(I4Q25)

2

因為S.|025=,ai+a，iQ25=2a2013.

所以S4025<0,

所以使Sn>0成立的最大自然數(shù)n是4024.

10.(2018?臨川模擬)我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，有已知長方形面積求一邊的算法(“少廣”算法),

其方法的前兩步如下.第一步:構造數(shù)列1,,.①第二步:將數(shù)列①的各項乘以，得到一個新數(shù)列

aba2,a3,an.則aez+a2a3+a3a(+…+&1血等于()

A.B.

C.D.

【解析】選C.由題意,所得新數(shù)列為IX,X,義，…X,所以aia2+a2a3+a3a.i+???+a?-ia?=[+++???+]

[+++???(-)]=?

11.(2018?杭州模擬)設｛aj是等差數(shù)列，｛bj是等比數(shù)歹山且akbi=l,a20K=b2°H=2017,則下列結論正確的

是()

A.at008/31009

B.S2OlMbz016

C.VnGN*,l<n<2017,an>b?

D.3noGN*,l<n0<2017,使得=

【解析】選C.A項，｛a.｝是等差數(shù)列,a,=l,&。產(chǎn)2017,所以數(shù)列單調(diào)遞增,錯誤;因為等差數(shù)列的圖象為一次

函數(shù)上孤立的點,而等比數(shù)列為指數(shù)函數(shù)上孤立的點，且由題意兩個函數(shù)分別單調(diào)遞增，故畫出相對應的函

數(shù)圖象，一條直線與一條下凸的曲線，在自變量n取1和2017時有交點，因此在l〈n〈2017時,a“>b”,n>

2017時,a?<b?,所以B,D錯誤,C正確.

H

12.設數(shù)列｛a“｝的前n項和為S?,已知a2=2,a?t2+(-l),'a?=l,則S4()=()

A.260B.250C.240D.230

n

【解析】選C.因為a?t2+(-l)'a?=l,所以aeazxl,a2k+2-a2k=l,kGN*,所以數(shù)列是等差數(shù)列,首項為2,公差

為1.SM=[(ai+as)+…+(a3?+a39)+(az+a“+…+a3?+aM)]=10+2X20+X1—240.

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.請把正確答案填在題中橫線上)

13.在等差數(shù)列｛aj中,a2+a6+2a8=8,則此數(shù)列的前11項的和等于.

【解析】由題知,a2+a6+2as=8,所以2ai+2as=8,所以at+as=4,所以2a6=4,解得a6=2,所以數(shù)列的前11項的和

Sn===llae=22.

答案：22

(一題多解】本小題還可以采用以下解法：

由題知,a2+a6+2as=8,所以4ai+20d=8,即a)+5d=2,Sn=llai+d=llX(ai+5d)=22.

答案：22

14.已知正項數(shù)列｛aj滿足-6=a."a”.若a尸2,貝！]數(shù)歹U｛aj的前n項和為_.

【解析】因為-6=an“a”

所以(ao+「3an)(an+i+2an)=0,

因為a?>0,所以a?H=3a?,

又因為ai=2,所以數(shù)列｛a.｝是首項為2,公比為3的等比數(shù)列,

所以數(shù)列｛aj的前n項和S?-=3"-l.

答案：3nT

15.如圖所示是畢達哥拉斯的生長程序:正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方

形，…，如此繼續(xù),若共得到1023個正方形,設初始正方形的邊長為,則最小正方形的邊長為________.

【解析】設1+2+4+…+2”胃023,即=1023,2=1024,n=10.正方形邊長構成數(shù)列，,，…，其中第10項為=,

即所求最小正方形的邊長為.

答案：

16.已知｛aj是等差數(shù)列，d為其公差，S”是其前n項和,若只有S,是數(shù)列｛SJ中的最小項，則可得出的結論

中正確的是.

①d>0,②a，K0,@a5>0,@S7<0,⑤%>0.

【解析】S?=nai+d,

因為只有S，是｛SJ中的最小項，

d

—>0,

2

d

所以'乙

，d>0,

——4d<ci]<-3dV0.

因為a4=a,+3d,a5=a,+4d,所以-d〈a1+3d<0,0<a,+4d<d,即

aKO,a5>0.S?=7ai+d=7⑶+3d)=7a《0.S8=8a,+d=4(2ai+7d),由-4d〈a<-3d可得-d<2ai+7d<d,即-4d〈SM4d所以

S,的符號正、負、0均有可能.綜上可得結論正確的有①②③④.

答案:①②③④

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.(10分)(2018?沈陽模擬)已知數(shù)列｛aJ是公差不為0的等差數(shù)列,首項&=1,且a?a2)&成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式.

⑵設數(shù)列｛bj滿足b“=a"+,求數(shù)列｛b,,｝的前n項和為T,..

2

【解析】(1)由題設,#=aia4,即(l+d)2=l+3d化簡,得d-d=0

又dro,所以d=l,所以a?=n.

⑵由⑴得,bn=n+2"

T?=(1+2+3+…+n)+(2+22+-+2n)=+2n<1-2.

18.(12分)已知數(shù)列中，bi=l,b?+1=2b?+3,n￡N*.

(1)求證：是等比數(shù)列.

(2)若c?=log2(b?+3),求數(shù)列的前n項和R,,.

【解析】(1)因為==2且E+3=4,

所以｛b.+3｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列.

⑵由⑴知bn+3=4X2"'=2""，

所以b0=2n”-3,

則c?=log2(b?+3)=n+l,=-,

R?=-+-+,,,+-=-=.

【誤區(qū)警示】需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題,導致計算結果錯誤.

【變式備選】已知正項等差數(shù)列的前n項和為S“且滿足al+a5=,Sv=63.

(1)求數(shù)列的通項公式.

(2)若數(shù)列滿足bi=ab且bn-i-b,Fan+i,求數(shù)列的前n項和T“.

【解析】(1)設正項等差數(shù)列的首項為a,.公差為d,且a?>0,

[2(%+2d/

2%+4d=---------------,

則[7al+21d=63,解得:或(舍去)

所以an=2n+l.

(2)因為b『i-bn=an+i且a“=2n+l,所以bn+i-bn=2n+3,

當nN2時,bn=(bn_bn-i)+(bi-bn-2)+…+(b2-bi)+bi=(2n+l)+(2n-l)+…+5+3=n(n+2),

當n=l時,bi=3滿足上式,所以bn=n(n+2),

所以二二

所以T產(chǎn)++…++

=[+++???+(一)+]

19.(12分)(2018?武漢模擬)已知S?是等比數(shù)列｛aj的前n項和,S3+2,S9+2,S6+2成等差數(shù)列且a2+a5=4.

⑴求數(shù)列｛a0｝的公比q.

⑵設bn=log21a?|,求數(shù)列｛bn｝的前n項和T?.

【解析】(1)設等比數(shù)列等“｝的公比為q,當qWl時，因為S3+2,Sg+2,Se+2成等差數(shù)列,

且az+as=4,

所以2(S9+2)=S6+2+Sa+2,a,(q+q')=4.

所以2X=+,

化為(2q3+l)(qLl)=0,

解得:q、-,出=8,當q=l時，不滿足條件，舍去,

所以q=-.

(2)由(1)可得心=22醴2=(-1)日?.

/IIn

-1<n<11,

3

n-11

—,n>12.

bn=log21a”|=3

/io11n

n\-----1-----

133

當nW11時,數(shù)列｛b,,｝的前n項和T“=2

當n》12時，數(shù)歹lj｛b,,｝的前n項和T0=T”+++…+

(n-ll)(12+n)

=+x[2-11X(n-ll)]

n2-21n+220

=6

2

20.(12分)已知數(shù)列｛aj,｛b?｝,Sn為數(shù)列｛aj的前n項和,a2=4bi,S?=2a?-2,nb?.i-(n+1)b?=n+n(nGN*)

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式.

(2)證明為等差數(shù)列.

anbn

,幾為奇數(shù),

2

an^n

,九為偶數(shù)，

(3)若數(shù)列的通項公式為c?=\令T”為的前n項的和，求Tz”.

【解析】(1)當n>l時，

fSn=2an-2,

=

Pn-124_]-2—-

=an—2an2an402,

當n=l時，Si=2ai-2=>ai=2,

綜上，⑸｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,a?=2n.

⑵因為a2=4bb所以bi=l,

2

因為nbn+i-(n+l)bn=n+n,

所以一二1

綜上,是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.

⑶由(2)得,=l+n-l=?bn=n2.

令Pn二C2n-l+C2n

(2n-l)2.22n-1

2+=(4n-l)-22n-2=(4n-l)?4'",

Tzn=3X40+7X4'+llX42+-+(4nT)X4"1,①

23n

4Ln=3X4'+7X4+l1X4+-+(4n-5)X4")+(4nT)X4,②

2n

①-②,得-3T2n=3X40+4X4'+4X4+-+4X4"--(4n-l)X4,

-3T2?=3+-(4n-l)X4",

%=+X4".

【變式備選】已知a”是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,首項ai=3,前n項和為S?,數(shù)列是等比數(shù)列,首項bFl,且

a2,b2=12,S3+b2=20.

⑴求數(shù)列｛a.｝和的通項公式.

⑵設c產(chǎn)&?b,?求數(shù)列的前n項和心.

【解析】(1)設數(shù)列｛aj的公差為d,數(shù)列b”的公比為q,

((3+d)q=12,

則由題意得：(9+3d+q=20,

解得:d=-,q=18或d=3,q=2.

因為｛①｝是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，所以d>0,

所以d=3,q=2,

所以an=3+(n—1)X3—3n,b“=2"

(2)Cn=anbn=3nX2'

則T?=3X1X2°+3X2X2'+3X3X2?+…+3X(