高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 常用邏輯用語

第2.2章常用邏輯用語

2.2常用邏輯用語

色課程要求了《?!求心中有數(shù)

1理解必要條件、充分條件與充要條件的意義；

高中要求2通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義。

3能正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.

LjJ基礎(chǔ)1知識(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)，■立完整知識(shí)體系

1充分條件與必要條件

M概念

一般地，”若p,則q"為真命題，是指以p為已知條件通過推理可以得出q.

這時(shí)，我們就說，由p可以推出q,記作pnq,并且說，p是q的充分條件，q是p的必要條件.

如果”若p,則q”和它的逆命題"若q,則p"均是真命題，

即既有p今q，又有q=p,就記作poq,

此時(shí)P即是q的充分條件也是必要條件，我們說p是q的充要條件.

②p是q的條件(填寫是否充分、必要)

完成此題型，可思考

從左到右，若p=>q則充分，若p分q則不充分；

從右到左，若qnp則必要，若q/p則不必要.

【例】帥哥是男人的條件.

解析從左到右，顯然若4是個(gè)帥哥，那他肯定是男人，即充分；

從右到左，若B是男人，他不一定是帥哥了，即不必要；故答案是充分不必要.

③從集合的角度理解一一小范圍推得出大范圍

(1)命題p、q對應(yīng)集合4B,

若A￡B,貝l]p=>q,即p是q的充分條件；若4生B,貝Up冷q,即p不是q的充分條件.

注若AUB,則稱力為小范圍，B為大范圍.

【例】帥哥是男人的條件.

解析設(shè)集合4=｛帥哥｝,集合B=｛男人｝,顯然力UB,｛帥哥｝是小范圍，推得出｛男人｝這

個(gè)大范圍，即充分條件；故答案是充分不必要條件.

(2)結(jié)論

①若p是q的充分不必要條件，則40B；②若p是q的必要不充分條件，則B0力；

③若p是q的充分條件，貝IJAU8；④若p是q的必要條件，貝/U力；

⑤若p是q的充要條件，則4=B.

2全稱量詞與存在量詞

①全稱量詞

(1)短語"對所有的"、"對任意一個(gè)”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用，”表示.

(2)含有全稱量詞的命題稱為全稱命題.

全稱命題“對M中任意一個(gè)工,有p(x)成立"，記作VK€M，P(X).

Eg：對所有末位數(shù)是0的數(shù)能被5整除，Vx>0,%+i>2.

X

②存在量詞

(1)短語“存在一個(gè)"、"至少有一個(gè)"在邏輯中通常稱為存在量詞，用“于表示.

(2)含有存在量詞的命題稱為特稱命題.

特稱命題“存在M中的一個(gè)支，使p(x)成立”，記作

Eg：至少有一個(gè)質(zhì)數(shù)是偶數(shù)，>0,x2-2%+3<0.

2全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，它們的真假性是相反的.

【例】Vx>l,x2>l的否定是,并判斷他們的真假性.

解析3%>1,x2<1.Vx>1,x2>1是真命題，3x>1,x2<1是假命題.

^^經(jīng)典例題從典例中見解題簿力

【題型1】判斷充分條件與必要條件

【典題1】設(shè)是整數(shù)，貝『仇,"均為偶數(shù)"是"皿九是偶數(shù)”的()

A充分而不必要條件B必要而不充分條件

C充要條件D既不充分也不必要條件

解析均為偶數(shù)nTn+n是偶數(shù)，則充分；爪+n是偶數(shù)則m,n均為偶數(shù)或者均為

奇數(shù)，即m+?1是偶數(shù)分wi,n均為偶數(shù)，則不必要，故選A

【典題2】在關(guān)于x的不等式a/+2刀+1>0中，“。>1”是“￡1久2+2久+1>0恒成立”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析在關(guān)于x的不等式ax?+2久+1>0中，

當(dāng)a>l時(shí)，△=4—4a<0,二"a>1"=>"a/+2x+1>0恒成立”，

當(dāng)4=4—4a<0時(shí),a>l,.-."ax2+2%+1>0恒成立"=>"a>1",

"a>1"是"a/+2x+1>0恒成立"的充要條件.

故選：C.

變式練習(xí)

1.設(shè)集合M={x|0<xW3},N={x|0<x<2},那么"aGM"是"ae"'的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析M的元素不一定是N的元素，比如：a=2.5,即M推不出N；而N中的元素一定是M

的，即N推不出M.所以“aCM"是"a6N”的必要不充分條件，選B.

2.已知a,b是實(shí)數(shù),則"a>0且b>0"是"a+b>0且ab〉0"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析對于"a>0且6>0"可以推出"a+b>。且ab>0",反之也是成立的.

3.設(shè)a,beR,則(a-h)-a2<0是a<6的().

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案力

解析由(a-6)?a?<0得，￡140且￡1<6；反之，由a<6,不能推出(a-b)?a2<0,

即(a-6)?a?<0是a<b的充分非必要條件,選A

4已知a、beR,則“a?>b2，>是a\a\>\b\n的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

答案C

解析。2>/得“@>網(wǎng)”，

"a2>/"是"|a|>\b\n的充要條件，

故選：C.

5.|x-1|<1是/一萬<0的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析設(shè)命題p:-1|W1Q0W%W2,命題q:/-x<0Q0<x<1；

所以qnp,但p#q,故p是q的必要不充分條件.

6.若a,b是正整數(shù)，貝！la+b>ab充要條件是()

A.a=b=1B.有一個(gè)為1

C.a=b=2D.a>1且b>1

答案B

解析.??a+b>ab,

ab-CL-bV00ub—CL-b+1V1=(a—1)(Z7-1)V1,

??,a,b是正整數(shù)，aN1,b>1,

則a—1■之0,b—120,?**(a-1)(/)—1)N0,

若(a—l)(b—1)V1,則(a—1)(/)-1)=0,

即Q=1或b=1,即有一個(gè)為1,

即a+b>ab充要條件是a,b有一個(gè)為1,故選B.

7?|%|<2”是-x-6<0”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析|%|<2得—2<x<2,由x2—x—6<0得—2V%<3.故選4

8.條件p：關(guān)于％的不等式(a-4)x2+2(a-4)x-4<0(aeR)的解集為R；條件q；0<a<

4,則p是9的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析條件P：關(guān)于％的不等式(。-4)%2+2(a-4)%-4V0(aER)的解集為R,

當(dāng)a=4時(shí)，-4V0恒成立，

當(dāng)叱4時(shí)，則仁=4(。-4+雙-4)<。,解得°<"4，

綜上所述p中a的取值范圍為0<aW4,

所以則p是q的必要不充分條件，

故選：B.

【題型2】全稱量詞與存在量詞

【典題1】判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：

(l)Vxew.x3>%2；(2)所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0；

(3月久oCR,焉-沏+1W0；(4)存在一個(gè)四邊形，它的對角線互相垂直.

解析(1)全稱命題，當(dāng)x=0時(shí)，結(jié)論不成立，所以為假命題.

命題的否定：BxeN,x3<x2.

(2)全稱命題，所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是。或5；為假命題.

命題的否定：存在可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字不都是0；(這里不能寫“都不是”)

(3)特稱命題，xg-xo+l=(%O-1)2+7^1'所以結(jié)論不成立，為假命題.

命題的否定：X/XGR,X2-X+1>0.

(4)特稱命題，菱形的對角線互相垂直，真命題.

命題的否定：任意的四邊形，它的對角線不互相垂直.

【典題2】命題“VxG[0,+8),%3+%》0”的否定是()

A.Vx6(—oo,0),x3+x<0B.Vx6(—oo,0),x3+x>0

C.3x06[0,++x0<0D.C[0,+oo),焉+

解析；命題“VKC[0,+OO),X3+x>0"是一個(gè)全稱命題.

二其否定命題為：3x0G[0,+OO),XQ+^o<°

故選：C.

變式練習(xí)

1.命題“vxeR,d一爐+i4o”的否定是()

A.3xER,X3—x2+1>0B.3x￡/?,%3—x2+1>0

C.3%￡!?,x3—x2+1<0D.Vx6/?,%3—x2+1>0

答案B

解析將量詞否定，結(jié)論否定，可得或CR,x3—》2+1>0

故選：B.

2.若命題“Vxe[1,4]時(shí)，/一4久一Hi力0”是假命題，則小的取值范圍.

答案—4<m<0

解析???[1,4],/-4%-小力0"是假命題，

:該命題的否定叼比6[1,4],Xg-4x0-m-0"是真命題,

即方程/-4x-m=0在[1,4]上有解，

(1-4-m)(16—16—m)<0,解得—4<m<0.

3.若“存在實(shí)數(shù)x,使/—2x+m=0"為真命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

答案mW1

解析存在xeR,/一2x+m=0"為真命題，即△=4—4m20,解得mW1.

二實(shí)數(shù)m的取值范圍是：m<1.

【題型3】綜合運(yùn)用

【典題1】若一3久-4>0"是"/一3ax-10a2>0"的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

解析由/一3x-4>0得久>4或x<-1,即不等式的解集為力={x|x>4或x<-1},

由/—3ax—10a2>0得(x+2a)(x—5a)>0,

若a=0,則不等式的解為％力0,此時(shí)不等式的解集為為8={久阿力。},

若a>0,則不等式的解集為B=(x\x>5a或x<-2a},

若a<0,不等式的解集為3={x|x2a或x<5a},

(求解含參的不等式，注意分類討論)

若"/-3%-4>0"是_3ax-10a2>0"的必要不充分條件，則8cA,

(從集合的角度去思考充分必要條件問題)

則當(dāng)a=0時(shí)，不滿足條件.

當(dāng)a>0時(shí)，則滿足即得0宛，

當(dāng)"0時(shí)，貝IJ滿足{(吃;，得{:;二二，得aW—2.

綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍{a|aW-2或a2(}.

變式練習(xí)

1.已知命題p:|1一號(hào)<3；q:x2-2%+1-m2<0,(m>0)，若q是p的充分非必要條件,

試求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

答案0VmW4

解析命題p中不等式可化為一3<x<9q可化為1-771〈％工1+m(m>0)

q是p的充分非必要條件q=P

W+4］，解得m<4

11—m>—3

?,?實(shí)數(shù)TH的范圍是0V血44.

蟋輕松訓(xùn)練

通過膝習(xí)，眼B9IS力

1.命題叼久eR,/一尤+1<0”的否定是（）

A.V久€R,好一久+12oB.Vx￡/?,x2—x+1>0

C.3xER,x2—x+1>0D.m久eR,/-%+i>o

答案A

解析因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，

所以命題勺xeR,x2-x+l<0"的否定是，久€R,X2-X+1>0".

故選：A.

2.設(shè)集合M={x|l<x<3},N={%|0<x<1],那么"aeM"是"a￡N"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案：D

解析：集合M,N不存在子集間的關(guān)系，所以兩者都相互推不出，即“aCM"是"aCN”的既不

充分也不必要條件.

3."m<1"是"一元二次方程好+x+m-0有實(shí)數(shù)解"的（）

A.充分不必要條件B.充分且必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析方程好+刀+巾=0有解，則A=1-4m>0=>m<-,

4

m<:是m<：的充分不必要條件.故/正確.

4.設(shè)第ER,貝I」“％2一5%<?！笔莢l”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析%2-5x<0,0<x<5,

v|x-1|<1,0<%<2,

0<x<5推不出0V%V2,

0<x<2=>0<x<5,

???0V%V5是0<%<2的必要不充分條件，

即/-5%<0是-1|<1的必要不充分條件.

故選：B.

5.條件p：|x-m|<2,條件q：-1<%<n,若p是q的充分條件，則打的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析條件p：|x-m|<2,可得m-2W%￡m+2.條件q：-1<x<n,

若p是q的充分條件，則一14m-2,m+2<n,解得mNl,n>3.

則九的最小值為3.故選：C.

6.已知命題p：x<2m4-l,q：久2一5%+6V0,且p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)7n的取值

范圍為()

A.m>|B.m>|C,m>1D.m>1

答案D

解析:命題p：x<2m+1,q：x2—5x+6<0,即2cx<3,

p是q的必要不充分條件，

2m+1),?1-2m+l>3,解得

實(shí)數(shù)a的取值范圍為m2L故選：D.

7.已知命題p；3x0￡R,使得部+而+1<。，那么此命題是命題(填“真"或"假")；

答案假

解析由于/+配+1=(&+[)2+：>0,

所以，不存在任何數(shù)使郎+%o+1<0成立，

故該命題為假命題.故答案為：假.

8.若命題勺與€/?,3部+2axo+l<?！笔羌倜}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案[—V3,V3]

2

解析命題勺xOeR,3就+2ax0+1<0"的否定為，xeR,3x+2ax+1>0",

?.?命題勺％0GR,3.+2ax0+1<0”是假命題，

???"VxeR,3x2+2ax+l>0”為真命題,

則4=4a2-12<0,解得一V3<a<V3.

.??實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[-低百].

故答案為：[-百,B].

9.已知p：%2—8%-20>0,q：x2-2x+1-a2>0.若p是q的充分而不必要條件，求正實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

答案0<