《直線、射線、線段（2）》名師教案

1/14.2直線、射線、線段（張祖全）第二課時(shí)線段的比較與運(yùn)算一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解尺規(guī)作圖的概念，會用尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段；2.了解度量線段的兩種方法，對線段進(jìn)行大小比較；3.理解線段中點(diǎn)的概念，利用和、差、倍、分關(guān)系計(jì)算線段的長度.（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)線段大小比較，利用和、差、倍、分關(guān)系計(jì)算線段的長度.（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)線段的等分點(diǎn)表示方法及運(yùn)用.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)（1）尺規(guī)作圖：用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，叫做尺規(guī)作圖.（2）線段的比較：①度量法：用刻度尺分別測量出它們的長度來比較；②疊合法：把其中的一條線段移到另一條線段上，看落點(diǎn)的位置作比較．（3）線段的中點(diǎn)：點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM與MB，點(diǎn)M叫做線段AB的中點(diǎn).類似地，線段有三等分點(diǎn)，四等分點(diǎn)，…等.預(yù)習(xí)自測（1)下面給出的四條線段中，最長的是()A．B．C．D．【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【解題過程】解：通過度量四條線段的長度，可比較得出線段最長.【思路點(diǎn)撥】利用“度量法”或“疊合法”比較.【答案】D.如圖所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AB的三等分點(diǎn)，那么AC=BC=_____或AB=2AC=____，AD=_____或AB=______．【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【解題過程】解：.【思路點(diǎn)撥】由線段的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)的表示方法解答.【答案】.（3）如圖所示，已知直線上四點(diǎn)A、B、C、D，看圖填空，AD=+CD=AB－，AD+CB-AB=．【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【解題過程】解：AC，BD，CD.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形，對線段進(jìn)行和差運(yùn)算填空.【答案】AC，BD，CD.（4）如圖所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是()A. B.C. D.【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【解題過程】解：因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，所以，故C是錯(cuò)誤的.【思路點(diǎn)撥】由線段中點(diǎn)進(jìn)行等量代換，再進(jìn)行線段和差運(yùn)算.【答案】C.（二）課堂設(shè)計(jì) 1.知識回顧（1）線段的表示方法：①用兩個(gè)大寫字母表示；②用一個(gè)小寫字母表示.（2）線段的和差的意義：如圖，AC=AB+BC；AC=AD—CD.2.問題探究探究一尺規(guī)作圖●活動①學(xué)生自主學(xué)習(xí)第126、127頁.師問：如何作一條線段等于已知線段？你有哪些方法？學(xué)生舉手搶答.（1）度量法；（2）尺規(guī)作圖法.師問：什么是尺規(guī)作圖？學(xué)生舉手搶答.教學(xué)活動：教師在黑板上演示，用尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段，學(xué)生在練習(xí)本上模仿完成.總結(jié)：作一條線段等于已知線段的方法：（1）度量法：先量出已知線段長度acm，再畫一條線段等于acm即可；（2）尺規(guī)作圖：要求學(xué)生在課本126頁勾劃出來.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生了解尺規(guī)作圖的概念，對于“作一條線段等于已知線段”這一基本作圖，讓學(xué)生親自操作，為后面用尺規(guī)作圖完成線段的和差畫法打基礎(chǔ).探究二探索線段大小的比較方法★●活動①師問：你能比較兩名同學(xué)的身高嗎？學(xué)生活動：教師抽3名同學(xué)到講臺上來，一名同學(xué)為示范，比較另兩人的身高，讓學(xué)生觀察、思考，從中尋找比較線段大小的方法.師問：從剛才同學(xué)們比較身高的方法中，你能想到比較線段的方法嗎？生答：疊合法.師問：疊合法的注意事項(xiàng)有哪些？學(xué)生舉手搶答.總結(jié)：（1）一個(gè)端點(diǎn)對齊；（2）另一個(gè)端點(diǎn)落在同一側(cè)；（3）比較另一個(gè)端點(diǎn)的位置即可.指導(dǎo)學(xué)生看書127頁圖4.2—9所示的三種結(jié)論.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在活動中觀察、思考、體會、提煉，通過類比思想，找到解決問題的思路與方法，提升學(xué)生思維能力與思維品質(zhì).●活動②線段的和差運(yùn)算師問：如何用圖示法表示線段的和差運(yùn)算？

學(xué)生舉手搶答.總結(jié)：指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材127頁圖4.2-10所示的兩種情況，體會線段的和差運(yùn)算在線段圖中的表示，為后面尺規(guī)作圖作準(zhǔn)備.【設(shè)計(jì)意圖】指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，讓學(xué)生充分理解線段的和差運(yùn)算，體會線段的和差運(yùn)算在線段圖中的表示，為后面尺規(guī)作圖作準(zhǔn)備.●活動=3\*GB3③探究線段的中點(diǎn)及表示★▲師問：什么叫線段的中點(diǎn)？如何表示？學(xué)生舉手搶答.師問：什么叫線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)呢？又如何表示？學(xué)生舉手搶答.總結(jié)：把一條線段分成相等的兩條線段的點(diǎn)叫線段的中點(diǎn)，把一條線段分成相等的三條線段的點(diǎn)叫線段的三等分點(diǎn)，類似地還有四等分點(diǎn)等.【設(shè)計(jì)意圖】指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，讓學(xué)生充分理解并掌握用符號表示線段等分點(diǎn)的方法，為以后線段的計(jì)算、證明推理打基礎(chǔ).探究三運(yùn)用知識解決問題★▲●活動①例1.如圖，已知線段a、b、c（a＞b），用圓規(guī)和直尺畫線段，使它等于a﹣b+2c．【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【解題過程】解：如圖所示：線段AE=a﹣b+2c．【思路點(diǎn)撥】首先畫射線，在射線上依次截取線段，，再在AD上截取即可得到．【答案】．練習(xí)：已知線段a和b，且a>b，用直尺和圓規(guī)作一條線段，使它等于2a-b，并寫出作圖過程．【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【解題過程】解：首先畫射線AP，再在射線上依次截取，然后截取，則．【思路點(diǎn)撥】利用基本作圖，作一條線段等于已知線段即可作出．【答案】．【設(shè)計(jì)意圖】例1和練習(xí)設(shè)計(jì)基本尺規(guī)作圖“作一條線段等于已知線段”的實(shí)際應(yīng)用，目的讓學(xué)生掌握尺規(guī)作圖的步驟、方法與要求，同時(shí)體會線段和差運(yùn)算用圖示法表示的過程.●活動2例2.A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，線段AB=5cm，BC=4cm，那么線段AC的長度是（）A.1cm B.9cm C.1cm或9cm D.以上答案都不對【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想.【解題過程】解：第一種情況：C點(diǎn)在AB之間上，故AC=AB﹣BC=1cm；第二種情況：當(dāng)C點(diǎn)在AB的延長線上時(shí)，AC=AB+BC=9cm．故選C．【思路點(diǎn)撥】指導(dǎo)審題，由已知條件知A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，做本題時(shí)應(yīng)考慮到A、B、C三點(diǎn)之間的位置，分情況可以求出A、C的長度．【答案】C.練習(xí)：已知線段AB=8cm，在直線AB上畫線段BC，使BC=5cm，則線段AC的長度為（）A.3cm或13cm B.3cm C.13cm D.18cm【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想.【解題過程】解：∵在直線AB上畫線段BC，∴CB的長度有兩種可能：①當(dāng)C在AB之間，此時(shí)AC=AB﹣BC=8﹣5=3cm；②當(dāng)C在線段AB的延長線上，此時(shí)AC=AB+BC=8+5=13cm．故選A．【思路點(diǎn)撥】由于在直線AB上畫線段BC，那么CB的長度有兩種可能：①當(dāng)C在AB之間，此時(shí)AC=AB﹣BC；②當(dāng)C在線段AB的延長線上，此時(shí)AC=AB+BC．然后代入已知數(shù)據(jù)即可求出線段AC的長度．【答案】A．【設(shè)計(jì)意圖】此題主要考查了線段的和差的計(jì)算．在未畫圖類問題中，正確理解題意很重要，本題滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問題時(shí)，要防止漏解．●活動3例3.（1）如圖，已知點(diǎn)C在線段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，求線段MN的長度；若我們將（1）題中的條件“點(diǎn)C在線段AB上”改為“點(diǎn)C在直線AB上”．（1）題的結(jié)果會變化嗎？如果不會，請說明理由；如果會，請求出結(jié)果．【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想【解題過程】解：（1）∵AC=6cm，且M是AC的中點(diǎn)，∴，同理：CN=2cm，∴，∴線段MN的長度是5cm.（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，由（1）得MN=5cm，當(dāng)C在線段AB的延長線上時(shí)，∵AC=6cm，且M是AC的中點(diǎn)∴，同理：CN=2cm，∴，∴當(dāng)C在直線AB上時(shí)，線段MN的長度是5cm或1cm．【思路點(diǎn)撥】（1）由已知條件可知，MN=MC+NC，又因?yàn)辄c(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，則，，故，由此即可得出結(jié)果；（2）本題應(yīng)考慮到A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系的多種可能，即當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)．【答案】（1）線段MN的長度是，（2）當(dāng)C在直線AB上時(shí)，線段MN的長度是或．練習(xí)：如圖，點(diǎn)C在線段AB上，，，點(diǎn)M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)．（1）求線段BC、MN的長；（2）若C在線段AB的延長線上，且滿足，M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)，請畫出圖形，并用的式子表示MN的長度．【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：（1）∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴，∴，又∵N為BC的中點(diǎn)，∴，∴；（2）如圖：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴，∵N是BC的中點(diǎn)，∴，∴．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)“點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)”，先求出MC、CN的長度，再利用BC=MB﹣MC，MN=CM+CN即可求出線段BC、MN的長度即可．（2）先畫圖，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得，，然后利用得到．【答案】（1），；(2)．【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了線段長度的計(jì)算，利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．3.課堂總結(jié)知識梳理（1）尺規(guī)作圖的概念，會用尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段；（2）度量線段的兩種方法，會對線段進(jìn)行大小比較；（3）理解線段中點(diǎn)的概念，利用和、差、倍、分關(guān)系計(jì)算線段的長度.重難點(diǎn)歸納（1）度量線段的兩種方法，對線段進(jìn)行大小比較；（2）理解線段中點(diǎn)的概念，利用和、差、倍、分關(guān)系計(jì)算線段的長度.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．A、B、C不可能在同一條直線上的是()A.AB=4，BC=6，AC=2；B.AB=8，BC=5，AC=13；C.AB=17，BC=7，AC=12；D.AB=3，BC=9，AC=6.【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：通過畫圖、計(jì)算驗(yàn)證，C是不可能在同一直線上.【思路點(diǎn)撥】畫圖分析，通過計(jì)算判斷.【答案】C.2．如圖所示，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，若CB=4，DB＝7，且D是AC的中點(diǎn)，則AC的長等于()A.3B.6C.11D.14【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：由CB=4，DB＝7，可得CD=3，再根據(jù)D是AC的中點(diǎn)，則AC=2DC即可求得AC的長為6.【思路點(diǎn)撥】由線段中點(diǎn)及和差進(jìn)行計(jì)算.【答案】B.3．如圖，同一直線上有三點(diǎn)A、B、C，下列條件不能使B為AC中點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：當(dāng)B為線段AC中點(diǎn)時(shí)，，所以A、B、D選項(xiàng)正確．當(dāng)點(diǎn)B在線段AC之間的任何位置時(shí)，都成立，但不能確定點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，故選C．【思路點(diǎn)撥】當(dāng)點(diǎn)B為線段AC中點(diǎn)時(shí)，，由此條件即可得出四個(gè)選項(xiàng)中哪一個(gè)不符合要求．【答案】C．4．已知A、B是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，AB=3，點(diǎn)B表示-2，那么點(diǎn)A表示()A．lB．-5C．1或-5D．5或1【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想.【解題過程】解：當(dāng)A在B的左側(cè)時(shí)，A表示-5；當(dāng)A在B的右側(cè)時(shí)，A表示1；故選C.【思路點(diǎn)撥】分A在B的左側(cè)和右側(cè)兩種情況進(jìn)行討論.【答案】C.5.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)，已知線段AB=8，則線段MN的長度是（）A.6 B.4 C.3 D.2【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】整體思想.【解題過程】解：∵點(diǎn)M是AC中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)N是BC中點(diǎn)，∴，．故選：B．【思路點(diǎn)撥】由于點(diǎn)M是AC中點(diǎn)，所以，由于點(diǎn)N是BC中點(diǎn)，則，而，從而可以求出MN的長度．【答案】B．6.線段，點(diǎn)C在線段AB上，M是BC的中點(diǎn)，且，則AM的長為（）A．4.5 B．6.5 C．7.5 D．8【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】方程思想.【解題過程】解：設(shè)，∴，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴.故選C.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意畫出圖形分析，設(shè)，然后根據(jù)圖中的等量關(guān)系列出方程解出的值．【答案】C.能力型師生共研1.如圖，在直線AB上找出一點(diǎn)C，使AC=2CB，則C點(diǎn)應(yīng)在（）A.點(diǎn)A，B之間 ；B.點(diǎn)A的左邊；C.點(diǎn)B的左邊；D.點(diǎn)A、B之間或點(diǎn)B的右邊.【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想.【解題過程】解：如圖所示，當(dāng)C在AC之間時(shí)，C為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)；當(dāng)C在AB的延長線上時(shí)，此時(shí)AB=BC.故選D．【思路點(diǎn)撥】結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：要使AC=2CB，則點(diǎn)C是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)或使點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)即可．【答案】D．2.C、D是線段AB上任意兩點(diǎn)，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，若，則AB的長為（）A．B． C． D．以上均不對【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】分類討論.【解題過程】解：如圖所知，可分兩種情況：若C在D的左邊，則AB的長為；若C在D的右邊，則AB的長為．故選D．【思路點(diǎn)撥】因不知道A、B、C、D四點(diǎn)之間的關(guān)系，只能分情況處理：若C在D的左邊，則AB的長為；反之則AB的長為．【答案】D.探究型多維突破1.如圖所示，已知線段AB=12，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，C為AO的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OB上，且AO：OD：DB=3：2：1，求線段AC的長．【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】方程思想.【解題過程】解：設(shè)，，，由線段的和差，得AB=AO+OD+DB，，即．解得，．由C為AO的中點(diǎn)，得．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線段間的比例，可設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)線段的和差，可得方程，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得答案．【答案】3.2.已知線段AB，反向延長線段AB到D，使AD=AB；再延長AB到C，使AC=3AB．（1）根據(jù)題意畫出圖形；（2）若DC的長為8，AB的中點(diǎn)為E，BC的中點(diǎn)為F，求EF的長．【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合、方程思想【解題過程】解：（1）如圖，；（2）如圖，設(shè)，∵，，∴，，而，∴，解得，∴AB=2，BC=AC﹣AB=6﹣2=4，∵AB的中點(diǎn)為E，BC的中點(diǎn)為F，∴BE=1，BF=2，∴EF=BE+BF=1+2=3．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意畫圖；（2）設(shè)，則，，利用AD+AC=CD得到，解得，所以AB=2，BC=4，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到BE=1，BF=2，然后利用EF=BE+BF進(jìn)行計(jì)算．【答案】（1）如圖，；（2）EF=3.自助餐1.線段AB被分成2：3：4三部分，第一部分和第三部分的中點(diǎn)所得線段的長為42cm，則最長部分為（）cm.A.21B.14C.10.5D.28【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合.【解題過程】解：如圖，設(shè)，，，則MN=，所以=42，故【思路點(diǎn)撥】畫出圖形，由比例設(shè)未知數(shù)求解.【答案】D.2.A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，M、N分別為AB、BC的中點(diǎn)，且AB=60，BC=40，則MN的長為（）A.30 B.30或10 C.50 D.50或10【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】分類討論、數(shù)形結(jié)合思想.【解題過程】解：如圖所示，∵M(jìn)、N分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴BM==30，BN==20．在圖1中，MN=BM﹣BN=10；在圖2中，MN=BM+BN=50．故選D．【思路點(diǎn)撥】首先要考慮A、B、C三點(diǎn)在直線上的不同位置：點(diǎn)C在線段AB上或點(diǎn)C在線段AB的延長線上．再根據(jù)線段中點(diǎn)的概念進(jìn)行計(jì)算．【答案】D．3.下列說法：①若，則點(diǎn)C是AB中點(diǎn)；②若AB=2BC，則點(diǎn)C是AB中點(diǎn)；③若AC=BC，點(diǎn)C在線段AB上，則點(diǎn)C是AB中點(diǎn)；④若AC+BC=AB，點(diǎn)C在線段AB上，則點(diǎn)C是AB中點(diǎn).其中說法正確的有（填序號）【知識點(diǎn)】線段的比較與運(yùn)算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：①②缺條件點(diǎn)C