2023屆高考二輪總復(fù)習(xí)試題（適用于新高考新教材）數(shù)學(xué)檢測五　解析幾何

專題檢測五解析幾何

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.(2022?北京-3)若直線2尤+)，-1=0是圓(x-a)2+y2=i的一條對稱軸廁a=0

A.1B.-|C.lD.-l

2.(2022?吉林長春模擬)當直線被圓*+)?=4截得的弦長最短時，加的值為()

A.-V2B.V2C.-lD.1

3.(2022?北京東城三模)已知直線尸k(x-g)與圓O:『+V=4交于A,B兩點，且0A丄OB,則％=()

A.V2B.±V2C.lD.±l

4.(2022.北京北大附中三模)己知半徑為r的圓C經(jīng)過點P(2,0),且與直線x=-2相切，則其圓心到直線

x-y+4=0距離的最小值為()

A.lB.V2C.2D.2V2

5.(2022?云南曲靖一中高二期中)已知雙曲線C:p]=lS>0)的漸近線經(jīng)過橢圓G烏+孥=1與拋物

b33

線C2：y=f的交點，則以雙曲線C的兩焦點為直徑端點的圓的方程是0

A.X2+/=1

Cf+V=3D.f+V=4

6.(2022?福建福州模擬)圓-2)2=4與圓x2+2如:+)，2+根2-1=o至少有三條公切線,則實數(shù)m的取值

范圍是()

A.(-℃,-V51

B.lV5,+oo)

C.[-V5,V5]

D.(-℃,->/5]U[V5,+oo)

7.(2022.河北唐山三模)阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積.當我們

垂直地縮小一個圓時，我們得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率兀與橢圓的長半軸長與短半軸長的

乘積，已知橢圓C5+'=1伍泌>0)的面積為6e兀,兩個焦點分別為FiB,點P為橢圓C的上頂點，直

線產(chǎn)質(zhì)與橢圓C交于A,B兩點.若PA/B的斜率之積為弓則橢圓C的長軸長為0

A.3B.6C.2V2D.4V2

8.(2022?廣東茂名模擬)已知雙曲線4一，=1(心0力>0)的左、右焦點分別為人人,雙曲線的左頂點

為A,以FE為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P,0兩點,其中點。在)，軸右側(cè)，若|AQ221Api，則

該雙曲線的離心率的取值范圍是()

A.(1,V3]B.LV3,+oo)

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分洪20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選

對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.（2022.河北唐山三模）已知尸|岀為雙曲線=1的兩個焦點,P為雙曲線C上任意一點，則0

A.|PFI|-|PF2|=2V3

B.雙曲線C的漸近線方程為y=±條

C.雙曲線C的離心率為竽

D.|麗+而|22百

10.（2021?新高考/11）已知點P在圓（x-5）2+（y-5）2=16上，點4（4,0）,B（0,2）,則（）

A.點P到直線A8的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

C.當NPBA最小時,|PB|=3或

D.當/PB4最大時,|PB|=3近

11.（2022.湖南常德高三期末）已知拋物線C：）2=4x的焦點為F,斜率為1的直線/交拋物線于A,B兩點,

則0

A.拋物線C的準線方程為x=l

B.線段AB的中點在直線y=2上

C.若|AB|=8,則△OAB的面積為2/

D.以線段AF為直徑的圓一定與y軸相切

12.（2022?河北保定一模）已知橢圓死今+，=15》＞0）的左、右焦點分別為尸（百,0）,「2（遮,0）,過點

尸2的直線與該橢圓相交于4,8兩點，點尸在該橢圓上，且|A8|21,則下列說法正確的是0

A.存在點P,使得/FiPg=90°

B.滿足△QPF2為等腰三角形的點P有2個

C.若/尸"=60。，則5"鏟七=空

D.IPQHPF2啲取值范圍為42舊,2百]

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.（2022?北京/2）已知雙曲線+[=1的漸近線方程為"土室t,則m=.

14.（2022?新高考/-14）寫出與圓/+尸=1和（X-3）2+°，-4）2=16都相切的一條直線的方程:.

15.（2022.浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這

一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展

覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2,陽光照射抽紙傘在地

面形成了一個橢圓形影子（春分時，北京的陽光與地面夾角為60°），若傘柄底正好位于該橢圓的焦點

位置，則該橢圓的離心率為.

16.(2022?山東濟寧三模)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為￡過點尸的直線/與拋物線交于兩

點，且|AF|=3|BF|=3,則片;設(shè)用是拋物線C上的任意一點,N是拋物線C的對稱軸與準線的交點，則

淺的最大值為.

\MF\

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)(2022?四川成都模擬)P為曲線C上任意一點，直線厶x=-4,過點P作PQ與直線/垂直，垂足

為。，點尸(-1,0),且|尸。|=2伊川.

(1)求曲線C的方程；

(2)過曲線C上的點A/(xo,yo)(xo>10(x+1)2+K=1的斜率為由次2的兩條切線,切線與y軸分別交于

A,8兩點，若4朮2咯，求|AB|.

18.(12分)(2022?山東濱州二模)已知拋物線C:f=2py(p>0)在點M(l,yo)處的切線斜率為今

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)若拋物線C上存在不同的兩點關(guān)于直線/:y=2x+〃?對稱,求實數(shù)m的取值范圍.

22

19.(12分)已知橢圓E：+專=1的焦點在x軸上工是E的左頂點,斜率為k(Q0)的直線交E于

兩點，點N在E上,MA丄NA.

(1)當f=4,|AM=|AN|時，求△AMN的面積；

⑵當21AM=|AN|時，求k的取值范圍.

20.(12分)(2022?福建漳州三模)已知圓G：(x+2)2+y2=9,圓。2：(》-2)2+《=1,動圓P與圓G、圓都外

切，圓心P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)已知A,B是曲線C上不同的兩點,AB中點的橫坐標為2,且的中垂線為直線/,是否存在半徑為

1的定圓E,使得/被圓E截得的弦長為定值?若存在，求岀圓E的方程;若不存在,請說明理由.

21.(12分)(2022?山東荷澤二模)已知拋物線E:)2=2p_r(p>0)的焦點為F,。為坐標原點,拋物線E上不同

的兩點M,N只能同時滿足下列三個條件中的兩個：

?\FM\+|FN|=|MN|,②|OM|=|ON|=|MN|=8百,③直線MN的方程為x=6p.

(1)問M,N兩點只能滿足哪兩個條件(只寫出序號，無需說明理由)?并求出拋物線E的標準方程.

(2)如圖，過點尸的直線與拋物線E交于A,8兩點，過點A的直線/與拋物線E的另一交點為C,與x軸

的交點為D且|必|=日。|,求△A8C面積的最小值.

22.(12分)(2022.山東濰坊二模)已知M,N為橢圓?:卷+)，2=13>0)和雙曲線C2:^-/=l的公共頂點(M

為左頂點),4,62分別為G和C2的離心率.

⑴若6心=半.

(7)求C2的漸近線方程;

(方)過點G(4,0)的直線/交Ci的右支于A,B兩點，直線與直線x=l相交于Ai囚兩點，記

A,脫4,81的坐標分別為(孫丁1),。2?2),(13)3),。4?4),求證:丁■+■—=—+—?

y1Z2，3

⑵從C2上的動點尸(沏而(加土。)引C1的兩條切線，經(jīng)過兩個切點的直線與C2的兩條漸近線圍成的

三角形的面積為S,試判斷S是否為定值.若是，請求出該定值;若不是，請說明理由.

專題檢測五解析幾何

1.A解析圓(x/)2+y2=l的圓心為(凡0),代入直線方程，可得2。+0-1=0,丿.。=3,故選A.

2.C解析直線/過定點A(l,l),圓d+>2=4的圓心為0(0,0),半徑為r=2,當/丄。4時,直線/憂-

〃2>+加-1=()(MWR)被圓丁+9=4截得的弦長最短，因為煬=1,所以女/=?1,即，=

3.B解析直線尸心-遮)過定點(百,0),且點(再,0)在圓O：f+y2=4內(nèi).

因為直線產(chǎn)左(X-A③與圓O:f+y2=4交于A,B兩點，且0A丄OB,所以圓心0(0,0)到直線y=^(x-V3)

的距離公企,所以d-y/2=:弘，即d=2,Z=±V^.

Jl+fc2

4.B解析依題意，設(shè)圓C的圓心為C(x,y),動點C到點P的距離等于到直線x二-2的距離，

根據(jù)拋物線的定義可得圓心C的軌跡方程為丁二8乂

設(shè)圓心C到直線x-y+4=0的距離為“，則4=左崇=>”=吟鏟，

V2V28V2

當y=4時,〃nin=V^.

5.B解析由佗￥=1，解得后：:，或憶:；

則橢圓G與拋物線C2的交點為P(±l,l).

因為點(1,1)在C的漸近線y=bx上，所以b=\,

則雙曲線C的焦點為FI(-V2,0),F2(V2,0),

所以以F1F2為一條直徑的圓的方程是￡+y2=2.

6.D解析將d+Z/Tix+V+m?-]=()化為標準方程得(x+〃?)2+y2=],即圓心為半徑為1,圓f+Q-

2)2=4的圓心為(0,2),半徑為2.

因為圓^+^-2)2-4與圓x2+2/??x+y2+,?j2-l=0至少有三條公切線，所以兩圓的位置關(guān)系為外切或

相離，所以"\/權(quán)2+4>2+1,即機2。5,解得mG(-oo,-V5]U[V5,+oo).

7.B解析橢圓的面積S=nab-6y/2n,^Pab-6y/2.①

因為點P為橢圓C的上頂點，所以尸(0力).

a2n2

因為直線y-kx與橢圓C交于A,B兩點,不妨設(shè)則8(-加,-〃),且出+貯

=1,所以混=足—

因為PA,PB的斜率之積為

所以吧.2=上

m-m9

把加2=/_嚐代入整理化簡得與=W②

baL9

①②聯(lián)立解得“=3，=2巫.

所以橢圓C的長軸長為2a=6.

8.C解析由題意，以FiB為直徑的圓的方程為爐+產(chǎn)二。2,由雙曲線的對稱性不妨令P,Q在漸近線

b

b,,y=-x,〃”，"(％=a,(X--a,

y=/上，由，a解傳{”或{”一

a(x2+y2=c2,1y~b⑶一也h

Q(a,b),P(-a,-b).

又A為雙曲線的左頂點，則A(-a,O),

.?.|AQ|=J(a+a)2+b2,

\AP\=J[-a-(-a)]2+b2=b.

V\AQ\^2\AP\,：.J(a+a)2+匕222仇即4a2^3(c2-a2),Z.e?0又e>1,二ee(1,苧].

2________

9.CD解析雙曲線C：y-x2=l的焦點在y軸上,a=V5力=l,c=>/a2+廬=2.對于A,||P尸i卜

|「分||=2.=2百，而點尸在哪支上并不確定，故A錯誤;對于B,焦點在)，軸上的雙曲線的漸近線方

程為y=±%=土百x,故B錯誤;對于C,e{=9=讐微C正確;對于D,設(shè)P(x,y),則

2

|P0|=〃2+y2=JX2+(3%2+3)=V3+4x2遮(當x=0時，等號成立)，因為O為FIF2的中

點，所以|而+配|=|2而|=2|而|22爲,故D正確.

10.ACD解析如圖，記圓心為M半徑為匸則M(5,5),r=4.

由條件得，直線AB的方程為34-g1,整理得x+2y-4=0,過點用作MN垂直于直線厶氏垂足為N,

直線MN與圓M分別交于點P12,圓心M(5,5)到直線A8的距離|MN|=竿翌則=靠,于是點P

Jl2+22

到直線AB的距離最小值為nN|=|MM-r=44,最大值為\P}N\=\MN\+r=^+4.又《

v5V5V5

11

4<2,號+4<10,故A正確,B錯誤；

過點3分別作圓的兩條切線6P3,取4,切點分別為點23,則當點P在巳處時NP8A最大，在P4

處時/PA4最小.

又|BP3|=|8P4|==J52+(5-2)2-42=3證，故C,D正確.故選ACD.

11.BCD解析對于A,拋物線C的準線方程為x=-l,故A錯誤；

對于B,設(shè)點A(xi,yi),B(X2j2),設(shè)線段A8的中點為M(xo,yo),則優(yōu)=兩式作差得()1-

172=4不，

竺)8+竺)=4(為-功,可得點=嗚=1

所以yi+)”=4,故州=丫1；丫2=2,故B正確;

對于C,設(shè)直線A8的方程為尸+"聯(lián)立｛：2二：仇可得V+(26-4)x+b2=0,/=4S-2片4/>0,解得

2*42

A<1,則x\+X2=4-2b,x\X2=b,\AB\=V2?(xt+x2)-4x1x2=&x4，l-b=8,解得b=-l,點、O到直線I

的距離為介嚼=[，故So。*如*d=；x8x[=2遮，故C正確;

VZLLLL

對于D,設(shè)線段4尸的中點為MX3J3),則抬=竽,

由拋物線的定義可得|AF|=占+1=2x竽，即|AF|等于點N到y(tǒng)軸距離的兩倍，

故以線段AF為直徑的圓一定與y軸相切，故D正確.

o厶2

12.ACD解析根據(jù)題意，可得c=Vl因為|A8|的最小值為1,所以"-=1.又。2=/_広所以

a

2

4=22=l,c=V5,所以橢圓的標準方程為5+丁=1.當點P為該橢圓的上頂點時,tan/OPF2=g,所以

4

NOPF2=60°,此時NQPF2=120°,

所在存在點P,使得NBPB=90°,故A正確；

當點P為橢圓的上、下頂點時，滿足△自尸尸2為等腰三南形，又因為2-

百W|PB|〈2+g,|F|F2|=28，所以滿足『用|=円尸2|的點P有兩個，同理滿足|PE|=|PB|的點P

有兩個，故B不正確；

若NRPB=60°,|PFI|+|PB|=4,|AB|=2B,

由余弦定理得IBFzPiPBF+IPBfllPFiHPBIcosNBPFyPIPBF+iPBFTPFll.tBUlZ,

又|PFI|2+|PF2|2+2|PMHPB|=16,所以|PPHPB|=g,所以S.pFz=夕吶M&lsinNBPB書，故

C正確；

|PFI|-|PF2|=|PE卜(2a-|PFi|)=2|P￥卜4,分析可得|PFi|G[2-g,2+VI],

則仍尸小尸;引e[-28,2遮],故D正確.

13.-3解析由題意知/=1力2=-，",其中機<0,所以雙曲線的漸近線方程為y=±5^=土爭:，解得

3.

35

-X+-

14.x=?l（或y=44，或y=解析在平面直角坐標系中,畫出圓丁+9=1和圓(x-3)2+(y-

4尸=16.設(shè)點0(0,0)。(3,4),由圖得兩圓外切，則。。與。0|有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線，易得

其中一條外公切線/的方程為x=-l.由圖可知，內(nèi)公切線厶與另一條外公切線厶的斜率均存在.

v/t與直線OO1垂直，直線。。1的斜率右0]=打直線厶的斜率統(tǒng)=-*直線的方程為產(chǎn)

可設(shè)直線厶的方程為y=-1r+仇匕>0).

又圓心。到直線厶的距離(/,=■“/―”==1,解得/>=1(負值舍去).故內(nèi)公切線厶的方程為_y=--x+^.

閨+1

(_4

由y一§爲得直線/與直線oa的交點為

(X=-1,A"/），

則可設(shè)直線厶的方程為y+g=?r+l).

.、，用7.725

=

又圓心O到直線厶的距離d?—I—1,解得fc=—,故直線厶的方程為v—X--.

，

犬I7+142424

由上可知，與圓x2+y2=l和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直線的方程為4-1,或),=-}+*或產(chǎn)才號.

152次解析如圖所示，傘柄底位于橢圓的左焦點，且左焦點到右頂點的距離為2證,即a+c=2&.

在AA8C中，由正弦定理得=一之一，

sm(60+45)sm60

?3亜+遅_3魚-V5

該橢圓的離心率為e=￡=邛嗎=2-禽.

a3V2+V6

16.|魚解析設(shè)過點F(O,p的直線/的方程為廣乙+笠斜率存在且不為0),A(xi,yi),B(X2,y2),聯(lián)立

{I=I：%消去工得產(chǎn)(23+1/+￡=0,可得力竺=。

+§=1,

由|AF|=3|B用=3,可得；

+7=3,

則(3用(嗎)=《解得竭

過點M作準線的垂線，垂足為。，則可得鬻=黑=一￡而

\MF\\MD\s\nz.MND

若粵取到最大值即/MND最小，此時直線與拋物線C相切.

\MF\

r2n

/=3g,即廣號，則

設(shè)M出,方則切線斜率Z=|配,切線方程為)4=|xo(x-xo),切線過點N(O,q),代入得《-弓=-

苧，解得xo=±|,即M(±|,|),

則|MO|二|,|ND|二|,即/MND1.

則號［的最大值為魚.

\MF\

17.解⑴設(shè)P(x,y),由|PQ=2|PF|,

得|尤+4|=2丿(74-1)2+y2,整理得9+9=1,

所以曲線。的方程為白寅L

(2)設(shè)過點M(x(),yo)的切線方程為y-yo=A(x-xo)(斜率必存在),A(山,劃),8(加,)七).

圓心為dO),半徑為『1,所以點尸(-1,0)到y(tǒng)?yo=&(x?A：o)的距離4=匕獸改”=1,

即(詔+2XO)M-2(XO+l)jo^+yo-1=0，

則凡+依=2$°魯；。次伙

XQ-TZXQXQTZXQ

所以若全=卷又因為4詔=12-3詔田,1,解得向=1.因為直線加4:了-加=%]0M)),令以=0,得

IV5T

%二州?&逮0,同理)俯二%?女2X0.所以|厶用二|以?如|=沏的?々2|=九0[(%1+k2)2-軌/2=

18.解⑴點“1,點)，則切線方程為吟=知),聯(lián)立｛"；；產(chǎn)D消去并整理得/仍+小

1=0,依題意/=〃2-4(/?-1)=0,解得p=2,

所以拋物線C的標準方程是f=4y.

1

(2)設(shè)拋物線C上關(guān)于直線/對稱的兩點為4為,%),83/2),則設(shè)直線AB的方程為產(chǎn)++f(fGR),

聯(lián)立卩='2X+''消去y并整理得d+ZxduO/iud+W〉。,解得r>4，

x2=4y,

貝寸x\+x2=-2,yi+y2=-1(xi+x2)+2t=2t+1.

顯然線段AB的中點+在直線/上,

1C

于是得什5=-2+m,即

1C1q

而因此加-彳>；解得zn>-,

4244

所以實數(shù)，n的取值范圍是(I+00).

22

19.解⑴當1=4時,￡的方程為菅+芻=1,A(-2,0).

直線AM的方程為y=A(x+2),代入橢圓方程，整理可得(3+4爐*+16&+16爐-12=0,

設(shè)M(xo,yo),則用=-蕓*則\AM\=>Jl+k2-2-長和=Vl+k2-痣^.

由攸4丄NA,得直線NA的斜率為所以|AN|=11+4?壬=Vl+k2-岑J

k7k3+—3k+4

k2

由\AM\=\AN\,^y/l+k2-上=Vl+k2?所以一^=和4k“4+3h3F=0,

3+4/3kz+43+4fcz3M+4’

整理可得(h1)(4爐+左+4)=(),由4標+左+4=0無實根，可得k=l.

2

故△AMN的面積為3厶凹2=；(7mx県)=*.

(2)由題意r>3,k>0,A(-a,0),直線AM的方程y=Z(x+a),

y=kx+ky/t,

由22得(3+rF)x2+2VFiFx+r2F-3/=0.

bx+卜vi，

_______J4xtx3(3+tk2-tfc2)

故|AM|=V1+k2?-------2--=--S----+H?言7.由M4丄NA,得直線NA的斜率為［伏>0),所

以|AN|=|1+4-小牛=V1+/C2■華:由21AM=|4N|,得271+H=Vl+fc2■巨壯，即

7k3d—3k+￡3+tk3k+￡

kZ

3&+芯=6M+2f,因此f=嗎%>3,等價于“飛2+42=(A-2)y+i)<0,即孕<0

k-Zk-2.k-ZK-L

由此噸2>2或優(yōu)2共解得岳%<2.

因此火的取值范圍是(好,2).

20.解⑴圓G的圓心為G(-2,0),半徑為r,=3.

圓C2的圓心為。2(2,0),半徑為廠2=1.

設(shè)動圓P的半徑為R,因為動圓P與圓G、圓C2都外切，

所以\PC\|=R+，|=/?+3,|PC2|=/?+廠2=/?+1,

所以|PGHPC2|=2<4=|GC2|,所以點P在以G,C2為焦點，以2為實軸長的雙曲線的右支上.

22________

設(shè)雙曲線的標準方程為3—￡=1(〃>0/>0),C=A/Q2+，2,所以2〃=2,2c=4,所以

tz=l,c=2,/?=Vc2-a2=V3.

注意圓G與圓。2外切于點(1,0),P不可能為(1,0),

2

所以。的方程為v

(2)存在圓￡(X-8)2+/=1滿足題意.

設(shè)A3j]),B(X2,y2),AB的中點為A/(xojo).

因為A乃是C上不同的兩點43中點的橫坐標為2,

右

4=1,①

所以卜浮=1，②

%0=空=2,③

Jo=④

①-②得(xi+X2)(X|-X2)-("'=0.

yf_3(勺+犯)3x46

當以8存在時,%A8=

打-%2-Xi+y22yoy。'

所以A6的中垂線/的方程為)『=-4(x-2),即/:>=-4(X-8),所以/過定點7(8,0).

當直線A8的斜率不存在時，點A,8關(guān)于x軸對稱的中垂線/為x軸，此時/也過7(8,0).

所以存在定圓E:(x-8尸+y2=l,使得/被圓E截得的弦長為定值2.

21.解(1)拋物線E：V=2px的焦點為曬,0),由①知，點f在線段仞V上，由②知,AOMN為正三角

形,由③知，直線MN過點(6p,0),顯然①③矛盾.

若滿足①②，令M7l,S|),N(72,S2),則IMN冋|+f2+p,

由|OM=|ON|,得片+s/=0+s/,即4+2/?九=抬+2/比!=(厶心)(厶+七+2/2)=0,故t\=ti.

又QM|=|MN|,所以4+2mi=(2〃+p)2,整理得3片+2pf|+p2=0/<0,無實數(shù)根,故①②矛盾.

依題意，同時滿足的條件為②③，

因為直線MN的方程為x=6p,所以不妨令M(6p,2何),N(6p,-2島)，則|MN|=4島，

又=86,所以p=2,此時QM=|ON|=88,即|OM|=QN|=|A/N|=8次成立，

所以拋物線E的標準方程為)^=4x.

(2)顯然直線AB不垂直于y軸,設(shè)AB:x-my+},

聯(lián)立{：21^+1'消去》并整理得y2-W-4=o,

設(shè)A(xi,yD,8(X2,y2),由拋物線的對稱性，不妨令點A在x軸上方，即y>()加>2=?

2

==

4,X]X2~^TZ~丿%="-^\AB\—X\+X2+2=X】H—n2.

16V1

由冋|=|F￡)|,得。(田+2,0),則直線厶。:產(chǎn)與(上汨-2),聯(lián)立卩=-5(％%-2),

'2(y2=4x,

消去x并整理得:\?+2'-制-2=0,則點C的縱坐標為‘乎,于是得點C^4