中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)與幾何圖形綜合題

專題(九)二次函數(shù)與幾何圖形綜合題

1.(2021?陜西)已知拋物線y=-*2+2x+8與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè))，

與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)5,C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱.在j軸上是否存在點(diǎn)P,使

與APOB相似，且PC與PO是對(duì)應(yīng)邊？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

解：(l)Vj=-x2+2x+8,令x=0,y=8,，C(0,8),令y=0,即一嚙+2*+8=0,

解得*1=-2,刈=4,：.B(4,0)

PCPO

(2)存在點(diǎn)P,設(shè)P(0,y),'：CC'//OB,且PC與尸。是對(duì)應(yīng)邊，=而，即

也產(chǎn)=與，解得yi=16,J2=y，二尸(0,16)或尸(0,y)

2.(2021?泰安)二次函數(shù)了="2+法+4(0#0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)火一4,0),B(l,0),與y

軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接8P,AC,交于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)尸作尸。丄x

軸于點(diǎn)D.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接8C,當(dāng)NOP8=2/BCO時(shí)，求直線8P的表達(dá)式；

(3)請(qǐng)判斷：債是否有最大值，如有，請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

解：(1):?二次函數(shù)》=。*2+心+43￡0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-4,0),8(1,0),:.

16〃-4)+4=0,(a=—l

a+b+4=(),解得]/>=一39,

二該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2-3x+4

(2)如圖，設(shè)8尸與y軸交于點(diǎn)E,,.,PD〃y軸，...NOP8=NOE8,丫/。08=2NBCO,

：.ZOEB=2ZBCO,:.NECB=NEBC,：.BE=CE,設(shè)OE=a,貝！JCE=4—a,：.BE=4

-a,在RtZ\80E中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2,.,.(4-a)2=a2+l2,解得”=今，

o

；15

_15%=卞

=~89

：.E(0,v)，設(shè)BE所在直線表達(dá)式為尸厶+e(20),解得，

O_15

、A+e=0,=~89

直線8P的表達(dá)式為產(chǎn)一竽x+y

⑶■有最大值.設(shè)PO與4c交于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)8作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M,

〃—4=〃%z+〃=0,解得］m=l,

設(shè)直線AC表達(dá)式為》="a+",VA(-4,0),C(0,4),:.

〃=4,

二直線4c表達(dá)式為y=x+4,點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,5),：.BM=5,?:BM//PN,:.4PNQ

pgPNPO

sABMQ,：?°B=~BM9設(shè)P(0o，—a。?—3ao+4)(-4Va()V0),則N(〃o,〃o+4),/.

—Go2—3。。+4—(〃o+4)—。(/―4。0—(ao+2)2+4，，當(dāng)a?=-2時(shí)，卷有

55

最大值，此時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-2,6)

3.(2021?連云港)如圖，拋物線(6/+9)與x軸交于點(diǎn)A,&與y

軸交于點(diǎn)&已知于3,0).

(1)求m的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)尸為拋物線上一點(diǎn)，若SWKC=SAABC，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)

解：(1)將8(3,0)代入,=加爐+(“產(chǎn)+3)工一(6機(jī)+9),化簡(jiǎn)，得〃產(chǎn)+機(jī)=0,則機(jī)=0(舍

去)或m=-l,:?m=-l,Aj=-x2+4x—3./.C(0,-3),設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y

(O-=33A?+Z>,Hk=l,

=kx+b,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)5(3,0),C(0,-3),,、直線3c的

b=-3,

函數(shù)表達(dá)式為y=x-3

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作APi〃3C,設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)G,將直線3C向下平移GC個(gè)

單位，得到直線P2P3.由⑴得直線〃C的表達(dá)式為y=x-3,A(l,0),???直線AG的表達(dá)式

x=x=2,

為y=x-L聯(lián)立，解得，=0或,，Pi(2,1)或(1,0),由直線

y=l,

AG的表達(dá)式可得G(0,—1),，GC=2,，。"二？，.?.直線P2P3的表達(dá)式為：y=x-5,聯(lián)

“3-亞「=3+河

L2'2，3一遮

解得4

立或《,l??尸2(~彳—

-7-^17-7+V172

1尸2U=2'

一二回),尸3(耳亙，二中亙),綜上可得，符合題意的點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：(2,1),(1,

3一遮-7-53+回一7+遮

0),(2，2)，(2，2)

(3)如圖，取點(diǎn)。使NACQ=45°,作直線CQ,過(guò)點(diǎn)A作A。丄C。于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作

OF丄x軸于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)C作CE丄O產(chǎn)于點(diǎn)E,則△AC。是等腰直角三角形，...AZ)=CD,

A△CDE^ADAF(AAS),：.AF=DE,CE=OF.設(shè)OE=A/=a,由OA=L貝!ICE=。尸

=a+L由OC=3,則OF=3-a,，a+l=3—a,解得a=l.，0(2,-2),又C(0,—3),

，直線CD對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為x—3,設(shè)Q(〃，；n-3),代入y=—*2+4*—3,n—3

=—"2+4”-3,整理得“2"=0.又"#0,則"=1，二QA，—4)

4.(2021?東營(yíng))如圖，拋物線y=—；J^+AX+C與x軸交于A,5兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C,直線y=—;x+2過(guò)B,C兩點(diǎn)，連接AC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：△AOCs/viCS；

(3)點(diǎn)M(3,2)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上位于直線8c上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D

作OE丄x軸交直線5C于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段OE的長(zhǎng)度最大時(shí)，

求PD+PM的最小值.

解：(1),.,直線y=—；x+2過(guò)8,C兩點(diǎn)，當(dāng)x=0時(shí)，y=2,即C(0,2),當(dāng)y=0時(shí),

x=4,即B(4,0),把8(4,0),C(0,2)分別代入》=一；x2+Z>x+c,得

—8+4》+c=0,

C=2,

解得卜=亍

[c=2,

.?.拋物線的解析式為〉=一；ix2+^1x+2

1313

(2)，.?拋物線y=—5必+]x+2與x軸交于點(diǎn)A,，-5/+,x+2=0,解得xi=-1,

M=4,.?.點(diǎn)4的坐標(biāo)為(一1,0),：.AO=1,48=5,在RtZXAOC中，AO=L0C=2,

：,AC=y[5，，斃=害，?.嘰=坐，，斃=晉，又,?,N04C=NC4B,

AC-x/53A"3ACAn

△AOCsAACB

(3)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,—1x2+|x+2),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,—；#+2),?,./)￡=一；

x2+1x+2—(一；x+2)=—；^2+2x=—1(x—2)2+2,V-1<0,???當(dāng)x=2時(shí)，線段

OE的長(zhǎng)度最大，此時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,3),VC(0,2),M(3,2),.,.點(diǎn)C和點(diǎn)M關(guān)于

對(duì)稱軸對(duì)稱，連接C。交對(duì)稱軸于點(diǎn)尸，此時(shí)尸O+PM最小，連接CM交直線OE于點(diǎn)F,

則/。以7=90°,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,2),...CD=yCF2+OF2=下,,：PD+PM=PC+PD

=CD,.?.PO+PM的最小值為小

5.(2021?眉山)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線了=”+/+4(存0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A(—2,0)和點(diǎn)8(4,0).

(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸為該拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，直線CP將△A5C的面積分成2：1兩部分,

求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿)，軸移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，當(dāng)N0C4

=N0C3-N0MA時(shí)，求f的值.

解：(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+2)(x-4)=a*2-2ax—8a,即-8a=4,解得”=一

|,故拋物線的表達(dá)式為產(chǎn)+*+4①

(2)由點(diǎn)A,〃的坐標(biāo)知，OB=2OA,故CO將aABC的面積分成2：1兩部分，此時(shí),

點(diǎn)尸不在拋物線上；如圖①，當(dāng)AB=2時(shí)，C”將△A5C將△48C的面積分成2：1

兩部分，即點(diǎn)”的坐標(biāo)為(2,0),則C”和拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)尸，由點(diǎn)C,”的坐標(biāo)得，

直線CH的表達(dá)式為y=-2x+4②，聯(lián)立①②并解得一：或一:(舍去)，故點(diǎn)尸的

j=-8[y=4

坐標(biāo)為(6,-8)

(3)在點(diǎn)OB上取點(diǎn)￡(2,0),則NACO=NOCE,???NOCA=NO。區(qū)一NOMA,故NOM4

=NECB,過(guò)點(diǎn)E作EH丄3c于點(diǎn)H,在△5CE中，由O3=OC知，NO3C=45°,則

EH=^EB=*(4-2)=啦=BH,由點(diǎn)3,。的坐標(biāo)知，BC=4y/2,貝!J。"=5。一3"

=3y[29則tanNECB==?^rr=tanZ.OMA,則tanA.OMA=7)T7=T,

l?，丄y\l厶CX/KfVZXFJIJ

則QW=6,故CM=OM±OC=6±4=2或10,貝ljf=2或10

6.(2021?玉林)已知拋物線：》二“-^^一面團(tuán)::^與了軸交點(diǎn)為厶，8(點(diǎn)A在點(diǎn)8的

左側(cè))，頂點(diǎn)為D

(1)求點(diǎn)A,8的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；

(2)若直線y=—；x與拋物線交于點(diǎn)M,N,且M,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求拋物線的解析

式；

(3)如圖，將(2)中的拋物線向上平移，使得新的拋物線的頂點(diǎn)O'在直線/：y=太上，

設(shè)直線/與y軸的交點(diǎn)為O',原拋物線上的點(diǎn)尸平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，若O'P=O'Q,

求點(diǎn)P,。的坐標(biāo).

解：(1)令y=0,則有ax?—3or—4a=0,即r2—3x—4=0,解得*i=—1,必=4,:.

—1+43

A(-l,0),5(4,0),對(duì)稱軸為直線x=―2—

y=ax2—3ax—4a,

3即荘

{產(chǎn)一步，

3

-

323〃一主

一2又'??點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，工一--=0,*.a=

1)A13

---

2尸22

(3)Vj=1》2一5x-2=1(X一,產(chǎn)一專,由題意得向上平移后的拋物線解析式為y=

///NO

137

-卩

-十-???拋物線向上平移了4個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)尸(X,\"2一|x—2),則Q(\x2

22/8Xf

3713137

-Tx+2),由題意得O'(0，G),'：O'P=O'Q,：.zX2-Zx-2+zx2-zX+2=2XQ,

LoLLLLO

解得X1=-g,X2=g,若X=-3，則y=；X2~2X~2=2X(_3)2_2X(—2)—2=

91Q123713|737

-X，工PL3，-x)，2(—Q，『)，若x=Q，貝廿=Qx2—zX—2=7X(r)2—~XT

—2=—|,：.P^,—1),Q(W,y),綜上,P(—1,—|),Q(—j,y)或P(1,

)，0(2-)

7.(2021?南充)如圖，已知拋物線＞=&+h+4(“#0)與x軸交于點(diǎn)4(1,0)和8,與y

軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=1.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖①，若點(diǎn)尸是線段3c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合)，過(guò)點(diǎn)尸作y軸的平行

線交拋物線于點(diǎn)Q,連接0Q,當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說(shuō)明理

由；

(3)如圖②，在⑵的條件下，。是0C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E,且NOQE

=2NO〃Q.在y軸上是否存在點(diǎn)尸，得為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖①圖②

。+5+4=0,_

解：(1)由題意得：＜一85解得，.故拋物線的表達(dá)式為)=d一5%+4①

—5,

⑵對(duì)于y=/—5X+4,令y=p—5X+4=0,解得x=l或4,，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),

|/=4,

令E則尸4,.?.點(diǎn)Q。，4),設(shè)直線BC的表達(dá)式為尸身，，則…°,解得

\k=-