滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點(diǎn)精講精練 專題05 一元二次方程的解法 （專題強(qiáng)化）-【專題重點(diǎn)突破】(原卷版+解析)

專題05一元二次方程的解法（強(qiáng)化練習(xí)）一、單選題(共40分)1．(本題4分)(2023·河北新樂(lè)·九年級(jí)期末）一元二次方程的根為（

）．A．B．C．， D．，2．(本題4分)(2023·山東·費(fèi)縣第二中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）若方程有解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．(本題4分)(2023·湖北松滋·九年級(jí)期末）用配方法解方程，下列配方正確的是（

）A． B． C． D．4．(本題4分)(2023·河北·金華中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）將一元二次方程化成（a，b為常數(shù)）的形式，則a，b的值分別是（）A．，21 B．，69 C．4，21 D．，115．(本題4分)(2023·云南昆明·九年級(jí)期末）一元二次方程(m﹣2)x2+2mx﹣1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≠2 B．m＝﹣2 C．m＝1 D．m＝﹣2或m＝16．(本題4分)(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級(jí)期中）已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的較小的根，則下面對(duì)a的估計(jì)正確的是（

）A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜57．(本題4分)(2023·四川游仙·一模）關(guān)于x的方程（m﹣1）x2＋x＋m2＋2m﹣3＝0的一個(gè)根是0，則m的值是（

）A．7 B．﹣3 C．1或﹣3 D．08．(本題4分)(2023·甘肅麥積·九年級(jí)期末）已知對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義一種新運(yùn)算“#”：#，若#，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．3或-4 C．8 D．3或89．(本題4分)(2023·浙江·杭州市第十五中學(xué)八年級(jí)期中）若關(guān)于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A．2021 B．2020 C．2019 D．201810．(本題4分)(2023·浙江·杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）已知，是方程x2＋2022x＋1＝0的兩個(gè)根，則代數(shù)式（1＋2023＋2）（1＋2026＋2）的值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題(共20分)11．(本題5分)(2023·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)期末）用配方法將方程化成的形式：________．12．(本題5分)(2023·四川新都·一模）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，若x1＋x2＝2m，則m的值是___．13．(本題5分)(2023·廣東·華南師大附中九年級(jí)階段練習(xí)）若直角三角形兩邊長(zhǎng)x，y滿足，則其第三條邊長(zhǎng)為______．14．(本題5分)(2023·廣東越秀·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝mx+2m﹣1的圖象為直線l，在下列結(jié)論中：①當(dāng)m＞0時(shí)，直線l一定經(jīng)過(guò)第一、第二、第三象限；②直線l一定經(jīng)過(guò)第三象限；③過(guò)點(diǎn)O作OH⊥l，垂足為H，則OH的最大值是；④若l與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，△AOB為等腰三角形，則m＝﹣1或，其中正確的結(jié)論是_____（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．三、解答題(共90分)15．(本題8分)(2023·貴州畢節(jié)·九年級(jí)期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）2（x－1）2＝18；x2－2x＝2x＋116．(本題8分)(2023·山東即墨·九年級(jí)期中）解方程(1)配方法解方程2x2﹣12x﹣12＝0；(2)（x＋2）（x＋3）＝117．(本題8分)(2023·山西·介休市第三中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）先閱讀材料，然后按照要求答題。閱讀材料：為了解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，，則原方程可化為：①解得：當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴原方程的解為：，解答問(wèn)題：（1）上述解題過(guò)程，在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用____________法達(dá)到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；（2）請(qǐng)利用以上知識(shí)解決問(wèn)題：若，求的值。18．(本題8分)(2023·江蘇豐縣·模擬預(yù)測(cè)）解方程(1)解方程：x2﹣2x﹣3＝0．(2)解不等式組，并寫出它的最大負(fù)整數(shù)解．19．(本題10分)(2023·上海市建平中學(xué)西校八年級(jí)階段練習(xí)）我們知道：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x．①∵x2≥0，∴x2+1＞0；②∵（x﹣）2≥0，∴（x﹣）2+＞0．模仿上述方法解答：求證：（1）對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，均有2x2+4x+3＞0；不論x為何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式3x2﹣5x﹣1的值總大于2x2﹣4x﹣7的值．20．(本題10分)(2023·北京·九年級(jí)期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“*”，其運(yùn)算法則為．如：．根據(jù)這個(gè)法則，(1)計(jì)算：________；(2)判斷是否為一元二次方程，并求解．(3)判斷方程的根是否為，，并說(shuō)明理由．21．(本題12分)(2023·河南·南陽(yáng)市第十三中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下面材料，解答后面的問(wèn)題：解方程：0．解：設(shè)y，則原方程化為：y0，方程兩邊同時(shí)乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，經(jīng)檢驗(yàn)：y＝±2都是方程y0的解，∴當(dāng)y＝2時(shí)，2，解得x＝﹣1；當(dāng)y＝﹣2時(shí)，2，解得：x．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，∴原分式方程的解為x＝﹣1或x．上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問(wèn)題：(1)若在方程中，設(shè)＝y(tǒng)，則原方程可化為，原方程的解為；(2)模仿上述換元法解方程：1＝0．22．(本題12分)(2023·浙江·杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）設(shè)m是不小于﹣1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．(1)若，求m的值；(2)令T＝＋，求T的取值范圍．23．(本題14分)(2023·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期末）【閱讀】小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：已知關(guān)于x的方程（a、b、m為常數(shù)，）的解是，，求方程的解．他用“換元法”解決了這個(gè)問(wèn)題．我們一起來(lái)看看小明同學(xué)的具體做法．解：在方程中令，則方程可變形為，根據(jù)關(guān)于x的方程的解是，，可得方程的解是，．把代入得，，把代入得，，所以方程的解是，．【理解】已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根m，n．(1)關(guān)于x的方程的兩根分別是______（用含有m、n的代數(shù)式表示）；(2)方程______的兩個(gè)根分別是2m，2n．（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）(3)【猜想與證明】雙察下表中每個(gè)方程的解的特點(diǎn)：方程方程的解方程方程的解，，，，，，……猜想：方程的兩個(gè)根與方程______的兩個(gè)根互為倒數(shù)；(4)仿照小明采用的“換元法”，證明你的猜想．專題05一元二次方程的解法（強(qiáng)化練習(xí)）一、單選題(共40分)1．(本題4分)(2023·河北新樂(lè)·九年級(jí)期末）一元二次方程的根為（

）．A．B．C．， D．，答案:A解析：分析：根據(jù)方程特點(diǎn)，利用直接開平方法，先把方程兩邊開方，即可求出方程的解．【詳解】解：，兩邊直接開平方，得，則．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握直接開平方法的基本步驟及方法．2．(本題4分)(2023·山東·費(fèi)縣第二中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）若方程有解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．答案:B解析：分析：根據(jù)題意得到a是非負(fù)數(shù)，由此求得a的取值范圍．【詳解】解：∵（x-4）2=a有解，∴a≥0，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，一個(gè)數(shù)的平方一定是非負(fù)數(shù)．3．(本題4分)(2023·湖北松滋·九年級(jí)期末）用配方法解方程，下列配方正確的是（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：在方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)-4的一半的平方，把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)，判斷出配方結(jié)果正確的是哪個(gè)即可．【詳解】故選D．【點(diǎn)睛】本題考查配方法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握配方法的基本步驟．4．(本題4分)(2023·河北·金華中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）將一元二次方程化成（a，b為常數(shù)）的形式，則a，b的值分別是（）A．，21 B．，69 C．4，21 D．，11答案:A解析：分析：將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，則，即，∴，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法的求解過(guò)程．5．(本題4分)(2023·云南昆明·九年級(jí)期末）一元二次方程(m﹣2)x2+2mx﹣1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≠2 B．m＝﹣2 C．m＝1 D．m＝﹣2或m＝1答案:D解析：分析：根據(jù)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且判別式△=0即可求解．【詳解】解：∵方程為一元二次方程，∴m-2≠0，解得m≠2，∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴判別式△=b2-4ac=4m2-4(m-2)×(-1)=4m2+4m-8=0，解得：m1=-2，m2=1，綜上所述，m的取值范圍為：：m1=-2或m2=1，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程判別式的使用，當(dāng)△=b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=b2-4ac<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．6．(本題4分)(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級(jí)期中）已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的較小的根，則下面對(duì)a的估計(jì)正確的是（

）A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5答案:A解析：分析：利用公式法表示出方程的根，再進(jìn)行估算即可．【詳解】一元二次方程，，，，則較小的根，即，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-公式法，以及估算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．7．(本題4分)(2023·四川游仙·一模）關(guān)于x的方程（m﹣1）x2＋x＋m2＋2m﹣3＝0的一個(gè)根是0，則m的值是（

）A．7 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0答案:C解析：分析：把x＝0代入方程得到m2+2m﹣3＝0，求出結(jié)果．【詳解】解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0，得m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或﹣3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查方程的解以及解一元二次方程，把解代入原方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．(本題4分)(2023·甘肅麥積·九年級(jí)期末）已知對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義一種新運(yùn)算“#”：#，若#，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．3或-4 C．8 D．3或8答案:A解析：分析：根據(jù)題意，可得：（1）x≥-2時(shí)，x2+x+（-2）=10；（2）x＜-2時(shí)，（-2）2+x+（-2）=10；據(jù)此求出實(shí)數(shù)x的值為多少即可．【詳解】解：（1）x≥-2時(shí)，x2+x+（-2）=10，∴x2+x-12=0，解得：x=-4或x=3，∵x≥-2，∴x=3；（2）x＜-2時(shí)，（-2）2+x+（-2）=10，∴4+x+（-2）=10，解得：x=8，∵8＞-2，∴x=8不符合題意．綜上，可得：實(shí)數(shù)x的值為3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，以及定義新運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確“#”的含義．9．(本題4分)(2023·浙江·杭州市第十五中學(xué)八年級(jí)期中）若關(guān)于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A．2021 B．2020 C．2019 D．2018答案:A解析：分析：對(duì)于一元二次方程，設(shè)t=x-1得到at2+bt+3=0，利用at2+bt+3=0有一個(gè)根為t=2020得到x-1=2020，從而可判斷一元二次方程必有一根為x=2021．【詳解】解：對(duì)于一元二次方程，設(shè)t=x-1，所以at2+bt+3=0，而關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+3=0（a≠0）有一根為x=2020，所以at2+bt+3=0有一個(gè)根為t=2020，則x-1=2020，解得x=2021，所以一元二次方程必有一根為x=2021．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．10．(本題4分)(2023·浙江·杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）已知，是方程x2＋2022x＋1＝0的兩個(gè)根，則代數(shù)式（1＋2023＋2）（1＋2026＋2）的值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1答案:A解析：分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到αβ=1，通過(guò)根的定義得到α2+2022α+1=0，β2+2022β+1=0，即可得到1+2023α+α2=α，1+2026β+β2=4β，進(jìn)一步即可求出答案．【詳解】∵α，β是方程x2+2022x+1=0的兩個(gè)根，∴αβ=1，α2+2022α+1=0，β2+2022β+1=0，∴1+2023α+α2=α，1+2026β+β2=4β∴（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）=a?4β=4αβ=4×1=4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程根的定義，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是把所求代數(shù)式合理變形后再利用根與系數(shù)的關(guān)系解題．二、填空題(共20分)11．(本題5分)(2023·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)期末）用配方法將方程化成的形式：________．答案:解析：分析：配方法表示方程即可．【詳解】解：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的配方法．解題的關(guān)鍵在于識(shí)別方程的形式并正確的表示．12．(本題5分)(2023·四川新都·一模）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，若x1＋x2＝2m，則m的值是___．答案:2解析：分析：由二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且根的判別式大于0，求出m的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到＝2m，解分式方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：m≠0且Δ＝[﹣2（m＋2）]2﹣4m2＝16m＋16＞0，∴m＞﹣1且m≠0，∵關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，∴x1＋x2＝，∵x1＋x2＝2m，∴＝2m，∵m≠0，∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝2或﹣1是原分式方程的解，∵m＞﹣1，∴m＝2．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解分式方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．13．(本題5分)(2023·廣東·華南師大附中九年級(jí)階段練習(xí)）若直角三角形兩邊長(zhǎng)x，y滿足，則其第三條邊長(zhǎng)為______．答案:或解析：分析：先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x和y的值，然后分兩種情況求解即可．【詳解】解：∵，∴x2-x=0，y-2=0，解得x1=0（舍去），x2=1，y=2，設(shè)第三條邊為x，當(dāng)x為斜邊時(shí)，x=，當(dāng)2為斜邊時(shí)，x=，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2．14．(本題5分)(2023·廣東越秀·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝mx+2m﹣1的圖象為直線l，在下列結(jié)論中：①當(dāng)m＞0時(shí)，直線l一定經(jīng)過(guò)第一、第二、第三象限；②直線l一定經(jīng)過(guò)第三象限；③過(guò)點(diǎn)O作OH⊥l，垂足為H，則OH的最大值是；④若l與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，△AOB為等腰三角形，則m＝﹣1或，其中正確的結(jié)論是_____（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．答案:②③解析：分析：分別討論函數(shù)的和的正負(fù)，得出函數(shù)過(guò)第幾象限，可得出結(jié)論①錯(cuò)誤，結(jié)論②正確；由解析式可得一次函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，可得出當(dāng)點(diǎn)和定點(diǎn)重合時(shí)，最大，故③正確；分別求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)是等腰三角形可得出等式，并求出參數(shù)的值，得出結(jié)論④錯(cuò)誤．【詳解】解：當(dāng)，，即時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一，第二，第三象限；當(dāng)，即時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一，第三象限；當(dāng)，，即時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一，第三，第四象限；當(dāng)時(shí)，，直線經(jīng)過(guò)第二，第三，第四象限；故①錯(cuò)誤，②正確；一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)和定點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值；即③正確；若與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則，，，若為等腰三角形，則，，解得或，又當(dāng)時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)重合，故不成立，當(dāng)為等腰三角形，；故④錯(cuò)誤．故答案為：②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖象過(guò)象限問(wèn)題，等腰三角形存在性等問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是在計(jì)算時(shí)注意特殊情況即函數(shù)過(guò)原點(diǎn)時(shí)的情況需要排除．三、解答題(共90分)15．(本題8分)(2023·貴州畢節(jié)·九年級(jí)期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）2（x－1）2＝18；（2）x2－2x＝2x＋1答案:（1）或；（2）或.解析：分析：（1）根據(jù)題意利用直接開方法進(jìn)行一元二次方程的求解即可；（2）根據(jù)題意利用配方法進(jìn)行一元二次方程的求解即可.【詳解】解：（1）2（x－1）2＝18所以或，解得：或；（2）x2－2x＝2x＋1所以或，解得：或.【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握并適當(dāng)?shù)剡x擇一元二次方程求解的方法是解題的關(guān)鍵.16．(本題8分)(2023·山東即墨·九年級(jí)期中）解方程(1)配方法解方程2x2﹣12x﹣12＝0；(2)（x＋2）（x＋3）＝1答案:(1)x1＝3+，x2＝3﹣；(2)x1＝，x2＝解析：分析：（1）先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得；（2）利用公式法求解即可．(1)解：∵2x2﹣12x﹣12＝0，∴x2﹣6x﹣6＝0，∴x2﹣6x＝6，∴x2﹣6x+9＝6+9，即（x﹣3）2＝15，∴x﹣3＝±，∴x1＝3+，x2＝3﹣；(2)解：整理成一般式，得：x2+5x+5＝0，∴a＝1，b＝5，c＝5，∴Δ＝52﹣4×1×5＝5＞0，則x＝＝，∴x1＝，x2＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．17．(本題8分)(2023·山西·介休市第三中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）先閱讀材料，然后按照要求答題。閱讀材料：為了解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，，則原方程可化為：①解得：當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴原方程的解為：，解答問(wèn)題：（1）上述解題過(guò)程，在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用____________法達(dá)到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；（2）請(qǐng)利用以上知識(shí)解決問(wèn)題：若，求的值。答案:（1）換元；（2）4解析：分析：(1)根據(jù)題目的變形可以看出運(yùn)用了換元法和整體思想在解答這道題，故得出結(jié)論為換元法;(2)先設(shè)，原方程可以變?yōu)椋海俳庖坏狸P(guān)于y的方程求出y的值，即的值．【詳解】解：(1)根據(jù)題目的變形可以看出運(yùn)用了換元法和整體思想在解答這道題，故得出結(jié)論為換元法；(2)設(shè)，則原方程變形為：，整理，得，即，解得：（不合題意，舍去），即：【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解一元二次方程，解題關(guān)鍵在于整體換元的思想.18．(本題8分)(2023·江蘇豐縣·模擬預(yù)測(cè)）解方程(1)解方程：x2﹣2x﹣3＝0．(2)解不等式組，并寫出它的最大負(fù)整數(shù)解．答案:(1)(2)，最大負(fù)整數(shù)解為解析：分析：（1）根據(jù)因式分解的方法解一元二次方程即可；（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，進(jìn)而求得它的最大負(fù)整數(shù)解．(1)x2﹣2x﹣3＝0解得(2)解不等式①得：解不等式②得：不等式組的解集為它的最大負(fù)整數(shù)解為【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解一元一次不等式組，求不等式組的整數(shù)解，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．19．(本題10分)(2023·上海市建平中學(xué)西校八年級(jí)階段練習(xí)）我們知道：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x．①∵x2≥0，∴x2+1＞0；②∵（x﹣）2≥0，∴（x﹣）2+＞0．模仿上述方法解答：求證：（1）對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，均有2x2+4x+3＞0；（2）不論x為何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式3x2﹣5x﹣1的值總大于2x2﹣4x﹣7的值．答案:（1）見解析；（2）見解析解析：分析：（1）將代數(shù)式前兩項(xiàng)提取2，配方后根據(jù)完全平方式為非負(fù)數(shù)，得到代數(shù)式大于等于1，即對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，代數(shù)式2x2+4x+3的值總大于0，得證；（2）證明3x2-5x-1-（2x2-4x-7）>0即可.【詳解】證明：(1)∵2x2+4x+3=2(x2+2x)+3=2(x2+2x+1)+1=2(x+1)2+1?1>0.2x2+4x+3>0(2)∵3x2?5x?1?(2x2?4x?7)=3x2?5x?1?2x2+4x+7=x2?x+6=(x?)2+>0，∴多項(xiàng)式3x2?5x?1的值總大于2x2?4x?7的值.【點(diǎn)睛】本題考查偶次方的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握偶次方的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及配方法的應(yīng)用.20．(本題10分)(2023·北京·九年級(jí)期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“*”，其運(yùn)算法則為．如：．根據(jù)這個(gè)法則，(1)計(jì)算：________；(2)判斷是否為一元二次方程，并求解．(3)判斷方程的根是否為，，并說(shuō)明理由．答案:(1)(2)是一元二次方程，(3)不是，理由見解析解析：分析：（1）根據(jù)直接代入求值即可；（2）根據(jù)新定義，將方程化簡(jiǎn)，進(jìn)而解一元二次方程即可；（3）方法同（2）解一元二次方程，進(jìn)而判斷方程的根即可(1)故答案為：(2)是一元二次方程解得：(3)的根不是，，則，即【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，代數(shù)式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定義，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．21．(本題12分)(2023·河南·南陽(yáng)市第十三中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下面材料，解答后面的問(wèn)題：解方程：0．解：設(shè)y，則原方程化為：y0，方程兩邊同時(shí)乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，經(jīng)檢驗(yàn)：y＝±2都是方程y0的解，∴當(dāng)y＝2時(shí)，2，解得x＝﹣1；當(dāng)y＝﹣2時(shí)，2，解得：x．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，∴原分式方程的解為x＝﹣1或x．上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問(wèn)題：(1)若在方程中，設(shè)＝y(tǒng)，則原方程可化為，原方程的解為；(2)模仿上述換元法解方程：1＝0．答案:(1)，y，x或x＝﹣1(2)x解析：分析：（1）根據(jù)換元法設(shè)，可得關(guān)于y的分式方程，解分式方程，再解分式方程即可得原方程的解；（2）根據(jù)分式的加減，可得：0，根據(jù)換元法，可得答案．(1)解：設(shè)y，則原方程化為：y，方程兩邊同時(shí)乘以2y得：2y2﹣5y+2＝0，解得：y或2，經(jīng)檢驗(yàn)：y和2都是方程y的解．當(dāng)y時(shí)，，解得x＝2；當(dāng)y＝2時(shí)，2，解得：x＝﹣1．經(jīng)檢驗(yàn)：x和x＝﹣1是原分式方程的解，故答案為:，y，x或x＝﹣1(2)解：原方程化為：0，設(shè)y，則原方程化為：y0，方程兩邊同時(shí)乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，經(jīng)檢驗(yàn)：y＝±1都是方程y0的解．當(dāng)y＝1時(shí)，1，該方程無(wú)解；當(dāng)y＝﹣1時(shí)，1，解得：x．經(jīng)檢驗(yàn)：x是原分式方程的解，∴原分式方程的解為x．【點(diǎn)睛】本題考查了用換元法解一類特殊的分式方程，關(guān)鍵是根據(jù)方程特點(diǎn)正確換元，注意兩次解分式方程都要檢驗(yàn)．22．(本題12分)(2023·浙江·杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）設(shè)m是不小于﹣1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．(1)若，求m的值；(2)令T＝＋，求T的取值范圍．答案:(1)1(2)0<T≤4且T≠2解析：分析：首先根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根及m是不小于-1的實(shí)數(shù)，確定m的取值范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，用含m的代數(shù)式表示出兩根的和、兩根的積．（1）變形x12+x22為（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的兩根的和、兩根的積得方程，解方程根據(jù)m的取值范圍得到m的值；（2）化簡(jiǎn)T，用含m的式子表示出T，根據(jù)m的取值范圍，得到T的取值范圍．(1)∵關(guān)于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于-1的實(shí)數(shù)，∴-1≤m≤1，∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，