打卡第八天-沖刺2023年高考數(shù)學考前必刷題限時集訓練（新高考通用）解析版

【10天刷完高考真題】沖刺2023年高考數(shù)學考前必刷題限時集訓練（新高考通

用）

新高考真題限時訓練打卡第7（天

n真題限時訓練

一、單選題

1.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）若集合M={x|?<4},N={x\3x>\},則McN=（）

A.{x|04x<2}B.[xgwxvz]C.1x[3<x<161D.j%^<x<16|

【答案】D

【分析】求出集合后可求"cN.

【詳解】M={x|0<x<16},^={x|x>|},故McN=1x、4x<16},

故選：D

2.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）在「ABC中，點。在邊AB上，BD=2DA.記C4=w,CD=〃，

則CB=（）

A.3tn-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【分析】根據幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出.

【詳解】因為點D在邊AB上，BD=2DA,所以8O=2D4,即CO-CB=2（C4-C￡>）,

所以CB=3C￡>-2cA=3”-2m=-2〃?+3〃.

故選：B.

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互

質的概率為（）

A.-B.-C.\D.|

6323

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式結合組合、列舉法即可得解.

【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種，

故所求概率P=U21-7=二2

故選：D.

4.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)若5皿0+4)+35(。+4)=2亞85卜+(卜“，則()

A.tan(cr-y0)=lB.tan(a+0=l

C.tan(a-/?)=-1D.tan(a+/?)=-1

【答案】C

【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結合同角三角函數(shù)的商數(shù)關系即可得解.

【詳解】［方法一］:直接法

由已知得：sinacosp+cosasin/3+cosacos/y-sinasin/?=2(cosa-sina)sin/?,

即：sinacos/3-cosasin/?+cosacos/?+sinasin0=0,

即：$畝((2_,)+85(。_/?)=0所以100(0-尸)=_1

故選：C

［方法二］:特殊值排除法

解法一:設P=0貝!1$ina+cosa=0,取a=/,排除A,B；

再取a=0則§in0+co§6=2sinp,取p=?,排除D；選C.

［方法三］:三角恒等變換

sin(a+夕)+cos(cr+1)=忘sin(a+夕+工)=^2sin［(?+—)+/?］

44

=V2sin((2+—)cos/?+V2cos(a+—)sin0=25/2cos(tz+—)sinp

444

所以J^sin(a+C)cos〃=0cos(a+M)sin/?

44

77TTTT

sin(a+—)cosB-cos(a+—)sin￡=0即sin(a+*——/7)=0

444

sin(a-y?+—)=sin(a-77)cos—+cos(a-^sin—=^-sin(?-/7)+^^cos(c?->9)=0

sin(a-P)--cos(a-/?)即tan(a-6)=-l,

故選：C.

5.(2022.全國?統(tǒng)考高考真題)已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3君和4月,

其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()

A.1007TB.128兀C.144兀D.1927t

【答案】A

【分析腺據題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑4,4，再根據球心距,圓面半徑,

以及球的半徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑4,4,所以24==亙,24=4-，即

sin60sin60

=3出=4,設球心到上下底面的距離分別為4,4,球的半徑為R,所以9,

4=收一16,故|4一4|=1或4+4=1，即|?7萬-血2叫=1或病與+而二^=1，

解得R2=25符合題意，所以球的表面積為S=4或2=l(x)7r.

故選：A.

6.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/*)的定義域為R,且

22

f(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(l)=1,則￡〃%)=()

k=\

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】法一：根據題意賦值即可知函數(shù)f(x)的一個周期為6,求出函數(shù)一個周期中的

/(1)，/(2),J(6)的值，即可解出.

【詳解】［方法一］：賦值加性質

因為〃x+y)+/(x—y)=〃x)/(y),令x=i，y=o可得，2〃1)=〃1)〃0),所以"0)=2,

令x=0可得，〃y)+/(-y)=2/(y),即/&)=/(-y),所以函數(shù)“X)為偶函數(shù)，令y=l得,

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=〃x+l),從而可知

/(x+2)=-/(x-l),/(x-l)=-/(x-4),故/(x+2)=/(x-4),即/(x)=/(x+6),

所以函數(shù)/(X)的一個周期為6.因為“2)=〃1)一/(0)=1-2=-1,

/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,

/(6)=/(0)=2,所以

一個周期內的/⑴+〃2)++/(6)=0,由于22除以6余4,

所以￡〃4)=〃1)+/(2)+/(3)+〃4)=1一1一2-1=-3.故選：A.

k=l

［方法二］:【最優(yōu)解】構造特殊函數(shù)

由〃x+y)+/a-y)=〃x)/(y),聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式

cos(x-I-y)+cos(%->')=2coaxcosy,可設/(x)=acosa￥,則由方法一中〃0)=2J⑴=1知

a=2,acoso=l,解得COSG=；,取G=。，

所以“X)=2C0SyX,則

生+豹+2c°s兀7V\.冗冗

/(x+y)+/(x-y)=2cos-X-—y=4cos—xcos=所以

33)3

7_2-_￡

/(x)=2cos?x符合條件，因此/")的周期,一方一°,/(0)=2,/(1)=1,且

33

〃2)=TJ⑶=—2J(4)=TJ⑸=1,〃6)=2,所以

/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以￡〃4)=〃1)+/(2)+〃3)+〃4)=1_1_2_1=-3.故選：A.

*=|

【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；

法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函

數(shù)的性質解題，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.

二、多選題

7.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知。為坐標原點，過拋物線。：丁=22犬5>0)焦點尸的直

線與C交于A,B兩點，其中4在第一象限，點加5,0),若|A用貝IJ()

A.直線A8的斜率為2#B.1=1OFI

C.\AB\>4\OF\D.ZOAM+ZOBM<180°

【答案】ACD

【分析】由|AE|=|AW|及拋物線方程求得&與,字)，再由斜率公式即可判斷A選項；表

示出直線他的方程，聯(lián)立拋物線求得以?-岸），即可求出|。目判斷B選項；由拋物線

的定義求出|4用=^^即可判斷C選項；由。4。8<0，歷求得/A08,ZAMB為

鈍角即可判斷D選項.

【詳解】對于A,易得F（當,0）,由|A目=|AM|可得點A在尸例的垂直平分線上，則A點橫

坐標為2個/=3。,

2~4

代入拋物線可得y2=2p，￥=gp2,則4學,字），則直線A8的斜率為#/=2#,

4~2

A正確；

對于B,由斜率為L可得直線AB的方程為1后y+gP,聯(lián)立拋物線方程得

"-爰py-"=0，

設8（內,必），貝1］逝p+y=2^p,則乂=一也，代入拋物線得

對于C,由拋物線定義知：|AB|=￥+g+p=^>2p=4|。日，C正確；

對于D,。小。8=（子,孚）.（5—號）=*（+44.44—乎<0,則,AOB為

I4JJIJ/IJ/41

鈍角，

又M4-MB=(-K,一"'<0,貝！IZAAffi

46

為鈍角，

又NAOB+ZAMB+ZOAM+NOBM=360，則ZOAM+NOBM<180,D正確.

故選：ACD.

8.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）若x,y滿足V+y2-冷=1,則（）

A.x+y41B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【分析】根據基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假.

【詳解】因為"4（一卷I（a,blR）,由V+y2-孫=i可變形為,

\2

2

(x+y)-l=3xy<3\受，^-2<x+y<29當且僅當x=y=T時，x+y=-2,當且

僅當x=y=l時，x+y=2,所以A錯誤，B正確;

22

由》2+9-肛=1可變形為卜2+/）_1=孫4：^^2_,解得/+;/42,當且僅當x=y=±l

時取等號，所以C正確;

因為f+y2f=1變形可得卜一夕+白曰，設x-1=cos6，￥y=sine,

所以

12

x=cos0+-^sin0,y=-^=sin0,因此

o5->2111

x20+y0=cos2夕+―sirr0+—7=sin0cos0=1+—7=sin20——cos20+-

3百百33

=g+|sin（2e-^）eI，2,所以當》=￥?=一日時滿足等式，但是―+丁卻不成立,

所以D錯誤.

故選：BC.

三、填空題

9.（2022.全國?統(tǒng)考高考真題）寫出與圓x2+y2=［和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直

線的方程.

35725

【答案】y=~x+-^y=—x--^x^-l

【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.

【詳解】［方法一］:

顯然直線的斜率不為0,不妨設直線方程為x+by+c=0,

|3+4%+<|

于工e是亦=11

\l\+b2

故/=［+層①，|3+45+，|=|4<?|.于是3+4/?+，=4?；?+劭+，=4，，

,24.4

缶=0b=~~i

再結合①解得，或二或<,

c=1255

c=---c=——

I7I3

所以直線方程有三條，分別為X+l=0,7x-24>-_25=0,3x+4y-5=0.

(填一條即可)

［方法二］:

設圓V+y?=1的圓心。(0,0),半徑為4=1,

圓(x-3y+(y-4)2=16的圓心C(3,4),半徑==4,則|OC|=5=q+“，因此兩圓外切,

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然x+l=0符合題意；

又由方程(x-3)2+(y-4)2=16和工2+丁=1相減可得方程力+—―5=0,

即為過兩圓公共切點的切線方程，

又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為4x-3y=0,

4

直線OC與直線x+1=0的交點為(-1,--),

設過該點的直線為)，+：=k(x+l),則上寸=］,解得k=1,

24

從而該切線的方程為7x-24)，-25=0.(填一條即可)

［方法三］:

圓Y+y=l的圓心為。(0,0),半徑為1,圓。-3)2+()，-4)2=16的圓心。1為(3,4),半徑

為4,

兩圓圓心距為巧不=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切,

如圖，

=1535

O至打的距離d=-L,,解得r=,所以1的方程為￥=-9+，

，"花3444

當切線為m時，設直線方程為丘+y+P=0,其中P>0,k<0,

k”

24725

由題意，,解得y=X

伙+4+p|25'^-^

-----1…———

當切線為n時，易知切線方程為X二-1,故答案為：丁=-：3工+51或)，=7￡工-舍25或戶-1.

442424

10.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(%)=--1|,斗<0戶2>0,函數(shù)/(X)的圖象在點

AH，"*))和點35,/(々))的兩條切線互相垂直,且分別交y軸于M，N兩點，則舒

取值范圍是.

【答案】(0,1)

【分析】結合導數(shù)的幾何意義可得為+々=0,結合直線方程及兩點間距離公式可得

\AM\=^l+e2x'.|x,|,忸N|=57苫-同,化簡即可得解.

/、II1—<0./、

【詳解】由題意，f(x)=H-l|=e-ix>0，貝

2x,

所以點A(X1,1-e")和點￡?(X2,^-1),kAM=-e,kBN=,

所以-e*，?e*2=-l,X]+x2=0,

所以AM:y-\+ex'=-e"(工-芯),例(0,e“玉-e"+1),

所以|=Jx：=J1+/N.國,

同理忸N卜J1+/*Ml，

\AM\_\J\+e2x'-IxJ_/l+e2j|11+e2x'

所以兩=詔+e翥.?|=']+=\[+e-2w=e”e(0,l).

故答案為:（0,1）

【點睛】關鍵點點睛：

解決本題的關鍵是利用導數(shù)的幾何意義轉化條件%+w=0,消去一個變量后，運算即可得

解.

四、解答題

11.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）在：ABC中，角A、8、C所對的邊長分別為。、b、c"=q+l,

c=a+2..

（1）若2sinC=3sinA,求，45C的面積；

（2）是否存在正整數(shù)〃，使得。"C為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，說明

理由.

【答案】（1）巫；（2）存在，且a=2.

4

【分析】（1）由正弦定理可得出2c=3a,結合已知條件求出”的值，進一步可求得匕、c的

值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關系求出sin6,再利用三角形的面積公式可求

得結果；

（2）分析可知，角C為鈍角，由cosC<0結合三角形三邊關系可求得整數(shù)。的值.

【詳解】（1）因為2sinC=3sinA,貝！12c=2（a+2）=3a,貝1］。=4,故6=5,c=6,

cosC==：=1,所以，。為銳角，則如。=4一右。=里,

2ab88

1X1.Lbc1..14c3幣15y/1

因此,S.?=—aosinC=—x4x5x-----=-------;

Ar2284

（2）顯然c>A>a,若.他C為鈍角三角形，則C為鈍角，

2222

■+.r歸八o+b—co~+(<1+1)—(a+2)a—2a—3A

由余弦定理可得cosC=———=——一-=丁7~~b<0，

2ab'2ca(/a+3l)2a(a+1)

解得一則Ovav3,

由三角形三邊關系可得Q+Q+1>。+2,可得a>l,6/GZ,故。=2.

⑵（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C的方程為:+與=1（。>6>0）,右焦點為尸（立0）,

a~bL

且離心率為好.

3

（1）求橢圓C的方程；

（2）設M,N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線/+〉2=/（》>0）相切.證明：M,N,

產三點共線的充要條件是I"N|=6.

【答案】（1）y+/=l;（2）證明見解析.

【分析】（1）由離心率公式可得“=6,進而可得從，即可得解；

（2）必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證

|MN|=5

充分性：設直線MN:y=依+"（協(xié)<0）,由直線與圓相切得〃=/+1,聯(lián)立直線與橢圓方

程結合弦長公式可得ViTT7.叵￡=6，進而可得幺=±1,即可得解.

1+3公

【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距c=&且e=￡=邁，所以“=后，

a3

又〃=。2一,2=1,所以橢圓方程為二+>2=1；

3

（2）由（1）得,曲線為f+y2=l（x>0）,

當直線MN的斜率不存在時，直線MV:x=l,不合題意；

當直線MN的斜率存在時，設”（4》）1（%2，%），

必要性：

若M,N,F三點共線，可設直線MN:y=A（x-&）即fcv-y-揚:=0,

由直線MN與曲線f+y2=l（x>0）相切可得^^=1,解得*=±1,

y=±卜_近）

3叵3

聯(lián)立%2,可得4x?-6也》+3=0，所以％+工2=

—+V2=1

.3

2

所以|=V17T-7（^1+X2）-4XI-X2=73,

所以必要性成立;

充分性：^^MN:y=kx+b,(kb<0)^kx-y+h=O,

由直線用N與曲線/+產=?>0)相切可得71=1,所以從=產+1,

yjk2+l

y=kx+b

聯(lián)立尤22可得(1+3&2)/+6處x+3Z/-3=O,

T+y

6kb3fe2-3

所以由+x=-

21+3公-1+3公

26kb\3Z?2-3

所以=A/1+公?^(xj+x2)-4Xj-x2=Jl+公A

1+3公

=7i7二也竺=K，化簡得3件一1)2=0,所以"±1,

1+3k

所以Z-夜或夜’所以直線MN:y=x-&或y=-*+應'

所以直線MN過點尸(四,0),M,N,F三點共線，充分性成立；

所以M,N,F三點共線的充要條件是|MN|=石.

【點睛】關鍵點點睛：

解決本題的關鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達定理的應用，注意運算的準確性是解題

的重中之重.

13.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)="-or和g(x)=ox-lnx有相同的最小值.

⑴求。；

(2)證明：存在直線y=b,其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從

左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

【答案】⑴。=1

(2)見解析

【分析】(D根據導數(shù)可得函數(shù)的單調性，從而可得相應的最小值，根據最小值相等可求

a.注意分類討論.

(2)根據(1)可得當6>1時，e,-x=6的解的個數(shù)、x-lnx=8的解的個數(shù)均為2,構建

新函數(shù)〃(x)=e*+Inx-2x,利用導數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得/(x),g(x)的大小關

系，根據存在直線y=b與曲線y=/(x)、y=g(x)有三個不同的交點可得匕的取值，再根

據兩類方程的根的關系可證明三根成等差數(shù)列.

【詳解】(1),。)=/-6的定義域為/?,而/'(x)=e-a,

若a40,貝!J/'(x)>0,此時/(x)無最小值，故a>0.

80)=0￥-111》的定義域為(0,+8),而.(》)=4-1=竺二1

XX

當x<In4時，f'(x)<0,故/*)在(-00,Ina)上為減函數(shù)，

當x>lna時，f'(x)>0,故/(x)在(Ina,+oo)上為增函數(shù)，

故/d=/0n。)=。一。Ina.

當0<x<：時，g'(x)<0,故g(x)在(0,：)上為減函數(shù)，

當時，g，(X)>0,故g(X)在(L+8]上為增函數(shù)，故g(X)mm=g0]=1-1/.

a)\a)a

因為/(x)=e、-ar和g(x)=ax-lnx有相同的最小值，

故一alna,整理得到^~-=\naf其中“〉()，

a1+a

設g(a)=^~^-ln“,a>0,則g?)”？干-77-0,

'1+a(1+a)aa^\+a)

故g(a)為(0,+向上的減函數(shù)，而g⑴=0,

故g(a)=0的唯一解為a=l,故目=lna的解為“=1.綜上，a=l.

1+4

(2)［方法一］:

由⑴可得f(x)=e*-x和g(x)=x-lnx的最小值為l-lnl=l-ln；=l.

當b>l時，考慮e*-x=b的解的個數(shù)、x-lnx=/?的解的個數(shù).

設S(x)=e'-x-6,5,(x)=ev-l,

當x<0時，S,(x)<0,當x>0時，S,(x)>0,

故S(x)在(-。0)上為減函數(shù)，在(0,也)上為增函數(shù)，

所以5(力由“=5(。)=1—。<0，

而5(詢=『>0,S(b)=eb-2h,

設〃(6)=e'-%,其中b>l,則〃(6)=筋一2>0,

故"伍)在(1,+?)上為增函數(shù)，故"(6)>Ml)=e-2>0,

故S0)>O,故S(x)=e'-x-力有兩個不同的零點，即e，-x=8的解的個數(shù)為2.

設T(x)=x-lnx-6,7',(x)=---,

當0<x<l時，r(x)<o,當x>l時，r(x)>o,

故T(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在。,內)上為增函數(shù)，

所以T(xU“=T(l)=l-b<0,而T(e")=e-">0,T(e")=e〃一如>0,

T(x)=x-lnx-。有兩個不同的零點即x-lnx=6的解的個數(shù)為2.

當6=1,由(1)討論可得x-lnx=6e'-x=b僅有一個解，

當6<1時，由(1)討論可得x-lnx=b、e'-x=6均無根，

故若存在直線y=%與曲線y=〃x)、y=g(x)有三個不同的交點，貝！Jb>l.

設〃(x)=e*+lnx-2x,其中x>0,故/?'(x)=e*+!-2,

X

設s(x)=e，-%-1,x>0,貝!js'(x)=e，-l>0,

故s(x)在(0,+。)上為增函數(shù)，故s(x)〉s(O)=O即e">x+l,

所以〃'(x)>x+J-122-l>0,所以刀(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

1-L99

e，

而/XD=e-2>0,/z(—)=e-3---<e-3--?<0,

eee

故〃(x)工(0,+司上有且只有一個零點/,5<%<1且：

當0<x</時，/i(x)<0gPex-x<x-lnx即<g(x),

x

當x>Xo時，ft(x)>0BPe-x>x-lnxBP/(x)>g(x),

因此若存在直線y=b與曲線y=/(x)、y=g(x)有三個不同的交點，故》="x°)=g(x°)>l,

此時e*-x=人有兩個不同的根X|,x<)(X］<。</)，

此時x-lnx=b有兩個不同的根與―(0</<1<匕)，

故e"f=b,-x()=b,x4-lnx4-Z?=0,xo-lnxo-Z?=O

X4b

所以七一人=后工4即e'i=s即e~-(x4-b)-b=0,

故2一》為方程e、一x=〃的解，同理與一。也為方程e“一九=。的解

又e"—再=/?可化為e*=x+b即玉_姑(玉+Z?)=0即(玉+Z?)—1(玉+b)-b=0,

故X+6為方程x-lnx=Z?的解，同理％+〃也為方程x-lnx=b的解，

,、,、fx—xA-b

所以｛玉,為｝=｛%-6,毛-耳，而匕>1,故(nh即用+匕=2與.

lXl=XQ-h

［方法二］:

由(1)知，f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,

且/(x)在(F,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增；

g(x)在(0,1)上單調遞減，在(L-)上單調遞增，且/(x).=g(x),向=1.

①/<1時,此時〃*)麗=g(x)1rtll=1>6,顯然y=6與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)

共有0個交點，不符合題意；

②匕=1時，此時f(.*■)?,(?=g(x)min=1=b，

故曠=人與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有2個交點，交點的橫坐標分別為0和1；

③6>1時，首先，證明y=6與曲線>=/(》)有2個交點，

即證明尸(x)=/(x)-6有2個零點，F(xiàn)\x)=f'(x)=ex-\,

所以廣(X)在(-8,0)上單調遞減，在(0,m)上單調遞增，

又因為尸(-b)=e">0,尸(0)=1-6<0,F(b)=eb-2b>0,

(令"b)=e"-2b,則《b)=e"-2>0,/0)>/(l)=e-2>O)

所以/(x)=/(x)-人在(7,0)上存在且只存在1個零點，設為毛，在(0,+8)上存在且只存在

1個零點，設為馬.其次，證明y=b與曲線和y=g(x)有2個交點，

即證明G(X)=g(x)-8有2個零點，G'(x)=g'(x)=1-1,

X

所以G(x)Ol)上單調遞減，在(1,位)上單調遞增，

又因為G(e-")=e-">0,G⑴=1一6<0,G(2b)=b-\n2b>0,

(令〃b()=b-ln?,則“(b)=l-->0,>//(I)=1-In2>0)

b

所以G(x)=g(x)-〃在(0,1)上存在且只存在1個零點，設為馬，在(1,物)上存在且只存在1

個零點，設為七.再次，證明存在b,使得與=%：

因為f(x2)=G(xi)=0,所以6=爐，_鼻=工3_ln&,

若x2=X3,貝!=*2-皿石，BPex：-2JC,+Inx,=0,所以只需證明e*-2x+lnx=0在(0,1)上

有解即可，

即。(x)=e*-2x+lnx在(0,1)上有零點，因為夕(二)=「-4'-3<0,奴l)=e-2>(),

ee

所以0(x)=e'-2x+lnx在(0,1)上存在零點，取一零點為%,令天=再=%即可，

此時取b=*-X。則此時存在直線y=b,其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的

交點，

最后證明玉+玉=2x。，即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列，

因為尸(與)=尸(%)=尸(%)=0=G(x,)=G(x0)=G(X4)

所以尸(士)=G(%)=尸(Inx°),

又因為F(x)在(-8,0)上單調遞減，占<0,0<x0<1gpInx?<0,所以X|=ln*“

同理，因為F(%)=G(*)=G(XJ,

又因為G(x)在(1,內)上單調遞增，%>0即e%>l,%>1,所以j=e'。，

又因為e&-2%+lnx。=0,所以再+%=e-+lnx0=2x0,

即直線y=6與兩條曲線V=/(X)和y=g(x)從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

【點睛】思路點睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，此時注意對

參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關系.

III精選模擬題預測

一、單選題

1.（2023秋?山西朔州?高三懷仁市第一中學校校考期末）己知集合4=卜苗-》-2<0},

B={x|k）g2xWl}則4B=（）

A.{x|0<x<2|B.{x|0<x<2}

C.{x|-l<x<21D.{x|-l<x<2}

【答案】B

【分析】先求出集合A,再結合交集的定義求解即可.

【詳解】由4=卜,2_》_2<0}=卜卜

B=（x|log2x<1}=1x|O<x<2},貝ljAQB={x|0<x<2}.

故選：B.

2.（2023春?湖北?高三校聯(lián)考階段練習）在正四面體A8CD中，M,N分別為AC,AO的中點，

則異面直線3M,CN所成角的余弦值為（）

A.-B.—C.—D.一

3456

【答案】D

【分析】方法一：取AN中點E,連接利用余弦定理求8E,再利用余弦定理可得

求cos/BWE,可求結果；

方法二：以{CA,CB,C￡>}為基底，利用向量法求cos8M,CN,可求結果.

【詳解】法一：取AN中點E,連接則ME//CN,

所以N3ME或其補角就是異面直線8M,CN所成的角.

D

貝!J設A8=4，BM=CN=2"ME=C,BE=16+AE2-245?K氏os60=屈，

ME?+BM?-BE?3+12-13_1

cosZBME=

2MEMB2xy/3x2y/3~6

故選：D.

法二：不妨設正四面體ABC。的棱長為2,以｛C4,C8,C。｝為基底，則

BM^CM-CB=^CA-CB,CN=^CA+CD

貝!]BM.CN=g(gcA；!+Tc4.C￡>-C8.CA-CB.C￡))=gx(jx22-|x22xcos60]=-g，

又打/昨|用=6,所以85（8加（冷=氤局=弓，所以8河,。7所成角的余弦值為3.

故選：D.

3.（2023秋.福建龍巖.高二統(tǒng)考期末）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某校計劃在社會實踐

中開設“禮”、“樂”、“射”、"御”、"書"、"數(shù)''六門體驗課程，每天開設一門，連續(xù)開設6天，

則（）

A.從六門課程中選兩門的不同選法共有30種

B.課程“書”不排在第三天的不同排法共有720種

C.課程“禮”、“數(shù)”排在不相鄰兩天的不同排法共有288種

D.課程“樂”、“射”、“御”排在不都相鄰的三天的不同排法共有576種

【答案】D

【分析】根據給定條件利用排列、組合知識，逐項分析計算判斷作答.

【詳解】對于A,從六門課程中選兩門的不同選法有C：=15（種），A選項不正確；

對于B,除第三天外的5天中任取1天排“書”，再排其他五門體驗課程共有5A；=600（種），

B選項不正確；

對于C,“禮”“數(shù)”排在不相鄰兩天，先排其余四門課程，再用插空法排入“禮”“數(shù)”

則不同排法共有禺用=480（種），C選項不正確；

對于D,六門課程的全排列有A：=720（種），“樂”、“射”、“御”排在都相鄰的三天的不同排

法有A；A：=144(種)，貝心樂”、“射”、“御”排在不都相鄰的三天的不同排法共有720-144=576

(種)，D選項正確.

故選：D

4.(2023?湖南湘潭?統(tǒng)考二模)已知

7T

0<cr<〃<5，cos2a+cos2/+l=2cos(a-/)+cos(a+/7),貝lj()

C兀rC兀

A.?+/?=—B.a+/3-—

C./3-a=^D.=y

【答案】D

【分析】直接利用三角函數(shù)恒等變換進行湊角化簡，再根據。，夕的范圍即可求出結果.

【詳解】由已知可將2a=(a+￡)+(a_/?),2p=(a+0)_(a_/3),

貝！]cos[(a+/?)+(0—/7)]+cos[(a+/?)-(?-/?)]+1=2cos(a-/7)+cos(a+0),

2cos(a+/?)cos(a-/7)-2cos(a-/?)-cos(a+/?)+l=0,

[cos(or+y?)-l][2cos(a-/?)-l]=0,即cos(a+4)=1或cos(a一夕)二g.

7T7F

又0<a<y7<5，所以0<a+y?<兀,—5<a—y?<0,

所以cos(a+0wl,所以選項A,B錯誤，

IITTT

即cos(a-/7)=i，則a-/7=-§,所以￡-a=§.則C錯，D對，

故選：D

5.(2023?全國?高一專題練習)在古希臘數(shù)學家歐幾里得的著作《幾何原本》中，把軸截面

為等腰直角三角形的圓錐稱為直角圓錐.在直角圓錐S。中，點S與底面圓。都在同一個球面

上，若球的表面積為16兀，則圓錐的側面積為()

A.4五itB.2岳C.4兀D.27c

【答案】A

【分析】由直徑所對的圓周角為直角，可得圓錐底面半徑為球的半徑，利用球的表面積即

可求解.

【詳解】圓錐的軸截面為等腰直角三角形AS8,如圖所示：

s

在直角圓錐SO中，點S與底面圓0都在同一個球面上，由ZAS8=90,所以AB為球的直

徑，

若球的表面積為16兀，由4兀&=16兀，球的半徑R=2,

則圓錐底面半徑r=2,圓錐母線長/=2近，

所以圓錐的側面積為S=nrl=4&兀.

故選：A

6.(2023秋?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,f(x+l)為奇函數(shù)，

/。+2)為偶函數(shù).記函數(shù)8(》)=2/(2》+1)+1,則＞圖=()

A.25B.27C.29D.31

【答案】D

【分析】由已知條件得函數(shù)/(x)的圖象點(L0)對稱也關于直線x=2對稱，由此求得其是周

期函數(shù)，周期是4,由中心對稱得/(2)+由4)=0,然后求得.f(2)+,f(3)+f(4)+.f(5)=0,

代入計算可得.

【詳解】/(X+D為奇函數(shù)，〃x+D是由向左平移1個單位得到，

則，(x)的圖象關于點(1,0)對稱，所以/(2-*)=-/(為，/⑴=0,

/(x+2)為偶函數(shù)，〃x+2)是由，⑺向左平移2個單位得到，

則，(x)的圖象關于直線x=2對稱，所以/(2-x)=/(2+x),則/(3)=0,

所以f(x+2)=-/(x),從而f(x+4)=-/U+2)=/(x),

/(x)是周期函數(shù)，且周期為4,所以左-1)=0,%eZ,

因為/(A)的圖象關于直線》=2對稱，也關于點(1,0)對稱，

所以/“)的圖象關于點30)對稱，所以/(2)+/(4)=0,

所以〃2)+/⑶+/(4)+八5)=0,

31

所以Z/e+D=7[/(2)+八3)+/(4)+/(5)]+[/(2)+/(3)+/(4)]=0

k=T

因為g(§=2f(k+l)+l,keZ,

31(卜、J*

所以=2￡/(k+l)+31=31,

k=l12，k=\

故選：D.

二、多選題

7.(2023?安徽宿州?統(tǒng)考一模)已知平面向量。=(-2,1),6=(4,2),c=(2,r),則下列說法

正確的是()

A.若￡//",則/=一1B.若i)_Lc，則f=-4

C.若t=l,則向量〃在C上的投影向量為]CD.若則向量b與C的夾角為銳角

【答案】AB

【分析】根據向量線性運算即數(shù)量積公式可得AB正確；根據投影向量定義可得向量〃在c

上的投影向量為即C錯誤；由〉T可得b.c>0,但此時向量6與c的夾角可以為零

角并非銳角，可得D錯誤.

【詳解】若〃〃3根據平面向量共線性質可得?=2,即f=-l,所以A正確；

1t

若Z?J_c，可得匕?(?=()，即4x2+2f=0,解得r=T,所以B正確；

a?c~■4+13

若y1,c=(2,l),由投影向量定義可知向量〃在c上的投影向量為卜「=海產。=-不，

即C錯誤；

若C-4,則b.c=4x2+2f>0,所以c°s僅9=南

但當f=l時，cos9，c)=l,,,c)=0,即此時向量/，與c的夾角為零角，所以D錯誤.

故選：AB

8.(2023秋?四川眉山?高一?？计谀?已知。，瓦ceR,則下列推理正確的是()

">0]11

A.a>b^ac1>bc1B.(=>~<T

a>b7Jab

a>人>0]bb+ca>b]

C.〉—一<----D.>^>ac>hd

c>0Jaa+cc>d]

【答案】BC

【分析】根據不等式的基本性質證明BC成立，取特殊值說明AD錯誤.

【詳解】對于A:當c=0時,=b<?,A選項錯誤；

對于B:時，46>0,」~>0貝!!!<4，15選項正確；

ab

hh+cb(a+c]-a(b-^-c}c(b-a\

對于C:a>b>0,c>0,則-------=—―/一~\~