河南省商丘名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期中聯(lián)考試卷 數(shù)學(xué)

2022-2023學(xué)年上期期中聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)試題

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的）

1.若直線/的方向向量a=（—2,6）,則直線/的斜率是（）

11

A.-B.——C.3D.—3

33

V22

2.橢圓土+”的離心率是，

9

B石5

D.-

39

3.若曲線。：/+/+2奴—4紗—10a=0表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

A.(-2,0)B.(-oo,-2)j(0,+co)

C.[-2,0]D.(-oo,-2]l[0,+oo)

4.如圖，在平行六面體ABC?！狝gGA中，AB+AD-CC1=()

A.AC,B.4CC.D[BD.DB]

5.已知A（—2,0）,5（4,。）兩點(diǎn)到直線/:3%—4丁+1=0的距離相等，貝Ua=（）

99

A.2B-C.2或一8D.2或一

22

6.設(shè)加為實(shí)數(shù)，若直線y=x+m與圓x2+y2-4x-6y+8=0相交于Af,N兩點(diǎn)，＞|ACV|=2#）,則m=

（）

A.3B.-lC.3或一1D.—3或1

7.直三棱柱ABC—4用C中，AA5C為等邊三角形，A^^AB,〃是4G的中點(diǎn)，則人"與平面5。6與

所成角的正弦值為（）

7口V15n而

A.—D.-----------L).--------

101010

8.“直線x+ay—1=0與直線融—y+l=0相互垂直”是“。=1”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.已知直線/過(guò)定點(diǎn)4（2,3,1）,且方向向量為s=（0,1,1）,則點(diǎn)P（4,3,2）到/的距離為（）

A逑

「回

D.---------c.------D.V2

222

22

10.已知片，工是橢圓―7+yy=a〉6〉0）的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)&的直線與橢圓交于A,8兩點(diǎn)，若

ab

|淚:|蜴:防=3:4:5,則該橢圓的離心率為（）

A且CA/3-1A/2

B.2-73D.—

222

11.過(guò)圓。：％2+、2=1內(nèi)一點(diǎn)作直線交圓。于A,8兩點(diǎn),過(guò)A,8分別作圓的切線交于點(diǎn)P,則

點(diǎn)尸的坐標(biāo)滿足方程（）

A.x+2y—4=0B.x—2y+4=0

C.x—2y—4=0D.x+2y+4=0

12.如圖，四棱雉尸—A5CD中，底面ABCD為平行四邊形，且區(qū)4=3。=夜，PA=PD=6AD=2,

若二面角P—AD—5為60。，則AP與平面PBC所成角的正弦值為（）

A君B小CD后

2552

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.設(shè)直線如—y+l=0與圓（x+2）2+/=9相交于A,B兩點(diǎn)，且圓上存在一點(diǎn)M使得他4,MB,則實(shí)

數(shù)機(jī)的值為.

14.若A（5,—1）,5（1,1）,C（2,3）,則△ABC的外接圓面積為.

22

15.已知點(diǎn)4（4,0）,3（2,2）,M是橢圓去+]=1上的動(dòng)點(diǎn)，則+最大值是.

16.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推理論證，思

維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.平面直角坐標(biāo)系中，曲線。：/+丁2=忖+例就是一條

形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，若尸是曲線C上任意一點(diǎn)，則帆+/―4|的最小值是.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.（本題滿分10分）

已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1,0）.

（1）若直線/與直線4x—3y=0垂直，求直線/的方程；

（2）若：C的方程是一+/一6%—8y+21=0,直線/與rC相切，求直線/的方程.

18.（本題滿分12分）

如圖，在四棱雉尸—ABCD中，尸51.底面ABCD,底面ABCD為梯形，AD//BC,ADYAB,且

尸5=AB=AD=3,BC=1.

p

（1）若點(diǎn)尸為PD上一點(diǎn)，且PF」PD,證明：CF〃平面7^45；

3

（2）求直線與平面5年所成角的正弦值.

19.（本題滿分12分）

一束光線從點(diǎn)耳（—1,0）出發(fā)，經(jīng)直線/:2x—y+3=0上一點(diǎn)P反射后，恰好穿過(guò)點(diǎn)耳（1,0）.

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求以Fj,工為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)尸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

20.（本題滿分12分）

圓C：一(l+Q)X+y2一@+Q=0.

（1）若圓。與y軸相切，求圓C的方程；

（2）已知。＞1,圓。與x軸相交于兩點(diǎn)M,N（點(diǎn)〃在點(diǎn)N的左側(cè)）.過(guò)點(diǎn)M任作一條直線與圓

。：/+y二鄉(xiāng)相交于兩點(diǎn)從員問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)。，使得=若存在，求出實(shí)數(shù)。，若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—agG。中，點(diǎn)二產(chǎn)分別在棱。2，BBi上,且2DE=ED[,BF=2FB「

（1）證明：點(diǎn)G在平面AEF內(nèi)；

(2)若A3=2,AD=1,AA=3,求二面角A—EF—4的正弦值.

22.（本題滿分12分）

22B

在平面直角坐標(biāo)系x0y中，橢圓C:：y+}=l（a〉b〉O）的離心率為手，短軸的一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為

(0,-2).

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)橢圓。的右焦點(diǎn)為尸，如圖，過(guò)點(diǎn)G（4,0）作斜率不為0的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，設(shè)直線9

和月V的斜率為占，左2,證明：匕+右為定值，并求出該定值.

2022-2023學(xué)年上期期中聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的）

1.D【解析】因?yàn)閍=（—2,6）,所以勺=—3.故選D.

2.B【解析】6='三=好，故選B.

33

3.B【解析】由d+丁+2ax-4ay-10a=0,得（x+aj+（y-2a）-=5a?+10a,

由該曲線表示圓，可知5〃2+10〃>0,解得〃>0或。<一2,故選B.

4.B【解析】連接AC、AC,可得AB+AD=AC,又0。］="，所以AB+AD—CC］=AC—A4=AC?

故選B.

叱________c

B

5.D【解析】因?yàn)锳（—2,0）,3(4,a),兩點(diǎn)到直線/:3x—4y+1=0的距離相等，

所以有+［

二3：4—4a+l1]3_4a=5=a=2,或a=2,故選D.

"-4）2后+(—4『2

6.C.【解析】圓元之+y2—4%—6y+8=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2y+(y—3)2=5,圓心為(2,3),半徑為君,

,則由已知得括2時(shí)］+［空］,解得機(jī)=3或

直線y=x+根的一般方程為x-y+m=Q

1V2J2J

m=—l,故選C.

7.B【解析】如圖所示，取AC的中點(diǎn)。，以。為原點(diǎn)，BD,DC,DM,所在直線分別為無(wú)軸、y軸、

則4（0,—1,0）,加（0,0,2）,4—6,0,0）?。垡弧?一：,2

z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AC=2

所以AM=（0,1,2）,平面5CG四的一個(gè)法向量為〃=卜8，-。，（

）,設(shè)A"與平面BCG耳?所成角為。，

\AM-n\~、后

向量A"與〃所成的角為。，所以sina=|cos4=^—7=衛(wèi),即AM與平面BCC1與所成

11\AM\-\n\導(dǎo)610

J15

角的正弦值為".故選B.

10

8.B【解析】因?yàn)橹本€%+分一1=0與直線ox-y+l=0相互垂直，所以lx(a)+ax(-l)=0,所以aeR.

當(dāng)a=1時(shí),直線x+ay-1-0與直線ax-y+1-0相互垂直,而當(dāng)直線x+ay-l=0與直線ax-y+1=0相

互垂直時(shí)，。=1不一定成立，所以“直線x+ay—1=0與直線公—y+l=0相互垂直”是“。=1”的必要

而不充分條件，故選B.

9.A【解析】因?yàn)?(2,3,1),P(4,3,2),所以AP=(2,0』)，則,耳=6,―,由點(diǎn)到直線

2

372

的距離公式得d=故選A.

10.D【解析】如下圖所示，設(shè)|A周=3/,貝44耳=4/,忸團(tuán)=5/,所以，恒片『+|4砰=忸團(tuán)2,所以

90°,由橢圓定義可得+忸娟=12/=4a,:.t=g，|用|=3八a,所以,

ZFXAF2=

\AF^=2a-\AF\=a,所以，A4片鳥(niǎo)為等腰直角三角形，可得閨閭？，.△二二公？,

所以，該橢圓的離心率為e=￡=正.故選D.

a2

2

H.A【解析】設(shè)P(Xo，%)，則以O(shè)P為直徑的圓M：x(x—%o)+y(y—%)=0,BPx+/-xox-yoy=0

①，因?yàn)镕A,PB是圓。的切線，所以Q4J_K4,OB±PB,所以A,8在圓M上，所以是圓。與圓

M的公共弦，又因?yàn)閳AO:V+V=1②，所以由①—②得直線AB的方程為：xox+yoy-l=O,又點(diǎn)

滿足直線A3方程，所以（Xo+；%—1=0,即x+2y—4=0.故選A.

12.B【解析】取4。中點(diǎn)E,連接尸￡,BE,如圖，則由已知得PELAD,BELAD,所以NPEB為

二面角P—AO—6的平面角，所以NPEB=60°,又PE=｛（用―儼=2,BE=-I2=1,

22

△PEB中,PB=V2+l-2x2xlxcos60°=73,PB?+跖2=理2,所以依工宓，由BE=E,

PE,BEu平面PBE,得AD,平面？B石，又F3u平面？既，所以BEAD=E,BE,

AOu平面ABCD,所以尸5,平面ABCD,BCu平面A5CD,所以尸BC//DA,所以

BCLBE,以BC,5石，5P為x,?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則網(wǎng)0。、國(guó)，4（—1,1,0），C（2,0,0）,

PA=（-1,1,-73）,平面的一個(gè)法向量是〃=（0,1,0），??（24,〃）=篇彳=9]=￡，所以AP

與平面PBC所成角的正弦值為手.故選B.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.-14.^-15.10+2V1016.2

24

13.【解析】?.?點(diǎn)M在圓上，且.?.直線/過(guò)圓心C（—2,0）,—2加—0+1=0,解得小=工.

14.【解析】如圖，計(jì)算斜率得A5L5C,即』45。=90°,所以AABC是直角三角形.又47=5,故面

15.【解析】橢圓千+2~=1,所以A為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為玳-4,0）,則由橢圓定義

259v7

|M4|+|MF|=2a=10,于是|阿+|"B|=1O+\MB\-\MF\.

當(dāng)“不在直線5尸與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，M、F、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是〈怛印而當(dāng)/在直線即

與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，若在第一象限交點(diǎn)時(shí)，^\MB\-\MF\=-\BF\,在第三象限交點(diǎn)時(shí)，^\MB\-\MF\=\BF\.

顯然當(dāng)M在直線BF與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)\M^+\MB\有最大值，其最大值為

\MA\+\MB\=10+\MB\-\MF\=10+|5F|=10+J（2+4『+（2-0）2=10+2^.

16.【解析】

當(dāng)％之0,yNO時(shí)，曲線C的方程可化為[x—g]+[y—g]=g；

當(dāng)xWO,yNO時(shí)，曲線C的方程可化為[x+g]—g]=g；

當(dāng)xNO,y<0時(shí)，曲線C的方程可化為[x—g]+[y+g]=1;

當(dāng)尤<0,y<0時(shí)，曲線C的方程可化為（x+g]+=g；

由圖可知，曲線C是四個(gè)半徑為J的半圓圍成的圖形,

2

因?yàn)槭╩,“）到直線x+y—4=0的距離為1=，所以帆+〃-4|=yfld,當(dāng)d最小

時(shí)，易知尸（冽，口）在曲線。的第一象限內(nèi)的圖象上,

,半徑為正的半圓,

因?yàn)榍€。的第一象限內(nèi)的圖象是圓心為

1_3^

所以圓心到X+y—4=0的距離d'=d=在+口一正「

從而dmin=d'-~~=A/2.Bp|m+M—4|.=2.

IImin

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.【解析】

（1）因?yàn)橹本€/與直線4x—3y=O垂直，設(shè)直線/的方程為3x+4y+〃z=0,

因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)P（l,0）,所以3xl+4x0+m=0,解得加=—3.

所以直線/的方程為3x+4y—3=0.……4分

（2）:C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是（x—3）?+（y—盯=4,

圓心C（3,4）,半徑廠=2,……5分

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線/的方程為無(wú)=1,

圓心C到直線/的距離為2,所以直線/與（C相切，符合題意；……6分

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程是丁=左（％—1）,即點(diǎn)—y—左=0,

由直線/與《C相切，得'I』=2,解得左=2,……8分

4

33

所以直線/的方程是—丁一4=。，即3%—4y—3=0.……9分

綜上所述，直線/的方程是無(wú)=1或3x—4y—3=0.……10分

18.【解析】

（1）作FH〃AD交PA于H,連接

?：PF=-PD,：.HF=-AD=1,又池〃5。且BC=1,:.HF〃BC且HF=BC,

33

四邊形HFCB為平行四邊形，；.CF//BH,

???BHu平面R43,CF<z平面CF〃平面……6分

(2)?.?尸5,平面ABCD,5Cu平面ABCD,...尸

又ADLAB,AD//BC,：.AB±BC

則可以6為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

則5(0,0,0),P(0,0,3),0(3,3,0),A(0,3,0),

APD=(3,3,-3),B4=(O,3,-3),3力=(3,3,0)

\n.PD=33y-3=0

設(shè)平面PBD的法向量〃=（尤,y,z）,x+Z

n-BD=3x+3y=0

令x=l,則y=-l,z=0,n=(l,-l,0)

設(shè)直線與平面BPD所成角為6

\PA-n\_3_1

sin。=cos(PA,n12分

網(wǎng)小3a

19.【解析】

（1）設(shè)《關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)為尸（私〃），（由反射的性質(zhì)，可知點(diǎn)尸，P,居三點(diǎn)共線）

則品=一T且2，"一解得加T，n=l，即?|，|），

易得直線Pb方程為x+7y—1=0,

x+7y-l=0

由＜,解得「6分

2x-y+3=0r

（2）因?yàn)槭?PF,根據(jù)橢圓定義,

得2a=PFl+PF2=PF+PF2=FF2=

所以a=J5.又c=1,

所以b=l.所以橢圓C的方程為土+/=L……12分

2

20.【解析】

[x=0

(1)由〈2/,\2c得y——ay+a=0,...2分

x—(l+Q)x+y—uy+a=0

因?yàn)閳A與y軸相切，所以A=〃—4a=0,解得a=0或4,...3分

故所求圓C的方程為d+V—x=0或爐+/一5x—4y+4=0.……4分

(2)令y=0得％2-(l+a)x+a=0,

解得％=1或x=a,而a>l,即"(1,0),N(a,0).……5分

假設(shè)存在實(shí)數(shù)。，設(shè)A(X],yJ,5(X2，%)，

當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k(x-l),

<-1)得(1+公卜2—242尤+左2一9=0,……6分

由

%2+y2=9'7

2k2

根據(jù)韋達(dá)定理有47分

k2-9

xx=-----

12}1+?k2

又NANM=NBNM,即N4、N3的斜率互為相反數(shù)，……8分

上+4=0,

即-l)(x2-a)+(x2-l)(xj-a)=0,

xx-ax2-a

即_(a+l)(X]+%2)+2a=0,

2(公—9)

++2a=0,解得a=9.

所以10分

1+42\+k-

當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，仍然滿足NANM=NBNM,

即NA、NB的斜率互為相反數(shù).……11分

綜上所述，存在a=9,使得NANM=NBNM.……12分

21.【解析】

(1)在棱CC]上取點(diǎn)G,使得qG=；CG,連接。G、FG、C〔E、QF,如圖1所示.

在長(zhǎng)方體ABC。—4與G。中，BF//CG,BF=CG,所以四邊形3CGE為平行四邊形，則5c〃/G,

BC=FG,而5C=AD,BC//AD,所以AD〃FG,AD=FG,

所以四邊形ZMEG為平行四邊形，即有A尸〃DG,同理可證四邊形DECJG為平行四邊形，

C.C.E//DG,：.CXE//AF,因此點(diǎn)g在平面AEE內(nèi).……6分

圖1

（2）以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，CR、Gg、GC所在直線分別為X、y、Z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系

Q-xyz,如圖2.則4(2,1,3)、A(2,1,0)、￡(2,0,2)、F(0,1,1),

AE=(0,-l,-l),AF=(-2,0,-2),=(0,~1,2),4F=(-2,0,1),

設(shè)平面AEE的一個(gè)法向量為7〃=(X]，M，Z]),

m-AE=0f-y,-z.=0.、