四川省德陽(yáng)市2023屆高三第一次診斷考試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

德陽(yáng)市高中2020級(jí)第一次診斷考試

數(shù)學(xué)試卷（文史類）

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1已知集合P=kGNk詞，Q={L3},則P'Q=（）

A.QB.{—3,—2,—1,0,1,3）

C.PD.{-3,-2,-1,2}

K答案，A

K解析2

K祥解H化簡(jiǎn)集合，然后根據(jù)交集的定義運(yùn)算即得.

K詳析H因?yàn)槭?{X∈N.≤9}={（M,2,3},又Q={l,3},

所以PQ={1,3}=Q.

故選：A.

2.關(guān)于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析，有以下幾個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）

A.樣本數(shù)據(jù)9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位數(shù)是8或9

B.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都減去同一個(gè)數(shù)后，平均數(shù)與方差均沒有變化

C.利用殘差進(jìn)行回歸分析時(shí)，若殘差點(diǎn)比較均勻地落在寬度較窄的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，則說(shuō)明線性回歸模型

的擬合精度較高

D.調(diào)查影院中觀眾觀后感時(shí)，從15排（每排人數(shù)相同）每排任意抽取一人進(jìn)行調(diào)查是系統(tǒng)抽樣法

R答案』C

K解析D

K祥解》按照中位數(shù)，平均數(shù)和方差的計(jì)算方法判斷選項(xiàng)A,B的正誤，根據(jù)殘差圖的含義判斷選項(xiàng)C的

正誤，區(qū)分不同抽樣方法的概念判斷D的正誤.

K詳析2對(duì)于A,樣本數(shù)據(jù)1、3、5、7、8、9、10、12、13、18的中位數(shù)為旦2=8.5,A錯(cuò)誤；

2

對(duì)于B,每個(gè)數(shù)據(jù)都減去同一個(gè)數(shù)后，平均數(shù)也應(yīng)為原平均數(shù)減去這個(gè)數(shù)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,殘差點(diǎn)比較均勻地落在寬度較窄的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，則擬合精度高，C正確；

對(duì)于D,每排任意抽取一人應(yīng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，D錯(cuò)誤；

故K答案H為：C.

3.復(fù)數(shù)工的共攏復(fù)數(shù)是()

i-2

A.2+iB.-2+iC.-2-iD.2-i

K答案，B

R解析，

R祥解11根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)工，根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的概念可得K答案》.

1-2

K詳析H2=5(-L2)=_2T,

1-25

故7?的共輾復(fù)數(shù)為一2+i，

故選：B

4.已知等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S“，且S5=5,Sg=30,則%=.

A.90B.125C.155D.180

K答案，c

K解析H

K樣解》由等比數(shù)列的性質(zhì)，S”,S2”-S”,S3“-S2”成等比數(shù)列，即可求得S”一Sg,再得出K答案』.

K詳析』因?yàn)榈缺葦?shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,根據(jù)性質(zhì)所以S5,SK)-S5,九一SH)成等比數(shù)列，因?yàn)?/p>

S5-5,510=30,所以S]o—S5=25,S∣5—S1o=25x5=125,故S紇=125+30=155.

故選C

In點(diǎn)石成金口本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，若等比數(shù)列｛α,,｝的前〃項(xiàng)和為S.,則S,,,S2z,-SK,S3“—S2n也

成等比數(shù)列，這是解題的關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題.

x+2y≤l

則上的最小值為(

5.已知x、y滿足約束條件,2x+y÷l≥0,T)

Cx+2

X-y<0

1

A.1B.—C.—D.——

735

K答案』D

K解析》

K祥解U由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合求出二一的最小值.

x+2

由約束條件作出可行域如圖，幽表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)（-2,0）連線的斜率，

X=V11fl∩1V

聯(lián)立方程:?ι八，得交點(diǎn)坐標(biāo)（一個(gè)-P,由圖得,當(dāng)過(guò)點(diǎn)-彳,一彳時(shí),斜率最小為—-，所以—

2x+y+l=033k33）5x+2

的最小值為-

故選：D.

6.已知QA="，OB=3，點(diǎn)M關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為S,點(diǎn)S關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)為N,那么MN=（）

A.2a-2bB.2a+2bC.-2a-2bD.-2a+2h

K答案DD

K解析H

R祥解》根據(jù)點(diǎn)對(duì)稱關(guān)系，結(jié)合向量中點(diǎn)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即得.

K詳析D因?yàn)辄c(diǎn)M關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為S,點(diǎn)S關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)為N,

所以O(shè)Λ∕+OS=2OA,ON+OS=2OB>

所以O(shè)N—OM=2OB-2OA,又OA=n，OB=b，

所以MN=ON-OM=2b-2a-

故選：D.

7.德陽(yáng)市文廟廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供游人休息，這些石凳是由正方體形石料（如圖1）截去8個(gè)一樣的四

面體得到的（如圖2）,則下列對(duì)石凳的兩條邊AB與CD所在直線的描述中正確的是（）

①直線48與CO是異面直線②直線AB與CO是相交直線

③直線AB與CQ成60°角④直線AB與CQ垂直

A.①③B.①④C.②③D.②④

R答案UC

R解析D

K祥解》根據(jù)異面直線和異面直線所成角的定義判斷即可.

如圖所示，延長(zhǎng)A3、OC和正方體的一條邊，會(huì)交于點(diǎn)E,所以直線AB與CD是相交直線，故①錯(cuò)，

②對(duì)；

連接AD，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，所以AD=DE=AE=g,即三角形ADE為等邊三角形，所以直線AB

與CO成60°角，故③對(duì)，④錯(cuò).

故選：C.

22

8.已知某曲線方程為三-----J=I,則下列描述中不正確的是()

m+32m-1

A.若該曲線為雙曲線，且焦點(diǎn)在X軸上，則”2∈(g,+α))

B.若該曲線為圓，則，"=4

C.若該曲線為桶圓，則其焦點(diǎn)可以在X軸上，也可以在)，軸上

D.若該曲線為雙曲線，且焦點(diǎn)在y軸上，則me(-8,-3)

K答案，B

K解析，

"羊解Il根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合條件可判斷AD,根據(jù)圓及橢圓的方程結(jié)合曲線方程可判斷BC.

+3>O1

R詳析力對(duì)于A,若該曲線為雙曲線，且焦點(diǎn)在X軸上，貝NCC，解得加>3，故A正確;

2∕n-l>02

對(duì)于B,若該曲線為圓，則m+3=l-2m>0,即m二-2,故B錯(cuò)誤；

3

21

對(duì)于C,由機(jī)+3>1—2租>(),可得——<m<一,此時(shí)該曲線為橢圓，且焦點(diǎn)在X軸上；

32

2

由1-2加>加+3>O,可得一3<加<一§,此時(shí)該曲線為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上；故C正確;

∕∏+3<O

對(duì)于D,該曲線為雙曲線，且焦點(diǎn)在y軸上，貝,解得加<一3,故D正確.

2m-?<Q

故選：B.

K答案》A

K解析U

R祥解》根據(jù)函數(shù)的奇偶性和符號(hào)判斷.

X+1廠+1(r)+1X÷1

.?./(Λ)是奇函數(shù)；

令g(x)=2x+sinx'則有g(shù)'(x)=2+cosx>0,g(x)是增函數(shù),

當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>g⑼=0,即/(x)>0；

故選：A.

10.如圖是旌湖邊上常見的設(shè)施，從兩個(gè)高為1米的懸柱上放置一根均勻鐵鏈，讓其自然下垂輕觸地面(視

為相切)形成的曲線稱為懸鏈線(又稱最速降線).建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系后，其方程可以是

y=∣(e'+e-jr+φ那么兩懸柱間的距離大致為()(可能會(huì)用到的數(shù)據(jù)縝25°3.49,elj5≈3.86)

A.2.5米B.2.6米C.2.8米D.2.9米

K答案，B

K解析，

K祥解11根據(jù)條件建立直角坐標(biāo)系，可得y=∕(x)=g(e*+e7-2),根據(jù)條件結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得

1.25<x0<1.35,進(jìn)而即得.

K詳析?因?yàn)閥=/(x)=g(e'+e-，+f),f(-x')=^(ex+ex+t)=f(x),

所以函數(shù)為偶函數(shù)，如圖建立直角坐標(biāo)系，

則X=O時(shí)，y=0,所以;(2+r)=0,即/=—2,

所以y=/(Λ)=l(ex+e-i-2),

由題可設(shè)A(X°/)，/(Λ0)=1,

又/(1.25)=；(y5+er3_2)<1,/(1.35)=∣(el35+e^l?35-2)>l,

由題可知x>0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

所以1.25</<1.35,2.5<2x0<2.7,

所以兩懸柱間的距離大致為2.6米.

故選：B.

II.已知奇函數(shù)/O)的定義域?yàn)镽,其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線.若∕?(-2)=∕(l)≠0,則函數(shù)/(χ)在區(qū)

間(-2,2)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為()

A.IB.2C.3D.4

K答案UC

K解析D

K祥解Il根據(jù)奇函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽可得/(O)=O，由/(—2)=/⑴≠0和奇函數(shù)的性質(zhì)可得

/(2)/(1)<0^/(-2)/(-1)<0,利用零點(diǎn)的存在性定理即可得出結(jié)果.

K詳析》奇函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,其圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，

得了(0)=0,由/(—2)=/(1)≠0得-/(2)=/(D≠0,

所以/(2)/(1)<0,故函數(shù)在(1,2)之間至少存在一個(gè)零點(diǎn)，

由奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在(-2,-1)之間至少存在一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)在(-2,2)之間至少存在3個(gè)零點(diǎn).

故選：C

12.已知a、b、C是正實(shí)數(shù)，且e?"-2e"+''+e"c=0，貝∣J〃、b、C的大小關(guān)系不可能為()

A.a=b=CB.a>h>cC.b>c>aD.b>a>c

K答案HD

工解析H

R祥解》根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.

K詳析H因?yàn)閑?〃一2e"+"+e%'=0,八氏C是正實(shí)數(shù)，

所以e2°—ea+b+eb+c-ea+b=e"(ea-eft)+eh(ec-eo)=0,eβ>l,efc>l,er>1,

對(duì)于A,若α=b=c,則e"-e"=e'-e"=0,滿足題意；

對(duì)于B,若a>b>c,則e"-3>O,e'-e"<0,滿足題意；

對(duì)于C,若b>c>a,則e"-e"<O,e'-e">0,滿足題意；

對(duì)于D,若b>α>c,則e"—e"<0,e'-e"<0,不滿足題意.

故選：D.

第∏卷(非選擇題共90分)

本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.將K答案D填在答題卡上.

13.設(shè)函數(shù)〃力=,；：KjT)"<1,則/[/(O)]=.

R答案，2

K解析》

K樣解》將O代入函數(shù)K解析』式，根據(jù)分段函數(shù)的K解析』式計(jì)算結(jié)果.

K詳析』由題，因?yàn)?(0)=1+嘎22=2,

所以["0)]="2)=22T=2,

故K答案H為：2.

14.已知°,A是單位向量，且a?∕j=O,若C=九?+(1-2)/j,那么當(dāng)C-L(a-b)時(shí)，4=.

R答案X?##0.5

K解析H

K祥解力根據(jù)4,。是單位向量，且4為=0設(shè)向量4,〃的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出C的坐標(biāo)，由C，(a一4列

出方程，解出；L的值.

K詳析Il因?yàn)閍，8是單位向量，且a?8=0,設(shè)a=(l,O),h=(0,l),

由C=/Ia+(1—(Z)Z?得C=(Zl—%),

當(dāng)c_L(Q-/?)時(shí)，c?(a-h)=(∕l,l-2)?(1,-1)=24—1=0,

得；ι=L

2

故K答案』為：?.

15.已知函數(shù)/(x)=sin(3x+0)(0>0,I同)的部分圖象如圖所示，則/(x)=.

R答案，Sinl2x+：J

K解析H

TT

R祥解Il由函數(shù)圖象得函數(shù)的最小正周期，求得。，再由函數(shù)在X=一時(shí)取最大值，求得9,得函數(shù)K解

8

析』式.

12ππ（π）

R詳析H由函數(shù)圖象得ZX同=§一［一§｝因?yàn)椤＃荆ǎ?，所以?2,

TT1LJI

又由圖象知當(dāng)X=一時(shí)函數(shù)取最大值，所以2x—+9=—+2E,keZ,

882

因?yàn)殚y＜］，所以e=：，所以f（x）=sin（2x+：）.

故K答案』為：Sin［2無(wú)+；）.

16.如圖，矩形48Cf）中，AC是對(duì)角線，設(shè)∕8AC=α,已知正方形5ι和正方形S2分別內(nèi)接于RtAACD和

正方形Sl的周長(zhǎng)

RtΔABC,則的取值范圍為

正方形S?的周長(zhǎng)

K解析，

R祥解11設(shè)兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為。，。，用。，。表示AC建立方程，將兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比表示為a的

三角函數(shù)，求取值范圍.

K詳析員設(shè)兩個(gè)正方形S∣,邑邊長(zhǎng)分別為“，b,

則在ACD中，有AC=--——bα+αtan0,

tana

bb,abb

在RJ4BC中，有AC=-----+--,--所--以------?-a+atana-------1-----

SinaCosatanasinacosa

11

λ---------1---------.

c,,,tt1..,,,ttl...I.4。SinaCC)qasina+cosa

Sl的周長(zhǎng)與S,的周長(zhǎng)比為-T=SInaCOSC=--------------------

4"tanα+!+l1+sιnσc0sa

tana

設(shè)f=sine+cosa=y∣2Sin(O+—),

4

因?yàn)閍Oq,所以f=V5sin(a+：)e(l,V^],

sina+cosa_t_2/_2

則l+sinacosat2-1t2+1-1，

1+------1+—

2

1?(d/z?Sina+cosa22√2?

因?yàn)閥=r+?L在(1,、歷］上單調(diào)遞增，所以r+-∈2,得一:~~:-----=~re

1+sin<2cosaZ-H—13)

所以周長(zhǎng)比為

2√2、

故R答案』為:,

~r/"

In點(diǎn)石成金IU注意到(Sina+cosa)-=1+2SinaCoSa的關(guān)系，換元用/=sinα+coso表示SinaCos。，

注意換元后新未知數(shù)的取值范圍.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

,、S

17.已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,公差dWO,前〃項(xiàng)和為S“，且寸為常數(shù).

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若a=2"T?α,,,求數(shù)列｛0,｝的前〃項(xiàng)和北.

K答案，(1)all=2n-l

n+,,

(2)Tn=n.2'-3.2+3

R解析H

SS

"羊解》(I)根據(jù)條件知WL1=不1，據(jù)此求出4；

(2)運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和

K小問(wèn)1詳析』

Sl=S]a,a+a1_2+d

由題意知:即——l2

^2^4+a2ai+a2+ai+a42+廠4+6d

化簡(jiǎn)得：d(d—2)=0,d≠Q(mào),.'.d—2,a“=l+2(〃-1)=2〃—1；

成立?

經(jīng)檢驗(yàn),q

2

S2n4n

K小問(wèn)2詳析』

由(1)知：2=(2〃一1卜2'1,7；=1+3X2+5X2?+7x23+?..+(2“一1卜2'1…①,

27；,=2+3×22+5×23+7×24+?+(2〃—1卜2”…②，

①-②得：

-7；,=l+2×2+2×22+2×23++2×2π^l-(2n-l).2z,=l2×2χ(2∏-I).2,,

+1-2

=-n?2"+'+3?2"-3，

.?.T;=〃?2"M—3?2”+3；

綜上，%=1+2("-1)=2〃—1,7；=小2田一3?2"+3.

hcosB+1

18.在AABC中，邊a、b、C對(duì)應(yīng)角分別為A、B、C,且一=

a?/?sinA

(1)求角3的大小；

(2)從條件①、條件②、條件③中任選一個(gè)作為已知條件，使得AABC存在且唯一，求AC邊上的高.

條件①：cosA=——，h=l；

3

條件②：b=2,c=2√3;

條件③：α=3,c=1.

注：若選多個(gè)條件分別作答，則按第一個(gè)解答給分.

TT

K答案，(1)-

3

(2)R答案H見K解析H

R解析』

"羊解II(I)利用正弦定理邊化角，然后整理計(jì)算可得K答案1；

(2)若選擇條件①：由三角形的三角一邊可得aABC唯一確定，再利用正弦定理計(jì)算求K答案X；若選擇

條件②：根據(jù)正弦定理計(jì)算得SinC>1,得到AABC不存在；若選擇條件③：由三角形的兩邊及其夾角確

定可得aABC存在且唯一，再利用正弦定理計(jì)算求K答案》.

K小問(wèn)1詳析》

sinBcosB+1

由正弦定理邊化角得京7,

.?.sinθ=cosB+1>得Sin（B一弓）=；，

Cπ_π5π

0<Brl<π,:.——<B——<——，

666

K小問(wèn)2詳析》

若選擇條件①：CoSA=Yb=l,B=^,

33

.?.O<A<?,.?,sinA=近■>

23

則AABC中NA,NB,NC均唯一確定，乂b=T,則AABC存且唯一,

_c_b_1_2

由正弦定理SinAsinCsinBs∣nλ∕3

、3

.?,.2sinλ2X76=272；

√3√333

若選擇條件②：b=2,c=2√3-8=方

由正弦定理」b得SinC=X=空X立=2>1,

sinCsinBb222

Z?A8C不存在;

若選擇條件③：a—3,c—2,B=

TT

由α=3,c=2,8=§可得△?!BC存在且唯一，

由余弦定理b"—a"+c?—2QCCOS5=9+4—2×3×2×-=7,則b=,

品得SmC=T2√3√3

由正弦定理一?:

SinC

???AC邊上的高為αsinC=3χg=主巨；

√77

19.買盲盒是當(dāng)下年輕人的潮流之一，每個(gè)系列的盲盒分成若干個(gè)盒子，每個(gè)盒子里面隨機(jī)裝有一個(gè)動(dòng)漫、

影視作品的圖片，或者設(shè)計(jì)師單獨(dú)設(shè)計(jì)出來(lái)的玩偶，消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式，具有隨機(jī)屬性，

某禮品店2022年1月到8月售出的盲盒數(shù)量及利潤(rùn)情況的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

月份/月12345678

月銷售量/百個(gè)45678101113

月利潤(rùn)/千元4.14.64.95.76.78.08.49.6

(1)求出月利潤(rùn)y(千元)關(guān)于月銷售量X(百個(gè))的回歸方程(精確到0?01);

(2)2022年“一診”考試結(jié)束后，某班數(shù)學(xué)老師購(gòu)買了裝有“五年高考三年模擬”和“教材全解”玩偶的

兩款盲盒各3個(gè)，從中隨機(jī)選出3個(gè)作為禮物贈(zèng)送給同學(xué)，求3個(gè)盲盒中裝有“五年高考三年模擬”玩偶的

個(gè)數(shù)至少為2個(gè)的概率.

參考公式：回歸方程y=a+bx中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為：

∑(-v,?-jt)(x?->')∑?x?-^>,

…“?T———,?=y-?L

IXXi-X)-nx

Z=IZ=I

88

參考數(shù)據(jù)：E>,2=580,459.5.

Z=IZ=I

K答案H(1)y=L38+0.64x

⑵?

R解析】

"羊解D(1)將表格數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算回歸方程；

(2)列舉從6個(gè)盲盒中抽取3個(gè)的所有結(jié)果，由所有基本事件個(gè)數(shù)和“五年高考三年模擬”玩偶個(gè)數(shù)至少

為2個(gè)的基本事件個(gè)數(shù)，求得概率.

R小問(wèn)1詳析』

-1

由題，X=WX(4+5+6+7+8+10+11+13)=8,

=-×(4.1+4.6+4.9+5.7+6.7+8.0+8.4+9.6)=6.5,

y8

8___8_2

所以ZXjyj-8x.y=459.5-8x8x6.5=43.5,Ex；-Sx=580-8×82=68,

i=?i=l

435

b=--≈0.64tz=6.5-0.64×8=1.38,

Oof

所以回歸方程為y=1.38+0.64x?

K小問(wèn)2詳析》

記裝有“五年高考三年模擬”玩偶的3個(gè)盲盒為％,生，。3，

記裝有“教材全解”玩偶的3個(gè)盲盒為白，b2,b3,

從中選出3個(gè)，共有：(αl,α2,α,),(ai,a2,bi),(即生也)，(a1,?,?),

(α∣,g,4),(4，火也)，(如生也)，(4,4也)，(4力也)，(《,也也)，

(a2,α3,Z>l),(a2,a3,b2),(?,oj,?),(外,偽也)，(出,乙也)，(&也也)，

3,4也)，(a3,bi,b3),(%也也)，(偽也,4)共20個(gè)基本事件，

其中，“五年高考三年模擬”玩偶個(gè)數(shù)至少為2個(gè)的基本事件有10個(gè)，

故所求事件發(fā)生的概率P=W=_L.

202

20.已知函數(shù)=g%3.aX(CI>0)

(1)求函數(shù)/Cr)的極值；

(2)當(dāng)”>1時(shí)，記/(x)在區(qū)間《一1,2》的最大值為M,最小值為辦己知M+me(g,?∣).設(shè)/(x)

的三個(gè)零點(diǎn)為XI,X2,X3,求/(χX2+X2■λ?+Λ?Λi)的取值范圍.

K答案U(1)極大值為一/H---Cl2,極小值為-------Cl;

6262

⑵125,一曲

K解析》

K祥解H(I)求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性得到當(dāng)X=時(shí)取得極大值，X=I時(shí)取得極小值，然后代入求極值即可;

⑵根據(jù)/(x)在［T2］上的單調(diào)性得到〃，m,然后列不等式得到。的范圍，令/(χ)=0,結(jié)合韋達(dá)

定理得到￡玉=-3a,x2=0,最后根據(jù)“的范圍求/(—3a)的范圍即可.

R小問(wèn)1詳析H

/'(X)=X2+(a-l)x—a=(X-I)(X+a),

令∕qx)>0,解得?；騲>l,令/'(x)<0,解得一α<x<l,

所以/(x)在(-8,-α),(1,M)上單調(diào)遞增，在(一。,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)尤=~a時(shí)取得極大值，力及大值=f——/H—Ω3—a^+a2=-∏3H—a^,

、32262

當(dāng)X=I時(shí)取得極小值,為小值==，

所以/(χ)的極大值為極小值為一！—_1_&

6262

K小問(wèn)2詳析』

因?yàn)棣?gt;l,所以/(x)在(一1,1)上單調(diào)遞減，(1,2)上單調(diào)遞增，/〃=/(1)=—t一3。,

3592-23S

因?yàn)椤ㄒ?)=5八"2)=----2a<-,所以朋=/(-1)=-∏--

3326

113

—<---------aH——a--<-,解得0<ɑ<°,

36226333

令/(x)=X∣x2+?(tz-l)x-α

xl<x2<xi,=C),所以=O,???j=-3。，

/(玉々+%2左3+∕X∣)=/(-3?)=

22

Qa/45、OQf40

3

y=-cι'—/在一,一上單調(diào)遞減，當(dāng)—a—ci'∈-25,-----

22\33/2213

ΛA

所以/(XIX2+W3+七I)的取值范圍為1-25,-岑).

21.已知函數(shù)/(x)=J］，x∈(0,+∞).

(1)判斷函數(shù)/(χ)的單調(diào)性；

(2)證明：—<∕(x)<l.

e+1

K答案U(1)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，理由見K解析』;

(2)證明見K解析》.

K解析H

K祥解Il(I)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)“。)=(1一力6‘一1(%>0)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判

斷原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而即得；

1Y

(2)將不等式轉(zhuǎn)化為F—<-一<1,然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式.

e+1e-1

R小問(wèn)1詳析』

函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，理由如下：

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=J],xe(0,+°o),

所以r(x)=J(X>O),

(e-O

設(shè)“(%)=(I-X)e'-l(x>O),貝!]∕(x)=-xe*<O,

所以U(X)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,

故M(X)<u(0)=O,即∕,(x)<O,

所以函數(shù)f(χ)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減；

R小問(wèn)2詳析)

---<∕(Λ)<1<≠>—J—<X<1,x∈(0,+∞),

ev+l八7e'+lev-l',

先證x∈(0,÷w)時(shí)，-^-<1,即e*-χ-l>O,

設(shè)g(x)=e*-x-l,x∈(0,+∞),則爐(X)=e*-l>e°-l=O,

所以g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(O)=O,BP∕(x)<l:

再證x∈(0,÷w)時(shí)，J]</(尤),即(X-I)e'+x+l>O,

設(shè)〃(X)=(X-I)e*+x+l(x>0),貝Ij(X)=Xe'+1>O,

所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以〃(X)>〃(0)=0,

所以一7?<∕(x);

e+1

綜上，-7?<∕(-^)<l?

e+1

Kr點(diǎn)石成金口方法『點(diǎn)石成金］：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：

(I)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式〃χ)>g(χ)(或/(%)<g(χ))轉(zhuǎn)化為證明〃x)-g(x)>O(或

/(x)-g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)〃(X)=/(?)-g(?):

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

請(qǐng)考生在22、23二題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第

一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線G的方程為(尤-j?=:!,曲線C2的參數(shù)方程為GC

為參數(shù))，直線/過(guò)原點(diǎn)。且與曲線G交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線C2上且。P_LA8.以。為極點(diǎn)，X軸正

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)寫出曲線G的極坐標(biāo)方程并證明IQ4∣?IO用為常數(shù)；

(2)若直線/平分曲線Ci,求△/?B的面積.

K答案D(I)22-2PCoSe-2√?sinO+3=O,證明見K解析U

⑵2百

K解析D

K樣解》(1)寫出Cl的極坐標(biāo)