電氣工程師-公共基礎(chǔ)-高等數(shù)學(xué)-微分學(xué)

電氣工程師-公共基礎(chǔ)-高等數(shù)學(xué)-微分學(xué)

［單選題］1.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=xO處連續(xù)是f(x)在點(diǎn)x=xO處可微的()。

［2019年真題］

A.充分條件

B.充要條件

C.必要條件

D.無(wú)關(guān)條件

正確答案：C

參考解析：可導(dǎo)等價(jià)于可微，可導(dǎo)必連續(xù)，而連續(xù)未必可導(dǎo)，如函數(shù)y=|x|在

x=0處函數(shù)連續(xù)但不可導(dǎo)。因此可微是連續(xù)的充分條件，連續(xù)是可微的必要條

件。

［單選題］2.函數(shù)f(x)=sin(X+R/2+JI)在區(qū)間［一n，兀］上的最小值點(diǎn)

x0等于()。［2017年真題］

A.一冗

B.0

C.Ji/2

D.n

正確答案：B

參考解析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f'(x)=cos(x+n/2+n),令『(x)=cos

(X+H/2+冗)=0,計(jì)算得x+h/2+弘=五/2±kh,k=0,1,2,得x=

土kR一冗，根據(jù)區(qū)間［一皿，n］知：①當(dāng)k=0時(shí)，x=一口，函數(shù)有最大值

1;②當(dāng)k=l時(shí)，x只能取0,函數(shù)有最小值一1；③當(dāng)k=2時(shí)，x只能取幾，

函數(shù)有最大值1。綜上，知最小值點(diǎn)x0等于0。

［單選題］3.下列極限式中，能夠使用洛必達(dá)法則求極限的是()。［2016年真題］

1+C0SX

lim-------

A.'—1

「x-sinx

hm-------

B.sinx

2.1

x*sin—

lim—；———

c.x-osin.v

Dx-xx-sinx

正確答案：B

參考解析：求極限時(shí)，洛必達(dá)法則的使用條件有：①屬于0/0型或者無(wú)窮/無(wú)窮

型的未定式；②在變量所趨向的值的去心鄰域內(nèi)，分子和分母均可導(dǎo)；③分子

分母求導(dǎo)后的商的極限存在或趨向于無(wú)窮大。A項(xiàng)屬于1/。型，不符合條件；C

項(xiàng)，分子在x=0處的去心鄰域處不可導(dǎo)，不符合條件；D項(xiàng)不符合條件③；則

只有B項(xiàng)正確。

［單選題］4.下列等式中不成立的是()。［2018年真題］

sinx21

hm———=1

A.-V-

..sinx]

hm------=1

B.XTX

sinx

lim=1

c.—x

limxsin—=1

D.X

正確答案：B

lim皿=1(重要極限)

參考解析：xA項(xiàng)，因?yàn)閤-O,所以x2->0,所以

利用上面重要極限的結(jié)論知

「sinx2sinx21

lim———=hm———=1

x—O『r-K)A-B項(xiàng)，極限

sinx

lim

XTX工可化為

lim--limsinx

XTH、'TH極限

1

lim—0A

x-x*為無(wú)窮小量；而|sinx|Wl,sinx為有界函數(shù)。因?yàn)橛薪绾瘮?shù)與無(wú)

窮小的乘積是無(wú)窮小，所以

1.sinx八

lim---=0

XfX戈C項(xiàng)，即為上面重要極限結(jié)論。

D項(xiàng)，因?yàn)閤fg,得1/x-0,所以利用重要極限知

,1

1sin—

limxsin—=lim—=1

EXJ。1

x-

X

［單選題］5.若

k

lim(l-x)x=2

、T0則常數(shù)k等于()。［2014年真題］

A.-In2

B.In2

C.1

D.2

正確答案：A

參考解析：由

k二

xxk

1lim(l-x)=lim［(l-x)］~

-x->0x->0

lim(l+x)x=e.k/

x->o=e=2

兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得：一k=ln2,所以k=-ln2。

［單選題］6.若

「2/+OV+8,

lim—-------=1

XT1X*+X-2則必有()。［2013年真題］

A.a=l,b=2

B.a=l,b=—2

C.a=-1,b=-1

D.a=l,b=l

正確答案：C

參考解析：因?yàn)?/p>

2x~+av+b

lim

X->1工~十工一2且分母為零，故

lim(2x2+ov+Z))=0

KTl,得2+a+b=0,又由洛必達(dá)法則，有

..4x+ai

hm^—-=1lim4x+a=4+a=3

XT2x+lK-l解得：a=-1。則b=-1。

［單選題］7.設(shè)a(x)—1—cosx,B(x)=2x2,則當(dāng)x-*0時(shí)，下列結(jié)論中正

確的是()。［2012年真題］

A.a(x)與B(x)是等價(jià)無(wú)窮小

B.a(x)是B(x)的高階無(wú)窮小

C.a(x)是B(x)的低階無(wú)窮小

D.a(x)與B(x)是同階無(wú)窮小但不是等價(jià)無(wú)窮小

正確答案：D

參考解析：因

cosx=l-2$in*(^)

1-cosx

lim=lim

x->02x2xTO

sinx-x(x->0)

4或用洛必達(dá)法則

00

「1-cosxosin-cosx1

hm----------=lim------=lim------=—

XTO2.vio4YD44故&(x)與B(x)是同

階無(wú)窮小但不是等價(jià)無(wú)窮小。

［單選題］8.要使得函數(shù)

xlnx

x>0.&x*1

/(x)=^1-x

V-］

a在(0,+8)上連續(xù)，則常數(shù)a等于0。

［2017年真題］

A.0

B.1

C.-1

D.2

正確答案：C

參考解析：函數(shù)在(0,+°°)上連續(xù)，因此在x=l處，有

lim/(x)=/(I)=a

一一即由洛必達(dá)法則，得

x］nx..liix+1,

hm------=hm---------=-1=a

XTI1-工XT1-1即a=-l。

［單選題］9.點(diǎn)x=0是函數(shù)y=arctan(1/x)的()。［2014年真題］

A.可去間斷點(diǎn)

B.跳躍間斷點(diǎn)

C.連續(xù)點(diǎn)

D.第二類(lèi)間斷點(diǎn)

正確答案：B

參考解析：第一類(lèi)間斷點(diǎn)的判別方法為：如果f(x)在點(diǎn)x0處間斷，且f(x0

+),f(x0-)都存在。其中，如果f(x0+)Wf(x0-),則稱(chēng)點(diǎn)xO為函

數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn)。本題中，因?yàn)閥(0+)=n/2,y(0—)=—n/2,

y(0+)Wy(0—),所以點(diǎn)x=0是函數(shù)y=arctan(1/x)的跳躍間斷點(diǎn)。

［單選題］10.設(shè)

cosx+xsin-,x<0

/(x)=,x

x'+Lx>0則x=0是f(x)的下面哪一種情況?

()［2012年真題］

A.跳躍間斷點(diǎn)

B.可去間斷點(diǎn)

C.第二類(lèi)間斷點(diǎn)

D.連續(xù)點(diǎn)

正確答案：D

參考解析：函數(shù)在某一點(diǎn)處，左右極限相等且有定義，則函數(shù)在這一點(diǎn)處連

續(xù)。函數(shù)的左右極限分別為：

lim(x2+1)=1

IT'7由

1

1sm--

lim(.vsin-)=lim(―^-)=lim(-----)=0

x-?Q-xx-*0~1x

X得

lim(cosx4-xsin—)=1

IT工f(0)=(x2+l)|x=0=l

所以

lim/(x)=lim/(x)=/(0)

XT。-XT。-~即x=0是f(x)的連續(xù)點(diǎn)。

［單選題］11.函數(shù)f(x)=(X—x2)/sinJix的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()。［2011

年真題］

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.無(wú)窮多個(gè)

正確答案：B

參考解析：函數(shù)分母不為零，分母為零的點(diǎn)有0,±1,±2,±3,……；分子

為零的點(diǎn)有0,lo當(dāng)x=0,1時(shí)，有：

一工-工…x-)「X(1-X)

hm-----=lim------=lim——=—

XTOsin7rxXTOZXT°nx7t

..x-x"..A*(l-x)

hm--------=hm----------

isinixJsinix

o

1-xo—1

=lim=lim

x-*isin/rxx—l兀COS7TX

-11

1,(一1)zr

v—v"

lim-——=8(次=T,±2,…)

xTXsin/rx故f(x)有兩個(gè)可去間斷點(diǎn)0、1。

［單選題］12.若y=y(x)由方程ey+xy=e確定，則y'(0)等于()。［2017

年真題］

A.—y/ey

B.—y/(x+ey)

C.0

D.-1/e

正確答案：D

參考解析：由方程ey+xy=e可得，當(dāng)x=0時(shí)，y=l。方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

eyy'+y+xy'=0,即y'=-y/(x+ey),將x=0,y=l代入，貝！J可得

y'(0)=-1/e。

［單選題］13.設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可微，且*(x)W0,則f(x)在

(a,b)內(nèi)()。［2016年真題］

A.必有極大值

B.必有極小值

C.必?zé)o極值

D.不能確定有還是沒(méi)有極值

正確答案：C

參考解析：可導(dǎo)函數(shù)極值判斷：若函數(shù)f(x)在(a,c)上的導(dǎo)數(shù)大于零，在

(c,b)上的導(dǎo)數(shù)小于零，則f(x)在c點(diǎn)處取得極大值；若函數(shù)f(x)在

(a,c)上的導(dǎo)數(shù)小于零，在(c,b)上的導(dǎo)數(shù)大于零，則f(x)在c點(diǎn)處取

得極小值。即可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)處，f'(x)=0。函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可

微，則函數(shù)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且連續(xù)；又f'(x)W0,則在(a,b)內(nèi)必有

f(x)>0或『(x)<0,即函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞

減，必?zé)o極值。

［單選題］14.下列說(shuō)法中正確的是()。［2014年真題］

A.若f，(x0)=0,則f(x0)必須是f(x)的極值

B.若f(x0)是f(x)的極值，則f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f'(x0)=0

C.若f(x0)在點(diǎn)xO處可導(dǎo)，則f'(x0)=0是f(x)在x0取得極值的必要

條件

D.若f(x0)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f'(x0)=0是f(x)在x0取得極值的充分

條件

正確答案：C

參考解析：當(dāng)f(x0)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)時(shí)，若f(x)在x0處取得極值，則可知

f(x0)=0；若f'(x0)=0,而f'(x0+)f'(x0-)20時(shí)，則f

(x)在xO處不能取得極值。因此，若f(x0)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f'(x0)

=0是f(x)在xO取得極值的必要條件。

11m叭

［單選題］15.若f'(xO)存在，則…?工一/()。［2018年真題］

A.f(xO)

B.-xOf7(xO)

C.f(xO)-xOfz(xO)

D.xOf/(xO)

正確答案：C

參考解析：原式化簡(jiǎn)得

lim」(毛)一"(「

f工一七

=HM(/)一'of(%)+%/(/)一%/(x)

xfX-XO

lim"7）（Xf）f[/（X）_/（喇

XTX°X-X

二lim/(—―%)_Hm/［/(、)-/(喇

x-%X-XQx-"X-XQ

=小)-.的3曳1

x-0、一&

f

=fM-xof(xo)

［單選題］16.設(shè)

cx<1

4v—1'x*>1'則f(x)在點(diǎn)x=l處()。［2013年真題］

A.不連續(xù)

B.連續(xù)但左、右導(dǎo)數(shù)不存在

C.連續(xù)但不可導(dǎo)

D.可導(dǎo)

正確答案：C

lim/(x)=lim3x2=3

參考解析：XT「XT「

limf（x）=lim（4x-1）=3

x->「x->r即

limf(x)=lim/(x)=/(I)=3

XTrx->r故f(x)在x=i處連續(xù)；

￡⑴=lim6x=6f+(J)—Hm4=4

Xrr即f—，(1)Wf+'(1),

故不可導(dǎo)。

［單選題］17.下列函數(shù)在給定區(qū)間上不滿(mǎn)足拉格朗日定理?xiàng)l件的是()。［2012年

真題］

A.f(x)=x/(l+x2),［-1,2］

B.f(x)=x2/3,［-1,1］

C.f(x)—el/x,［1,2］

D.f(x)=(x+1)/x,［1,2］

正確答案：B

參考解析：在拉格朗日中值定理中，函數(shù)f(x)應(yīng)滿(mǎn)足：在閉區(qū)間［a,b］上連

續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)。f(x)=x2/3在［-1,1］連續(xù)。

2-1?1

f(X)=±X3=±._L

?V、在(一1,1)不可導(dǎo)(因?yàn)閒'(x)在x=0處

導(dǎo)數(shù)不存在)，所以不滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件。

［單選題］18.如果f(x)在x0可導(dǎo)，g(x)在x0不可導(dǎo)，則f(x)g(x)在

xOOo［2011年真題］

A.可能可導(dǎo)也可能不可導(dǎo)

B.不可導(dǎo)

C.可導(dǎo)

D.連續(xù)

正確答案：A

參考解析：舉例說(shuō)明，令g(x)=l/x,g(x)在x0=0處導(dǎo)數(shù)不存在，即不可

導(dǎo)。令f(x)=x,此時(shí)f(x)?g(x)=1在x0=0處可導(dǎo)。令g(x)=

1/x,f(x)=1,此時(shí)f(x)g(x)=l/x在x0=0處不可導(dǎo)。

［單選題］19.設(shè)f(x)=x(x-1)(x-2),則方程『(x)=0的實(shí)根個(gè)數(shù)

是()。［2016年真題］

A.3

B.2

C.1

D.0

正確答案：B

參考解析：先對(duì)方程求導(dǎo)，得：f'(x)=3x2—6x+2,再根據(jù)二元函數(shù)的判

別式A=b2-4ac=12>0,可知方程有兩個(gè)實(shí)根。

［單選題］20.設(shè)

產(chǎn)COSX

Jj(，拉=—

?一工則f(冗/2)等于()。［2016年真題］

A.冗/2

B.-2/JI

C.2/n

D.0

正確答案：B

參考解析：將方程兩邊分別對(duì)x取一階導(dǎo)數(shù)得：f(x)=(-xsinx-cosx)

/x2,故

d(lnx)

［單選題］21.dJF等于()。［2014年真題］

A.1/(2x3/2)

B.VX

1

C.&

D.2/x

正確答案：B

參考解析：

［單選題］22.若

［x=sinZ

1，=。8'則(1丫/(取等于()。［2013年真題］

A.—tant

B.tant

C.—sint

D.cott

正確答案：A

參考解析：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=—sint/cost=—tanto

［單選題］23.設(shè)f(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則下列關(guān)系式中正確的是()。［2013年真

題］

A./f(x)dx=f(x)

B.(/f(x)dx)'=f(x)

C.ff'(x)dx=f(x)dx

D.(Jf(x)dx)'=f(x)+C

正確答案：B

參考解析：Jf(x)dx=F(x)+C,ff'(x)dx=f(x)+C,(；f(x)

dx)'=f(x)o

［單選題］24.設(shè)y=ln(cosx),則微分dy等于()。［2012年真題］

A.dx/cosx

B.cotxdx

C.—tanxdx

D.—dx/(cosxsinx)

正確答案：C

參考解析：等式兩邊同時(shí)微分，得：dy=f'(x)dx=(—sinx)dx/cosx=一

tanxdxo

［單選題］25.f(x)的一個(gè)原函數(shù)為0一則f'(x)等于()。［2012年真題］

?

A2(-U2.r)e-

B.一2隧”

「2(l+2x:)e-t：

D.(l-2k)e”

正確答案：A

-X

參考解析：由條件f(X)的一個(gè)原函數(shù)為C,得

/(")=-再由f(x)兩邊求導(dǎo)得：

f\x)=-2e~'+(-2x)e~x(-2x)

=2(-1+2/5

［單選題］26.若x=l是函數(shù)y=2x2+ax+l的駐點(diǎn)，則常數(shù)a等于()。［2018年

真題］

A.2

B.-2

C.4

D.-4

正確答案：D

參考解析：函數(shù)y關(guān)于x求導(dǎo)，得y'=4x+a。因?yàn)閤=l是函數(shù)y=2x2+ax

+1的駐點(diǎn)，所以4Xl+a=0,計(jì)算得a=-4。

［單選題］27.曲線(xiàn)f(x)=xe—x的拐點(diǎn)是()。［2017年真題］

A.(2,2e-2)

B.(-2,-2e2)

C.(-1,—e)

D.(1,e—1)

正確答案：A

參考解析：f(x)=xe—x,有f'(x)=(1—x)e—x,有f"(x)=(x—

2)e—x,令f"(x)=0,計(jì)算得x=2,通過(guò)計(jì)算知，f"(x)在x=2的

左、右兩側(cè)鄰近異號(hào)，又f(2)=2e—2,所以點(diǎn)(2,2e-2)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。

［單選題］28.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在是該函數(shù)在

此點(diǎn)可微分的()。［2018年真題］

A.必要條件

B.充分條件

C.充分必要條件

D.既非充分條件也非必要條件

正確答案：A

參考解析：函數(shù)f(x,y)在P0(x0,y0)可微，則f(x,y)在P0(xO,

y0)的偏導(dǎo)數(shù)一定存在。反之，偏導(dǎo)數(shù)存在不一定能推出函數(shù)在該點(diǎn)可微。舉

例如下：

函數(shù)

xy22八

.「一」r+y#0

&V+1"=°在點(diǎn)(0,0)處有fx(0,0)=0,fy

(0,0)=0,但函數(shù)f(x,y)在(0,0)處不可微。因此，函數(shù)f(x,y)

在點(diǎn)P0(x0,yO)處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在是該函數(shù)在此點(diǎn)可微分的必要條件。

［單選題］29.設(shè)z=y6(x/y),其中6(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則加z/

y)等于()。［2017年真題］

A.(1/y)6"(x/y)

B.(―x/y2)出〃(x/y)

C.1

D.4>'(x/y)—(x/y)6"(x/y)

正確答案：B

參考解析：計(jì)算得

郵&=y?6'(x/y)?(1/y)=。'(x/y)

應(yīng)z/&0=—(x/y2)6〃(x/y)

［單選題］30.設(shè)函數(shù)z=f(x2y),其中f(u)具有二階導(dǎo)數(shù)，則必z/(&a)

等于()。［2018年真題］

A.f〃(x2y)

B.f'(x2y)+x2f〃(x2y)

C.2x［f'(x2y)+yf"(x2y)］

D.2x［伊(x2y)+x2yf"(x2y)］

正確答案：D

參考解析：在z/(次偽)是先關(guān)于x求導(dǎo)，再關(guān)于y求導(dǎo)，計(jì)算得

—=——=—/年)?2/

cxcyW'dr,0?L'J

=(/y)?X2?2.w+f\x2yY2x

=2、cgHr,y)］

=2x\j\x2y)+X(-^y)］

［單選題］31.設(shè)z=3xy/x+xF(u),其中F(u)可微，且u=y/x,則6/4等

于()。［2016年真題］

A.3xy-yF/(u)/x

B.3xyln3/x+F/(u)

C.3xy+Fz(u)

D.3xyln3+F/(u)

正確答案：D

參考解析：計(jì)算得

61,、1

—=-xx3^InS+^fwjx-

dyx7x

=3打口3+尸(〃)

［單選題］32.設(shè)方程x2+y2+z2=4z確定可微函數(shù)z=z(x,y),則全微分dz

等于()。［2014年真題］

A.(ydx+xdy)/(2—z)

B.(xdx+ydy)/(2—z)

C.(dx+dy)/(2+z)

D.(dx—dy)/(2—z)

正確答案：B

參考解析：對(duì)等式兩邊分別同時(shí)求導(dǎo)，得：2xdx+2ydy+2zdz=4dz。所以dz=

(xdx+ydy)/(2—z)

xd

［單選題］33.設(shè)二二0則由z/82等于()。［2014年真題］

轆，，

A.如

+1)

B.'

ce

正確答案：A

參考解析：一次偏導(dǎo)為:

?工二次偏導(dǎo)為:

dx

[單選題]34.設(shè)z=z(x,y)是由方程xz—xy+ln(xyz)=0所確定的可微函

數(shù)，則6/齒等于()。[2013年真題]

A.—xz/(xz+1)

B.—x+1/2

C.z(—xz+y)/[x(xz+1)]

D.z(xy—1)/[y(xz+1)]

正確答案：D

參考解析：將xz—xy+ln(xyz)=0兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)，得xzy'—x+x(z+

y,zy')/(xyz)=0,整理得zy'=z(xy—1)/[y(xz+1)]0

[單選題]35.若z=f(x,y)和y=6(x)均可微，則dz/dx等于()。[2013年

真題]

A.cf/ck+of/o^

B.cf/ck+(%/&)(dO/dx)

C.(注/齒)(d<b/dx)

D.%/永一(%/次)(d4>/dx)

正確答案：B

參考解析：dz/dx=(%/8)(dx/dx)+(%/為)(d6/dx)=%/8+(df/d

y)(d0/dx)o

[單選題]36.設(shè)f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是

()。[2018年真題]

A.f[g(x)]

B.f[f(x)]

C.g[f(x)]

D.g[g(x)]

正確答案：D

參考解析：D項(xiàng)，令T(x)=g[g(x)]o因?yàn)門(mén)(—x)=g[g(—x)]=g[—g

(x)]=-g[g(x)],所以T(—x)=-T(x),所以g[g(x)]為奇函數(shù)。

[單選題]37.已知f(x)為連續(xù)的偶函數(shù)，則f(x)的原函數(shù)中()。[2013年真

題]

A.有奇函數(shù)

B.都是奇函數(shù)

C.都是偶函數(shù)

D.沒(méi)有奇函數(shù)也沒(méi)有偶函數(shù)

正確答案：A

參考解析：f(x)的原函數(shù)中有與f(x)的奇偶性相反的函數(shù)，但并不是所有

偶函數(shù)f(x)的原函數(shù)都是奇函數(shù)。

[單選題]38.若f(—x)——f(x)(-00<x<+00),且在(一8,o)內(nèi)

f'(x)>0,f〃(x)<0,則f(x)在(0,+8)內(nèi)是()。[2013年真題]

A.f'(x)>0,f"(x)<0

B.f'(x)<0,f"(x)>0

C.f'(x)>0,f"(x)>0

D.f'(x)<0,f"(x)<0

正確答案：C

參考解析：由f(―x)=-f(X)(―°°<x<+°o),知f(X)為奇函數(shù)，

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。根據(jù)奇函數(shù)圖形，故在(0,+°°)內(nèi)，f'(x)>0,

f"(x)>0o

［單選題］39.函數(shù)y=(5-x)x2/3的極值可疑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()。［2013年真題］

A.0

B.1

C.2

D.3

正確答案：C

參考解析：極值可疑點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)不存在或者導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。函數(shù)求導(dǎo)y'=5x—

1/3(2-x)/3,可見(jiàn)函數(shù)在x