考向5 函數(shù)的單調(diào)性及最值（重點）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點微（全國通用）（解析版）

考向05函數(shù)的單調(diào)性與

最值

I經(jīng)典真題）

1.(2022年浙江卷第7題)已知2"=5,log83=b,則平.二()

255

A.25B.5C.—D.

93

【答案】C

【解析】因為2"=5，^=log83=1log23,即23〃=3,所以

k筋_4。_(2"『_52_25

36

4(23))2329-

故選：C.

2.(2022年新高考1卷第7題)設(shè)a=0.1e°」,0=],c=-ln0.9,則(

)

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.

a<c<b

【答案】C

,1JC

【解析】設(shè)/。)=111(1+%)一%(%>-1),因為/'(X)=------1=一——

1+X1+X

當(dāng)xw(-1,0)時，f\x)>0,當(dāng)xw(0,+00)時/'(x)<0,

所以函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增,

所以/())</(0)=0,所以In與一1<0,故">ln￡=—ln0.9,即人〉c，

所以/(一一1)</(0)=0,所以In—9+一1<0,故二Q<e-?->，所以]-<上]，

10101010109

故a〈匕,

(x2-l)e'+l

則g，(x)=(x+l)ev+-^-j-

設(shè)g(x)=xex+ln(l-x)(0<x<1),

x-1

令力(x)=e'(x2-1)+1,h'(x)=ex(x2+2x-l),

當(dāng)0<x〈及一1時，h'(x)<0,函數(shù)/z(x)=e'(x2—i)+l單調(diào)遞減，

當(dāng)血一1<%<1時,〃’(x)>0,函數(shù)〃(x)=e'(x2—i)+l單調(diào)遞增,

又〃(0)=0,

所以當(dāng)0<x〈及一1時，h{x)<0,

所以當(dāng)O<x<0—1時，g'(x)>。，函數(shù)8(幻=居'+111(1-％)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°」>-ln0.9，所以

故選：C.

-ox+1,x<a,

3.(2022年北京卷第14題)設(shè)函數(shù)=,2若/(x)存在最小值，則。的

(x-2),x>a,

一個取值為；a的最大值為.

【答案】①.0(答案不唯一)②.1

1,x<0

【解析】若。=0時，/5)={/°、2、八，?../(X)min=0；

(x-2),x>0

若a<0時，當(dāng)x<a時，/(%)=-以+1單調(diào)遞增，當(dāng)x->-8時，f(x)->-oo,故/(x)沒

有最小值，不符合題目要求；

若a>0時，

當(dāng)x<a時，/(幻=一方+1單調(diào)遞減，f(x)>f(a)=-a2+\,

0(0<?<2)

當(dāng)x>a時,/(x)min={

(。-2『(?>2)

-a2+120或一〃+12(a-2)2，解得0<aW1,

綜上可得OWaWl：故答案為：0(答案不唯一)，1

(1)函數(shù)的單調(diào)性是對函數(shù)定義內(nèi)的某個區(qū)間而言的。

(2)函數(shù)/6J在給定區(qū)間上的單調(diào)性是函數(shù)在該區(qū)間上的整體性質(zhì)。

(3)函數(shù)的單調(diào)定義中的幻、尤2有三個特征：①任意性②有大?、蹖儆谕粋€單調(diào)區(qū)間。

（4）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先求定義域。

（5）求函數(shù)的最值的常用方法，①數(shù)形結(jié)合法②配方法③單調(diào)性法。

1.函數(shù)單調(diào)性的兩個等價結(jié)論

設(shè)Vxi，X2GD（Xl^X2），則

f（犬［）—f（X9）

（ir-----.，.…一＞0（或⑶-X2）［AXI）~AX2）］＞O）號上）在D上單調(diào)遞增?

XI

f（XI）—f（X2）

------二_--＜0（或（XI—X2）［/（XI）—AX2）］＜0）號/）在D上單調(diào)遞減.

X2,

2.函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論

（1）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)

時最值一定在端點取到.

（2）開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大（小）值.

【易錯點11求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，忽略定義域研究函數(shù)

的單調(diào)性是常見的錯誤.

【易錯點2】有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫，不能用符號“U”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”

聯(lián)結(jié)，只能用“逗號”或“和"聯(lián)結(jié).

1.下列.函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是

A.y-e~xB.y=x3C.y=lnxD.y=\x\

【答案】B

【解析】四個函數(shù)的圖象如下

顯然B成立.

【名師點睛】本題考查函數(shù)的定義域以及單調(diào)性的判定，涉及指數(shù)、對數(shù)、幕函數(shù)的性質(zhì),

屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的定義域以及單調(diào)性，即可得答案.

z［\.V"—2.V—3

2.函數(shù)〃力=2的單調(diào)遞減區(qū)間是

A.+oo)B.(-oo,l)C.(3,+00)D.(l,+oo)

【答案】D

【解析】設(shè)片/-213,則函數(shù)在(-8,1］上單調(diào)遞減，在［1,+00)上單調(diào)遞增.

<1Y

因為函數(shù)y=在定義域上為減函數(shù)，

所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可知，此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+oo).

故選D.

【名師點睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，

一要先確定函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行

判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減解答本題時，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)/(x)的單

調(diào)遞減區(qū)間.

3.已知函數(shù)a=/(205),人=/(0.3巧，c=/(log032),則。，b,c的

大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.a<h<cC.h<c<aD.c<a<h

【答案】B

【解析】函數(shù)/(x)=J,a=/(2°?。=/(0.3°2),c=/(log032)

根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：

02

2°5>2°=1，0<O.3-<0.3°=1?log032<log0,31<0,

205

因為函數(shù)/'。)=’在/?上單調(diào)遞減，Klog032<0.3°'<2-,

e

所以,(logo32)>/(0.3°-2)>/(2°-5),即a(力<C.

故選：B

【點睛】

對于指數(shù)累的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因哥的底數(shù)

或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進(jìn)行

指數(shù)塞的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的

單調(diào)性進(jìn)行判斷.對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)幕的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，

又準(zhǔn)確.

4.已知函數(shù)仆)=3『24)+(〃小叱JT尤)+。.=2」，若小小0對

xe[0/M亙成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-oo,73-l]B.(-oo,0]C.[073-1]D.(一oo/一行]

【答案】A

3

【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=f+l,y=2x,y=V+5的圖象，由圖象可知，

在［0,1］上，x2+1<2'

22

3

當(dāng)且僅當(dāng)x=0或x=l時等號成立，.?.l?g(x)<5,

3

設(shè)g(x)=f,則lw/<5j(g(x)］wo等價于

2萬

K|Icos—t+(6Z-I)siny+?<0,

3

再設(shè)sin￡="2<1，原不等式可化為l-2sin2^-r+(6Z-l)siny^+6Z<0,

即

1c2/八八2加2+m-l入[

1—2m~+(6z-l)m+n<O,6z<-------------=2m-1,

zn+1

而由一1<2m—1<1,:.awC-\,

故選：A.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查恒成立問題，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵點是設(shè)

jrt

g(x)=f，則原不等式等價于/(/)<0,再設(shè)sin—=m,并參變分離求出最值解出實數(shù)a

的取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查學(xué)生計算能力，屬于中檔題.

5.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為H,滿足/(x+l)=2/(x),且當(dāng)xe(O,l］時，

O

/(x)=x(x-l).若對任意xe(—oo,間，都有/(x)N--，則m的取值范圍是

9

)

(8-

I3」

【答案】B

【解析】：xe(O,l］時，/(x)=x(x-l),/(x+l)=2/(x),/./(%)=2/(x-l),即f(x)

右移1個單位，圖像變?yōu)樵瓉淼?倍.

如圖所示：當(dāng)2<xW3時,/(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),令

Q

4(x-2)(x-3)=--,整理得：9X2-45X+56=0,A(3X-7)(3X-8)=0(舍)，

9

78877

?*.x,——,Xr.——,xG(-oo,vn\時，f(x)三—成立，即mW—,mw-00,—

3-3933

故選B.

一、單選題

1.(2022?青海.海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(文))下列函數(shù)中是減函數(shù)的為()

A./(x)=log,xB./(x)=l-3vC./3=一5D.f(x)=-x2+l

【答案】B

【解析】選項A：由2>1,可得/。)=log了為增函數(shù).判斷錯誤；

選項B：由3>1,可得y=3,為增函數(shù)，則〃x)=l-3,是減函數(shù).判斷正確;

由」<0,可得y=xT是減函數(shù)，則/(')=-｛為增函數(shù)?判斷錯誤;

選項C：

2

選項D:/(幻=-/+］在(y,0)上單調(diào)遞增.判斷錯誤.

故選：B

-3x-f-3,x<0,—

2.(2023?河南?洛寧縣第一高級中學(xué)一模(理))已知函數(shù)/(x)=b+g。'則不等式

/(〃)</(3°-1)的解集為()

A.阻B.卜則C.f)D.~,一；)

【答案】C

-3x+3,x<0

【解析】因為/*)=_?、八，

er4-l,x>0

當(dāng)x<0時/(x)=-3x+3函數(shù)單調(diào)遞減，且/(x)>—3*0+3=3,

當(dāng)xNO時/(x)=e-，+l函數(shù)單調(diào)遞減，且/⑼=e°+l=2<3,

所以函數(shù)/(X)在(7,+00)上是單調(diào)遞減，

所以不等式/(〃)<"3。-1)等價于a>3“—1,解得a<g.

即不等式的解集為,8,；1

故選：c

3.(2022?遼寧?大連二十四中模擬預(yù)測)已知函數(shù)y=/(x),若〃x)>0且/'(力+獷(力>0,

則有()

A.“X)可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)B.

714LCOS2*r—

C-1<“<萬時，f(sinx)<e2/(cosx)D./(0)<>/e/(l)

【答案】D

【解析】若〃無)是奇函數(shù)，則〃—x)=—“X),又因為/1(x)>。，與〃T)=-"x)矛盾,

所有函數(shù)y=/(x)不可能時奇函數(shù)，故A錯誤；

令g(x)=e?則g〈x)=xe2/(x)+e2f'(x)=e2(V(x)+,[(x))，

因為』>0，rW+#W>0-所以g'(x)>0,所以函數(shù)g(x)為增函數(shù)，

所以g(T)<g⑴，即所以/(一1)</(1)，故B錯誤；

因為所以0<cosx<—,—<sinx<1,

4222

所以sinX>cosx,故g(sinx)>g(cosx),即e"；/(sinx)>e0；/'(cosx)，

cos」x-sin?xcos2x

所以)(sinx)>e2y(cosx)=e2f(cos%)，故C鉗誤;

有g(shù)(O)vg⑴,即/(0)〈后⑴,故D正確.

故選：D.

4.(2022?江蘇無錫?模擬預(yù)測)已知4=皿冷,6=已71=(9-31113把-3,則4,b,。的大小為

()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】C

【解析】令函數(shù)/(x)=W(xZe),當(dāng)x>e時，求導(dǎo)得：/(司=上坐<0,

則函數(shù)/(X)在［e,+oo)上單調(diào)遞減，又。=口=/(3),b=-=f(e),

3(3-In3)

顯然e<3<J,則有f(T)</(3)<f(e)，所以c<a<>

3

故選：C

5.(2022?青海?模擬預(yù)測(理))若0<”分<1,則(

A.eb-ea<\nh-\naB.eh-ea>\nh-\na

C.bea<aebD.bea>ae1

【答案】D

【解析】對于A,B,令/.(%)=0'-In]，則r(x)=e，-L

x

當(dāng)0<xvl時，r(x)=e"—」單調(diào)遞增，

x

?c2c

-1/r7

nj-(l)=e2-2<0,/(|)=e^--=^/e-Vr5>^729-\^>0

19

故存在％eg,*,使得/'(x0)=0,

則當(dāng)xw(O,Xo)時，f(x)=e，—lnx遞減，當(dāng)xe(x0,l)時，/(x)=e*-lnx遞增，

由于Ovacbvl,此時/(a)=e"-lnaj(6)=e"-lnb大小關(guān)系不確定,

故A,B均不正確；

對于C.D,設(shè)g(x)=f，則g，(x)=e'(xT),當(dāng)Ovx<l時，g'(x)<0,故g(x)=《單調(diào)遞減，

XXX

所以當(dāng)0<aC<l時，g(〃)>gS),即且，即加">ae〃，故C錯誤，D正確，

ab

故選：D

6.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足"1)=1,對于X/%，x2eR,

當(dāng)“氣時，都有/(司)一/(9)<2(玉-々)，則不等式/(1%力+1<1。82/的解集為()

A.(?,2)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,+8)

【答案】B

【解析】由題設(shè)4時/(%)-2X1</區(qū))-2X2，即〃(x)=/(x)-2x在R上遞增，

X/i(l)=/(l)-2=-l,而/(logzxHlvlogz%2等價于f(log2X)-21og2X<-l,

所以6(log2X)</W),即log2x<l,可得0<x<2.故不等式解集為(0,2).故選：B

二、多選題

7.(2022.江蘇無錫.模擬預(yù)測)定義：在區(qū)間/上，若函數(shù)y=〃x)是減函數(shù)，且y=4(x)

是增函數(shù)，則稱y=/(x)在區(qū)間/上是“弱減函數(shù)根據(jù)定義可得()

A.〃力=：在(0,+8)上是“弱減函數(shù)”

B./(x)=??在(1,2)上是“弱減函數(shù)”

C.若〃x)=W在的物)上是“弱減函數(shù)”，則，“Ze

D.若〃x)=cosx+&在(0,父上是“弱減函數(shù)”，則二必配

\2)57171

【答案】BCD

【解析】對于A,y=：在(0,y)上單調(diào)遞減，y=#(x)=l不單調(diào)，故A錯誤;

對于B,4x)=p,/")=子在(1,2)上用x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

y=?(x)=],y，=2/=必曰>0,.?.〉在(1,2)單調(diào)遞增，故B正確；

對于C,若〃回=乎在(，",內(nèi))單調(diào)遞減，由/(》)=上詈=0,得》=6,

/.m>e,y=^/(x)=lnx在(0,+oo)單調(diào)遞增,故C正確;

對于D,/(X)=COSX+AX2^E(0,yj匕單調(diào)遞減,

/,(x)=-sinx+2Ax<0^Exe^0,yj

上恒成立n2&4

min

xcosx-sinx

令Zz(x)=，由4,h\x)-,令e(x)=xcosx-sinx,

^(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0,

:.9(x)在(0,"l二單調(diào)遞減，s(x)<8⑼=0,

.?.〃(x)<0,.??g)在0卷上單調(diào)遞減，h(x)>h

2k4—nk4—,

7C71

g(x)=xf(x)=xcosx+4在上單調(diào)遞增,

g'(x)=cosx-xsinx+3收20在上恒成立,

xsinx-cosx

二3k2

2

xmax

人/、xsinx-cosx“、x2cosx+2cosx

令小)=----p------->尸(力=-------->--0-,---

???F(x)在(%]

上單調(diào)遞增，F(xiàn)[x)<F圖T

22

???3kN—nkN——，

713萬

21

綜h：--k<一,故D正確.

3萬71

故選：BCD.

8.（2022?江蘇省木瀆高級中學(xué)模擬預(yù)測）當(dāng)1Vxi<%時，不等式々爐-玉屋<。成立.若

b>e">e,則()

A.e">加zB.e"+"vbe°"C.aeh<b\naD.ah>eaInb

【答案】AD

【解析】當(dāng)1<X]<超時，不等式x)e--王4<。=—<—,令=

\x2x

則/(處在(1,y)上單調(diào)遞增，

be

因力〉e>l,則/?>/(e)o—>—oeb>bec~],A正確；

he

因人>e">l,則/3)>/化")。^>加一，B不正確；

由e">e知，〃>1，W/(tz)>/(1)<=>—>e>l<x>ea>?,則。>Ina=<1,

h心i

由選項A知，—P>1,即^>上g0〃斯>引。4,C不正確；

bba

\nba

由匕,e">e得，\nb>a>\,貝ijf(Inb)>f(a)o>—oab>e"Inb,D正確.

In/?a

故選：AD

三、填空題

9.（2022?上海長寧?二模）已知函數(shù)〃x）滿足：/（x）=77T，X"0，則不等式〃力+；20

-/（-x）,x<0

的解集為—.

【答案】卜1,內(nèi)）

上,x20

X+1

【解析】根據(jù)題意可得〃x）=.且/（X）為奇函數(shù)

—^―,x<0

1-x

當(dāng)X20時，f(x)=*=l-則/(x)在[0,+e)上單調(diào)遞增

"(x)在R上單調(diào)遞增

則〃x)=-；1,即告V=-1：,解得X=—l

21-x2

.?./(x)+g*0即f(x)N-g的解集為x'—l

故答案為：［-1,+8）.

10.（2022?河南?新鄉(xiāng)縣高中模擬預(yù)測（理））在人工智能領(lǐng)域的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，常用到在定義

域/內(nèi)單調(diào)遞增且有界的函數(shù)/（力，BPBM>0,Vxe/,|/（A）|<M.則下列函數(shù)中，所

有符合上述條件的序號是.

①〃x）=?；②〃力=??；③〃x）=4^；④/（x）=±.

1+xe4-e]+e

【答案】③④

【解析】對于①，〃X）=&無界，不符合題意；

對于②，/（尤）=177=―T不單調(diào)，不符合題意；

X+—

X

對于③，/"）=三三==4=3鉆±=1—/單調(diào)遞增，且則

符合題意；

對于④，"》）=匚白7單調(diào)遞增，且〃x）w（0,l）,則忱⑴V1,符合題意.

故答案為：③④

L（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）

（C、*

一C./（X）=x2D.〃尤）=私

3,

【答案】D

【解析】對于A,f（尤）=一無為/?上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對于B,=為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對于C,/（力=/在（—,（））為減函數(shù)，不合題意，舍.

對于D,/（x）=近為R上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.

2.（2018.陜西高考真題（理））下列函數(shù)中，滿足“/（x+y）=4%）/（力”的單調(diào)遞增函

數(shù)是

A./(x)=x5B.f(x)=x3c.=D./(x)=3'

【答案】D

【解析】

試題分析：由于，?3=優(yōu)+"所以指數(shù)函數(shù)/(》)=優(yōu)滿足/(x+y)=/(x)+/(y),且

當(dāng)。>1時單調(diào)遞增，0<x<l時單調(diào)遞減，所以/(%)=3、滿足題意，故選D.

考點：幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

3.(2019?陜西高考真題(理))下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為

A.y=x+lB.y=-x2C.y=-D.y=x|x|

x11

【答案】D

【解析】A是增函數(shù)，不是奇函數(shù)；B和C都不是定義域內(nèi)的增函數(shù)，排除，只有D正確,

因此選D.

4.(2017?浙江高考真題)若函數(shù)f(x)=x?+公+匕在區(qū)間［0,1］上的最大值是M,最小值是

m,則的值

A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，但與b無關(guān)

C.與a無關(guān)，且與b無關(guān)D.與a無關(guān)，但與b有關(guān)

【答案】B

2

【解析】因為最值在/(0)=d/(1)=1+〃+上/(一］)=力一?中取，所以最值之差一定與

力無關(guān)，選B.

【名師點睛】對于二次函數(shù)的最值或值域問題，通常先判斷函數(shù)圖象對稱軸與所給自變量閉

區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合圖象，當(dāng)函數(shù)圖象開口向上時，若對稱軸在區(qū)間的左邊，則函數(shù)在所給區(qū)

間內(nèi)單調(diào)遞增；若對稱軸在區(qū)間的右邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；若對稱軸在區(qū)間內(nèi)，

則函數(shù)圖象頂點的縱坐標(biāo)為最小值，區(qū)間端點距離對?稱軸較遠(yuǎn)的一端取得函數(shù)的最大值.

5.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科)設(shè)函數(shù)〃x)=1n|2x+l|-ln|2x-1|,則火x)()

A.是偶函數(shù)，且在g,+oo)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(—3,；)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(F,-g)單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(F,-g)單調(diào)遞減

【答案】D

【解析】由〃