圓周角九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試真題匯編（蘇科版）

專題05圓周角

g經(jīng)翼基砒題

一.選擇題（共4小題）

1.（2021秋?泗陽(yáng)縣期末）如圖，點(diǎn)A、B、C都在。O上，若∕ACB=60°,則/AOB的

C.120°D.130°

【分析】根據(jù)圓周角定理進(jìn)行求解即可得出答案.

【解答】解：YNACB=60°,

.?.∕AOB=2NACB=2X60°=120°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理進(jìn)行求解計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

2.（2021秋?徐州期末）如圖，AB為。O的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，若∕BCD=α,則/

【分析】由圓周角定理得出NADB=90°,ZBAD=ZBCD=ɑ,由直角三角形的性質(zhì)

求出NABD=90°-ɑ即可.

【解答】解：：AB是。O的直徑，

ΛZADB=90°，

；NBAD=/BCD=α,

ΛZABD=90°-a.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解

題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?崇川區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A,B,C,D,E在。O上，AB=CD,ZAOB=36o,

）

36°C.18°D.16°

1

【分析】連接OC、OD,可得/AOB=/Ce）D=36°,由圓周角定理即可得NCED=

COD=18°.

CD,

???NAOB=/CoD=36°,

ΛZCED=∣ZCOD=I8o.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓心角、弧、弦三者的關(guān)系以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓

心角的一半.

4.（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，若∕C=140°,則

ZBOD的度數(shù)為（）

A.40oB.70oC.80°D.90°

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NA的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理解答.

【解答】解：???四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

.?.NA+NC=180°,

VZC=140°,

：.ZA=40o,

由圓周角定理得，ZBOD=2ZA=80o,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互

補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

5.（2021秋?寶應(yīng)縣期末）如圖，AB是。O的直徑，CD是。O的弦，ZCAB=42o,則N

D的度數(shù)是48°.

【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角推出NACB=90°,再結(jié)合圖形由直角三角形的

性質(zhì)得到NB=90°-NCAB=48°,進(jìn)而根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等推出ND=NB=

48°.

【解答】解：連接CB.

ΛZACB=90°,

VZCAB=42°,

.,.ZB=90°-ZCAB=48o,

.?.ND=∕B=48°.

故答案為：48.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形根據(jù)圓周角定理推出NACB=90。

及ND=NB,注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.

6.（2021秋?常州期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,DA=DC,若NCBE=40°,則

ZDAC的度數(shù)是70°.

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出/ABC,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∕D+∕ABC=180°,

求出/D,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出NDAC即可.

【解答】解：?.?∕CBE=40°,

ΛZABC=180o-NCBE=I40°,

?.?四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，

ΛZD+ZABC=180°,

.?.ND=40°,

VAD=CD,

.?.ZDAC=ZDCA=∣(180o-ZD)=70。,

故答案為：70°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，圓

心角、弧、弦之間的關(guān)系，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解

此題的關(guān)鍵.

7.（2021秋?靖江市期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于以BD為直徑的。O,CA平分NBCD,

若四邊形ABCD的面積是30cm2,則AC^2√15cm.

【分析】過點(diǎn)A作AEJ_AC,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,證明^ABCT∕?ADE從而得到^

ACE的面積等于四邊形ABCD的面積，證明aACE為等腰直角三角形，根據(jù)三角形面

積公式即可求出AC.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AELAC,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

VBD為。O的直徑，

ΛZBCD=ZBAD=90o,

：CA平分/BCD,

ΛZACB=ZACD=45o,

.?.∕ABD=∕ADB=45°,

.,.AB=AD,

四邊形ABCD內(nèi)接于ΘO,

ΛZABC+ZADC=l80o,

又?.?∕ADE+NADC=180°,

.,.ZABC=ZADE.

VAE?AC,

ΛZCAE=90o,

又?.?∕ACE=45°

ΛAC=AE

,.,ZBAD=90o,NCAE=90°,

ΛZBAC=ZDAE.

在aABC與AADE中，

(ZBAC=ZDAE

?AB=AD'

{?ABC=?ADE

Λ?ABC^?ADE(ASA),

?"?SAABC=SAADE,

SAACE=SABCD=30,

：.^AC2=30,

：.AC=2√15.

故答案為：26.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將四邊形

ABCD的面積轉(zhuǎn)化為AACE的面積.

8.（2021秋?寶應(yīng)縣期末）在銳角三角形ABC中，ZA=30o,BC=3,設(shè)BC邊上的高為

h,則人的取值范圍是0≤?≤3+i√3.

【分析［做出三角形的外接圓，根據(jù)/∕WAO+OP求解即可.

【解答】解：如圖，作AABC的外接圓。O,過O作OPLBC,

.".ZBOC=60°,

VBC=3,

O

ΛPO=∣√3,

ΛΛ≤AO+OP=3+∣√3,

V?ABC是銳角三角形，

ΛΛ>3√3,

，〃的取值范圍是：3√3<λ≤3+∣√3,

故答案為：3√3<Λ≤3+∣√3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，作出三角形的外接圓是解題關(guān)鍵.

Ξ.解答題（共4小題）

9.（2021秋?廣陵區(qū)期末）如圖，在等腰aABC中，AB=BC,以AB為直徑的。O,分別

與AC和BC相交于點(diǎn)D和E,連接OD.

（1）求證：OD〃BC；

（2）求證：AD=DE.

【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得到/OAD=NODA,/BAC=/OAD=/C,所

以NoDA=NC,然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論；

（2）連接半徑OE,如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得NB=/OEB,由（1）知OD〃BC,

利用平行線的性質(zhì)得NAOD=NB,然后證明NAoD=NEOD,從而得到結(jié)論.

【解答】證明：（1）VOA=OD,

ΛZOAD=ZODA,

VAB=BC,

.?.NBAC=NOAD=NC,

/.ZODA=ZC,

???OD〃BC：

（2）連接半徑0E,如圖，

JOB=OE,

ΛZB=ZOEB,

由（1）知OD〃BC,

ΛZAOD=ZB,

.?.ZOEB=ZEOD,

ΛZEOD=ZB,

/.ZA0D=ZE0D,

，AD=DE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都

等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系和利用等腰三角形的

性質(zhì).

10.（2021秋?亭湖區(qū)期末）如圖所示，已知在。0中，AB是。0的直徑，弦CG±AB于D,

F是。0上的點(diǎn)，且。=朝，BF交CG于點(diǎn)E,求證：CE=BE.

【分析】連接BC,根據(jù)垂徑定理得到元=而，等量代換得到獷=而，根據(jù)圓周角定

理得到NCBF=NBCG,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】證明：連接BC,

YAB是。O直徑，弦CG_LAB于點(diǎn)D,

：.BC=BG,

?：CF=CB,

：.CF=BG,

.?.NCBF=∕BCG,

ΛCE=BE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角，等腰三角形的判斷，正確的作Hl輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.(2022春?興化市期末)如圖，AB是。。的直徑，弦AD平分NBAC,過點(diǎn)D分別作

DE±AC>DF±AB,垂足分別為E、F,。。與AC交于點(diǎn)G.

(1)求證：EG=BF;

(2)若。O的半徑r=6,BF=2,求AG長(zhǎng).

【分析】(1)連接DG,BD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到/GAD=NBAD,DE=DF,求

得DG=BD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AF=10,根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接DG,BD,

YAD平分NBAC,DE±ACDF±AB,

ΛZGAD=ZBAD,DE=DF,

：.DG=BD,

.".DG=BD,

在RrΔDEG與RrΔDFB中，

(DE-DF

lDG=BD'

：.Rr?DEG^R∕?DFB(HL),

ΛEG=BF;

(2)解：的半徑r=6,BF=2,

ΛAF=10,

在RzAAED與RrAAFD中，

(DE=DF

(AD=AD'

ΛRr?AED^Rz?AFD(HL),

AE=AF=10,

VEG=BF=2,

ΛAG=AE-EG=8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查J'全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

12.(2020秋?鼓樓區(qū)期末)如圖，。0的半徑為4,點(diǎn)E在。O上，OE±?AB,垂足為D,

OD=2√3.

(1)求AB的長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)C為。O上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合)，直接寫出NACB的度數(shù).

O

【分析】(I)連接OA.利用勾股定理求出AD,再根據(jù)垂徑定理可得結(jié)論.

(2)分兩種情況討論：點(diǎn)C在優(yōu)弧AB或劣弧AB上，分別求解即可.

【解答】解：(1)連接0A,

：弦AB10E,

ΛAD=BD=^AB,ZODA=90o,

ΛAD2+OD2=OA2

.?.AD2=42-(2√1)2=4,

?*?AD=2,

JAB=4；

（2）分兩種情況討論：

情況一，在優(yōu)弧砂上，連接OA,OB,如圖1,

VOD=2√3,0A=4,

./Acc0d2總、伍

??cosZ-AOD==4=^2^,

.?.ZAOD=30o,

ΛZAOB=60°,

ΛNC=^?AOB=?×60°=30°,

情況二，在劣弧而上，

NACB=I80°-30°=150°,

綜上所述，NACB=30°或150。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想

思考問題，屬于中考?？碱}型.

優(yōu)逡機(jī)打題Q

一.選擇題（共4小題）

1.（2021秋?蘇州期末）如圖，在aABC中，以BC為直徑的。O,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,

交AC于點(diǎn)E.連接OD,OE,若NDOE=I30°,則/A的度數(shù)為（）

【分析】連接DC,根據(jù)圓周角定理求出NACD=24EOD=65°,根據(jù)圓周角定理求出

NADC=90°,再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出即可.

【解答】解：連接DC,

，NACD=聶EC)D=65°,

?/BC是。O的直徑，

.?.NADC=90°,

.?.∕A=90°-NACD=90°-65°=25°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)圓周角定理得出∕ACD=±4EOD和∕ADC=90°是解此題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?東臺(tái)市月考）如圖，AB是。。的直徑，若AC=2,ZD=60o,則BC長(zhǎng)等

于（）

C.√3D.2√3

【分析】根據(jù)圓周角定理得出NACB=90°,∕CAB=∕D=60°,求出NABC=90°

-ZCAB=30o,根據(jù)含30度角的宜角三角形的性質(zhì)求出AB=2AC=4,再根據(jù)勾股定

理求出BC即可.

【解答】解：YAB是。。的直徑，

.?.NACB=90°,

VZD=60o,

ΛZCAB=ZD=60",

.?.NABC=90°-∕CAB=30°,

VAC=2,

.?.AB=2AC=4,

BC=>!AB2-AC2=√42-22=2√3,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)，能熟記圓周角定理是解此題的關(guān)

鍵.

3.（2022秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB,CD為。O的兩條弦，若NA+∕C=120°,AB

=2,CD=4,則C）O的半徑為（）

C

D

【分析】連接OB,0A,0C,0D,證明NAoB+NCOD=90°,在OO上點(diǎn)D的右側(cè)

取一點(diǎn)E,使得DE=AB,過點(diǎn)E作ET_LCD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,則彳&=龐，利

用勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖，連接OB,OA,OC,OD,

?.?∕B0C=2NCAB,∕A0D=2∕ACD,∕CAB+∕ACD=120°,

...∕BOC+NAOD=240°,

ΛZAOB+ZCOD=120o,

在。O上點(diǎn)D的右側(cè)取一點(diǎn)E,使得DE=AB,過點(diǎn)E作ET_LCD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

T,則麗=砧，

ΛZAOB=ZDOE,

ΛZCOE=120°,

ΛZCDE=120°,

ΛZEDT=60°,

?.'DE=AB=2,

ΛDT=LET=√3,

.?.CT=CD+DT=4+1=5,

ΛCE=>JCT2+ET2=J52+(√3)2=2√7,

作OF_LCE,則∕COF=60°,CF=√7,

???OC=OE=4=攀

T

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形找到

相應(yīng)的角或邊之間的關(guān)系.

4.（2021秋?常州期中）如圖，已知直線PA交。。于A、B兩點(diǎn)，AE是Oo的直徑，點(diǎn)C

為。。上一點(diǎn)，且AC平分NPAE,過C作CD_LPA,垂足為D,且DC+DA=12,?0

的直徑為20,則AB的長(zhǎng)等于（)

A.8B.12C.16D.18

【分析】連接OC,根據(jù)題意可證得NCAD+NDCA=9(T,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得

ZDCO=90o,過O作OF_LAB,則NOCD=NCDA=NOFD=90°,得四邊形OCDF

為矩形，設(shè)AD=JG在RfZ?AOF中，由勾股定理得(Io-X)2+(∣2-χ)2=102,從而

求得X的值，由勾股定理得出AB的長(zhǎng).

【解答】解：連接OC,過O作OFJ_AB,垂足為F,

VOA=OC,

ΛZOCA=ZOAC,

VAC平分NPAE,

/.ZDAC=ZCAO,

ΛZDAC=ZOCA,

ΛPBZ/OC,

VCD±PA,

JNOCD=NCDA=/OFD=90°,

???四邊形DCOF為矩形，

JOC=FD,OF=CD.

VDC+DA=12,

設(shè)AD=M則OF=CD=12-乂

?.?OO的直徑為20,

.?.DF=OC=10,

ΛAF=10-χ,

在RΛ?AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2.

即(IO-X)2+(12-χ)2=102,

解得XI=4,X2=18.

?.'CD=12-χ大于0,故X=I8舍去，

ΛΛ?=4,

ΛAD=4,AF=10-4=6,

VOFlAB,由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點(diǎn),

ΛAB=2AF=12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)以及垂徑定理,

是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.

二.填空題（共4小題）

5.（2022秋?泰興市期中）如圖，點(diǎn)M是半圓C）O的中點(diǎn)，點(diǎn)A、C分別在半徑OM和版上,

ZACB=90o,AC=3,BC=4,則。。的半徑為2√?.

【分析】延長(zhǎng)CA,ZACB=90o,BD為直徑，所以D在CA上，根據(jù)勾股定理得AB

=5,由點(diǎn)M是半圓。O的中點(diǎn)，得MO±BD,所以AD=AB=5,再根據(jù)勾股定理得

BD2=BC2+CD2,即可求出答案.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)CA,

BOD

?.?NACB=90°,BD為直徑,

.?.D在CA上，

；AC=3,BC=4,

ΛAB=√?C2+BC2=5,

；點(diǎn)M是半圓。。的中點(diǎn)，

ΛMO±BD,

ΛAD=AB=5,

.?.CD=8,

在RrZ?BCD中，BD2=BC2+CD2,

.,.BD=√82+42=4√5,

，。。的半徑為2遙.

故答案為：2√?.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是延長(zhǎng)CA,得D在CA上，得RfaBCD.

6.（2022秋?儀征市期中）如圖，已知點(diǎn)A,B,C依次在Oe）上，NB-NA=30°,則N

【分析】設(shè)AC與OB相交于點(diǎn)D,利用三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等可得/O+/A

=ZC+ZB,從而可得NO-ZC=ZB-ZA=30o,然后根據(jù)圓周角定理可得/C=∣Z

0,從而可得/0-々/0=30°,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：如圖：設(shè)AC與OB相交于點(diǎn)D,

VZO+ZA+ZODA=180o,ZB+ZC+ZBDC=180o,ZADO=ZBDC,

ΛZO+ZA=ZC+ZB,

.?.∕O-NC=NB-NA=30°,

1

???NC=Ro,

1

?'?NO-2/O=30，

ΛZO=60o,

故答案為：60.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?江陰市期中）如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)C是油的中點(diǎn)，點(diǎn)D是直徑AB所

在直線下方一點(diǎn)，連接CD,且滿足NADB=60°,BD=2,AD=3√5,則aABD的面

97√2

積為5；CD的長(zhǎng)為.

C

【分析】AD交Θ0于E,連接BE,連接CA、CB,如圖，根據(jù)圓周角定理得到/AEB

=NACB=90°,再利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到DE=I,BE=√3,則

根據(jù)三角形面積公式可計(jì)算HlAABD的面積;接著利用點(diǎn)C是油的中點(diǎn)得到AC=BC,

所以ACDB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ACFA,過F點(diǎn)作FHLDA于H點(diǎn)，如圖，根

據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∕FCD=90°,ZCFA=ZCDB,CF=CD,AF=BD=L接著證明N

AFD+ZADF=30o,所以∕HAF=30°,利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到

計(jì)算出FH=I,AH=√3,則利用勾股定理可計(jì)算出DF=7,然后根據(jù)等腰直角三角形的

性質(zhì)得到CD的長(zhǎng).

【解答】解：AD交OO于E,連接BE,連接CA、CB,如圖，

?.?AB為直徑，

ΛZAEB=ZACB=90°,

VZADB=60°,

.,.DE=∣BD=1,

ΛBE=√3DE=√3,

Λ?ABD的面積=?×3√3×√3=1；

；點(diǎn)C是通的中點(diǎn)，

：.AC=BC,

ΛAC=BC,

.,.?ACB為等腰直角三角形，

把ACDB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到aCFA,過F點(diǎn)作FHJ_DA于H點(diǎn)，如圖，

ΛZFCD=90o,ZCFA=ZCDB,CF=CD,AF=BD=I,

?.?∕CFA+NCDA=NCDB+NCDA=NADB=60°,

ΛZAFD+ZADF=30o,

.?.∕HAF=30°,

1

ΛFH=∣AF=1,

ΛAH=√3FH=√3,

在RΛ?DFH中，DF=VFH2+DH2=12?(4√3)2=7,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都

等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角

所對(duì)的弦是直徑.也考查了勾股定理.

8.（2022秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB為半。O的直徑，C為圓上一點(diǎn)，D為公的中點(diǎn)，

BM

連接BD,分別與OC、AC交于點(diǎn)M、N.且CN=MN,則NABD=分°,——=

√5-l

【分析】如圖，連接AD,DC,在OD上取一點(diǎn)J,使得AJ=AD,連接AJ.設(shè)NABD

=NCBD=x,則Nc）BC=∕OC=2x,NCMN=NOCB+NCBM=3x,利用三角形內(nèi)角

和定理構(gòu)建方程求出X即可.證明CD=CM=AD=AJ,設(shè)AD=AJ=CD=CM=機(jī)，利

用相似三角形的性質(zhì)求出OD（用膽表示出OD）,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接AD,DC,在OD上取一點(diǎn)J,使得AJ=AD,連接AJ.

VAD=CD,

.?.∕DBC=NDBA,AD=CD,

VCN=MN,

ΛZNMC=ZNCM,

VOA=OC=OB,

ΛZOAC=ZOCA,ZOBC=ZOCB,

設(shè)NABD=NCBD=x,則NOBC=NoCB=2x,NCMN=NOCB+NCBM=3x,

.?.ZCAB=ZCMN=3x,

VAB是直徑，

ΛZACB=90°,

Λ5x=90o，

.?.x=18°,

ΛZABD=18o,ZCAB=ZCDB=ZCMD=540,

,CD=CM=AD=AJ,

設(shè)AD=AJ=CD=CM=機(jī)，

VZADJ=DAO=ZAJD=72o,ZAOD=36o

JNDAJ=NAOD=36°,

.*.AJ=OJ=W,

VZADJ=ZADO,

ΛΔADJ<×>ΔODA,

,ADDJ

??—,

ODAD

.m0D-m

??=,

ODm

ΛOD=1：店/刀或OD=m（舍去），

.?.OC=OD=與縱，

`:AD=cb,

.?.0D±AC,

VAC?CB,

...OD〃BC,

.BMCMm_遍T

"BD~CO~i±√≡τn-2'

2

√5-l

故答案為：18,--.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題.

三.解答題（共4小題）

9.（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）如圖，BC是。O的直徑，點(diǎn)A在C）O上，ADlBC,垂

足為點(diǎn)D.AE=AB,BE分別交AD、AC于點(diǎn)F、G.

（1）判斷AFAG的形狀.并說(shuō)明理由；

（2）延長(zhǎng)AD交。O于點(diǎn)M,連接ME,求證：MElAC.

【分析】（D根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得NBAC=90°,從而利用直角三角形的

兩個(gè)銳角互余可得NABG+NAGB=90°,然后再利用垂直定義可得NADC=90°,再

利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得NFAG+NACD=90°,最后根據(jù)已知易得/ABG

=ZACD,從而利用等角的余角相等可得NAGB=NFAG,進(jìn)而利用等角對(duì)等邊即可解

答：

（2）設(shè)EM與AC交于點(diǎn)P,利用垂徑定理可得通=麗，從而可得/C=NBEM,再

根據(jù)己知和對(duì)頂角相等可得NFAG=NEGP,從而可得NEGP+NBEM=9（Γ,然后利用

三角形內(nèi)角和定理可得NEPG=90°,即可解答.

【解答】（1）解：AFAG是等腰三角形，

理由：；BC是OO的直徑，

ΛZBAC=90°,

NABG+/AGB=90°,

VADlBC,

ΛZADC=90°,

ΛZFAG+ZACD=90o,

VAB=AE,

：.AB=AE,

.".ZABG=ZACD,

ΛZAGB=ZFAG,

.?FA=FG,

,△FAG是等腰三角形；

（2）證明：設(shè)EM與AC交于點(diǎn)P,

A

Λ/

VOD?AM,

：.AB=BM,

：.NC=NBEM,

?.?NEGP=NAGF,NFAG=NAGF,

ΛZFAG=ZEGP,

VZFAG+ZC=90o,

ΛZEGP+ZBEM=900,

ΛZEPG=180o-(ZEGP+ZBEM)=90o,

ΛME±AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

10.(2022秋嘀新區(qū)期中)如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，BC的延長(zhǎng)線與AD

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,且DC=DE.

(1)求證：ZA=ZAEB;

(2)連接OE,交CD于點(diǎn)F,?rOElCD,求NA的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NA+∕BCD=180°,根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得

/DCE+/BCD=I80°,進(jìn)而得到NA=/DCE,然后利用等邊對(duì)等角可得/DCE=/

AEB,進(jìn)而可得NA=NAEB；

(2)首先證明ADCE是等邊三角形，進(jìn)而可得∕AEB=60°,再根據(jù)NA=NAEB,可

得AABE是等腰三角形，進(jìn)而可得AABE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得

到結(jié)論.

【解答】證明：(1)?；四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，

ΛZA+ZBCD=180o,

VZDCE+ZBCD=180°，

ΛZA=ZDCE,

；DC=DE,

，NDCE=NAEB,

NA=NAEB；

(2)VZA=ZAEB,

,△ABE是等腰三角形，

VEO±CD,

ΛCF=DF,

.?.EO是CD的垂直平分線，

.?.ED=EC,

VDC=DE,

...DC=DE=EC,

.,.?DCE是等邊三角形，

ΛZAEB=60°,

,△ABE是等邊三角形，

ΛZA=60o.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是

掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).

11.(2022秋?大豐區(qū)校級(jí)月考)如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)C在上且不與點(diǎn)A,B重

合，NABC的平分線交。。于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DEJ_AB,垂足為點(diǎn)G,交。O于點(diǎn)E,

連接CE交BD于點(diǎn)F,連接FG.

(1)求證：FG=∣DE;

(2)若AB=6√5,FG=6,求AG的長(zhǎng).

【分析】(I)證明NEFD=90°,再利