考點四：函數(shù)及其性質-【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學復習（解析版）

考點04函數(shù)及其性質(20種題型10個易錯考點)

Q一、真題多維細目表

考題考點考向

2022新高考1,第12題函數(shù)奇偶性與周期性利用奇偶性求函數(shù)值

2022新高考2,第8題函數(shù)奇偶性與周期性利用周期性求值

2021新高考1,第13題函數(shù)奇偶性與周期性利用奇偶性求解參數(shù)的值

2021全國乙理，第4題函數(shù)奇偶性與周期性判斷函數(shù)奇偶性

2020新高考1,第8題函數(shù)奇偶性與周期性解不等式

2020新高考2,第7題函數(shù)單調性與最值利用單調性求參數(shù)的取值范圍

U二、命題規(guī)律與備考策略

本專題一般不會出現(xiàn)單一知識點的考題，常綜合函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性，或將函數(shù)的性質融入函數(shù)

圖象進行考查，函數(shù)的零點是考查的熱點之一，需要結合導數(shù)、不等式等知識進行求解。

U才2022真題搶先刷，考向提前知

1.(2022?新高考H)已知函數(shù)f(%)的定義域為R,且f(戶y)+f(x-y)=f(x)f(l)=1,

22

則匯/(幻=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【分析】先根據(jù)題意求得函數(shù)f(x)的周期為6,再計算一個周期內的每個函數(shù)值，由此可得解.

【解答】解：令y=l,則廣(戶1)+f(x-1)=f(x),即f(k1)=f(x)-f(x-1),

(A+2)=f(戶1)-f(A-),/?(戶3)=F(A+2)-f(A+1),

f(A+3)--f(x),貝!JF(戶6)=-F(廣3)—f(x),

.?"(x)的周期為6,

令x=l,y=0得/'(1)+/(1)=f(1)Xf(0),解得/'(0)=2,

又/"(戶1)=f(x)-r(x-1),

⑵=/?(1)-f(0)=-1,

f(3)=f(2)-/(1)=-2,

f(4)=f(3)-f(2)--1,

f⑸=f⑷-f⑶=1,

f(6)=f(5)-f(4)=2,

6

f(k)=1-121+1+2=0，

k=l

22

???￡f(k)=3X0+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=1⑴+「⑵+f⑶+f⑷=-3.

k=l

故選：A.

【點評】本題考查抽象函數(shù)以及函數(shù)周期性的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

2.(2021?新高考II)已知函數(shù)f(x)的定義域為R(f(x)不恒為0),F(x+2)為偶函數(shù)，f(2x+l)為奇

函數(shù)，則()

A.F(-工)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

2

【分析】根據(jù)f(戶2)為偶函數(shù)，可得/?(戶4)=f(-x),f(2A1)為奇函數(shù)，可得/'(-2戶1)=

-/(2A+1),即可判斷選項.

【解答】解：???函數(shù)F(x+2)為偶函數(shù)，

：.f(2+A-)=f(2-x),

■:f(2A+1)為奇函數(shù)，

A/(1-2x)=-f(2A+1),

用x替換上式中2x+l,得/'(2-x)=-f(x),

：.f(2+%)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x)=f(x),即/'(x)

故函數(shù)/Xx)是以4為周期的周期函數(shù)，

,.V(2x+1)為奇函數(shù),

(1-2A-)=-f(2A+1),即f(2廣1)+f(-2A+1)=0,

用x替換上式中2行1,可得，f(x)+F(2-x)=0,

f(x)關于(1,0)對稱，

又?“⑴=0,

(-1)=-f(2+1)=-/(I)=0.

故選：B.

【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性的綜合應用，屬于中檔題.

3.(2021?新高考H)寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù)f(x)：f<x)=￥.

①/'(由/2)=F(羽)f(%2);②當(0,+8)時，F(xiàn)(x)>0；③F(%)是奇函數(shù).

【分析】可看出f(x)=￥滿足這三個性質.

【解答】解：/Xx)=/時，f(XiX2)=(XiX2)2=xJx22=f(Xi)f(X2)；當xe<0-+°°)時，

1Ct，乙1乙1乙

f(x)=2x>0；f'(x)=2x是奇函數(shù).

故答案為：f(X)=『.

另解：塞函數(shù)f(x)=7(a>0)即可滿足條件①和②；偶函數(shù)即可滿足條件③，

綜上所述，取/'(外=/即可.

【點評】本題考查了基函數(shù)的求導公式，奇函數(shù)的定義及判斷，考查了計算能力，屬于基礎題.

4.(2021?新高考I)已知函數(shù)f(x)=/(a-2'-2、)是偶函數(shù)，則a=1.

【分析】利用奇函數(shù)的定義即可求解a的值.

【解答】解：函數(shù)/1(x)(^2'-2'A)是偶函數(shù)，

y=x為A上的奇函數(shù)，

故y=a?2"-2一’也為"上的奇函數(shù)，

所以yL=o—a*2°-2°=a-1=0,

所以a=l.

法二：因為函數(shù)f(x)=/(獷2”-2一”)是偶函數(shù)，

所以/■(-x)=f(X),

BP-x(a?2-A-2V)=『(a?2x-2-r),

即/(a?2r-2-x)+x(a?2-r-2r)=0,

即(a-1)(2*+2一，)『=o,

所以a=l.

故答案為：1.

【點評】本題主要考查利用函數(shù)奇偶性的應用，考查計算能力，屬于基礎題.

5.(2021?新高考I)函數(shù)f(x)=|2x-1-2"*的最小值為1.

【分析】法一、求出函數(shù)定義域，對x分段去絕對值，當0Vx4/時，分析函數(shù)的單調性；當時,

利用導數(shù)分析單調性并求最小值，即可得到/1(x)的最小值.

法二、令g(x)=|2x-1|,h(x)=21nx,分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結合得答案.

【解答】解：法一、函數(shù)f(x)=|2x-1|-2勿x的定義域為(0,+8).

當0cx4微時，f(x)=\2x-11-21nx=-2x+l-21nx,

此時函數(shù)f(x)在(0,上為減函數(shù)，

2

當x>工時，f(x)=|2x-11-21nx=2x-1-21nx,

2

則/(x)=2上=2(,

XX

當(―,1)時，f(x)<0,f(x)單調遞減，

2

當(1,+°°)時、f(x)>0,fCx)單調遞增，

??"(x)在(0,+8)上是連續(xù)函數(shù)，

???當(0,1)時，F(xiàn)(x)單調遞減，當(L+°°)時，f(JT)單調遞增.

，當x=l時f(x)取得最小值為/(I)=2X1-1-27/71=1.

故答案為：1.

法二、令g(x)=\2x-1,hQx)=27/?%,

分別作出兩函數(shù)的圖象如圖：

則數(shù)/'(x)=|2x-11-2"x的最小值為1.

故答案為：1.

【點評】本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，利用導數(shù)求最值的應用，考查運算求解能力，是中檔題.

Q四、考點清單

一.函數(shù)的概念及其構成要素

初中函數(shù)的定義：

設在某一變化過程中有兩個變量X和必如果對于每一個X值，y都有唯一的值和它對應，那么就說y

是x的函數(shù)，

X叫自變量，y叫因變量.

高中函數(shù)的定義：

一般地，設46是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系￡使對于集合中月任意一個數(shù)x,在

集合中B

都有唯一確定的數(shù)/'（＞）和它對應，那么就稱為力-8從集合1到集合占的一個函數(shù)，記作y=f（x）,

其中，x叫做自變量，x的取值范圍/叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集

合｛/"（X）1x64｝叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合的子集.

函數(shù)的構成要素：定義域、對應關系、值域.

注意：①值域由定義域和對應關系唯一確定；

②f（x）是函數(shù)符號，f表示對應關系，/Xx）表示x對應的函數(shù)值，絕對不能理解為/■與x的乘積.在不

同的函數(shù)中/"的具體含義不同，

由以上三個實例可看出對應關系可以是解析式、圖象、表格等.函數(shù)除了可用符號表示外，還可用g

（x）,尸（x）等表示.

【解題方法點撥】注意函數(shù)的解析式，函數(shù)的定義域，對應法則，值域的求法.

【命題方向】由于函數(shù)是代數(shù)的基礎部分，能夠與高中數(shù)學的各個部分相結合，所以高考中函數(shù)命題比較

多，以小題與大題出現(xiàn)，

可以考查函數(shù)的定義域，值域，具體函數(shù)也可以考查抽象函數(shù)，函數(shù)的性質，與導數(shù)相聯(lián)系常常是壓軸題，

難度比較大.

二.判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)

函數(shù)的構成要素：定義域、對應關系、值域.

所以判斷兩個函數(shù)是不是同一函數(shù)，就看定義域和對應法則是否一樣.

【解題方法點撥】判斷函數(shù)是否是同一個函數(shù)，一般是同解變形化簡函數(shù)的表達式，考察兩個函數(shù)的定義域

是否相同，對應法則是否相同.

【命題方向】高考中以小題出現(xiàn)，選擇題與填空題的形式，由于函數(shù)涉及知識面廣，所以函數(shù)是否為相同函

數(shù)命題比較少.

三.函數(shù)的定義域及其求法

【知識點的認識】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.

求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；

②根式（開偶次方）被開方式》0;

③對數(shù)的真數(shù)大于零，以及對數(shù)底數(shù)大于零且不等于1；

④指數(shù)為零時，底數(shù)不為零.

⑤實際問題中函數(shù)的定義域；

【解題方法點撥】

求函數(shù)定義域，一般歸結為解不等式組或混合組.（1）當函數(shù)是由解析式給出時，其定義域是使解析式有

意義的自變量的取值集合.（2）當函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還

要有實際意義（如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）.（3）若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經四

則運算得到的，則函數(shù)定義域應是同時使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集.若函數(shù)定義域為空集，則函

數(shù)不存在.（4）抽象函數(shù)的定義域：①對在同一對應法則f下的量“產a”“x-a”所要滿足的范圍是

一樣的；②函數(shù)g（x）中的自變量是x,所以求g（x）的定義域應求g（x）中的x的范圍.

【命題方向】高考會考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題.

四.函數(shù)的值域

【知識點的認識】函數(shù)值的集合"（x）1x64｝叫做函數(shù)的值域.4是函數(shù)的定義域.

【解題方法點撥［（1）求函數(shù)的值域

此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調性法、圖象法、換元法、不等式法等.

無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域.

（2）函數(shù)的綜合性題目

此類問題主要考查函數(shù)值域、單調性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結合的題目.

此類問題要求考生具備較高的數(shù)學思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力.

在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強.

（3）運用函數(shù)的值域解決實際問題

此類問題關鍵是把實際問題轉化為函數(shù)問題，從而利用所學知識去解決.此類題要求考生具有較強的分析能

力和數(shù)學建模能力.

【命題方向】函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內容之一，有時在函數(shù)與導數(shù)的壓軸題中出現(xiàn)，

是?？碱}型.

五.函數(shù)解析式的求解及常用方法

【知識點的認識】通過求解函數(shù)的解析式中字母的值，得到函數(shù)的解析式的過程就是函數(shù)的解析式的求解.

求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有

1、換元法；2、待定系數(shù)法；3、湊配法；4、消元法；5、賦值法等等.

【解題方法點撥】常常利用函數(shù)的基本性質，函數(shù)的圖象特征，例如二次函數(shù)的對稱軸，函數(shù)與坐標軸的交

點等：利用函數(shù)的解析式的求解方法求解函數(shù)的解析式，有時利用待定系數(shù)法.

【命題方向】求解函數(shù)解析式是高考重點考查內容之一，在三角函數(shù)的解析式中常考.是基礎題.

六.函數(shù)的表示方法

【知識點的認識［1、列表法：通過列出自變量與對應的函數(shù)值的表來表達函數(shù)關系的方法叫列表法.

2、圖象法：在坐標平面中用曲線的表示出函數(shù)關系.即圖象上的任意點的坐標滿足函數(shù)的關系式，反之滿

足函數(shù)關系的點都在圖象上.這種由圖形表示函數(shù)的方法叫作圖象法.

3、解析法：用解析式把把x與y的對應關系表述出來，y=f（x）；這種方法叫做解析法.

圖象法，比較常用，經常和解析式結合起來理解函數(shù)的性質.

【解題方法點撥】函數(shù)的三種表示方法間具有互補性，因此在實際研究問題時，通常是三種方法交替使用，

例如在研究用解析式表示的某一函數(shù)的性質時，可以根據(jù)解析式畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結合更清晰、直觀，如

何畫函數(shù)圖象？列表法，通常取其自變量的部分值，根據(jù)解析式算出相應的函數(shù)值，列表顯示其數(shù)值的對應

關系，再根據(jù)表格，在平面直角坐標系中描點，形成該函數(shù)的圖象.

【命題方向】函數(shù)的表示方法的選擇，與集合以及映射，函數(shù)的定義域與值域，考題一般是基礎題.

七.函數(shù)的圖象與圖象的變換

【函數(shù)圖象的作法】函數(shù)圖象的作法：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線.

解題方法點撥：一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結合函數(shù)的定義域，通過函數(shù)的對應法則，列出表格，

然后在直角坐標系中，準確描點，然后連線（平滑曲線）.

命題方向：一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的?問，常見考題是，常見函數(shù)的圖象，有時結合函數(shù)的

奇偶性、對稱性、單調性知識結合命題.

【圖象的變換】

1.利用描點法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點、連線.

首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質（奇偶性、單調性、周期性、對稱性等）.

其次：列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等），描點，連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

（1）平移變換：

y=f（x）a>0,右移a個單位（a<0,左移|a|個單位）=y=f（x-a）；

y=/（x）b>0,上移6個單位（6<0,下移I加個單位）=y=f（x）+b.

（2）伸縮變換：

0<4<1,伸長為原來對倍

f~~>

尸f⑺3,縮短法來叱尸f(3x);

尸/'(X)A>\,伸為原來的4倍(O<J<1,縮為原來的4倍)

(3)對稱變換：

y=f(x)關于x軸對稱=y=-f(x)；

y=f(x)關于y軸對稱=y=f(-幻；

y=f(x)關于原點對稱=y=-f(-x).

(4)翻折變換：

y=f(x)去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊今y=f(|x|)；

y=f(x)留下x軸上方圖將x軸下方圖翻折上去y=|f(x)|.

解題方法點撥

1、畫函數(shù)圖象的一般方法

(1)直接法：當函數(shù)表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時，可根據(jù)

這些函數(shù)或曲線的特征直接作出.

(2)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，

但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應注意平移變換與伸縮變換的順序對變換單位

及解析式的影響.

(3)描點法：當上面兩種方法都失效時，則可采用描點法.為了通過描少量點，就能得到比較準確的圖象，

常常需要結合函數(shù)的單調性、奇偶性等性質討論.

2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對應關系的方法

(1)知圖選式：

①從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域；

②從圖象的變化趨勢，觀察函數(shù)的單調性；

③從圖象的對稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性；

④從圖象的循環(huán)往復，觀察函數(shù)的周期性.

利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確的選項.

(2)知式選圖：

①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置：

②從函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢；

③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復.

利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確選項.

注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當選項無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破口.

3、（1）利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質

從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨

勢，分析函數(shù)的單調性、周期性等.

（2）利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)

有關方程解的個數(shù)問題常常轉化為兩個熟悉的函數(shù)的交點個數(shù)；利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值.

4、方法歸納：

（1）1個易錯點--圖象變換中的易錯點

在解決函數(shù)圖象的變換問題時，要遵循“只能對函數(shù)關系式中的x,y變換”的原則，寫出每一次的變換所

得圖象對應的解析式，這樣才能避免出錯.

（2）3個關鍵點--正確作出函數(shù)圖象的三個關鍵點

為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點：

①正確求出函數(shù)的定義域；

②熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)、形如尸x+的

函數(shù)；

③掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過程.

（3）3種方法--識圖的方法

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面來獲取圖中所提供的

信息，解決這類問題的常用方法有：

①定性分析法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特征

來分析解決問題；

②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；

③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.

A.分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法

【知識點的認識】

分段函數(shù)是定義在不同區(qū)間上解析式也不相同的函數(shù).若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應法則不同，可用

幾個式子來表示函數(shù)，這種形式的函數(shù)叫分段函數(shù).已知一個分段函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式，求此函數(shù)在

另一區(qū)間上的解析式，這是分段函數(shù)中最常見的問題.

【解題方法點撥】

求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有

1、待定系數(shù)法，如果已知函數(shù)解析式的構造時，用待定系數(shù)法；

2、換元法或配湊法，已知復合函數(shù)］的表達式可用換元法，當表達式較簡單時也可用配湊法；

3、消參法，若已知抽象的函數(shù)表達式，則用解方程組消參的方法求解f(x)；

另外，在解題過程中經常用到分類討論、等價轉化等數(shù)學思想方法.分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.解決

分段函數(shù)問題，關鍵抓住在不同的段內研究問題.

【命題方向】

分段函數(shù)是今后高考的熱點題型.常考題型為函數(shù)值的求解，不等式有關問題，函數(shù)的圖形相聯(lián)系的簡單問

題.

九.函數(shù)的單調性及單調區(qū)間

【知識點的認識】

一般地，設函數(shù)/1(X)的定義域為/,如果對于定義域/內某個區(qū)間〃上的任意兩個自變量為，X2,

當修<即時，都有/'(為)<f(X2)，那么就說函數(shù)/Xx)在區(qū)間。上是增函數(shù)；當為<茲時，都有/'(小)

>/'(即)，那么就說函數(shù)/'(X)在區(qū)間〃上是減函數(shù).

若函數(shù)f(X)在區(qū)間〃上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間〃

叫做y=f(x)的單調區(qū)間.

【解題方法點撥】

判斷函數(shù)的單調性，有四種方法：定義法；導數(shù)法；函數(shù)圖象法；基本函數(shù)的單調性的應用；復合函數(shù)遵循

“同增異減”；證明方法有定義法；導數(shù)法.

單調區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調區(qū)間應分別寫，不能用符號“U”聯(lián)

結，也不能用“或”聯(lián)結，只能用“和”或“，”連結.

設任意Xi，*2仁［a,五］且X1HX2，那么

f(X)—f(X)

①-------------(")在［a,8］上是增函數(shù)；

xl-x2

3"1)f00f(x)在［a,6］上是減函數(shù).

xl-x2

②（為-*2）-f（*2）］＞0=f（x）在［a,b］上是增函數(shù)；

（用-版）"（Xi）-f（x2）］＜00f（x）在［a,6］上是減函數(shù).

函數(shù)的單調區(qū)間，定義求解求解一般包括端點值，導數(shù)一般是開區(qū)間.

【命題方向】

函數(shù)的單調性及單調區(qū)間.是高考的重點內容，一般是壓軸題，常與函數(shù)的導數(shù)相結合，課改地區(qū)單調性

定義證明考查大題的可能性比較小.從近三年的高考試題來看，函數(shù)單調性的判斷和應用以及函數(shù)的最值問

題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調性、

最值的靈活確定與簡單應用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎上，又注重考查函數(shù)方程、等價轉化、

數(shù)形結合、分類討論的思想方法.預測明年高考仍將以利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，研究單調性及利用單調

性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點，重點考查轉化與化歸思想及邏輯推理能力.

十.函數(shù)單調性的性質與判斷

【知識點的認識】

一般地，設函數(shù)f（X）的定義域為/,如果對于定義域/內某個區(qū)間。上的任意兩個自變量為，X2，

當為＜茲時，都有/1（為）那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間〃上是增函數(shù)；當為＞即時，都有“為）

＜F（X2）,那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間〃上是減函數(shù).

若函數(shù)f（x）在區(qū)間，上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)/1（X）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)

間〃叫做y=F（x）的單調區(qū)間.

【解題方法點撥】

證明函數(shù)的單調性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號；⑤下結論.

利用函數(shù)的導數(shù)證明函數(shù)單調性的步驟：

第一步：求函數(shù)的定義域.若題設中有對數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮

定義域.

第二步：求函數(shù)f（X）的導數(shù)f'（X）,并令/（x）=0,求其根.

第三步：利用f（A-）=0的根和不可導點的X的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列表.

第四步：由F（X）在小開區(qū)間內的正、負值判斷/1（X）在小開區(qū)間內的單調性；求極值、最值.

第五步：將不等式恒成立問題轉化為F（*）max^a或f（x）min^a,解不等式求參數(shù)的取值范圍.

第六步：明確規(guī)范地表述結論

【命題方向】

從近三年的高考試題來看，函數(shù)單調性的判斷和應用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點，題型既有選擇

題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調性、最值的靈活確定與簡單應用，主

觀題在考查基本概念、重要方法的基礎上，又注重考查函數(shù)方程、等價轉化、數(shù)形結合、分類討論的思想方

法.預測明年高考仍將以利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，研究單調性及利用單調性求最值或求參數(shù)的取值范圍

為主要考點，重點考查轉化與化歸思想及邏輯推理能力.

十一.復合函數(shù)的單調性

【知識點的認識】

所謂復合函數(shù)就是由兩個或兩個以上的基本函數(shù)構成，這種函數(shù)先要考慮基本函數(shù)的單調性，然后再考慮

整體的單調性.平常常見的一般以兩個函數(shù)的為主.

【解題方法點撥】

求復合函數(shù)y=F(g(幻)的單調區(qū)間的步驟：

(1)確定定義域；

(2)將復合函數(shù)分解成兩個基本初等函數(shù)：

(3)分別確定兩基本初等函數(shù)的單調性；

(4)按“同增異減”的原則，確定原函數(shù)的單調區(qū)間.

【命題方向】

理解復合函數(shù)的概念，會求復合函數(shù)的區(qū)間并判斷函數(shù)的單調性.

十二.函數(shù)的最值及其幾何意義

【知識點的認識】

函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點或最低點的縱坐

標，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點的值，然后進行比較可得.

【解題方法點撥】

①基本不等式法：如當x>0時，求2廣圖?的最小值，有2戶兇與2版二瓦=8；

xxVx

②轉化法：如求lx-51+5-31的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x=5和x=3的距離之和，易知最

小值為2；

③求導法：通過求導判斷函數(shù)的單調性進而求出極值，再結合端點的值最后進行比較.

【命題方向】

本知識點是?？键c，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務必引起重視.本知識點未來

將仍然以復合函數(shù)為基礎，添加若干個參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的自變

量或者參數(shù)的范圍.常用方法有分離參變量法、多次求導法等.

十三.奇函數(shù)、偶函數(shù)

【奇函數(shù)】

如果函數(shù)/(*)的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個X,都有/"(-X)=-F(x),那么函

數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關于(0,0)對稱.

解題方法點撥：

①如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用/"(())=0解相關的未知量；

②若定義域不包括原點，那么運用=-￡(-")解相關參數(shù)；

③已知奇函數(shù)大于。的部分的函數(shù)表達式，求它的小于。的函數(shù)表達式，如奇函數(shù)/'(X),當x>0時，f

(x)=x+x

那么當x<0時，-x>0,有f(-X)=(-X)、(-x)=-f(x)=y-a(x)=-x+x

命題方向：

奇函數(shù)是函數(shù)里很重要的一個知識點，同學們一定要熟悉奇函數(shù)的概念和常用的解題方法，它的考查

形式主要也就是上面提到的這兩種情況--求參數(shù)或者求函數(shù)的表達式.

【偶函數(shù)】

如果函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個X,都有/X-x)=f(x),那么函數(shù)

f(x)就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關于y軸對稱.

解題方法點撥：

①運用f(x)=F(-x)求相關參數(shù)，如/=@/+涼+°*+4那么a+c是多少？

②結合函數(shù)圖象關于y軸對稱求函數(shù)與x軸的交點個數(shù)或者是某個特定的值，如偶函數(shù)/1(-2)=0,周期

為2,那么在區(qū)間(-2,8)函數(shù)與x軸至少有幾個交點.

命題方向：

與奇函數(shù)雷同，熟悉偶函數(shù)的性質，高考中主要還是以選擇題或者填空題的形式考查對偶函數(shù)性質的

靈活運用.

十四.函數(shù)奇偶性的性質與判斷

【知識點的認識】

①如果函數(shù)/'(X)的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個X,都有/l(-x)=-f(x),那么函數(shù)f

(")就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關于(0,0)對稱.②如果函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱，且定義

域內任意一個x,都有/'(-x)=f(x),那么函數(shù)/l(X)就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關于y軸對稱.

【解題方法點撥】

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用/■(())=0解相關的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f(x)=-f(-X)解相關參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內一般是用F(x)=f(-x)這個去求解；

④對于奇函數(shù)，定義域關于原點對稱的部分其單調性一致，而偶函數(shù)的單調性相反.

【命題方向】函數(shù)奇偶性的應用.

本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質，最好是結合其圖象一起分析，確保答題的正確

率.

十五.奇偶函數(shù)圖象的對稱性

【知識點的認識】

奇偶函數(shù)的對稱性是相對于其圖象來說的，具體而言奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，其特點是A%)=加時，

f(-x)=-m；偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，它的特點是當f(x)=〃時，/(-%)=n.

【解題方法點撥】

由函數(shù)圖象的對稱性可知：①奇函數(shù)的定義域關于原點對稱的部分其單調性一致，而偶函數(shù)的單調性相反.

eg：若奇函數(shù)/1(*)在區(qū)間［1,3］內單調遞增，且有最大值和最小值，分別是7和4,求函數(shù)f(x)在區(qū)

間［-3,-1］內的最值.

解：由奇函數(shù)的性質可知，/Xx)在［-3,-1］上位單調遞增函數(shù)，

那么最小值為F(-3)=-/(3)=-7；最大值為/(-1)=-/(I)=-4

【命題方向】

本知識點是高考的一個重點，同學首先要熟悉奇偶函數(shù)的性質并靈活運用，然后要多多總結，特別是偶函數(shù)

與周期性相結合的試題，現(xiàn)在的一個命題方式是已知周期偶函數(shù)某一小段內與x軸交點的個數(shù)，求在更大

范圍內它與x軸的交點個數(shù)，同學們務必多多留意.

十六.奇偶性與單調性的綜合

【知識點的認識】

對于奇偶函數(shù)綜合，其實也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說關鍵還是

要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質，在做題時能融會貫通，靈活運用.在重復一下它們的性質①奇函數(shù)f

(*)的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個X,都有f(-X)=-/'(￡),其圖象特點是關于(0,

0)對稱.②偶函數(shù)F(x)的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個小都有f(-*)=F(x),其圖

象特點是關于y軸對稱.

【解題方法點撥】

參照奇偶函數(shù)的性質那一考點，有：

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用/"(())=0解相關的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f(X)=-/"(-X)解相關參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內一般是用F(x)=/(-x)這個去求解；

④對于奇函數(shù)，定義域關于原點對稱的部分其單調性一致，而偶函數(shù)的單調性相反

【命題方向】奇偶性與單調性的綜合.

不管出什么樣的題，能理解運用奇偶函數(shù)的性質是一個基本前提，另外做題的時候多多總結，一定要重視這

一個知識點.

十七.抽象函數(shù)及其應用

【知識點的認識】

抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù).由于抽象函數(shù)

表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內容的難點之一.

【解題方法點撥】

①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學的具體模型聯(lián)系起來，如/"(戶y)=f(x)+r(y),它的原型就是產=??；

②可通過賦特殊值法使問題得以解決

例：F(xy)=f<x)+f(y),求證F(l)=/(-1)=0

令x=y=1,則f(1)=2f(1)=>f(1)=0

令x—y--1,同理可推出/(-1)=0

③既然是函數(shù)，也可以運用相關的函數(shù)性質推斷它的單調性；

【命題方向】抽象函數(shù)及其應用.

抽象函數(shù)是一個重點，也是一個難點，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種.高考中一般以中檔題

和小題為主，要引起重視.

十八.函數(shù)的周期性

【知識點的認識】

函數(shù)的周期性定義為若「為非零常數(shù)，對于定義域內的任一%使f(x)=f(沿D恒成立，則fQx)

叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期.常函數(shù)為周期函數(shù)，但無最小正周期，其周期為任意實數(shù).

【解題方法點撥】

周期函數(shù)一般和偶函數(shù)，函數(shù)的對稱性以及它的圖象相結合，考查的內容比較豐富.

①求最小正周期的解法，盡量重復的按照所給的式子多寫幾個，

【命題方向】

周期函數(shù)、奇偶函數(shù)都是高考的?？键c，學習是要善于總結并進行歸類，靈活運用解題的基本方法，為

了高考將仍然以小題為主.

十九.函數(shù)恒成立問題

【知識點的認識】

恒成立指函數(shù)在其定義域內滿足某一條件(如恒大于0等)，此時，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性

(就是說某個參數(shù)的存在使得在有些情況下無法滿足要求的條件)，因此，適當?shù)姆蛛x參數(shù)能簡化解題過

程.例：要使函數(shù)/(x)=a/2+l恒大于0,就必須對a進行限制--令a》0,這是比較簡單的情況，而

對于比較復雜的情況時，先分離參數(shù)的話做題較簡單

【解題方法點撥】

?般恒成立問題最后都轉化為求最值得問題，常用的方法是分離參變量和求導.

例：F(x)=J+2A+32ax,(x>0)求a的取值范圍.

解：由題意可知：aW工1迎3恒成立

x

即aWx+3+2

x

naW2M+2

【命題方向】

恒成立求參數(shù)的取值范圍問題是近幾年高考中出現(xiàn)頻率相當高的一類型題，它比較全面的考查了導數(shù)的應

用，突出了導數(shù)的工具性作用.

二十.函數(shù)的值

【知識點的認識】

函數(shù)不等同于方程，嚴格來說函數(shù)的值應該說成是函數(shù)的值域.函數(shù)的值域和定義域一樣，都是?？?/p>

點，也是易得分的點.其概念為在某一個定義域內因變量的取值范圍.

【解題方法點撥】

求函數(shù)值域的方法比較多，常用的方法有一下幾種：

①基本不等式法：如當x>0時，求2廣圖?的最小值，有2戶兇與2版二瓦=8；

xxVx

②轉化法：如求51+5-31的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x=5和x=3的距離之和，易知最

小值為2；

③求導法：通過求導判斷函數(shù)的單調性進而求出極值，再結合端點的值最后進行比較

【命題方向】

函數(shù)的值域如果是單獨考的話，主要是在選擇題填空題里面出現(xiàn)，這類題難度小，方法集中，希望同

學們引起高度重視，而大題目前的趨勢主要還是以恒成立的問題為主.

①五、題型方法

一.函數(shù)的概念及其構成要素(共2小題)

1.(2023?西寧二模)已知圖1對應的函數(shù)為y=F(x),則圖2對應的函數(shù)是()

C.y=f(|x|)D.y=-fx)

【分析】根據(jù)兩函數(shù)圖象的關系知，所求函數(shù)為偶函數(shù)且xWO時兩函數(shù)解析式相同，即可得解.

【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象知，當后0時，所求函數(shù)圖象與已知函數(shù)相同,

當x>0時，所求函數(shù)圖象與x<0時圖象關于y軸對稱,

即所求函數(shù)為偶函數(shù)且xWO時與y=f(x)相同，故即不符合要求，

當運0時，y—f(-|x|)=F(x),尸f(|*|)—f(-x),故/正確，C錯誤.

故選：A.

【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象與圖象的變換，屬于基礎題.

(多選)2.(2023?福建二模)對任意實數(shù)x,記［x］為不超過x的最大整數(shù)，并稱函數(shù)y=［x］為高斯函數(shù),

又稱取整函數(shù).如下面?zhèn)€數(shù)：［2023+1］,［2023+2〕,［2023+3］,…，［空空也］可組成一個72元集

123m

合，則下列加的取值中不滿足要求的有()

A.100B.105C.110D.115

【分析】由取整函數(shù)及集合的定義，轉化為［空空］，［空空］，［空軍］，［空空］，…，［空空］可組

1234m

成一個72元集合，分兩類判斷元素的個數(shù)即可.

【解答】解：?.?［2023啊=［g^gg_］+］,

mm

.?.［2023+1］,［2023+2〕,［2023+3］,…，〔2023—1可組成一個儀元集合可轉化為

123m

［空空］,［空空］，［空軍］，［空空］，…，［空空］可組成一個72元集合，

1234m

令2023-2023>［得，

nn+1

〃W44；

故［空空］，［空空］，［空空］，［空空］，…，［空空］各不相同，共有45個數(shù)；

123445

而［衛(wèi)紅］=44,［2023_J=43)［2023_J=43)

454647

而72-45=27,43-27+1=17,

故［空空］=17,

m

故17W空軍<18,

m

故空軍v/w型軍，

1817

而空軍^112.3,空軍=119；

1817

故113WR<119,

故選項4B,C不滿足要求.

故選：ABC.

【點評】本題考查了取整函數(shù)及集合的性質的應用，同時考查了分類討論的思想的應用，屬于中檔題.

二.判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)(共1小題)

3.(2022?河東區(qū)模擬)下列函數(shù)與/'(幻=廣1是同一個函數(shù)的是()

—2

A，g(x)=A/x3+1B-g(x)q-+l

C-g(x)=V7+lD-g(x)=e"'+l

【分析】根據(jù)同一函數(shù)的定義判斷.

【解答】解：f(x)=戶1的定義域為R,

A.g(x)=VP+i=x+r且定義域為R，故正確；

2

氏g(x)=^-+l=x+l(>聲0>故錯誤；

X

C-g(x)=Vx^+1=IXI+11故錯誤；

D.g(x)=/"'+1=戶1(x>0),故錯誤；

故選：4

【點評】本題考查函數(shù)的三要素，屬于基礎題.

三.函數(shù)的定義域及其求法(共3小題)

4.(2023?海南一模)函數(shù)的定義域為()

X-1

A.(-8,2]B.(-8,1)u(1,2]

C.[1,2]D.(-8,1]

【分析】由根式內部的代數(shù)式大于等于0,分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解.

【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則[2-x>0,解得后2且xWl.

IxT卉0

工函數(shù)y=72-X十」-的定義域為(-8,1)U(1,2].

X-1

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎題.

5.(2023?延慶區(qū)一模)已知函數(shù)yf/ax+1的定義域為4且-3J,則a的取值范圍是(-1].

【分析】由ax+l》0,對a分類驗證x=-3得結論.

【解答】解：由題意，a戶120,

當a=0時，把彳=-3代入，不等式成立；

當a>0時，得x?二，則」(一3，即0<a《工；

aa3

當aVO時，把才=-3代入，不等式成立.

綜上所述，a的取值范圍是(-8,1].

3

故答案為：(-8,1].

3

【點評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查分類討論思想，是基礎題.

6.(2023?瀘縣校級模擬)已知函數(shù)f(x)=:|x+2I+Ix-4I-m的定義域為R.

(1)求實數(shù)/〃的范圍；

(2)若m的最大值為〃，當正數(shù)a,6滿足一^+—」="時，求4濟76的最小值.

a+5b3a+2b

【分析】(1)利用絕對值不等式的性質即可得出；

(2)利用柯西不等式的性質即可得出.

【解答】解：(1)I?函數(shù)的定義域為R,二|戶2|+|x-4|在R上恒成立，即勿W(|x+21+1x-41)

min，

A+2|+|X-4|N|(A+2)-(x-4)|=6,???加W6；

(2)由(1)知〃=6,4護76=上(4a+7Z?)(―^+―—)=上[(於56)+(3a+26)](―——)

6a+5b3a+2b6a+5b3a+2b

，旦，

2

當且僅當2=工，6=_"時取等號，

2626

...4a+76的最小值為3.

2

【點評】本題考查了絕對值不等式的性質、函數(shù)的定義域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

四.函數(shù)的值域（共4小題）

7.（2023?全國模擬）世界公認的三大著名數(shù)學家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數(shù)學王子”美譽的

高斯提出了取整函數(shù)y=[x],[切表示不超過x的最大整數(shù)，例如[1.1]=1,[-1.1]=-2.已知

f(x)=[x當，x€[y.6)，則函數(shù)/'(x)的值域為()

A.{4,6,8}B.{4,5,6}C.{4,5,6,7,8}D.{4,8}

【分析】根據(jù)函數(shù)y=x+§的單調性先求出函數(shù)的值域，再由已知定義可求.

X

【解答】解：易知y=x+?，x€［y,6）在序，2］上單調遞減，⑵6）上單調遞增.

當x=2時，y=x+---=4;當"時，y=—+8;當X=6時，y=x+--

x22x3

所以X七支E［4,—］，則函數(shù)f（x）的值域為｛4,5,6,7,8）.

x2

故選：C.

【點評】本題以新定義為載體，主要考查了函數(shù)單調性在函數(shù)最值求解中的應用，屬于基礎題.

（多選）8.（2023?廣州二模）己知函數(shù)f但）=1當式的定義域是［a,b\（a,Z>eZ）,值域為［0,1］,則

X2+4

滿足條件的整數(shù)對（a,b）可以是（）

A.(-2,0)B.(-1,1)C.(0,2)D.(-1,2)

【分析】可設g（x）=|x該函數(shù)在（0,2］上單調遞減，在［-2,0）上單調遞增，從而得出f

（x）在（0,2］和［-2,0）上的單調性及值域，并得出r（0）=1,從而得出f（x）在［-2,0］,［0,

2］,［-1,2］上的值域都是［0,1］,從而得出a,6的可能取值.

【解答】解：#0時，設g（x）=|x|■^耳，八外在（0,2］上單調遞減，在［-2,0）上單調遞增，

IXI

4

且f（x）=l-----匕一，

；.『(*)在(0,2］上單調遞減，0</(x)<1；/Xx)在［-2,0)上單調遞增，0<F(x)<1,且/(0)

=1,

(x)在［0,2］,［-2,0L［-1,2］上的值域為［0,1］,a,6中至少一個取-2或2,

整數(shù)對(a,b)可以是(-2,0),(0,2),(-1,2).

故選：ACD.

【點評】本題考查了函數(shù)y=x+2的單調性，函數(shù)y=IxI個3的單調性，根據(jù)函數(shù)單調性求函數(shù)值域

XIXI

的方法，函數(shù)單調性的定義，考查了計算能力，屬于中檔題.

9.(2023?南部縣校級模擬)設/'(X)與g(x)是定義在同一區(qū)間［a,句上的兩個函數(shù)，若對任意xd［a,

b］,都有|f(x)-gQx)|W1成立，則稱f(x)和g(x)在［a,6］上是“親密函數(shù)”，區(qū)間［a,6］稱為

“親密區(qū)間”.若/Xx)=/-3戶4與g(x)=2x-l在［a,加上是“親密函數(shù)”，則。-a的最大值是

【分析】根據(jù)新定義先解出親密區(qū)間［a,b\,即可得出答案.

【解答】解：由|F(x)-g(x)|=，-5x+5|Wl,得-lW9-5戶5W1,解得1WxW2或3WxW4.

:.fQG=1-3科4與7(幻=2x-l在［1,2］或［3,4］上是“親密函數(shù)”，

則6-a的最大值是1.

故答案為1.

【點評】正確理解新定義是解題的關鍵.

log?x4-l

J2/

10.(2023?鼓樓區(qū)校級模擬)設函數(shù)f(x)，若/'(")在區(qū)間［加，4］上的值

域為［-1,2］,則實數(shù)m的取值范圍為［-8,-1］

【分析】函數(shù)/'(x)的圖象如圖所示，結合圖象易得答案

【解答】解：函數(shù)/"(X)的圖象如圖所示，結合圖象易得

當勿G［-8,-11時,

f(A-)e［-1,2］.

故答案為：［-8,-1］.

五.函數(shù)解析式的求解及常用方法(共3小題)

11.(2023?赤峰模擬)已知函數(shù)/'(X)的部分圖像如圖，則函數(shù)/"(X)的解析式可能為()

A.F(x)=(e-e')sinxB.F(x)=(e'+e')sin%

C.fkx)=(e-e')cosxD.f(x)=(S+e")cosx

【分析】由奇偶性可排除力〃，由特殊點可排除G即可求解.

【解答】解：由于圖像關于原點對稱，所以F(x)為奇函數(shù)，

對于4由f(x)=(3-e~x)sinx得：F(-x)=(e"-3)sin(-x)=(/-e")sinx=f(x),

f(x)為偶函數(shù)，故可排除4

對于〃：由F(x)=(e"+ev)cosx得：F(-x)=(e"+e")cos(-x)=(/+/')cosx=F(x),f

(x)為偶函數(shù)，故可排除〃；

由圖知/Xx)圖象不經過點(子，0),

JTJT

而對于Gf(-y)=(e~-e~)co^y=0-故可排除，；

故選：B.

【點評】本題主要考查函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)性質的應用，屬于基礎題.

12.(2023?浙江模擬)定義在R上的非常數(shù)函數(shù)f(x)滿足：f(-x)=f(x),且f(2-x)+f(x)=

0.請寫出符合條件的一個函數(shù)的解析式F(x)=y=cca?v(答案不唯一).

【分析】根據(jù)己知f(-X)=f(x),且F(2-x)+F(x)=0得出對稱軸和對稱中心，確定一個具體函

數(shù)即可.

【解答】解：因為/'(2-*)+F(x)=0.得出對稱中心