備考2024年中考數(shù)學(xué)專題突破（全國通用）專題2-1 將軍飲馬等8類常見最值問題（原卷版）

專題2-1將軍飲馬等8類常見最值問題TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型一兩定一動(dòng)型（線段和差最值問題）題型二雙動(dòng)點(diǎn)最值問題（兩次對稱）題型三動(dòng)線段問題：造橋選址（構(gòu)造平行四邊形）題型四垂線段最短題型五相對運(yùn)動(dòng)平移型將軍飲馬題型六通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬題型七化斜為直，斜大于直題型八構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值一、單動(dòng)點(diǎn)問題【問題1】在直線l上求一點(diǎn)P，使PA＋PB最小問題解決：連接AB，與l交點(diǎn)即為P，兩點(diǎn)之間線段最短PA＋PB最小值為AB 【問題2】在直線l上求一點(diǎn)P，使PA＋PB最小問題解決：作B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B'?PB＝PB'，則PA＋PB＝PA＋PB'，當(dāng)A，P，B'共線時(shí)取最小，原理：兩點(diǎn)之間線段最短，即PA＋PB最小值為AB' 【問題3】在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA－PB|最大問題解決：連接AB，當(dāng)A，B，P共線時(shí)取最大原理：三角形兩邊之和大于第三邊，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【問題4】在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA－PB|最大問題解決：作B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'?PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|原理：三角形兩邊之和大于第三邊，連接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 二、雙動(dòng)點(diǎn)問題（作兩次對稱）【問題5】在直線，上分別求點(diǎn)M，N，使△PMN周長最小問題解決：分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的對稱點(diǎn)P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，原理：兩點(diǎn)之間線段最短，P'，P''，與兩直線交點(diǎn)即為M，N，則AM＋MN＋PN的最小值為線段P'P''的長 【問題6】P，Q為定點(diǎn)，在直線，上分別求點(diǎn)M，N，使四邊形PQMN周長最小問題解決：分別作點(diǎn)P，Q關(guān)于直線，的對稱點(diǎn)P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N原理：兩點(diǎn)之間線段最短，連接P'Q'，與兩直線交點(diǎn)即為M，N，則PM＋MN＋QN的最小值為線段P'Q'的長，周長最小值為P'Q'＋PQ 【問題7】A，B分別為，上的定點(diǎn)，M，N分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，求最小值問題解決：分別作，關(guān)于，的對稱點(diǎn)，，則，，即所求原理：兩點(diǎn)之間距離最短，A'，N，M，B'共線時(shí)取最小，則AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B' 三、動(dòng)線段問題（造橋選址）【問題8】直線m∥n，在m，n上分別求點(diǎn)M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值問題解決：將點(diǎn)B向上平移MN的長度單位得B'，連接B'M，當(dāng)AB'M共線時(shí)有最小值原理：通過構(gòu)造平行四邊形轉(zhuǎn)換成普通將軍飲馬，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN 【問題9】在直線l上求兩點(diǎn)M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值問題解決：將B點(diǎn)向左移動(dòng)a個(gè)單位長度，再作B'關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B''，當(dāng)共線有最小值原理：通過平移構(gòu)造平行四邊， 四、垂線段最短【問題10】在直線，上分別求點(diǎn)A，B，使PB＋AB最小問題解決：作關(guān)于的對稱點(diǎn)，作于A，交于B，即所求原理：點(diǎn)到直線，垂線段最短，五、相對運(yùn)動(dòng)，平移型將軍飲馬【問題11】在直線l上求兩點(diǎn)M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 問題解決：相對運(yùn)動(dòng)或構(gòu)造平行四邊形策略一：相對運(yùn)動(dòng)思想過點(diǎn)A作MN的平行線，相對MN，點(diǎn)A在該平行線上運(yùn)動(dòng)，則可轉(zhuǎn)化為普通飲馬問題策略二：構(gòu)造平行四邊形等量代換，同問題9.六、瓜豆軌跡，手拉手藏軌跡【問題12】如圖，點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)，將點(diǎn)P繞定點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)Q，求Q點(diǎn)軌跡？ 問題解決：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段．原理：由手拉手可知，故,故Q點(diǎn)軌跡為直線七、化斜為直，斜大于直【問題13】已知：是斜邊上的高（1）求的最大值；（2）若，求的最大值 問題解決：取BC中點(diǎn)M，（1）則；（2）八、構(gòu)造二次函數(shù)求最值這類問題一般無法通過純幾何方法來解決或幾何方法比較復(fù)雜，需要通過面積法或者構(gòu)造全等、相似建立等量關(guān)系，將待求的線段或圖形的面積用含有自變量的式子來表示，一般是一個(gè)二次函數(shù)或者換元后是一個(gè)二次函數(shù)，然后通過配方得到最值．當(dāng)然，配方的目的是為了避開基本不等式這個(gè)超綱的知識點(diǎn)，如果是選擇題或填空題，你可以直接用基本不等式來秒殺，不需要配方．【問題14】正方形的邊長為6，點(diǎn)在邊上，且，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，設(shè)的長為，則線段長度的最大值為.問題解決：根據(jù)題意，作出圖形，根據(jù)兩個(gè)三角形相似的判定得到，進(jìn)而根據(jù)相似比得到，利用二次函數(shù)求最值方法求解即可得到答案【詳解】易知，，，，∴，，∴，，在時(shí)有最大值，最大值為題型一兩定一動(dòng)型（線段和差最值問題）（2023·西安·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)M在邊上，，P為正方形內(nèi)（含邊上）一點(diǎn)，且，G為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．

透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），且∠AOB=30°點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為（）A． B． C． D．如圖，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PBC＝S矩形ABCD．則點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)距離之和PB+PC的最小值為。（2023·泰州·三模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在直線上，從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒，點(diǎn)在直線上，從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒，相交于點(diǎn)，則的最小值為．

已知滿足，則S的最小值為．探究式子的最小值.小胖同學(xué)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想：如圖，取，作于．于，且，，點(diǎn)在上，設(shè)，則，于是，，，因此，可求得的最小值為，已知，則的最大值是．

如圖，A、B兩點(diǎn)在直線外的同側(cè)，A到的距離，B到的距離，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最大值等于．已知：如圖，在矩形中，．動(dòng)點(diǎn)為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則周長的最小值為．2022·綏化·中考真題在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別交于，兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于P，K兩點(diǎn)，連接，的面積為．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)若C為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求的面積．題型二雙動(dòng)點(diǎn)最值問題（兩次對稱）如圖所示，E為邊長是2的正方形ABCD的中點(diǎn)，M為BC上一點(diǎn)，N為CD上一點(diǎn)，連EM、MN、NA，則四邊形AEMN周長的最小值為。（2023·淄博·一模）如圖，在四邊形中，，，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，°．四邊形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)三角形AMN周長最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)為。（2023·西安·二模）如圖，在四邊形中，，，，，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，，則周長的最小值為．

如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊上的點(diǎn)，連接，若，，，則周長的最小值是．

題型三動(dòng)線段問題：造橋選址（構(gòu)造平行四邊形）鞍山·中考真題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，在x軸上取兩點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)），且始終保持，線段在x軸上平移，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．聊城·中考真題如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動(dòng)，保持EF＝3，當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有，兩點(diǎn)．將直線：向上平移個(gè)單位長度得到直線，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，，，則折線的長的最小值為．廣西來賓中考真題如圖，已知點(diǎn)，，兩點(diǎn)，在拋物線上，向左或向右平移拋物線后，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，當(dāng)四邊形的周長最小時(shí)，拋物線的解析式為．題型四垂線段最短（2023下·湛江·二模）如圖，在中，，，，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

如圖，∠MON＝45°，OP平分∠MON，點(diǎn)A為射線OM上一點(diǎn)，OA＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為射線OP，OM上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，EF，則AE＋EF的最小值為_________．MMFOAENP2022·貴州畢節(jié)·中考真題如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長度的最小值為．2022銅仁如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△CDE沿CE翻折得△CME，點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi)，點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作NP∥EM交MC于點(diǎn)P，則MN＋NP的最小值為_________．MMDCBAPNE（2023·雞西·三模）如圖，在矩形中，于點(diǎn)，，，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，連接DE，將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線AD與BE相交于點(diǎn)H，如圖2，則AH的最大值為_________．AABCEDABCDEH圖2圖1題型五相對運(yùn)動(dòng)平移型將軍飲馬如圖，在矩形中，，把邊沿對角線平移，點(diǎn)分別對應(yīng)點(diǎn)，的最小值為．

如圖，已知點(diǎn)P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x軸上滑動(dòng)時(shí)，PA+PB的最小值是。如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F在對角線BD上運(yùn)動(dòng)，且ED＝OF，連接AE、AF，則△AEF周長的最小值是。廣東省深圳市寶安區(qū)一模如圖，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M為對角線BD上一點(diǎn)（M不與點(diǎn)B、D重合），過點(diǎn)MN∥CD，使得MN＝CD，連接CM、AM、BN，連接AN，則AM＋AN的最小值是________．

如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，將△ABC沿直線AC翻折，得到△AB′C，再將△AB′C在直線AC上平移，得到△A′B″C′，則△BB″C′的周長的最小值為。2023·齊齊哈爾·中考真題如圖，拋物線上的點(diǎn)A，C坐標(biāo)分別為，，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且．

將拋物線沿x軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，在拋物線平移過程中，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______，的最小值為______．題型六通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬（2023·徐州·模擬預(yù)測）等邊邊長為6，是中點(diǎn)，在上運(yùn)動(dòng)，連接，在下方作等邊，則周長的最小值為．如圖1，對于平面內(nèi)的點(diǎn)A、P，如果將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，就稱點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“放垂點(diǎn)”．如圖2，已知點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“放垂點(diǎn)”，連接、，則的最小值是（

）

A．4 B． C．8 D．在中，斜邊，，點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，將線段BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接CE，則BE＋CE的最小值為．陜西榆林·二模如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M為BC上一點(diǎn)，連接MA，將線段MA繞點(diǎn)M順時(shí)針90°得到線段MN，連接CN、DN，則CN+DN的最小值為．2022·淮安·中考真題二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫出的長．

題型七化斜為直，斜大于直臺(tái)州·中考真題如圖，直線，分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，線段交直線于點(diǎn)．設(shè)直線與之間的距離為m，直線與之間的距離為n，若，，且，則m＋n的最大值為_____．如圖，等邊△ABC的邊長為4，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，將△ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，則CE的最大值為_________．AAFBDEC如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段PQ長度的最小值為。如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，Q是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，且始終有∠CPQ＝90°，則線段CQ長的取值范圍為.如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則對角線PQ的長度的最小值為．連云港·中考真題如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以點(diǎn)C為圓心作⊙C與直線BD相切，點(diǎn)P是⊙C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BD于點(diǎn)T，則的最大值是．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點(diǎn)D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BD交AB于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，AE的最大值為_________，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長為_________．CCDBEA題型八構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值2023·遼寧大連一模如圖，點(diǎn)，，P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接．則的最小值是如圖，△ABC和△ABD是兩個(gè)全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝eq\r(,3)，BC＝BD＝1．若P、Q分別是邊AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持PC＝QA，連接PQ交AB于點(diǎn)M，則AM長度的最大值為_____________．AABDCQPM（2023·江蘇淮安·一模）如圖，中，，，為中點(diǎn)．、是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)以相同的速度從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到停止．當(dāng)為時(shí)，的面積最大．無錫中考真題如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，點(diǎn)D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以CD為邊向上作正方形CDEF，連接BE，則△BDE的面積的最大值為___________．EEFBCDA如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（B點(diǎn)除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△ABC的面積是，△BDE面積的最大值為．（2022·江蘇泰州·二模）如圖①，等邊△ABC中，點(diǎn)P為AB邊上的任意一點(diǎn)，且∠CPD=60°，PD交AC于點(diǎn)D，設(shè)AP=x，AD=y，如圖②是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則圖象頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2023·遼寧營口·二模）如圖①，在鈍角三角形中，，D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，以為一條直角邊作等腰直角三角形，連接．設(shè)，，若y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖②所示，則的面積為．

已知△ABC的面積為2，∠A＝30°，點(diǎn)M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且MN將△ABC分成面積相等的兩部分，則線段MN長的最小值為___________．AAMNBC如圖，在銳角△ABC中，點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，連接BD、EF，當(dāng)△DEF的面積最大時(shí)，下列說法正確的是（）A．BD是AC邊上的高 B．BD是