2024年中考數(shù)學復(fù)習（全國版）第30講 投影與視圖（講義）（原卷版）

第30講投影與視圖目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一圖形的投影題型01平行投影題型02中心投影題型03正投影考點二幾何體的三視圖題型01判斷簡單幾何體三視圖題型02判斷簡單組合體三視圖題型03判斷非實心幾何體三視圖題型04畫簡單幾何體的三視圖題型05畫簡單組合體的三視圖題型06由三視圖還原幾何體題型07已知三視圖求邊長題型08已知三視圖求側(cè)面積或表面積題型09求小立方塊堆砌圖形的表面積題型10已知三視圖求體積題型11求幾何體視圖的面積題型12由三視圖，判斷小立方體的個數(shù)考點要求新課標要求命題預(yù)測圖形的投影通過豐富的實例，了解中心投影和平行投影的概念.會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，并會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體.了解直棱柱、圓錐的側(cè)面展開圖，能根據(jù)展開圖想象和制作模型.通過實例，了解上述視圖與展開圖在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用.本單元內(nèi)容以考查幾何體的三視圖和正方體的展開圖為主，年年都會考查，是廣大考生的得分點，分值為3分，預(yù)計2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇題出現(xiàn)的可能性較大，一般只考察基礎(chǔ)應(yīng)用，所以考生在復(fù)習時要多注重該考點的概念以及應(yīng)用.幾何體的三視圖考點一圖形的投影投影的定義：一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影.照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.平行投影的概念：由平行光線形成的投影叫做平行投影.（例如：太陽光）平行投影的特征：1）等高的物體垂直地面放置時（圖1），在太陽光下，它們的影子一樣長.

2）等長的物體平行于地面放置時（圖2），它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.圖1圖2【小技巧】1）圖1中，兩個物體及它們各自的影子及光線構(gòu)成的兩個直角三角形相似，相似三角形對應(yīng)邊成比例.2）已知物體影子可以確定光線，過已知物體頂端及影子頂端作直線，過其他物體頂端作此線的平行線，便可求出同一時刻其他物體的影子.（理由：同一時刻光線是平行的光線下行成的）3）在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例，即：，利用上面的關(guān)系式可以計算高大物體的高度，比如：旗桿/樹/樓房的高度等.

4）在不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影子長度由長變短再變長.中心投影的概念：由一點發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.（例如：手電筒、路燈、臺燈等）

中心投影的特征：1）等高的物體垂直地面放置時（圖3），在燈光下離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.2）等長的物體平行于地面放置時（圖4），一般情況下離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.

圖3圖4

【小技巧】1）點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應(yīng)點在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.2）如果一個平面圖形所在的平面與投射面平行，那么中心投影后得到的圖形與原圖形也是平行的，并且中心投影后得到的圖形與原圖形相似.正投影的概念：當平行光線垂直投影面時叫正投影.正投影的分類：1）線段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長相等；、②線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2，長小于線段AB的長；③線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點.2）平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.

①當平面圖形平行于投影面Q時，它的正投影與這個平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個平面圖形全等；②當平面圖形傾斜于投影面Q時，平面圖形的正投影與這個平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會縮小，是類似圖形但不一定相似.

③當平面圖形垂直于投影面Q時，它的正投影是直線.3）立體圖形的正投影物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等.投影的判斷方法：1）判斷投影是否為平行投影的方法是看光線是否是平行的，如果光線是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．2）判斷投影是否為中心投影的方法是看光線是否相交于一點，如果光線是相交于一點的，那么所得到的投影就是中心投影．題型01平行投影【例1】（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是嘉淇在室外用手機拍下大樹的影子隨太陽轉(zhuǎn)動情況的照片（上午8時至下午5時之間），這五張照片拍攝的時間先后順序是（

）A．①②③④⑤ B．②④①③⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④②【變式1-1】（2021·河北保定·統(tǒng)考二模）三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子合理的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）如圖，小明想測量一棵大樹AB的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子落在地面和墻上，測得地面上的影子BC的長為5m，墻上的影子CD的長為2m．同一時刻，一根長為1m垂直與地面標桿的影長為0.5m，則大樹的高度AB【變式1-3】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）實驗學校某班開展數(shù)學“綜合與實踐”測量活動．有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線MN的距離皆為100cm．王詩嬑觀測到高度90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示．已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線MN（1）若王詩嬑的身高為150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長為多少cm（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內(nèi)．請直接回答這個猜想是否正確？（3）若同一時間量得高圓柱落在坡面上的影子長為100cm，則高圓柱的高度為多少cm題型02中心投影【例2】（2021·安徽淮南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列現(xiàn)象中，屬于中心投影的是（）A．白天旗桿的影子 B．陽光下廣告牌的影子C．燈光下演員的影子 D．中午小明跑步的影子【變式2-1】（2022·北京·一模）如圖，正方形紙板的一條對角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個點）與這條對角線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（

）A．B． C．D．【變式2-2】（2023·廣東深圳·校考一模）下列是描述小明和小穎在同一盞路燈下影子的圖片，其中合理的是（

）A．B．C．D．【變式2-3】（2020·重慶南岸·一模）如圖，在平面直角坐標系中，點光源位于P2,2處，木桿AB兩端的坐標分別為0,1，3,1．則木桿AB在x軸上的影長CD為（

A．5 B．6 C．7 D．8【變式2-4】（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的．圖中小狗手影就是我們小時候常玩的游戲．在一次游戲中，小明距離墻壁1米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米．在小明不動的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，則光源與小明的距離應(yīng)（

）

A．減少32米 B．增加32米 C．減少53米 D【變式2-5】（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測）如圖，小華在晚上由路燈AC走向路燈BD．當他走到點P時，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部；當他向前再步行12m到達點Q時，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知小華的身高是1.6m，兩個路燈的高度都是9.6m，且

(1)標出小華站在P處時，在路燈AC下的影子．(2)求兩個路燈之間的距離．(3)當小華走到路燈BD的底部時，他在路燈AC下的影長是多少？題型03正投影【例3】（2022·浙江溫州·溫州繡山中學校聯(lián)考二模）由四個相同小立方體拼成的幾何體如圖所示，當光線由上向下垂直照射時，該幾何體在水平投影面上的正投影是（

）A． B． C． D．【變式3-1】（2022·江西·模擬預(yù)測）如圖1所示的是一戶外遮陽傘支架張開的狀態(tài)，圖1可抽象成圖2，在圖2中，點A可在BD上滑動，當傘完全折疊成圖3時，傘的下端點F落在F'處，點C落在C'處，AE=EF，(1)BD的長為______．(2)如圖2，當AB=54①求∠ACB的度數(shù)；（參考數(shù)據(jù)：sin17.5°≈0.30，tan16.7°≈0.30，sin②求傘能遮雨的面積（傘的正投影可以看作一個圓）．考點二幾何體的三視圖三視圖的概念：一個物體在三個投影面內(nèi)同時進行正投影，①在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；②在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；③在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.

三視圖之間的關(guān)系：1）位置關(guān)系：三視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左邊，它的下方應(yīng)是俯視圖，左視圖在其右邊，2）大小關(guān)系：三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.

畫幾何體三視圖的基本方法：畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體

1）確定主視圖的位置，畫出主視圖；

2）在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；

3）在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

【注意】幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應(yīng)畫成虛線.由三視圖確定幾何體的方法：1）由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀．2）由物體的三視圖想象幾何體的形狀是有一定難度的，可以從以下途徑進行分析：①根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長、寬、高；②從實線和虛線想象幾何體看得見部分和看不見部分的輪廓線；③熟記一些簡單的幾何體的三視圖對復(fù)雜幾何體的想象會有幫助.利用三視圖計算幾何體面積的方法：利用三視圖先想象出實物形狀，再進一步畫出展開圖，然后計算面積.題型01判斷簡單幾何體三視圖【例1】（2022·湖北省直轄縣級單位·?？级＃┫铝袌D形中，主視圖和左視圖一樣的是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2021·河南駐馬店·校聯(lián)考一模）如圖所示的圓錐，下列說法正確的是（

）A．該圓錐的主視圖是軸對稱圖形B．該圓錐的主視圖是中心對稱圖形C．該圓錐的主視圖既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形D．該圓錐的主視圖既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形【變式1-2】（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）下列立體圖形中，主視圖是圓的是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2023·江西上饒·校聯(lián)考一模）如圖是一個空心圓柱體，其主視圖是（）A．B．C． D．【變式1-4】（2023·河北滄州·校考一模）如圖，是一個正方體截去一個角后得到的幾何體，則該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．題型02判斷簡單組合體三視圖【例2】（2022·遼寧朝陽·模擬預(yù)測）如圖是四個完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖為（

）A．B．C．D．【變式2-1】（2022·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖所示的幾何體是由6個大小相同的小立方塊搭成，它的俯視圖是（

）A．B．C．D．【變式2-2】（2023·海南三亞·一模）如圖是5個相同的正方體搭成的立體圖形，則它的主視圖為（

）A．B． C． D．題型03判斷非實心幾何體三視圖【例3】（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考二模）如圖，將一個長方體內(nèi)部挖去一個圓柱，這個幾何體的主視圖是（

）A．B．C．D．【變式3-1】（2021·安徽宿州·統(tǒng)考二模）如圖所示，左邊立體圖形的俯視圖為（

）．A．B．C．D．【變式3-2】（2021·山東濟南·統(tǒng)考一模）如圖的幾何體是一個空心圓柱，以下給出這個幾何體的兩種視圖正確的是（）A． B． C． D．【變式3-3】（2023·山東威?！そy(tǒng)考一模）如圖，是有一塊馬蹄形磁鐵和一塊條形磁鐵構(gòu)成的幾何體，該幾何體的左視圖是（

）A． B． C． D．題型04畫簡單幾何體的三視圖【例4】（2023·廣東汕頭·校聯(lián)考二模）圖中幾何體的三視圖是（

）A．B． C． D．【變式4-1】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考三模）分別觀察下列幾何體，其中主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的有（

）A．1個 B．2個 C．3 D．4題型05畫簡單組合體的三視圖【例5】（2022·山東青島·二模）如圖是由一些棱長均為1個單位長度的小正方體組合成的簡單幾何體．(1)畫該幾何體的主視圖、左視圖：(2)若給該幾何體露在外面的面（不含底圖）都噴上紅漆，則需要噴漆的面積是；(3)如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持主視圖和左視圖不變，則最多可以再添加塊小正方體．【變式5-1】（2021·河北·模擬預(yù)測）如圖的兩個幾何體分別由7個和6個相同的小正方體搭成，比較兩個幾何體的三視圖，正確的是（

）A．僅主視圖不同 B．僅俯視圖不同C．僅左視圖不同 D．主視圖、左視圖和俯視圖都相同【變式5-2】（2023·全國·一模）如圖是用10個完全相同的小立方體搭成的幾何體．

(1)已知該幾何體的主視圖如圖所示，請在空白的方格中畫出它的左視圖和俯視圖．(2)若保持主視圖和俯視圖不變，最多還可以再搭_______個小立方體．【變式5-3】（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖1，某游樂園門口需要修建一個由正方體和圓柱組合面成的立體圖形，已知正方體的棱長與圓柱的底面直徑及高相等，都是2m

(1)圖2是這個立體圖形主視圖、左視圖和俯視圖的一部分，請將它們補充完整；(2)為了防腐，需要在這個立體圖形表面刷一層油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花費多少元？（π取3.14）（說明：正方體一底面立于地上，不刷油漆；圓柱一底面立于正方體上，重合部分不刷油漆．）【變式5-4】（2020浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖1是一種包裝盒的表面展開圖，將它圍起來可得到一個幾何體的模型．（1）這個幾何體模型的名稱是．（2）如圖2是根據(jù)a，b，h的取值畫出的幾何體的主視圖和俯視圖（圖中實線表示的長方形），請在網(wǎng)格中畫出該幾何體的左視圖．（3）若h=a+b，且a，b滿足14a2+b2﹣a﹣6b+10=0題型06由三視圖還原幾何體【例6】（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ芯胖拗袑W校考一模）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（

）A．圓柱 B．球 C．圓錐 D．正四棱柱【變式6-1】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（

）

A．圓錐 B．三棱錐 C．三棱柱 D．四棱柱【變式6-2】（2022·河南鄭州·一模）幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體是（）A． B． C． D．【變式6-3】（2023·山東日照·日照市新營中學校考一模）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（

）A． B． C． D．題型07已知三視圖求邊長【例7】（2022·廣東珠?！ば？家荒＃┤鐖D，圓錐的左視圖是邊長為2的等邊三角形，則此圓錐的高是（

）A．2 B．3 C．2 D．3【變式7-1】（2022·北京·校考一模）如圖，是一個正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中x的值為（

）A．2 B．3 C．3 D．3【變式7-2】（2020·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖放置的一個圓錐，它的主視圖是直角邊長為2的等腰直角三角形，則該圓錐側(cè)面展開扇形的弧長為.（結(jié)果保留π）【變式7-3】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）三棱柱的三視圖如圖所示，在俯視圖△EFG中，F(xiàn)G=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，則左視圖中AB的長為cm．題型08已知三視圖求側(cè)面積或表面積【例8】（2021·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖是一個幾體何的三視圖（圖中尺寸單位：cm），則這個幾何體的側(cè)面積為（）A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2【變式8-1】（2020·廣東茂名·校聯(lián)考模擬預(yù)測）圖2是圖1中長方體的三視圖，用S表示面積，S主=xA．x2+3x+2 B．x2+2【變式8-2】（2021·寧夏吳忠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為．題型09求小立方塊堆砌圖形的表面積【例9】（2020·江蘇南京·統(tǒng)考一模）用若干個相同的小正方體搭一個幾何體，該幾何體的主視圖、俯視圖如圖所示．若小正方體的棱長為1，則搭成的幾何體的表面積是．【變式9-1】（2021·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，棱長為5cm的正方體，無論從哪一個面看，都有三個穿透的邊長為1cm的正方形孔（陰影部分），則這個幾何體的表面積（含孔內(nèi)各面）是cm2．【變式9-2】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖是由10個邊長為2cm的小正方體組合成的簡單幾何體．(1)畫出該幾何體從三個方向看到的形狀圖；(2)該幾何體的表面積（含底面）是______．【變式9-3】（2024·河南平頂山·統(tǒng)考一模）把邊長為1個單位的6個相同正方體擺成如圖的形式．

（1）畫出該幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖；（2）直接寫出該幾何體的表面積為______；（3）如果在這個幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個幾何體的左視圖和俯視圖不變，那么最多可以再添加______個小正方體．題型10已知三視圖求體積【例10】（2023·河北·模擬預(yù)測）如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所標數(shù)據(jù)計算這個幾何體的體積為（

）A．12π B．18π C．24π【變式10-1】（2021·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考二模）如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．1 B．2 C．2 D．4【變式10-2】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖是由若干個棱長為1的小正方體搭成的一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式10-3】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為．【變式10-4】（2022·云南德宏·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，圖形是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側(cè)視圖）．已知主視圖和左視圖是兩個全等的等腰三角形．若主視圖腰長為6，俯視圖是直徑等于4的圓，則這個幾何體的體積為．題型11求幾何體視圖的面積【例11】（2022·江蘇無錫·無錫市天一實驗學校?？寄M預(yù)測）一個長方體的左視圖、俯視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則其主視圖的面積為（

）A．12 B．15 C．20 D．6