2023-2024學年上海市閔行區(qū)文琦中學高一（下）月考數(shù)學試卷（3月份）（含解析）

2023-2024學年上海市閔行區(qū)文琦中學高一（下）月考數(shù)學試卷（3月份）一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.1．已知冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點，則f（9）＝．2．已知扇形的圓心角為，半徑為5，則扇形的面積S＝．3．將角度化為弧度：﹣315°＝．4．若tanα＝2，tan（α﹣β）＝3，則tanβ＝．5．若，，則＝．6．函數(shù)，x∈[2，6]的最大值為．7．P（﹣4m，3m）（m＜0）為α終邊上一點，則cosα＝．8．已知函數(shù)f（x）＝ax2+2ax﹣3對任意實數(shù)x都有f（x）＜0成立，則實數(shù)a的取值范圍是．9．化簡：＝．10．若，則＝．11．在平面直角坐標系中，對任意角α，設(shè)α的終邊上異于原點的任意一點P的坐標為（x，y），它與原點的距離是r．我們規(guī)定：比值分別叫做角α的正割、余割、余切，分別記作secα，cscα，cotα，把y＝secx，y＝cscx，y＝cotx分別叫做正割函數(shù)、余割函數(shù)、余切函數(shù)，則下列敘述正確的有（填上所有正確的序號）①cot＝1；②sinα?cscα＝1；③y＝secx的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}；④sec2α+csc2α≥4；⑤cot2α＝．12．設(shè)，若存在唯一一組α，β使得tanα+cotα＝sinβ+acosβ成立，其中a為實數(shù)，則a的取值范圍是．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．已知f（x）＝ax2+bx是定義在[a﹣1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是（）A． B． C． D．14．在平面直角坐標系中，下列結(jié)論正確的是（）A．小于的角一定是銳角 B．第二象限的角一定是鈍角 C．始邊相同且相等的角的終邊一定重合 D．始邊相同且終邊重合的角一定相等15．已知，則α+β是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角16．設(shè)集合，則集合A的元素個數(shù)為（）A．1011 B．1012 C．2022 D．2023三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17．已知函數(shù)f（x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x）的定義域為（﹣3，3）．（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的零點．18．在平面直角坐標系xOy中，角α與β的頂點均為坐標原點O，始邊均為x軸的非負半軸．若角α的終邊OP與單位圓交于點，將OP繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與角β的終邊OQ重合．（1）求tanβ的值；（2）求的值．19．（16分）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表達式．（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值．20．（16分）已知sinθ、cosθ是方程2x2﹣（﹣1）x+m＝0的兩個實數(shù)根．（1）求實數(shù)m的值；（2）求的值；（3）若θ∈（π，2π），求cos2θ的值．21．（16分）在數(shù)學中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦函數(shù)：，雙曲余弦函數(shù)：．（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e＝2.71828?）．（1）計算cosh（2）﹣2cosh2（1）的值；（2）類比兩角和的余弦公式，寫出兩角和的雙曲余弦公式：cosh（x+y）＝_____，并加以證明；（3）若對任意t∈[0，ln2]，關(guān)于x的方程sinh（t）+cosh（x）＝a有解，求實數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.1．已知冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點，則f（9）＝．【分析】將點的坐標代入解析式，求出a，再令x＝9，求f（9）即可．解：由題意f（3）＝，所以a＝﹣，所以f（x）＝，所以f（9）＝故答案為：．【點評】本題考查求冪函數(shù)的解析式、對冪函數(shù)求值，屬基本運算的考查．2．已知扇形的圓心角為，半徑為5，則扇形的面積S＝．【分析】利用S＝，即可求得結(jié)論．解：∵扇形的圓心角為，半徑為5，∴S＝＝＝故答案為：【點評】本題考查扇形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．將角度化為弧度：﹣315°＝．【分析】直接利用角度化弧度公式求解．解：．故答案為：．【點評】本題主要考查角度化弧度公式，屬于基礎(chǔ)題．4．若tanα＝2，tan（α﹣β）＝3，則tanβ＝．【分析】由兩角差的正切公式展開式可得結(jié)果．解：．故答案為：．【點評】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．若，，則＝﹣．【分析】首先根據(jù)正余弦的平方關(guān)系求出sinα的值，再利用余弦兩角和公式化簡cos（α+），把得到的sinα，cosα代入即可．解：∵若，α∈（0，）∴sinα＝＝＝∴cos（α+）＝cosαcos﹣sinαsin＝×﹣×＝﹣故答案為﹣【點評】本題主要考查了余弦函數(shù)的兩角和公式．屬基礎(chǔ)題．6．函數(shù)，x∈[2，6]的最大值為﹣2．【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值即可．解：函數(shù)在[2，6]上單調(diào)遞減，故y的最大值為y＝（2+2）＝﹣log24＝﹣2，故答案為：﹣2．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，是基礎(chǔ)題．7．P（﹣4m，3m）（m＜0）為α終邊上一點，則cosα＝．【分析】由余弦的定義可直接求解．解：．故答案為：．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．已知函數(shù)f（x）＝ax2+2ax﹣3對任意實數(shù)x都有f（x）＜0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣3，0]．【分析】討論二次項系數(shù)結(jié)合判別式列不等式求解即可．解：由題意知當a＝0時，f（x）＝﹣3＜0符合題意；當a≠0時，則，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣3，0]．故答案為：（﹣3，0]．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．化簡：＝﹣tanα．【分析】由題意，利用誘導公式，計算求得結(jié)果．解：＝＝﹣tanα．故答案為：﹣tanα．【點評】本題主要考查誘導公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．若，則＝．【分析】利用誘導公式以及余弦的倍角公式化簡即可求解．解：因為sin（2）＝sin（2）＝cos（2）＝1﹣2）＝1﹣2×＝．故答案為：．【點評】本題考查了誘導公式以及倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．在平面直角坐標系中，對任意角α，設(shè)α的終邊上異于原點的任意一點P的坐標為（x，y），它與原點的距離是r．我們規(guī)定：比值分別叫做角α的正割、余割、余切，分別記作secα，cscα，cotα，把y＝secx，y＝cscx，y＝cotx分別叫做正割函數(shù)、余割函數(shù)、余切函數(shù)，則下列敘述正確的有②④⑤（填上所有正確的序號）①cot＝1；②sinα?cscα＝1；③y＝secx的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}；④sec2α+csc2α≥4；⑤cot2α＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合y＝secx，y＝cscx，y＝cotx的定義，即可依次求解．解：對于①，，故①錯誤，對于②，sinα?cscα＝sinα?，故②正確，對于③，y＝secx＝，∵cosx≠0，∴y＝secx的定義域為{x|x≠，k∈Z}，故③錯誤，對于④，sec2α+csc2α＝+＝＝，∵0≤sin22α≤1，∴，故④正確，對于⑤，＝＝＝，故⑤正確．故答案為：②④⑤．【點評】本題主要考查命題真假判斷與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．12．設(shè)，若存在唯一一組α，β使得tanα+cotα＝sinβ+acosβ成立，其中a為實數(shù)，則a的取值范圍是．【分析】用換元法，設(shè)，由已知方程有唯一解，故判別式等于零，再結(jié)合同角三角函數(shù)平方和為1解出．解：，設(shè)t＝sinβ+acosβ，則，∴，∵α是唯一的，∴t2﹣4＝0，∴t＝2，或t＝﹣2（舍），∴sinβ+acosβ＝2，與sin2β+cos2β＝1聯(lián)立得（a2+1）cos2β﹣4acosβ+3＝0，設(shè)cosβ＝m，則m∈（﹣1，0），∴（a2+1）m2﹣4am+3＝0在（﹣1，0）上有唯一解，設(shè)g（m）＝（a2+1）m2﹣4am+3，∴或g（﹣1）g（0）＜0（舍）或g（﹣1）＝0?a＝﹣2，當時，最大值為2，符合題意，當a＝﹣2時，sinβ﹣2cosβ取值可能大于2，故舍去，綜上．故答案為：．【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查同角三角函數(shù)及二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬中檔題．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．已知f（x）＝ax2+bx是定義在[a﹣1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是（）A． B． C． D．【分析】依照偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實數(shù)，f（﹣x）＝f（x），由此求得b的值．且定義域關(guān)于原點對稱，故a﹣1＝﹣2a，由此求得a的值，從而得到a+b的值．解：對于函數(shù)知f（x）＝ax2+bx，依題意得：f（﹣x）＝f（x），∴b＝0．又a﹣1＝﹣2a，∴a＝，∴a+b＝．故選：B．【點評】本題考查偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實數(shù)，f（﹣x）＝f（x）；奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點對稱，定義域區(qū)間2個端點互為相反數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．14．在平面直角坐標系中，下列結(jié)論正確的是（）A．小于的角一定是銳角 B．第二象限的角一定是鈍角 C．始邊相同且相等的角的終邊一定重合 D．始邊相同且終邊重合的角一定相等【分析】對于A，銳角必須強調(diào)為正角且小于，即可判斷；對于B，α＝終邊落在第二象限，但是不是鈍角，即可判斷；對于C：由定義即可判斷；對于D，30°與390°角的終邊相同，但不相等，即可判斷．解：對于A，小于的角不一定是銳角，首先必須強調(diào)為正角且小于，故A錯誤；對于B，第二象限角強調(diào)終邊落在第二象限，例如α＝終邊落在第二象限，但是不是鈍角，故B錯誤；對于C：始邊相同且相等的角終邊一定相同，故C正確；對于D，30°與390°角的終邊相同，但不相等，故D錯誤．故選：C．【點評】本題主要考查了象限角的定義，以及終邊相同的角的定義，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．15．已知，則α+β是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【分析】由已知利用同角三角函數(shù)關(guān)系式先求出cosα，sinβ，再利用兩角和的正弦和余弦函數(shù)求出cos（α+β）和sin（α+β），由此能判斷α+β所在象限．解：∵，∴cosα＝﹣＝﹣，sinβ＝﹣＝﹣，∴cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝﹣﹣（﹣）（﹣）＝＜0，sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝﹣＝＞0，∵＜α+β＜，∴α+β是第二象限角．故選：B．【點評】本題考查兩角和所在象限的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意同角三角函數(shù)關(guān)系式和兩角和的正弦和余弦函數(shù)公式的合理運用．16．設(shè)集合，則集合A的元素個數(shù)為（）A．1011 B．1012 C．2022 D．2023【分析】依題意由表達式中角的特征可知當0＜k≤1011，k∈Z時，的取值各不相同，當k≥1012時，利用誘導公式以及集合元素的互異性即可求得元素個數(shù)為1011．解：根據(jù)題意可知，當0＜k≤1011，k∈Z時，，此時；又因為2023為奇數(shù)，2k為偶數(shù)，且中的任意兩組角都不關(guān)于對稱，所以的取值各不相同，因此當0＜k≤1011，k∈Z時集合A中x的取值會隨著k的增大而增大，所以當k＝1011時，集合A中有1011個元素；當k＝1012時，易知，＝，＝，又易知，所以可得，即k＝1012時x的取值與k＝1010時的取值相同，與k＝0時的取值不相同，根據(jù)集合元素的互異性可知，k＝1012時并沒有增加集合中的元素個數(shù)，以此類推可得當k≥1012時，集合A中的元素個數(shù)并沒有隨著k的增大而增加，所以可得集合A的元素個數(shù)為1012個．故選：B．【點評】本題的關(guān)鍵在于通過觀察集合中元素的特征，利用的三角函數(shù)值的范圍以及圖象的對稱性，由集合中元素的互異性得出當k≥1012時，集合A中的元素個數(shù)并沒有隨著k的增大而增加即可求得結(jié)果，屬于中檔題．三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17．已知函數(shù)f（x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x）的定義域為（﹣3，3）．（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的零點．【分析】（Ⅰ）直接利用偶函數(shù)的定義進行證明即可；（Ⅱ）將函數(shù)變形為f（x）＝ln（9﹣x2），令f（x）＝0，求解即可．【解答】（Ⅰ）證明：由題意可得函數(shù)f（x）的定義域為（﹣3，3）關(guān)于原點對稱，又f（﹣x）＝ln（3﹣x）+ln（3+x）＝f（x），故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；（Ⅱ）解：f（x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x）＝ln（9﹣x2），令f（x）＝ln（9﹣x2）＝0，解得9﹣x2＝1，解得，故函數(shù)f（x）的零點為和．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)零點的求解，在判斷函數(shù)奇偶性的時候要注意先判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱，屬于基礎(chǔ)題．18．在平面直角坐標系xOy中，角α與β的頂點均為坐標原點O，始邊均為x軸的非負半軸．若角α的終邊OP與單位圓交于點，將OP繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與角β的終邊OQ重合．（1）求tanβ的值；（2）求的值．【分析】（1）根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義結(jié)合同角三角關(guān)系可得，，進而結(jié)合誘導公式運算求解；（2）根據(jù)題意利用誘導公式結(jié)合齊次式問題運算求解．解：（1）由題意可知：sinα＝y(tǒng)0，，因為sin2α+cos2α＝1，即，且y0＞0，解得，即，．又因為，可得，．所以．（2）由（1）知，所以＝．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的誘導公式，屬于基礎(chǔ)題．19．（16分）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表達式．（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值．【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）＝，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．我們可得C（0）＝8，得k＝40，進而得到．建造費用為C1（x）＝6x，則根據(jù)隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達式．（II）方法一：由（I）中所求的f（x）的表達式，我們利用導數(shù)法，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性易求出總費用f（x）的最小值．方法二：根據(jù)f（x）＝＝，直接利用基本不等式求出f（x）的最小值即可．解：（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為．再由C（0）＝8，得k＝40，因此．而建造費用為C1（x）＝6x，最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為（Ⅱ）方法一：，令f'（x）＝0，即．解得x＝5，（舍去）．當0＜x＜5時，f′（x）＜0，當5＜x＜10時，f′（x）＞0，故x＝5是f（x）的最小值點，對應(yīng)的最小值為．當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值為70萬元．方法二：由（Ⅰ）知，f（x）＝，所以f（x）＝＝﹣10＝70，當且僅當，即x＝5時取等號，所以當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值為70萬元．【點評】函數(shù)的實際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建模→解?！€原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（?。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（?。┦亲顑?yōu)化問題中，最常見的思路之一．20．（16分）已知sinθ、cosθ是方程2x2﹣（﹣1）x+m＝0的兩個實數(shù)根．（1）求實數(shù)m的值；（2）求的值；（3）若θ∈（π，2π），求cos2θ的值．【分析】（1）由韋達定理和同角的平方關(guān)系，計算可得所求值；（2）運用同角的商數(shù)關(guān)系和韋達定理，可得所求值；（3）結(jié)合θ∈（，2π），可得cosθ＞0，sinθ＜0，利用平方差公式可得cosθ﹣sinθ＝，聯(lián)立方程可得cosθ的值，進而可求cos2θ的值．解：（1）因為sinθ、cosθ是方程2x2﹣（﹣1）x+m＝0的兩個實數(shù)根，由韋達定理得sinθ+cosθ＝，sinθcosθ＝，由（sinθ+cosθ）2＝（）2，則1+2sinθcosθ＝