2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新高考卷數(shù)學(xué)模擬測試(一) 答案解析(附后)

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新高考卷數(shù)學(xué)模擬測

試（一）

1.（I二利二（）

A.3：?B.3AiC.I3/D.1+3，

2.已知集合M,N是全集U的兩個非空子集，且\I￡C「N,貝M）

A.MCN=0B.MCNC.NCMD.NUCjA/=U

3.橢圓〃,/+/=1的焦點在y軸上，短軸長與焦距相等，則實數(shù)m的值為（）

A.2B.1C.4D.y/2

4.若某圓臺的上底面半徑為2,下底面半徑為4,高為3,則該圓臺的體積為.（）

A287r-…、

A.—-—B.2（）7rC.287rD.327r

?5

亡r卜,sin2a.、

5.已知lane=3,則——=（）

sinn

Q9I

A.B.-C.-D.6

/LI

6.在1859年的時候，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》

的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過

這個問題，并得到小于數(shù)字x的素數(shù)個數(shù)可以表示為Mr）七丁匚的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的

結(jié)論，估計1（戶以內(nèi)的素數(shù)的個數(shù)為（素數(shù)即質(zhì)數(shù)，lgev0,343,計算結(jié)果取整數(shù)，（）

A.2172B.4343C.869D.8686

7.一展開式中常數(shù)項是（）

A.56B,-56C.70D.-70

8.已知函數(shù)/（」?）=hir-1,直線i/=mr+n是曲線v=/（.r）的一條切線，則m+2”的

X

取值范圍是（）

A.[―3.+oo）B.[-2In2—4.+oc）

e-35

C.（-oc,—^―]D,[In2-+oo）

9.為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進全體

黨員干部職工對黨史的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，將本單位全體黨員黨史知

識競賽的成績（均位于阿）.1（）。]之內(nèi)）整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布

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直方圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.本次成績不低于80分的人數(shù)的占比為75%

B.本次成績低于70分的人數(shù)的占比為5%

C.估計本次成績的平均分不高于85分

D.本次成績位于「0.90）的人數(shù)是其他人數(shù)的3倍

10.如圖所示，四棱錐S-的底面為正方形，S/）_L底面A8CD,SD=AB,則下

列選項中兩異面直線所成夾角大于15的是（）

A.BC與SDB.AB與SCC.SB與ADD.AC與SB

11.已知函數(shù)/（工）=486（21+夕）-1（4>0,0</<二），若函數(shù)y=|/（工）|的部分圖象

如圖所示，函數(shù)g（f）=.4si】i（Ar-r）,則下列結(jié)論不正確的是（）

4P

7F

A.函數(shù)g（.r）的圖象關(guān)于直線丁=一日對稱

B.函數(shù)g"）的圖象關(guān)于點（：.（））對稱

C.將函數(shù)“=/（1）+1的圖象向左平移個單位長度可得到函數(shù)3,）的圖象

D.函數(shù)川.r）在區(qū)間0,^上的單調(diào)遞減區(qū)間為0.；

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12.阿基米德(公元前287年-公元前212年)是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)

家，不僅在物理學(xué)方面貢獻巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號，拋物線上任意兩點A、8處

的切線交于點P,稱為“阿基米德三角形”.已知拋物線C：1=8?/的焦點為F,

過A、B兩點的直線的方程為4/一3//+6=0,關(guān)于“阿基米德三角形"△「小，，下列結(jié)

論正確的是()

39

A.\AB\=—B.PALPB

C.點、P的坐標(biāo)為D.PFLAB

13.在正項等比數(shù)列｛”“｝中，若"/川=4,則1(嶇2。2+log2aio=.

14.寫出一個同時滿足下列條件①0的向量IT.①01=1;②向量才與

了=(1,-1)的夾角。€(0-j)-

15.已知/(工)=工+片里"，則函數(shù)/")的極小值為.

16.已知在正四面體「-.43C中，48=3,記以力為直徑的球為球。，則平面A8C截

球。所得截面的面積為.

17.如圖，在梯形A8CD中，A/3〃C。，點E在邊CD上，NC=12(),3。=24，

Z.CEB=45°.

⑵若AB=7,求sinN4E8.

18.已知數(shù)列｛%｝滿足支+%+,??+,=亍?

(1)求數(shù)列｛明｝的通項公式；

⑵對任意的令“，=|：：'"?’；：?，求數(shù)列｛鼠｝的前2n項和民”.

I2"",n為偶數(shù)

19.如圖，在長方體ABC。一小場中，點E,F分別在44，8場上,

A\D\=A\B\=A\E=BF=1,AAi=3.

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⑴證明：4F〃平面EBQi.

⑵求二面角8-4的余弦值.

20.《中共中央國務(wù)院關(guān)于實現(xiàn)鞏固拓展脫貧攻堅成果同鄉(xiāng)村振興有效銜接的意見》明確提

出，支持脫貧地區(qū)鄉(xiāng)村特色產(chǎn)業(yè)發(fā)展壯大，加快脫貧地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品和食品倉儲保鮮、冷鏈物流

設(shè)施建設(shè)，支持農(nóng)產(chǎn)品流通企業(yè)、電商、批發(fā)市場與區(qū)域特色產(chǎn)業(yè)精準(zhǔn)對接.當(dāng)前脫貧地區(qū)相

關(guān)設(shè)施建設(shè)情況如何？怎樣實現(xiàn)精準(zhǔn)對接？未來如何進一步補齊發(fā)展短板？針對上述問題，

假定有A、B、C三個解決方案，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)有:的受調(diào)查者贊成方案A,有:的受調(diào)查者

贊成方案B,有:的受調(diào)查者贊成方案C,現(xiàn)有甲、乙、丙三人獨立參加投票(以頻率作為概

率).

(1)求甲、乙兩人投票方案不同的概率；

(2)若某人選擇方案A或方案8,則對應(yīng)方案可獲得2票；選擇方案C,則方案C獲得1票.

設(shè)X是甲、乙、丙三人投票后三個方案獲得票數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

22

21.已知雙曲線C：二_5=1(0>0,6>0)的漸近線方程為“=±8工，過雙曲線C的

a2g

右焦點尸(2.())的直線人與雙曲線C分別交于左、右兩支上的人、8兩點.

(1)求雙曲線C的方程.

(2)過原點O作直線％,使得/“//】，且與雙曲線C分別交于左、右兩支上的點M、N.是否

存在定值入，使得?瓦N=A血？若存在，請求出A的值；若不存在，請說明理由.

22.已知函數(shù)/(1)=ar-sinr.

(1)若函數(shù)/")為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)證明：當(dāng)J〉。時，>2sinj-.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法直接運算即可.

【解答】

解：復(fù)數(shù)空霓=("4即=—3,—4戶=-+3,

i產(chǎn)-1

故選：D.

2.【答案】2

【解析】【分析】

本題考查了全集、補集和子集的定義與應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)全集、補集和子集的定義，即可得出M、N之間的關(guān)系，從而作出正確的判斷.

【解答】

解：全集U,M,N是U的非空子集，且.UGGN,

所以MDN=0.

故選：A

3.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意橢圓的焦點的位置.

根據(jù)題意，分析可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：“，分析可得a、b、c的值，結(jié)合題意可得

m

=解可得m的值，即可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，橢圓小/+/=1的焦點在y軸上，

■>X2

則標(biāo)準(zhǔn)方程為："+T=1,

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解可得m=2,

故選：4

4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查圓臺的體積，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)圓臺的體積公式計算即可.

【解答】

22

解：由題意，得圓臺的體積為V=；(s'+\^S+S)h=37r-2+公22.丁.42+,r-4)x3=2&r.

J<5

故選：c.

5.【答案】8

【解析】【分析】

本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.

先化簡，再分子分母同時除以code,轉(zhuǎn)化為正切計算即可.

【解答】

解：由tana=3,

sin2n_2sinacosn_2tana_2x3_2

sin2asin2atan2a323'

故選：B.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了對數(shù)的運算及閱讀能力及進行簡單的推理，屬于基礎(chǔ)題.

由對數(shù)的運算得：1"10=卷，再結(jié)合題意及進行簡單的合情推理得：

5

MlO)*:inJ=2x10*xlne,即可得解.

''In10,

【解答】

A”,1051052X10'

解：由通意可知："(10')"iw=riin=1in，

''In10"5hi10In10

由對數(shù)的性質(zhì)可得：In10=J,

Ige

日口/S八1051052x104

即"(1°)"調(diào)=而曠Fib

=2x10*xhie?2x101x0.4343=2x4343=8686.

故選。.

7.【答案】A

【解析】【分析】

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本題考查二項展開式的特定項，屬于基礎(chǔ)題.

由一10+：—2,=一如生E,再利用(工-1)'展開式的通項公式即可求解.

【解答】

(7一1)8展開式的通項為。+1=(-1)‘仁工''(r=0.1,2,..?，8),

令8-r=3,得，，=5,(—1)5方=一56,

所以展開式中常數(shù)項是56.

8.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于一般題.

1Q

設(shè)切點、為P(t」⑴),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，得，"+2”=9+211“一；一2,構(gòu)造

13

g(t)=^+2\nt---2,利用導(dǎo)數(shù)即可求解.

【解答】

解：設(shè)切點為口匕/⑴)，ra)=；+(，

曲線"=/(X)在切點尸⑴)處的切線的斜率為；+，，切線方程為y-f(t)=r(f)(T-t),

整理得V=(-+”)上+h"-工-1,

i3

所以in4-2〃=產(chǎn)+2In/—y—2.

令。⑴=三+21n，一7—2,則"⑺=2'十?——?.

tt

當(dāng)0<f<］時，g'(t)<0,g?)單調(diào)遞減，

當(dāng)f>g時，ff'(t)>(),g?)單調(diào)遞增?

故。⑴min=9(；)=-21n2-4，

則m+2，，的取值范圍［-2In2-4,+oo),

故選B

9.【答案】ABC

【解析】【分析】

本題考查頻率分布直方圖，考查獲取信息解決實際問題，考查數(shù)據(jù)分析，屬基礎(chǔ)題.

根據(jù)頻率分布直方圖解得a,逐項分析即可.

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【解答】

解：本次成績不低于80分的人數(shù)占比為(0.050+0.025)x10=0.75=75%,故A正確；

因為10(a+0.020+0.050+0.025)=1,所以"=0.005,

即本次成績低于70分的人數(shù)的占比為1(M=5%,故8正確；

本次成績的平均分為10x(0.005x65+0.02x75+0.05x85+0.025x95)=84.5,故C正確;

成績位于「0.90)的頻率為(0.020+0.050)x10=0.7,因為0.7＜0.3x3,故。錯誤.

故選ABC.

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題主要考查了異面直線的夾角，通過平移的方法求異面直線的夾角及利用判定定理證明異面直

線垂直的應(yīng)用，

根據(jù)已知及線面垂直的判定，異面直線所成角的計算，可知正確是哪幾個

【解答】

解：對于A,因為SOI底面八BCD,平面A8CO,

所以則8c與5。所成角的大小為乂)，故A正確，

對于8,因為底面么8CD是正方形，所以48〃C7),

則AB與5c所成的角為NSCO-45'，故B錯誤，

對于C,因為.4?！ā?。.所以58與4。所成的角為乙SBC,

sc

由題知tanNSZ?C=衍=伍＞1,所以NS8C＞』5’,故C正確，

對于。，因為S"_L底面A8CD,.4CU平面A8CD,

所以SOIAC,因為A8CD是正方形，所以

因為sonBOI),S75u平面SB。，平面S8D所以AC'L平面S8D,

所以.4C.S/?,則AC與58所成角的大小為W,故。正確.

1L【答案】A8D

【解析】【分析】

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，要求考生了解函數(shù)圖象的變換，了解函數(shù)

)=/1＜,0?(3l+6+3中各參數(shù)對圖象的影響，理解正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性與對稱性

【解答】

解：根據(jù)“=1/")|的圖象可知.4=2,當(dāng)r=0時，滿足/(0)=-2,

則2cos3-]=-2,即cos胃=,

27r

因為()＜，＜?r,所以杉=可，gQ)=2sin

第8頁，共16頁

7T

對于A項，當(dāng)工二一不時，-1,故9（.r）的圖象不關(guān)于直線丁=一力對稱，A項錯誤;

對于8項，當(dāng)/=；時，g瓜、故9"）的圖象不關(guān)于點看0）對稱，8項錯誤;

對于C項，因為V=/")+1=2cos(21+寺)=2sinp2x27萬r、3TF1、.

+W)-7T=2sm

32

2(+)-=2sin2x-

將其圖象向左平移12個單位長度可得函數(shù)"2sin[I^T](T)的圖象,

故c項正確;

八27r27r7T27r2TT7T

對于。項，因為。彳,所以當(dāng)2l一二e

,所以21一w€T3T,-2，

即工€0展時，川，）單調(diào)遞減，。項錯誤.

12.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，要求考生了解拋物線的定義，幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它

的簡單幾何性質(zhì).

聯(lián)立拋物線與雙曲線方程利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得八〃的值可判斷A；求得直線PA和P8的

斜率可得到直線PA和PB的方程可判斷B；聯(lián)立兩直線方程可得到點P的坐標(biāo)可判斷C；由點P

和點F坐標(biāo)可得到直線PF的斜率，由點八和點B坐標(biāo)可得到直線A8的斜率，可判斷/）.

x2=_

【解答】解：設(shè)八出,加），/>'/」用，聯(lián)立《4f+6=。,可得3/一83-48=。，

解得T=或工=—,不妨設(shè)TO=——?則〃】=6，Z/2=Q，

33d

（4《+色色尸+（6一2）?=?，A項正確;

333

又因為”所以//=；［故直線PA的斜率為±@=逐,

814

直線PA的方程為〃一6>/3(J-iv^i),

即“=鹵工一6,同理可得直線P8的方程為v:—熠一

3

/n

A-/-=-^xA/3=-1.所以P4_LPB,8項正確;

J

y=\/3x—6_4A/3

聯(lián)立<瓜工21可得，3，故點P的坐標(biāo)為-2,C項錯誤;

y33!/=-2

第9頁，共16頁

易知點F的坐標(biāo)為(0,2),4\/3,LAB=—x—1.所以

0~~3-3

PF1AB,D項正確.

13.【答案】2

【解析】【分析】

本題考查等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得"Wx=oxno=4,由對數(shù)的運算可得要求的式子=log2fl2flln,代入計算

對數(shù)的值即可.

【解答】

解：由題意可得log2a2+log.aio=I<?R2(?2?IO)=1唯(四你)=log24=2.

故答案為：2.

6+v/14VTI-6

14.【答案】H=(答案不唯一)

1()1()

【解析】【分析】

本題考查向量的夾角，向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)才=(rV),得到C08O=三蟆I,令一片:求解即可,

【解答】

X-W

解：設(shè)a=(Z,'),得到cosa=-^-=1,

人6

令J-!/=W,

5

6-v/n

10

聯(lián)立＜

6+\/14，

『-W-

取萬=

15.【答案】一

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的極值，要求考生會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極小值.

對/")求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性判斷極小值即可.

【解答】

解：由/")=丁+”°1+15,得/'(r)=Z+”?+3/，令/=(),

第10頁，共16頁

得/0)=/'(，+3解得八())=3,所以〃工)=(l+2卜‘，/'")="+3)e。

令/'(1)=0,得r=-3,

則函數(shù)/")在(-8,-3)上單調(diào)遞減，在(-3,+oo)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)r=-3時，/(丁)取得極小值，且極小值為〃-3)=—。

16.【答案】1

【解析】【分析】

本題考查平面與球的截面問題，要求考生了解正四面體與球的特征，會根據(jù)空間中的垂直關(guān)系求

出截面圓的直徑.

根據(jù)題目條件得到截面為圓，并得到直徑AE的大小即可求解.

【解答】

解：如圖，取BC的中點D,連接AD,過點P作PK1平面A8C于點E,

由正四面體。一.48「的特征可知，點E為人。上靠近點。的三等分點.

因為PA為球。的直徑，QZ?，平面A8C,ZAEP9(),

所以平面A8C截球。所得截面的直徑為

因為48=3,所以4E=2A0=2X這=e，

332

故平面ABC截以PA為直徑的球所得截面面積為7Fx

17.【答案】解：（1）在aCEB中，

一,0CBEB

由正弦定理可付7,定石=[71，

smZCEBsmZc

26_EB

sin45°sin120°,

BE=3y/2,

由余弦定理可得EB2=EC'2+CB1-2ECCH-cos120°,

解得CE=3-瓜

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(2)VAB//CD,

：./CEB=/.ABE=45°,

又因為工8=7,BE=3>/2.

在AAEB中，由余弦定理可得

EA1=EB24-AB2-2EBABcos45。

=(3>/2)2+72-2X3\/2

=25,

所以￡4=5,

_25+18-49__\/2

~2x5x3A/2-一而‘

又因為sin2Z.AEB+cos2/.AEB=1,

所以sinN.4E8=92.

【解析】本題考查正弦定理和余弦定理.

(1)在中，由正弦定理可解得BE,再根據(jù)余弦定理解得CE；

(2)根據(jù)4B〃C?？傻肗CEB=/ABE,在A4EB中，用余弦定理解得EA,再根據(jù)余弦定理

可解得cos乙4EB=-4，根據(jù)31?/4￡3+862/4七8=1,得出sin/AEB的結(jié)果.

18.【答案】解：(1)當(dāng)"=1時，"I=1:

,,、,一(12ar?-iri-1

當(dāng)"》2時，可付5+%+—.+布=不：7r

71—12-n

當(dāng)〃=1時，川=2-1=1也符合，故"”=2-"；

2—n.〃為奇數(shù)

⑵由⑴知b"=,

22-n,n為偶數(shù)

22

S2M=[1+(-1)+(-3)+…+2-(2n-1)]+(2°+2-2+…+2-")

(1+3—2n)n1\4/

=(2-n)n+

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【解析】本題考查數(shù)列的通項與求和，要求考生掌握求常見數(shù)列的通項的方法，能根據(jù)數(shù)列征選

取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠛?，屬于?？碱}.

(1)分”=1和〃》2兩種情況求解即可；

(2)利用奇偶并項求和法求和即可.

19.【答案】解：(1)證明：因為4E=3F=1,

所以AE=BiF=2,

因為.4E〃F8i,所以四邊形.4尸場E為平行四邊形，

所以

因為平面EBiOi,平面E310,

所以AF〃平面E31"；

(2)以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,所在的直線分別為x,y,z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系O-J7/2,

則E(l,0.2),4(1,0,3),9(0,0,3),01(1,1,3),

D^=(l.().-1),7^=(1.1.0).

設(shè)平面EBiQ的法向量為M=(T,弘z),

InlAJD\S(x—z=0(x=z

令J=l,得1/=一1，2=1,所以"=(1.一1.1).

易知W=(0,1,0)為平面的一個法向量

TT"亓-16

cos<m.n>=—Iii=，=一一，

阿卜|殖瓜3

由圖可知，二面角為銳角，

故二面角的余弦值為

3

【解析】本題考查線面平行的判定，空間向量與二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，推理論

證能力，運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想等，屬于中檔題.

(1)證出4F〃/31,根據(jù)線面平行的判定定理即可證出結(jié)論；

(2)以。為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系。一”/z,進而得到平面向。1E的一個法向量為后，平

面。1ED的一個法向量為詞即可,通過法向量求出二面角的余弦值.

20.【答案】解：(1)因為甲、乙兩人投票方案相同的概率為+=

2233bbio

所以甲、乙兩人投票方案不相同的概率為1-1=2.

Io1O

(2)X的所有可能取值為3、4、5、6,則

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P(X=3)=鏟=奈，P(X=4)=Cix(l)2(l-l)=^=A,

P(X=5)=C；x如一,端璃，Q(X=6)=C；(「》3嗡,

所以X的分布列為:

X3456

1525125

P

216727221()

故E(X)=3x[+44+5嚼+6乂熊=/

【解析】本題考查離散型隨機變量的分布列與均值、相互獨立事件的概率乘法公式、對立事件的

概率公式，屬于中檔題.

(1)先求出甲乙投票方案相同的概率，再利用對立事件的概率公式即可求出不相同的概率.

(2)確定X的所有可能的取值，求出X的所有可能的取值概率，得到分布列，由此即可求出X的

數(shù)學(xué)期望.

!8，解得

21.【答案】解：(1)由題意得

bi2+a2=4

所以雙曲線C的方程為12一(

(2)存在定值小，使得.而^=》血,

?.?J7N與加同向，.?.A=雪1,

I福

F(2,0),易知人的斜率不為0,設(shè)h：/=句+2,

工=fy+2

由(消去x整理得：(3產(chǎn)-1/+皿+9=。,

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由交雙曲線C左右兩支于八、B兩點,

3?-1和

有《(⑵戶一36(3產(chǎn)—I)=36(產(chǎn)+1)>0，

X\X2<0

3產(chǎn)-1/0

即c、，C、-(3^+4)c，則3i一1>0,